24セル

Regular object in four dimensional geometry

24セル
シュレーゲル図 （頂点と辺）
タイプ	凸正4次元多面体
シュレーフリ記号	{3,4,3} r{3,3,4} = {3 1,1,1 } = ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}3\\3,4\end{array}}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}}\right\}}$
コクセター図	または または
細胞	24 {3,4}
顔	96 {3}
エッジ	96
頂点	24
頂点図形	キューブ
ペトリー多角形	十二角形
コクセターグループ	F 4 , [3,4,3], 順序 1152 B 4 , [4,3,3], 順序 384 D 4 , [3 1,1,1 ], 順序 192
デュアル	自己双対
プロパティ	凸面、等角面、等等面体、等面体
均一インデックス	22

ネット

四次元幾何学において、24セルとは、シュレーフリ記号{3,4,3}を持つ凸正四次元多面体^{[1] （}プラトン立体の四次元相似形）である。これはC ₂₄、イコシテトラクロロン^[2]、オクタプレックス（「八面体複合体」の略）、イコサテトラヘドロイド^[3]、オクタキューブ、ハイパーダイヤモンド、ポリオクタヘドロンとも呼ばれ、八面体セルから構成される。

24セルの境界は、24個の八面体セルで構成され、各頂点で6個、各辺で3個が接しています。これらを合わせると、96個の三角形、96個の辺、24個の頂点があります。頂点図形は立方体です。24セルは自己双対です。^[a] 24セルとテッセラクトは、辺の長さが半径に等しい唯一の凸正則4次元多面体です。^[b]

24セルは、3次元、あるいはそれ以上の次元数において、正則な類似体を持たない。[ ^4] 6つの凸正則4次元多面体の中で、5つのプラトン立体のいずれにも類似しない唯一の多面体である。しかし、正則^な...

24セルを平行移動させることで、4次元空間を面と面を合わせて敷き詰め、 24セルハニカムを形成できます。平行移動によって敷き詰めることができる多面体として、24セルはゾノトープではない最も単純な多面体である平行六面体の一例です。^[6]

幾何学

24セルは、5セル、シュレーフリ記号^[c]に5が含まれるもの、および7辺以上の正多角形を除く、最初の4次元におけるすべての凸正多面体の幾何学を包含します。言い換えれば、24セルには、 5セルを除く4次元に存在する三角形と正方形からなるすべての正多面体が含まれますが、五角形多面体は含まれません。これらのすべての正多面体間の幾何学的関係は、単一の24セル、または24セルハニカムにおいて観察できます。

24セルは、6つの凸正多面体の列の中で4番目です（サイズと複雑さの順）。^[d] 24セルは、その前の8セルであるテッセラクトの3つの重なり合うインスタンスに分解できます。8セルは、その前の16セルの2つのインスタンスに分解できます。^[9]前のインスタンスからこれらのインスタンスをそれぞれ構築する逆の手順では、前のインスタンスの半径が保持されますが、一般的に、より短い辺の長さの後継インスタンスが生成されます。^[e]

座標

24 細胞には 2 つの自然な直交座標系があり、それぞれ異なる構造を示します。

正方形

24 セルは、その頂点の凸包であり、次の 24 個の座標順列として記述できます。

$${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0)\in \mathbb {R} ^{4}.}$$

これらの座標^[10]は次のように構築できる。16セルを整流する 8つの頂点は(±2,0,0,0)の順列である。16セルの頂点図形は正八面体である。したがって、16セルの頂点をその入射辺の中点で切断すると、8つの正八面体セルが得られる。このプロセス^[11]は、16セルの正四面体セルを平行移動させ、16個の正八面体セルを形成する。これにより、24セルは24個の正八面体セルとなる。

この参照系において、 24セルは長さ√2の辺を持ち、半径√2の三次元球面に内接する。注目すべきは、辺の長さが外接半径に等しいことである。これは六角形や立方八面体の場合と同様である。このような多面体は放射状に正三角形である。^[b]

半径√2の正凸4次元多面体
対称群	A4​	B4​		F4​	H4​
名前	5セル 超四面体 5点	16セル 超八面体 8点	8セル ハイパーキューブ 16ポイント	24セル 24ポイント	600セル 超二十面体 120点	120セル 超十二面体 600ポイント
シュレーフリ記号	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
コクセターミラー
鏡面二面角	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
グラフ
頂点	5つの四面体	8面体	16 四面体	24立方体	120面体	600四面体
エッジ	10個の三角形	24平方	32 三角形	96三角形	720五角形	1200 三角形
顔	10個の三角形	32個の三角形	24個の正方形	96個の三角形	1200個の三角形	720個の五角形
細胞	5つの四面体	16個の四面体	8個のキューブ	24個の八面体	600個の四面体	120面体
トリ	1 5面体	2 8面体	2 4キューブ	4 6面体	20 30四面体	12 10面体
内接	120セルで120個	120セルで675	2 16セル	3 8セル	25 24セル	10 600セル
素晴らしいポリゴン		2つの正方形×3	長方形4つ×4	4つの六角形×4	12角形×6	不規則な六角形100 個x 4
ペトリー多角形	五角形1個×2	八角形1個×3	八角形2個×4	十二角形2個×4	30角形4個×6	20 30角形x 4
長半径	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
エッジの長さ	${\displaystyle {\sqrt {5}}\approx 2.236}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{\phi }}\approx 0.874}$	${\displaystyle 2-\phi \approx 0.382}$
短い半径	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{4}}\approx 0.354}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\approx 0.707}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\approx 0.707}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{4}}}\approx 1.309}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{4}}}\approx 1.309}$
エリア	${\displaystyle 10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{4}}\right)\approx 21.651}$	${\displaystyle 32\left({\sqrt {3}}\right)\approx 55.425}$	${\displaystyle 48}$	${\displaystyle 96\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 83.138}$	${\displaystyle 1200\left({\tfrac {2{\sqrt {3}}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 396.95}$	${\displaystyle 720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{4\phi ^{4}}}\right)\approx 180.73}$
音量	${\displaystyle 5\left({\tfrac {5{\sqrt {10}}}{12}}\right)\approx 6.588}$	${\displaystyle 16\left({\tfrac {2{\sqrt {2}}}{3}}\right)\approx 15.085}$	${\displaystyle 8{\sqrt {8}}\approx 22.627}$	${\displaystyle 24\left({\tfrac {4}{3}}\right)=32}$	${\displaystyle 600\left({\tfrac {4}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 47.214}$	${\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}}}\right)\approx 51.246}$
4-コンテンツ	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\sqrt {5}}\right)^{4}\approx 2.329}$	${\displaystyle {\tfrac {8}{3}}\approx 2.666}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 15.451}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 16.770}$

24個の頂点は18個の大正方形^[f]（6個の直交する中心正方形^[g]の3組）を形成し、各頂点で3個の正方形が交差する。各頂点の1個の正方形だけを見ると、24個のセルは、どの頂点とも交差しない3組の完全に直交する大正方形の頂点として見える。^{[i] [j]}

六角形

24 セルは自己双対であり、セルと同じ数の頂点 (24) と、面と同じ数の辺 (96) を持ちます。

上記の辺長√2の24セルの双対を、その内接球面を中心として往復運動させると、辺長√2、外接半径1の24セルが見つかり、その座標からより詳細な構造が明らかになります。この座標系では、24セルは頂点を上向きにしており、その頂点は以下のように表すことができます。

整数座標を並べ替えることで得られる 8 つの頂点:

$${\displaystyle \left(\pm 1,0,0,0\right)}$$

そして、次の形式の半整数座標を持つ 16 個の頂点:

$${\displaystyle \left(\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}\right)}$$

そのうち 24 個はすべて原点から距離 1 のところにあります。

四元数として見ると、^[k]は単位ハーヴィッツ四元数です。

この座標系では、24セルは単位半径と単位辺長^{[b]を持ちます。この座標系を}単位半径座標と呼ぶのは、上で使用した√2半径座標系などの他の座標系と区別するためです。^[l]

半径1の正凸4次元多面体
対称群	A4​	B4​		F4​	H4​
名前	5セル 超四面体 5点	16セル 超八面体 8点	8セル ハイパーキューブ 16ポイント	24セル 24ポイント	600セル 超二十面体 120点	120セル 超十二面体 600ポイント
シュレーフリ記号	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
コクセターミラー
鏡面二面角	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
グラフ
頂点	5つの四面体	8面体	16 四面体	24立方体	120面体	600四面体
エッジ	10個の三角形	24平方	32 三角形	96三角形	720五角形	1200 三角形
顔	10個の三角形	32個の三角形	24個の正方形	96個の三角形	1200個の三角形	720個の五角形
細胞	5つの四面体	16個の四面体	8個のキューブ	24個の八面体	600個の四面体	120面体
トリ	1 5面体	2 8面体	2 4キューブ	4 6面体	20 30四面体	12 10面体
内接	120セルで120個	120セルで675	2 16セル	3 8セル	25 24セル	10 600セル
素晴らしいポリゴン		2つの正方形×3	長方形4つ×4	4つの六角形×4	12角形×6	不規則な六角形100 個x 4
ペトリー多角形	五角形1個×2	八角形1個×3	八角形2個×4	十二角形2個×4	30角形4個×6	20 30角形x 4
長半径	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
エッジの長さ	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270}$
短い半径	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}$
エリア	${\displaystyle 10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825}$	${\displaystyle 32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569}$	${\displaystyle 1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48}$	${\displaystyle 720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366}$
音量	${\displaystyle 5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329}$	${\displaystyle 16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314}$	${\displaystyle 600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693}$	${\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118}$
4-コンテンツ	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\approx 0.667}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193}$

24の頂点と96の辺は16の非直交大六角形を形成し、^[o]そのうち4つは各頂点で交差^{[i]します。 [q]}各頂点で1つの六角形だけを見ると、24セルは、互いにクリフォード平行である4つの交差しない六角形の大円の24頂点として見ることができます。 ^[r]

24セルの12の軸と16の六角形はライ配置を構成し、配置の言語では12 ₄ 16 ₃と書かれ、各軸が4つの六角形に属し、各六角形が3つの軸を含むことを示します。^[12]

三角形

24個の頂点は、単位半径24セル内の辺の長さが√3の32個の正三角形を形成し、[ u ] ¹⁶個の大六角形に内接する。^[v]各大三角形は、完全に互いに離れている3つの大正方形を結ぶ環である。 ^{[w] [y]}

超三次弦

放射状に正三角形状の頂点幾何学^[b] 24 セル。3 つの大円多角形と 4 つの頂点間の弦の長さを示しています。

24セルの24頂点は、互いに4つの異なる弦の長さで分布しています[ 13]：√1 、√2、√3 、^√4。√1弦（24セル の辺）は中央の六角形の辺であり、√3弦は中央の六角形の対角線です。√2弦は中央の正方形の辺であり、√4弦は中央の正方形の対角線です。

各頂点は長さ1の辺で8つの他の頂点^[z]と結合され、60°に広がる = ⁠π/3⁠の円弧。次に近いのは90°に位置する^{6つの頂点[aa]です =} ⁠π/2⁠離れたところに長さ√ 2の内弦に沿って8 つの頂点があります。他の 8 つの頂点は 120° = ⁠にあります。2π​/3⁠長さ√ 3の内弦に沿って離れています。 ^[ab]反対側の頂点は、長さ 2 の直径に沿って 180° = π離れています。最後に、24 セルは放射状に正三角形なので、その中心はすべての頂点から 1 辺の長さ離れています。

24 セルの内部多面体がどのように組み合わさるかを視覚化するには (以下に説明)、4 つの弦の長さ ( √ 1、√ 2、√ 3、√ 4 ) が次元 1 から 4 の超立方体の長径であることに留意してください。正方形の長径は√ 2、立方体の長径は√ 3、四次元立方体の長径は√ 4です。^[ac]さらに、八面体の長径は正方形と同じく√ 2であり、24 セル自体の長径は四次元立方体と同じく√ 4です。

測地線

24セルの中心にある16個の六角形を大円に立体投影したもの。各大円は、4つの大円が交差する交点において6つの弧状の辺に分割される。

24セルの頂点弦は測地線状の 大円多角形に配列される。^[ae] √1辺のパスに沿った2つの24セル頂点間の測地線距離は常に1、2、または3であり、反対の頂点の場合のみ3となる。^[af]

√1辺は16個の六角形大円（互いに60度傾斜した平面上）に存在し、そのうち4個は各頂点で交差する[ q ^{] 。 [p]} 96個の異なる√1辺は、表面を96個の三角形と24個の八面体セル（24セル）に分割する。16個の六角形大円は、4つの交差しないクリフォード平行測地線からなる4組に分割でき、各組では各頂点を1つの六角形大円のみが通過し、各組の4つの六角形は24個の頂点すべてに達する。^[ai]

24セルの直交投影

コクセター飛行機	F4​
グラフ
二面対称性	[12]
コクセター飛行機	B 3 / A 2 (a)	B 3 / A 2 (b)
グラフ
二面対称性	[6]	[6]
コクセター飛行機	B4​	B 2 / A 3
グラフ
二面対称性	[8]	[4]

√2弦は18個の正方形大円（6つの直交平面^[x]の3組）に存在し、そのうち3つは各頂点で交差する。^[aj] 72本の異なる√2弦は、六角形の大円と同じ平面には存在しない。つまり、24セルの辺に沿わず、八角形のセルの中心を通過する。^[ak] 72本の√2弦は、24個の八面体セルの3つの直交軸であり、2√1辺離れた頂点を結んでいる。18個の正方形大円は、6つの交差しないクリフォード平行測地線を3組に分割することができ、^[ad]各組では1つの正方形大円のみが各頂点を通過し、各組の6つの正方形は24頂点すべてに及ぶ。^[ao]

√3弦は16平面上の32個の三角形の大円に存在し、そのうち4本は各頂点で交差する。^[ab] 96本の異なる√3弦[ ^u]は、六角形の大円と同じ平面上で、頂点から頂点までを結んでいる。^[v]これらは、16個の大六角形に内接する32個の大三角形の3辺であり、大円上で2√1辺^{離れた頂点を結んでいる。 [t]}

√4弦は、頂点間の直径が 12 個 (直交軸 4 軸の 3 セット)、つまり 25 番目の中心頂点の周りの半径が 24 個として発生します。

24セルのこれらの異なる弦の長さの二乗の和^{[ap]は 576 = 24 2}である。^[aq]これらはすべて頂点を通る中心多角形であるが、4次元空間では3次元球面上に中心平面に全く存在しない測地線が存在している。2つの24セル頂点間には、単純な円ではなく螺旋状の測地線最短経路が存在する。これは単純な回転ではなく、対角線等傾斜回転に対応する。^[ar]

√ 1 の辺は 48 組の平行なペアで出現し、√ 3 の間隔をあけます。√ 2 の弦は 36 組の平行なペアで出現し、√ 2の間隔をあけます。√ 3 の弦は 48 組の平行なペアで出現し、√ 1 の間隔をあけます。^[as]

24 セルの中心平面は、それぞれが 1 つの直角八面体を形成する 4 つの直交中心超平面 (3 次元空間) に分割できます。大六角形は 60 度離れており、大正方形は 90 度または 60 度離れており、大正方形と大六角形は 90 度と60 度離れています。^[au]相似な中心多角形 (正方形または六角形) の各セットは、交差しない 4 セットのクリフォード平行多角形 (6 つの正方形または 4 つの六角形) に分割できます。^[av]クリフォード平行大円の各セットは、24 の頂点すべてを 1 回だけ訪れる 平行繊維束です。

各大円は、クリフォード平行でない他の大円と、24セルの√4の^{直径の1つで交差します[i] 。 [aw]}完全に直交するか、そうでなければクリフォード平行である大円^[ad]は、まったく交差しません。それらは、互いに素な頂点の集合を通過します。^[ax]

建設

24セルでは三角形と正方形が独自に組み合わさり、内部特徴として、最初の4次元における三角形面と正方形面を持つ正凸多面体をすべて生成します（5セルと600セルについては注意が必要です）。^{[ az]}そのため、24セルを構築または分解する方法は無数にあります。

8セルと16セルの相互構築

8つの整数頂点（±1, 0, 0, 0）は通常の16セルの頂点であり、16の半整数頂点（± ⁠1/2⁠、± ⁠1/2⁠、± ⁠1/2⁠、± ⁠1/2⁠ ）はその双対である四次元方陣（8セル）の頂点である。 ^[22]四次元方陣は、ゴセットによる24セルの構築^{[23]を与えるが、これは}四次元方陣を8つの立方体ピラミッドに切り分け、それらを2番目の四次元方陣の面に取り付けることに等しい。3次元空間での類似の構築は菱形十二面体を与えるが、これは正則ではない。^[ba] 16セルは、24セルの逆の構築であるチェザロの構築^[24]を与えるが、これは16セルを平行化する（上記のように、中央の辺で角を切り落とす）ことに等しい。3次元空間での類似の構築は、立方八面体（菱形十二面体の双対）を与えるが、これは正則ではない。四次元多面体と16セルは、24セル内の唯一の正則な4次元多面体である。^[25]

16個の半整数頂点はさらに2つのグループに分けられます。座標にマイナス（−）記号が偶数個含まれるグループと、奇数個含まれるグループです。これらの8頂点のグループはそれぞれ、正16セルを定義します。これは、24セルの頂点を3つの互いに素な8個の集合にグループ化でき、各集合が正16セルを定義し、その補集合が双対四次元方陣を定義することを示しています。^[26]これはまた、16セルの対称性が、24セルの対称群の指数3の部分群を形成することを示しています。

減少

24セルをファセットするには、頂点弦で囲まれた内部セルを切断^[bb]して頂点を取り除き、 24セルに内接する内部4次元多面体のファセットを露出させます。24セルは、6頂点の平面六角形、4頂点の平面長方形、または3頂点の三角形で切断できます。大円の中心平面（上図）は、これらの平面の一部に過ぎません。ここでは、内部多面体の面平面^{[bc] など}、他の平面をいくつか露出させます。^[bd]

8セル

完全な 24 セルから始めて、8 つの直交頂点 (4 つの垂直軸上の 4 つの向かい合う頂点のペア) と各頂点から放射状に伸びる 8 つの辺を削除します。そのためには、 √ 1 の辺で囲まれた 8 つの立方体セルを切り抜いて、削除する頂点を頂点とする 8 つの立方体ピラミッドを削除します。これにより、各六角形の大円から 4 つの辺が削除され (向かい合う辺のペアは 1 つだけ保持)、連続する六角形の大円は残りません。これで、残りの 16 個の頂点それぞれで 3 つの直交辺が交わって立方体の角を形成し、^[be]残りの 32 辺によって表面が 24 の正方形の面と 8 つの立方体セル、つまり 4 次元方眼に分割されます。これを行うには 3 つの方法 (24 個の中から 8 つの直交頂点のセットを選択する) があるため、24 セルにはこのような 3 つの 4 次元方眼が内接します。^[t]これらは互いに重なり合っていますが、要素集合の大部分は互いに独立しています。頂点数は共有していますが、辺の長さ、面積、セルの体積は共有していません。^[bf]これらは4成分、つまり共通の核を共有しています。^[bg]

16セル

完全な24セルから始めて、四次元方陣の16頂点を削除します（上記で削除した8頂点は保持）。√2弦で囲まれた16個の四面体セルを切り取り、頂点が削除対象の頂点である16個の四面体ピラミッドを削除します。これにより、12個の大きな正方形（直交セットを1つだけ保持）とすべての√1辺が削除され、√2弦が新しい辺として露出します。残りの6個の大きな正方形は、残りの8頂点それぞれで3辺ずつ直交し、^[bh]、それらの24辺によって表面が32個の三角形と16個の四面体セルに分割されます。つまり、16セルです。これを行うには3つの方法があります（テッセラクト頂点の3組のうち1組を削除する）。つまり、24セルに内接する16セルは3つあります。これらのセルは互いに重なり合っていますが、すべての要素集合は互いに素です。^[w]頂点数、辺長、^[bi]面面積は共有していませんが、セル体積は共有しています。また、4成分、つまり共通の核も共有しています。^[bg]

四面体構造

24セルは、多面体の中心で交わる、辺の長さが√1の^{正三角形96個から放射状に構成できます。各正三角形は2つの半径と1つの辺を持ちます。 [b]}これらは96個の√1四面体（それぞれが1つの24セル面を持ちます）を形成し、すべて25番目の中心頂点を共有しています。これらは、中心を頂点とする24個の八面体ピラミッド（16セルの半分）を形成します。

24セルは、辺の長さが√2の96個の正三角形から構成され、各三角形の3つの頂点は90° = ⁠π/2⁠ 3次元球面上で互いに離れている。それらは、24次元球面の24個の中間辺半径を中心とする48個の√2辺四^{面体（3つの16次元球面のセル）を形成する。 [bi]}

24セルは、その特性単体から直接構築できる。、その対称群F ₄の基本領域である不規則な5セルを、その4オルソスキームをそれ自身のセル（3オルソスキーム）に反映させることによって。^[bj]

立方体構造

24 セルは 24 八面体セルであるだけでなく、24 立方体セルでもあります。ただし、立方体は 3 つの 8 セルのセルであり、24 セルのセルではないため、体積的に分離されていません。

24 セルは、同じ辺の長さの立方体 24 個（8 セル 3 個）で構成できます。^[t]各立方体は 2 つの 8 セルで共有され、各立方体の正方形の面は 4 つの立方体（2 つの 8 セル内）で共有され、96 辺のそれぞれは 8 つの正方形の面（2 つの 8 セル内の 4 つの立方体）で共有され、96 頂点のそれぞれは 16 辺（2 つの 8 セル内の 4 つの立方体内の 8 つの正方形の面）で共有されます。

内部多面体間の関係

24セル、3つの四次元方陣、そして3つの16セルは、共通の中心を軸に深く絡み合い、共通の核で交差しています。^[bg]四次元方陣と16セルは、互いに60°等傾斜^{[m]回転しています。これは、2つの四次元方陣または2つの16セルの対応する頂点が}√3 （ 120 °）離れていることを意味します。^[t]

四次元方陣は24セル^[bk]に内接し、その頂点と辺は24セルの外部要素となるが、正方形の面と立方体のセルは24セルの内部に位置する（これらは24セルの要素ではない）。16セルは24セル^[bl]に内接し、その頂点のみが24セルの外部要素となる。すなわち、辺、三角形の面、および四面体のセルは24セルの内部に位置する。16セルの内部^[bm]辺の長さは√2である。[ y ^]

ケプラーの立方体における四面体の描画。^[29]

16個のセルは四次元立方体にも内接する。16個のセルの√2辺は四次元立方体の面対角線であり、8つの頂点は四次元立方体の他の頂点に1つおきに内接する。各四次元立方体には2つの16個のセルが内接する（反対の頂点と面対角線に内接する）。したがって、各16個のセルは3つの8個のセルのうち2つに内接する。^[30]これは、ケプラーが発見したように、3次元において2つの正四面体が立方体に内接する様子を彷彿とさせる。^[29]実際、これはまさに次元の類似性（半超立方体）であり、48個の四面体セルはまさにそのように24個の立方体セルに内接する。^{[31] [bi]}

24セルは、3つの四次元方陣を八面体の面の包囲体で囲み、その包囲体と各四次元方陣の立方体の包囲体との間には、4次元空間が所々に残る。各四次元方陣は3つの16セルのうち2つを包囲し、その包囲体と各16セルの四面体の包囲体との間には、4次元空間が所々に残る。したがって、24セル、8セル、16セルの包囲体の間には、測定可能な^[8] 4次元の隙間^[bn]が存在する。これらの隙間を埋める形状は、前述の4角錐である。 ^[bo]

境界セル

24細胞、8細胞、16細胞のエンベロープの間には4次元的な隙間があるにもかかわらず、それらの3次元的な体積は重なり合っています。異なるエンベロープは、場所によっては分離しており、他の場所（4次元ピラミッドが介在していない場所）では接触しています。接触している場所では、それらは融合し、細胞体積を共有しています。つまり、それらの場所では、それらは同じ3次元膜であり、2つの独立した層ではなく、隣接する3次元層です。^[bq]エンベロープは合計7つあるため、複数のエンベロープが集まって体積が融合する場所や、エンベロープが相互に浸透する（内側から外側へ交差する）場所があります。

24セル自体の（外側の）境界包絡線の3次元空間内には、内部構造がいくつか存在します。各八面体セルは3つの垂直な正方形（各四次元方陣から1つずつ）によって二等分され、これらの正方形の対角線（八面体の中心で互いに直交する）は16セルの辺（各16セルから1つずつ）です。各正方形は八面体を2つの正方錐に二等分し、また四次元方陣の隣接する2つの立方体セルを共通の面として結合します。^[bp]

上で見たように、16セル√2の四面体セルは四次元立方体√1の立方体セルに内接し、同じ体積を共有しています。24セル√1の八面体セルは、 √1の立方体セルと体積が重なり合っています。つまり、正方形の面で2つの四角錐に二分され、^[33]頂点も立方体の頂点にあります。^[br]八面体は立方体だけでなく、それに内接する四面体とも体積を共有しています。したがって、24セル、四次元立方体、16セルはすべて、境界体積を共有しています。^[bq]

構成として

この構成マトリックス^[34]は24セルを表し、, {3,4,3}、対称位数1152。行と列は頂点、辺、面、セルに対応します。対角線上の数字は、各要素が24個のセル全体にいくつ出現するかを示します。対角線外の数字は、列の要素が行の要素内またはその位置にいくつ出現するかを示します。

\	v	e	f	c
v	24	8	12	6
e	2	96	3	3
f	3	3	96	2
c	6	12	8	24

24 セルは自己双対であるため、そのマトリックスは 180 度回転と同一になります。

均一なB4構造で_は、, r{3,3,4}, 16セルの平行化面, 対称性順序384, 面とセルの推移性クラスは2つある。^[35]セルは構成的には八面体である。および修正四面体。

構成

\	v	e	f 1	f 2	c 1	c 2
v	24	8	8	4	2	4
e	2	96	2	1	1	2
f 1	3	3	64	*	1	1
f 2	3	3	*	32	0	2
c 1	6	12	8	0	8	*
c 2	6	12	4	4	*	16

均一なD ₄構造では、, {3 ^1,1,1 }、対称性順序192、面とセルの行と列は3つの推移性クラスに分割される。^[36]この構成の双対は、頂点と辺の3つの分割と、面とセルのそれぞれ1つのクラスを持つ。すべてのセルは構成的に平行化された四面体である。。

\	v	e	f 1	f 2	f 3	c 1	c 2	c 3
v	24	8	4	4	4	2	2	2
e	2	96	1	1	1	1	1	1
f 1	3	3	32	*	*	1	1	0
f 2	3	3	*	32	*	1	0	1
f 3	3	3	*	*	32	0	1	1
c 1	6	12	4	4	0	8	*	*
c 2	6	12	4	0	4	*	8	*
c 3	6	12	0	4	4	*	*	8

対称性、ルートシステム、タイル張り

24セルの24頂点（赤ノード）とそのスケールされていない双対（黄ノード）の合成は、F ₄グループの48ルートベクトルを表します。これは、このF ₄コクセター平面投影で示されています。

単純リー群SO(8)のD ₄ルートシステムの24個のルートベクトルは、24セルの頂点を形成します。これらの頂点は3つの超平面^[at]上に見られ、外側の超平面にはそれぞれ正八面体セルの6頂点、中心の超平面には正八面体の12頂点が存在します。これらの頂点は、 16セルの8頂点と合わせて、B ₄およびC ₄単純リー群の32個のルートベクトルを表します。

24セルとその双対の和集合の48頂点（厳密にはそれらの半径ベクトル）は、F ₄型のルート系を形成する。^[38]元の24セルの24頂点はD ₄型のルート系を形成し、その大きさの比は√2 :1である。これは、その双対の24頂点についても同様である。24セルの完全対称群はF _4のワイル群であり、これはF _{4 の}ルートに直交する超平面を通る反射によって生成される。これは1152次の可解群である。24セルの回転対称群は576次のものである。

四元数解釈

二元四面体群の24個の四元数^[k]要素は、24セルの頂点と一致します。4回対称投影で見ると、* 1 次数-1: 1 * 1 次数-2: -1 * 6 次数-4: ±i, ±j, ±k * 8 次数-6: (+1±i±j±k)/2 * 8 次数-3: (-1±i±j±k)/2 となります。

四元数として解釈される場合、^[k] F ₄ ルート格子（24 セルの頂点の整列範囲）は乗法に関して閉じているため、環 になります。これは、フルヴィッツ整列四元数の環 です。24 セルの頂点は、フルヴィッツ四元数環（このグループは二元四面体グループとも呼ばれます）の単位群（つまり、可逆な元のグループ）を形成します。24 セルの頂点は、ノルムの 2 乗が 1 である 24 個のフルヴィッツ四元数であり、双対 24 セルの頂点は、ノルムの 2 乗が 2 である頂点です。D ₄ルート格子はF _4の双対であり、ノルムの 2 乗が偶数であるフルヴィッツ四元数のサブリングによって与えられます。^[40]

24単位のハーヴィッツ四元数として見ると、24セルの単位半径座標は（対蹠ペアで）正四面体の12回転を表します。^[41]

他の凸正4次元多面体の頂点も四元数の乗法群を形成するが、ルート格子を生成するものはほとんどない。^[42]

ボロノイセル

D ₄ルート格子のボロノイセルは、正24セルです。対応するボロノイ分割は、正24セルによる4次元ユークリッド空間の分割、すなわち24セルハニカムを与えます。24セルの中心はD ₄格子点（偶数ノルムの2乗のフルヴィッツ四元数）にあり、頂点は奇数ノルムの2乗のF ₄格子点にあります。この分割の各24セルには、24個の隣接セルがあります。これらの隣接セルのそれぞれと八面体を共有します。また、他の24個の隣接セルとは、1つの頂点のみを共有します。この分割では、任意の頂点で8個の24セルが接します。この分割のシュレーフリ記号は{3,4,3,3}です。これは、 R ⁴のわずか 3 つの正規テッセレーションのうちの 1 つです。

このモザイク状の 24 セルに内接する単位球は、 4 次元の超球面の最も稠密な格子パッキングを生み出します。 ^{[引用が必要]} 24 セルの頂点構成は、 4 次元で最大のキス数を与えることも示されています。^{[引用が必要]}

放射状に等辺なハニカム

24セルハニカム{3,4,3,3}の双対的なテッセレーションは、 16セルハニカム{3,3,4,3}である。4次元空間における3番目の規則的なテッセレーションは、テッセラクトハニカム{4,3,3,4}であり、その頂点は4整数の直交座標で表すことができる。^[k]これら3つのテッセレーション間の合同な関係は、24セル、特にテッセラクトと共有する放射状正左右対称性を視覚化する際に役立つ。^[b]

単位辺長の24セルのハニカムは、単位辺長のテッセラクトからなるハニカムの上に重ねることができ、テッセラクトのすべての頂点（すべての4整数座標）は24セルの頂点でもあり（テッセラクトの辺も24セルの辺である）、24セルのすべての中心はテッセラクトの中心でもある。^[43] 24セルは4次元コンテンツ（超体積）の分だけテッセラクトより2倍大きいので、全体として24セルごとに2つのテッセラクトがあり、その半分だけが24セルに内接する。これらのテッセラクトを黒に、隣接するテッセラクト（立方体の面を共有する）を赤にすると、4次元のチェッカーボードが得られる。^[44]各24セルの中心から頂点までの半径^[bs]は24個あり、そのうち16個は24セルに内接する黒四次元方陣の半径でもある。残りの8つの半径は、黒四次元方陣の外側（立方面の中心を通り）に広がり、隣接する8つの赤四次元方陣の中心まで伸びている。このように、24セルハニカムとテッセラティックハニカムは特別な方法で一致する。つまり、各24セルの24頂点のうち8頂点は四次元方陣の頂点には現れず、代わりに四次元方陣の中心に現れる。それぞれの黒四次元方陣は、24セルからこれらの8つの頂点で切断され、8つの立方体ピラミッドが切り取られる（ゴセットの作図法^[23]を逆にしたような形だが、ピラミッドは切り取られるのではなく、単に赤く塗られ、そのまま残される）。8つの24セルはそれぞれの赤四次元方陣の中心で交わり、それぞれの24セルは共通の頂点で反対側の24セルと交わり、他の6つの24セルは共通の八面体セルで交わる。

赤い四次元方陣は満たされたセル（中心頂点と半径を含む）であり、黒い四次元方陣は空のセルです。この2つのハニカムの和集合の頂点集合には、すべての24セルと四次元方陣の頂点と、赤い四次元方陣の中心が含まれます。このハニカムに24セルの中心（黒い四次元方陣の中心でもある）を加えると、16セルのハニカムが生成されます。このハニカムの頂点集合には、すべての24セルと四次元方陣のすべての頂点と中心が含まれます。隣接する24セルの以前は空だった中心は、単位辺長の16セルの反対側の頂点になります。 24個の半分の16セル（八面体ピラミッド）がそれぞれ以前は空だった中心で出会い、各24セルを埋めます。その八面体底面は、24セルの6頂点の八面体面です（隣接する24セルと共有されます）。^[bt]

この3つのハニカムの和集合には、五角形が全く存在しないことに注目してください。24セルと同様に、4次元ユークリッド空間自体も、正三角形と正正方形（5セルを除く）で構成できるすべての多面体の複合体で完全に満たされますが、この複合体は五角形多面体を一切必要としません（あるいは許容しません）。^[c]

回転

24点24セルには、互いに60度回転した3つの8点16セル（赤、緑、青）が含まれています。各8点16セルは、4つの垂直軸（w、x、y、z）からなる座標系の基本フレームです。^[n] 24セルのうち1つの八面体セルが強調表示されています。各八面体セルには各色の頂点が2つずつあり、八面体の目に見えない垂直軸を区切っています。この軸は、赤、緑、青の16セルの√2辺です。 [ bp ^]

正則凸4次元多面体は、その基礎となる対称性の表現であり、 SO(4)、つまり4次元ユークリッド空間内の固定点の周りの回転群^[45]として知られています。 ^[bw]

24細胞体の3つの直交座標基底

24セルハニカムと一致するように配置できるテッセラティックハニカムには3つの異なる向きがあり、24セルの8つの直交頂点の3つの互いに素なセット（4つの垂直軸のどのセット、またはそれと同等の16セルの内接基底）^[n]のどれを合わせるかによって決まります。これは、3つのテッセラクトを互いに回転させて24セルに内接させることができるのと同じです。^[t]これらの向きの1つから別の向きへの距離は、60度の等傾斜回転です（完全に直交する不変平面の各ペアで、単一の固定点を中心に60度の2回転）。 ^[bx]この回転は、六角形の中心面で最も明確に確認できます。そこでは、すべての六角形が回転して、その3つの直径のどれが座標系軸と一致するかを変更します。^[o]

回転面

4次元ユークリッド空間における回転は、完全に直交する平面における2つの2次元回転の合成として考えることができる。^[47]したがって、4次元空間における一般的な回転は二重回転である。^[48]単純回転と等傾斜回転と呼ばれる2つの重要な特殊なケースがある。^[cc]

単純な回転

単純な回転を実行する24セルの3D投影。^[bd]

3次元において、回転する多面体には単一の不変中心回転面が存在する。この平面は不変集合である。なぜなら、平面上の各点は円運動するが、平面内にとどまるからである。多面体の中心面のうち、特定の回転において不変となるのは1つだけである。不変中心面の選択、および回転角と方向によって、回転が完全に決定される。不変平面の外側の点も円運動する（不変平面に垂直な固定回転軸上にある場合を除く）が、これらの円は中心平面内には存在しない。

4次元多面体が1つの不変中心平面のみで回転する場合、3次元で発生するのと同じ種類の単純な回転が発生します。1つの違いは、固定された回転軸の代わりに、点が動かない完全に固定された中心平面が存在することです。固定平面とは、不変回転平面に完全に直交する唯一の中心平面です。24セルでは、任意の頂点を他の任意の頂点に直接移動する単純な回転があり、他のほとんどの頂点も移動しますが、少なくとも2つ、最大で6つの他の頂点（固定中心平面が交差する頂点）は固定されたままになります。頂点は、大六角形、大正方形、または大二角形の隣接する頂点間の不変回転平面上の大円に沿って移動します。完全に直交する固定平面は、それぞれ二角形、正方形、または六角形です。^[ax]

二重回転

二重回転を実行する 24 セルの 3D 投影。

完全に直交する中心平面上の点は、必ずしも固定されていなくてもよい。また、それらの点を、第 2 の不変平面として、第 1 の不変平面の回転とは無関係な速度で円回転させることも可能であり、これは、2 つの直交する交差しない平面^[h]における同時回転 [ca] である。二^重回転では、固定された平面や軸は存在せず、中心点以外のすべての点が移動する。回転する角度距離は、2 つの完全に直交する中心平面で異なる場合がありますが、それらは常に両方とも不変です。つまり、円運動する点は、完全直交回転で平面全体が横に傾いても、平面内にとどまります。4 次元空間での回転には、常に (少なくとも) 2 つの完全に直交する不変回転平面が存在するが、単純回転では、そのうちの 1 つの回転角度は 0 である。

二重回転には、左回転と右回転という2つのキラルな形式があります。^[cd]二重回転では、各頂点は2つの直交する大円に沿って同時に螺旋状に移動します。^[by]回転経路は右ねじ（ほとんどのネジやボルトのように）で、円に沿って「同じ」方向に移動するか、左ねじ（逆ネジのボルトのように）で、円に沿って慣習的に「反対」方向に移動（ 4つの座標軸のそれぞれで「上」がどちらであるかを判断する右手の法則に従って）します。^[50]

24セルにおける頂点から頂点への二重回転において、一つの不変回転面には、大六角形、大正方形、あるいは軸のみ（二つの頂点、大二角形）が含まれる。完全に直交する不変回転面には、必然的にそれぞれ大二角形、大正方形、あるいは大六角形が含まれる。不変回転面、それを回転させる回転方向と角度、そしてその完全に直交する面を回転させる回転方向と角度の選択によって、回転変位の性質が完全に決定される。24セルにおいては、これらのパラメータによって許容される注目すべき二重回転の種類がいくつか存在する。^[51]

等傾斜回転

2 つの完全に直交する不変平面での回転角が正確に同じ場合、著しく対称的な 変換が発生します。^{[52]不変平面のペアにクリフォード平行[ad]}なすべての大円平面は、同じ角度でそれ自体が回転の不変平面のペアになり、4 次元多面体は同時に多くの方向に等傾斜回転します。 ^[53]各頂点は、4 つの直交方向に等しい距離だけ同時に移動します。^[m] 24 セルでは、六角形平面で 60 度の等傾斜回転を行うと、各頂点は 2 辺の長さ離れた頂点に移動し、16 個の六角形すべてが 60 度回転し、すべての大円多角形 (正方形、^[al]六角形、または三角形) が 120 度離れた同じ種類のクリフォード平行大円多角形に移動します。等傾斜回転は、発見者にちなんでクリフォード変位とも呼ばれます。^[bx]

二重回転アニメーションにおける24セルは、裏返しになっているように見える。^[cg]実際にそう見えるのは、 4次元多面体全体のキラリティーが反転しているからだ。ちょうど浴室の鏡が180度反射して像のキラリティーを反転させるのと同じである。360度の等傾斜回転は、あたかも24セルの表面が手袋のように剥がされて裏返しになっているかのようだ。つまり、右手の手袋が左手の手袋に（あるいはその逆）なるのである。^[54]

六角形平面の 24 セルの単純な回転では、平面内の各頂点は最初に 60 度離れた隣接する頂点まで辺に沿って回転します。しかし、一方が大六角形である2 つの完全に直交する平面での等傾斜回転では、 ^{[ax]各頂点は最初に}2辺の長さ離れた頂点( √ 3で 120 度離れている) まで回転します。二重の 60 度回転のらせん測地線は、その間の頂点を通過せずに、他のすべての頂点を通過します。^[s]らせん測地線^[cn]の各√ 3弦は、2 つのクリフォード平行六角形の中心平面の間を横切り、それら両方と交差する別の六角形の中心平面にあります。^[cs] √ 3弦は 60 度の角度で交わりますが、異なる平面にあるため、三角形ではなくらせんを形成します。 3本の√3弦と360°の回転で、頂点は隣接する頂点に移動し、元の頂点に戻ることはありません。√3弦の螺旋は、6本の√3弦を経た後に初めてループを形成します。これは、 √3辺を持つ斜め六角形^[cr ]上の24セル^{[bz]の周りを}720 °回転することになります。24個の頂点と六角形はすべて同時に回転しますが、360度の等傾斜回転では、各頂点は周回する半分しか移動しません。360度回転後、各螺旋は3つの頂点から出発し、元の頂点に隣接する4番目の頂点に到達しますが、出発した頂点に正確に戻るわけではありません。各中心平面（24セル内のすべての六角形または正方形）は360度回転し、 360度横に傾いて元の位置に戻ります（コインを2回投げるように）が、24セルが埋め込まれている4次元空間での向きは異なります。 ^[56] 24セルは裏返しになっているため、等傾斜回転を同じ方向にさらに360度続けると、24の移動頂点は最初の回転で見逃した頂点の残り半分（最初にヒットした12個の反対称頂点のうちの12個）を通過し、各等傾斜測地線は出発した頂点に戻り、閉じた6弦の螺旋ループを形成します。各六角形2測地線は、6つの頂点のうち2番目の頂点を一周するのに720度の等斜回転を必要とします。 24セルの周りを2回回して、24セルを元のキラル方向に戻す。^[da]

各頂点が24セルの周りを2周する六角形の曲がりくねった経路は、メビウスの輪に曲がった二重らせんを形成し、二重らせんの2本の鎖が閉じたループ内の連続した1本の鎖を形成する。^[cu]最初の回転では、頂点は二重らせんの1本の3弦鎖を横切り、2回目の回転では2本目の3弦鎖を横切り、同じ回転方向に同じ利き手（左または右に曲がる）で回転する。この等傾斜メビウスの輪は、2次元の円ではなく、4次元全体を通る円形の螺旋であるが、大円と同様に、頂点から頂点への最短経路であるため測地線である。^[ar]

クリフォード平行多面体

2 つの平面が等斜回転によって近づく場合、それらの平面は等斜面とも呼ばれます。 ^[au]等斜面は、クリフォード平行測地線大円を持つ中心平面とまったく同じです。^[58]クリフォード平行大円は交差しません。^[ad]ので等斜面多角形は頂点が互いに交わりません。 24 セルでは、すべての六角形の中心平面が他の 3 つの平面と等斜面であり、すべての正方形の中心平面が他の 5 つの平面と等斜面です。 24 セルの 24 頂点すべてを 1 回だけカバーする、互いに等斜面 (クリフォード平行) な大六角形を 4 つ (4 つの異なる方法) 選択できます (六角形ファイブレーション)。^{[ai] 24 セルの 24 頂点すべてを 1 回だけカバーする、互いに等斜面 (クリフォード平行)}な大正方形を 6 つ (3 つの異なる方法) 選択できます(正方形ファイブレーション)。^[ao]頂点から頂点への等傾斜回転はすべて離散ファイバリングに対応する。^[de]

2次元の大円多角形は、24セル内でクリフォードの意味で平行な唯一の多面体ではない。^[60] 2次元、3次元、または4次元の合同な多面体は、対応する頂点がすべて等距離に離れている場合、4次元でクリフォード平行であると言える。24セルに内接する3つの16セルはクリフォード平行である。クリフォード平行多面体は完全に互いに素な多面体である。^[w]六角形平面で60度の等傾斜回転を行うと、各16セルが互いに素な16セルになる。すべての二重回転と同様に、等傾斜回転には2つのキラル形式がある。つまり、各16セルの左側と右側に互いに素な16セルがある。

すべてのクリフォード平行4次元多面体は等斜回転によって関連しているが^[bx]、すべての等斜多面体がクリフォード平行（完全に互いに素）であるわけではない。^[df] 24次元多面体に含まれる3つの8次元多面体は等斜回転であるが、クリフォード平行ではない。16次元多面体と同様に、これらも互いに60度等斜回転しているが、頂点はすべて互いに素ではない（したがって、すべてが等距離ではない）。各頂点は3つの8次元多面体のうち2つに存在する（各16次元多面体は3つの8次元多面体のうち2つに存在するのと同様）。^[t]

等傾斜回転は、凸正4次元多面体を互いに関連付けます。1つの16セルを等傾斜回転させるだけで、24セルが生成されます^。1つの16セルを単純に回転させても、回転の過程でその頂点が他の2つの16セルの頂点に到達しないため、24セルは生成されません。24セルを等傾斜回転させるだけで600セルが生成され、600セルを等傾斜回転させるだけで120セルが生成されます。（あるいは、16セルを等傾斜回転させることによって、それらすべてを直接生成し、それ自体の等傾斜コピーを生成することもできます。）異なる凸正4次元多面体は互いに入れ子になっており、同じ4次元多面体の複数のインスタンスが、3次元球面を構成するクリフォード平行空間に並んで隠れています。^[61] 1次元以上の物体の場合、これらの平行部分空間に直接到達する唯一の方法は等傾斜回転である。^[dh]

リング

24セルには6種類のリングが組み合わさっており、これらについては本記事の他のセクションで詳しく説明します。本セクションでは、異なる種類のリングがどのように絡み合っているかを説明します。

24セルには、4種類の測地線ファイバー（頂点を通る多角形のリング）が含まれます。正方形の大円とその等斜らせん八角形、^[ao]、および六角形の大円とその等斜らせん六角形^[ai]です。また、2種類のセルリング（4次元でリング状に曲げられた八面体の連鎖）も含まれます。頂点同士が接続されて正方形に曲げられた4つの八面体と、面同士が接続されて六角形に曲げられた6つの八面体です。

4セルリング

単位辺長の八面体 4 つは、長さ4√2の共通軸に沿って頂点同士を接続できます。軸は、辺の長さ√2の正方形に曲げることができます。3次元空間だけでもこれを行うことは可能ですが、24 セルではそのようにはいきません。4 つの八面体の√2軸は同じ平面を占め、24 セルの 18 個の √2 の大きな正方形の 1 つを形成しますが、各八面体は異なる 3 次元超平面^[di]を占め、4 つの次元すべてが利用されます。24 セルは、このような 4 セル リングを 6 つ (3 つの異なる方法) に分割でき、隣接するリンクのように相互に連結されます (ただし、これらのリンクにはすべて共通の中心があります)。大正方形平面内で 90° の倍数で等斜回転すると、リング内の各八面体はリング内の八面体になります。

6セルリング

6 つの面が結合した八面体の 4 次元リング。異なる色の 3 つのクリフォード平行大六角形の交差する 2 セットで囲まれ、3 次元空間にカットされて平らに配置されています。^[dj]

6 つの正八面体は、それぞれの体積の中心を通る共通軸に沿って面同士をつなげて、三角形の面だけからなる積み重ねや柱を形成できる。4 次元空間では、軸は 4 次元で、各八面体の 3 つの直交中心平面すべてに直交する平面にある 6 つの八面体中心のそれぞれで 60° 曲げることができ、柱の上部と下部の三角形面が一致する。柱は六角形の軸の周りのリングになる。24 セルは、このような 4 つのリング (4 つの異なる方法) に分割でき、相互にリンクされる。六角形の軸はセルの中心 (頂点ではない) を結んでいるため、24 セルの大六角形ではない。^[dl]ただし、6 つの八面体のリング内には、八面体のエッジに沿って 6 つの大六角形が見つかる。六つの八面体の柱（リングに曲げる前）には、柱の上方に走る辺に沿って 6 本の螺旋経路があります。時計回りの平行な螺旋が 3 本と、反時計回りの平行な螺旋が 3 本あります。時計回りの螺旋はそれぞれ、反時計回りの螺旋と、3 辺の長さ離れた 2 つの頂点で交差します。柱をリングに曲げると、これらの螺旋は大円六角形に変わります。^[dj]リングには 3 つの大六角形が 2 セットあり、それぞれが 3 つのクリフォード平行大円上にあります。^[dn] 3 つの大六角形が平行に並んだ各セットの大六角形は交差しませんが、それぞれが他の 3 つの大六角形（クリフォード平行ではない）と 2 つの対蹠頂点で交差します。

大六角形平面のいずれかにおいて60°の倍数で単純回転を行うと、その六角形のみが不変的に回転し、その六角形内の各頂点は同じ六角形内の頂点に移動する。6つの大六角形平面のいずれかにおいて60°の等斜回転を行うと、クリフォード平行な3つの大六角形すべてが不変的に回転し、環内の各八面体は環内の隣接していない八面体に移動する。 ^[dp]

等斜方向に変位した各八面体も回転します。360°等斜回転すると、各八面体は元の位置に戻りますが、向きが異なります。720°等斜回転すると、各頂点は元の向きに戻ります。

4つのクリフォード平行大六角形は、ホップファイブレーションの24頂点すべてを覆う離散的なファイバー束を構成する。24セルには、このような離散的な六角形ファイブレーションが4つ存在する。各大六角形は1つのファイブレーションにのみ属し、4つのファイブレーションはそれぞれ4つの大六角形の互いに素な集合によって定義される。^[63]各ファイブレーションは、左右の等斜回転（左右ホップファイバー束）の一意の組の領域（コンテナ）である。^[de] ${\displaystyle F_{a},F_{b},F_{c},F_{d}}$

4 つのセル分離した 6 セル リングも、4 つのクリフォード平行大六角形によって定義される各離散ファイブレーションから構成されます。各 6 セル リングには、24 の頂点のうち 18 個と、上記でセル リングのエッジに沿って走る 16 個の大六角形のうち 6 個のみが含まれます。大六角形は、時計回りの螺旋が 3 つ、反時計回りの螺旋が 3 つです。セル リングのエッジに沿って走るこれらの 6 個の六角形は、ファイブレーションを定義する 4 つの平行六角形のセットには含まれていません。たとえば、ファイブレーションの 4 つの 6 セル リングの 1 つには、ファイブレーション からセル リングのエッジに沿って時計回りに走る 3 個の平行六角形と、ファイブレーション からセル リングのエッジに沿って反時計回りに走る 3 個の平行六角形が含まれていますが、そのセル リングにはファイブレーションまたはファイブレーションからの大六角形は含まれていません。 ${\displaystyle F_{a}}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle F_{c}}$ ${\displaystyle F_{a}}$ ${\displaystyle F_{d}}$

24セルには16個の大六角形が含まれ、これらは4つの六角形からなる互いに素な4つの集合に分割され、それぞれの素な集合は一意にファイブレーションを定義します。それぞれのファイブレーションは、互いに素な4つの6セルリングからなる異なる集合でもあります。24セルには、正確に16個の異なる6セルリングが含まれます。それぞれの6セルリングは、4つのファイブレーションのうちの1つにのみ属します。^[dq]

螺旋六角形とその等傾斜線

別の種類の測地線ファイバーである螺旋六芒星等傾斜線は、6 セルの八面体リング内にあります。これらの測地線はそれぞれ、単位半径、単位辺長の 24 セルに 6 つの√ 3辺を持つ斜め六芒星_{2の 2}つおきの頂点を通ります。六芒星は単一の中心平面上にはなく、6 セルリング内の 6 つの異なる六角形大円から連結された 6 つの√ 3弦で構成されます。等傾斜測地線ファイバーは等傾斜回転の経路であり、 24 セルの周りの単純な円形経路ではなく^螺旋状経路で、2 辺長離れた頂点を連結するため、6 つの頂点のループが完成する前に 24 セルの周りを 2 回周回する必要があります。^[cj]平らな六角形ではなく、 2つの3辺を持つ360度の半ループから斜めの六角形を形成します。つまり、開いた三角形が端から端まで結合され、6辺を持つメビウスのループになっています。^[cu]

各6セルリングには、6つの六角形等傾斜線（黒3つと白3つ）があり、それぞれ偶数頂点と奇数頂点を結んでいます。^[dm] 3組の黒と白の等傾斜線はそれぞれ、6セルリングが発生する3つのファイブレーションのいずれかに属します。各ファイブレーションの右回転（または左回転）は、2つの黒等傾斜線と2つの白等傾斜線を平行に通過し、24個の頂点すべてを回転させます。^[s]

6 つの八面体の列の一方の端の任意の頂点から始めて、八面体から八面体まで等傾斜の√ 3弦の等傾斜経路をたどることができます。24 セルでは、√ 1 の辺は大六角形の辺 (および八面体の辺) です。6 つの八面体の列では、八面体の辺に沿って 6 つの大六角形が走っています。√ 3弦は大六角形の対角線で、2 つの√ 1辺離れた大六角形の頂点を結びます。これらの弦は、1 つの八面体の頂点から次の八面体の頂点まで走り、2 つの八面体が共有する面を通ります (ただし、面の 3 つの頂点のいずれにも接しません)。それぞれの√ 3弦は、ただ 1 つの大六角形（その大六角形に内接する大三角形の 1 辺）の弦ですが、連続する√ 3弦は異なる大六角形に属します。^{[cs]各頂点で}、√ 3弦の等傾斜路は2 つの中心平面で同時に 60 度曲がります^[dr] : 頂点の前の弦が属する大六角形の周囲に 60 度曲がり、頂点の後の弦が属するまったく別の大六角形の平面に 60 度曲がります。^{[du]このように、この経路は各八面体から次の八面体へと 1 つの大六角形をたどりますが、六十四卦}₂の経路の次のリンクで 6 つの大六角形の別のものに切り替わります。 6 つの八面体の柱に沿って（そして柱がリング状に曲がっている「端の周り」で）辿ると、最初は 3 つの隣接する平行六角形の中心平面の間をジグザグに進む（ペトリ多角形のように）ように見えるかもしれませんが、そうではありません。私たちが選び出す等傾斜路はどれも、 2 組の隣接する 3 つの平行六角形の中心平面の間を常にジグザグに進みます。この経路は、6 セルのリングにある 6 つの大六角形すべてを順番に訪れますが、すべての偶数（または奇数）頂点とのみ交差し、その固有の偶奇パリティは変わりません。^[ce] 6 つの大六角形のそれぞれから 1 つの弦を通過し、等傾斜回転（左または右）を 720 度行った後、斜めの六角形が閉じて、黒（または白）の頂点とセルを再び循環し始めます。

各頂点には、4 つの大きな六角形^[dw]と、頂点で交差する 4 つの六角形等傾斜線 (すべて黒またはすべて白) があります。^[dx] 4 つの六角形等傾斜線 (黒 2 つと白 2 つ) は、それぞれ異なる (左または右) 等傾斜回転で 24 頂点すべてをカバーする一意の (左または右) 等傾斜繊維束を構成します。各繊維には一意の左および右等傾斜回転と、対応する一意の左および右等傾斜繊維束があります。^[dy] 24 セルには 16 の異なる六角形等傾斜線があります (黒 8 つと白 8 つ)。^[dz]各等傾斜線は、固有のキラリティーを持たない歪んだクリフォード多角形ですが、異なる繊維で左 (または右) 回転が交差すると、左 (または右) 等傾斜線として機能します。^[cj]

螺旋状の八角形とその等傾斜線

24 セルには 18 個の螺旋状八芒星型等傾斜線 (黒 9 個、白 9 個) があります。3 つの内接する 16 セルのそれぞれに 3 対の八芒星型エッジ ヘリックスがあり、これは他の箇所で16 セルのヘリックス構造として説明されています。まとめると、各 16 セルは (3 つの異なる方法で) √ 2エッジの四面体セルの 8 セル リングの左右のペアに分解できます。各 8 セル リングは、8 本の弦の軸八芒星型ヘリックスの周りを左または右にねじれます。各 16 セルには、正確に 6 個の異なるヘリックス、つまり 8 つの頂点すべてを回る同一の八芒星があります。それぞれは、6 つの異なる等傾斜回転 (左 3 つと右 3 つ) のそれぞれにおいて左ヘリックス、右ヘリックス、またはペトリ多角形として機能し、特定の回転に関してのみ固有のキラリティを持ちます。八角形の等傾斜面上の隣接する頂点間の距離は√2 = 90 °なので、等傾斜面の円周は4πです。大正方形不変平面において等傾斜面を90°回転させると、各頂点は対蹠頂点まで移動します。対蹠頂点は等傾斜面に沿ってどちらの方向にも4頂点離れ、等傾斜面の直径に沿って√4 = 180°離れています。

24セルの18個の大正方形の3つのファイブレーションはそれぞれ、大正方形不変面における明確な左（および右）等傾斜回転に対応する。回転の60°ステップごとに、6つの互いに素な大正方形（各16セルから2つずつ）が、隣接する16セルの大正方形へと移動し、16セルに特徴的な8弦の螺旋状等傾斜線上に配置される。^[ea]

24セルでは、これらの18本の螺旋状の八面体等傾斜線は、6つの直交する4セル八面体リング内に存在します。各4セルリングは、大正方形軸の周りに頂点同士が結合したセルで構成され、大正方形の反対側の頂点には対蹠頂点があります。√4弦（大正方形の直径と等傾斜線の直径）がこれらを結びます。境界セルとは、24セルの八面体セルの√2軸が16セルの四面体セルの辺となり、各四面体が（四次元立方体の）立方体に内接し、各八面体が（異なる四次元立方体の）2つの立方体に内接して、それらを橋渡しする様子を表します。^[bp] 4 セルリングの頂点結合八面体も、異なる四次元方陣内にあります。^{[bf] 等}斜線の 4 つの√ 4直径弦は、それぞれ1 つの立方体、八面体、四面体の頂点から別の立方体、八面体、四面体 (別の四次元方陣内) の頂点まで、 _{12 の}√ 4 軸のいずれかで 24 セルの中心をまっすぐに通る√ 4辺を持つ八角形 8{4}=4{2} を形成します。

4 セル リング内の八面体は、3 つの他の八面体と頂点結合しています。これは、3 つの 4 セル リング (およびそれらの 3 つの軸となる大正方形。これらは異なる 16 セルに属します) が、各結合頂点で 90° で交差しているためです。その頂点で、八角形は 2 つの直角回転を同時に行います。大正方形の周りを 90° 回転し、別の 4 セル リングに直交して 90° 回転します。八角形の各√ 4直径弦の両端を結ぶ 180° の 4 辺の円弧は、面結合した 2 つの√ 2四面体 (同じ 16 セル内)の体積と反対側の頂点を通ります。これらの体積と反対側の頂点は、異なる 4 セル リング (および異なる四次元方陣) 内の頂点結合した 2 つの八面体の反対側の頂点でもあります。720°の八角形等傾斜線は、四セルリングの8つの頂点と16個の四面体の体積を通ります。各頂点には、3つの大きな正方形と、頂点で交差する6つの八角形等傾斜線（黒と白の3組）があります。^[ci]

これは16セルの特性回転であり、 24セルの特性回転ではありません。また、大きな六角形平面における24セルの回転のように、24セルの16セル全体が互いに回転するわけではありません。^[eb]

24グラムのスキュー を見る5つの方法
エッジパス	ペトリー多角形	600セル	離散ファイブレーション	直径弦
16セル3{3/8}	十二角形2{12}	24グラム{24/5}	6{4}の正方形	{24/12}={12/2}
24セルの3つの内接するクリフォード平行16セルは、√2辺を持つ互いに素な8点4多面体であることが明らかになった。 [ ea ]	12√1辺を持つ2つの斜め多角形。24セルは2つの互いに交わらないジグザグ十二角形に分解できる（4通りの方法）。[67]	5つの24セルの複合体では、長さφ = √ 2.𝚽の黄金弦を持つ等傾斜線が、 24弦回路内のすべての24セルを接続します。[68]	それらの等斜回転には、互いに√2辺を持つ 6 つのクリフォード平行（非結合）大正方形が必要です。	円形等傾斜線上で4 √ 2弦離れた 2 つの頂点は、 √ 4軸で結合された対蹠頂点です。

特徴的なオルソスキーム

24細胞の特徴[69]
	エッジ[70]	アーク		二面角[71]
𝒍	${\displaystyle 1}$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$	120°	${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{3}}}$
𝟀	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\approx 0.577}$	45°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$	45°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$
𝝉 [ec]	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}=0.5}$	30°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}}$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
𝟁	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{12}}}\approx 0.289}$	30°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}}$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
${\displaystyle _{0}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707}$	45°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{1}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}=0.5}$	30°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}}$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{2}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}\approx 0.408}$	30°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}}$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{0}R^{4}/l}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle _{1}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\approx 0.866}$[cf]
${\displaystyle _{2}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\approx 0.816}$
${\displaystyle _{3}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707}$

全ての正4次元多面体には、その特性4次元直交図、すなわち不規則な5次元セルが存在する。^[bj]正24次元セルの特性5次元セルは、コクセター・ディンキン図で表される。 は、鏡面間の二面角のリストとして読み取ることができる。^{[編者注]これは}、正八面体の特性四面体に基づく不規則四面体ピラミッドである。正24面体は、対称超平面によって、その中心で交わる1152個の特性5面体に分割される。^[73]

特性 5 セル (4-正方格子) には、その基本特性四面体 (3-正方格子) よりも 4 つの辺が多く、底辺の 4 つの頂点を頂点 (4-正方格子の 5 番目の頂点、正 24 セルの中心) に結合します。^[ee]正 24 セルの半径と辺の長さが 𝒍 = 1 である場合、その特性 5 セルの 10 の辺の長さは、その外部直角三角形面の周りで 、 、 (特性角 𝟀、𝝉、𝟁 の反対側の辺) 、 [ ^ec]、 、(特性四面体の外部 3-正方格子面の他の 3 つの辺で、八面体の特性半径)、および、、、(24 セルの特性半径の辺) となります。オルソスキームの直交エッジに沿った 4 エッジ パスは、、、、、最初に 24 セルの頂点から 24 セルのエッジ中心まで進み、次に 90° 回転して 24 セルの面中心まで進み、次に 90° 回転して 24 セルの八面体セル中心まで進み、最後に 90° 回転して 24 セル中心まで進みます。 ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{12}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{12}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$

反射

24セルは、その特徴的な5セルを自身の面（正四面体の鏡面壁）に反射させることで構成できる。^{[ef]反射と回転は関連しており、}偶数個の交差する鏡面における反射は回転である。^[74]したがって、正多面体は反射または回転によって生成できる。例えば、六角形不変平面における24セルの720°等傾斜回転は、 24個の頂点のそれぞれを他の5つの頂点まで移動させ、通過させて自身に戻す。これは、六角形の2番目の頂点ごとに3次元球面を2周する、歪んだ六角形2の測地線等傾斜線に沿っている。このような軌道の半分を実行する、正反対の頂点の 4 つの直交ペア (3 つの内接する 16 セルのうちの 1 つの 8 つの頂点) のセットは、3 * 8 = 24 個の異なる頂点を訪問し、単一の 360° 等傾斜回転の 3 つのステップで 24 セルを順次生成します。これは、単一の特徴的な 5 セルがそれ自身の鏡の壁に自分自身を映し出すと、反射によって 24 個の頂点が同時に生成されるのと同じです。

360° 等傾斜回転中にこのような 16 セルの頂点の軌道をトレースすると、生成操作としての反射と回転の関係について、より多くのことがわかります。 ^[eg]頂点は、通常の大円ではなく等傾斜線 (二重に湾曲した測地線) に従います。^[cs]等傾斜線は 2 辺の長さ離れた頂点を結びますが、それらの頂点を結ぶ 2 辺上で大円の経路から遠ざかるようにカーブし、間の頂点が失われます。^[cn​​]等傾斜線はどの大円にも従いませんが、別の種類のリングに含まれます。24 セルでは、等傾斜線は球形^[76]八面体セルの 6 セル リング内にとどまり、各セルで 1 つの頂点と交差し、失われた頂点の近くで 2 つの隣接セルの体積を通過します。

カイラル対称性操作

対称操作とは、回転または反射によって、変換前の物体と区別がつかなくなる操作です。24セルには1152通りの対称操作（576回の回転と576回の反射）があります。各回転は、互いに平行でない2つの鏡面における2回の反射に相当します。^[例]

図には、24セルの異なる中心平面上にそれぞれ存在する、互いに交わらない大円多角形の集合が描かれている。例えば、{24/4}=4{6}は、24セルの直交射影であり、その[16]個の大六角形平面のうち4つを描いている。^[r] 4つの平面は、射影平面と互いにクリフォード平行であり、それらの大多角形は全体として、24個の頂点すべてを一度だけ訪れる、交差しない4つの大円から なる離散的なホップファイブレーションを構成する。

表の各行は、異なる回転のクラスを表します。各回転クラスは、図示されている左平面を、対応する右平面に移動します。^[eh]移動面の頂点は、図示されている多角形の等傾斜路に沿って平行に移動します。例えば、回転クラスは、弧距離 ⁠ による [32] の異なる回転変位で構成されます。 ${\displaystyle [32]R_{q7,q8}}$2𝝅/3⁠ = 120° は、四元数群で表される16個の大六角形平面と、四元数群で表される対応する16個の大六角形平面の集合との間の回転である。^[ej]このクラスの [32] 種類の回転のうちの1つは、代表頂点座標を頂点座標 に移動する。^[ek] ${\displaystyle q7}$ ${\displaystyle q8}$ ${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$ ${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}})}$

24セル対称群F 4の適切な回転[77]
等傾斜線[cz]	ローテーションクラス[em]				左面[el] ${\displaystyle ql}$					右面 ${\displaystyle qr}$
{24/8}=4{6/2} [eo] ${\displaystyle ^{q7,q8}}$ [16] 4𝝅 {6/2}	${\displaystyle [32]R_{q7,q8}}$[エピソード]				{24/4}=4{6} [r] ${\displaystyle ^{q7}}$ [16] 2𝝅 {6}	${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$[ek]				{24/8}=4{6/2} [等価] ${\displaystyle ^{q8}}$ [16] 2𝝅 {6}	${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}})}$
	⁠2𝝅/3⁠	120°	√3​	1.732~		⁠𝝅/3⁠	60°	√1​	1		⁠2𝝅/3⁠	120°	√3​	1.732~
{24/2}=2{12} [es] ${\displaystyle ^{q7,-q8}}$ [16] 4𝝅 {12}	${\displaystyle [32]R_{q7,-q8}}$[欧州連合]				{24/4}=4{6} ${\displaystyle ^{q7}}$ [16] 2𝝅 {6}	${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$				{24/4}=4{6} ${\displaystyle ^{-q8}}$ [16] 2𝝅 {6}	${\displaystyle (-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$
	⁠𝝅/3⁠	60°	√1​	1		⁠𝝅/3⁠	60°	√1​	1		⁠𝝅/3⁠	60°	√1​	1
{24/1}={24} ${\displaystyle ^{q7,q7}}$ [16] 4𝝅 {1}	${\displaystyle [32]R_{q7,q7}}$[ev]				{24/4}=4{6} ${\displaystyle ^{q7}}$ [16] 2𝝅 {6}	${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$				{24/4}=4{6} ${\displaystyle ^{q7}}$ [16] 2𝝅 {6}	${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$
	2𝝅	360°	√0​	0		⁠𝝅/3⁠	60°	√1​	1		⁠𝝅/3⁠	60°	√1​	1
{24/12}=12{2} ${\displaystyle ^{q7,-q7}}$ [16] 4𝝅 {2}	${\displaystyle [32]R_{q7,-q7}}$[うわっ]				{24/4}=4{6} ${\displaystyle ^{q7}}$ [16] 2𝝅 {6}	${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$				{24/8}=4{6/2} [等価] ${\displaystyle ^{-q7}}$ [16] 2𝝅 {6}	${\displaystyle (-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}})}$
	𝝅	180°	√4​	2		⁠𝝅/3⁠	60°	√1​	1		⁠2𝝅/3⁠	120°	√3​	1.732~
{24/2}=2{12} [es] ${\displaystyle ^{q7,q1}}$ [8] 4𝝅 {12}	${\displaystyle [16]R_{q7,q1}}$[ファ]				{24/4}=4{6} ${\displaystyle ^{q7}}$ [8] 2𝝅 {6}	${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$				{24/6}=6{4} [j] ${\displaystyle ^{q1}}$ [8] 2𝝅 {4}	${\displaystyle (1,0,0,0)}$
	⁠𝝅/3⁠	60°	√1​	1		⁠𝝅/3⁠	60°	√1​	1		⁠𝝅/2⁠	90°	√2​	1.414~
{24/8}=4{6/2} [eo] ${\displaystyle ^{q7,-q1}}$ [8] 4𝝅 {6/2}	${\displaystyle [16]R_{q7,-q1}}$[fd]				{24/4}=4{6} ${\displaystyle ^{q7}}$ [8] 2𝝅 {6}	${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{-q1}}$ [8] 2𝝅 {4}	${\displaystyle (-1,0,0,0)}$
	⁠2𝝅/3⁠	120°	√3​	1.732~		⁠𝝅/3⁠	60°	√1​	1		⁠𝝅/2⁠	90°	√2​	1.414~
{24/1}={24} ${\displaystyle ^{q6,q6}}$ [18] 4𝝅 {1}	${\displaystyle [36]R_{q6,q6}}$[fe]				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{q6}}$ [18] 2𝝅 {4}	${\displaystyle ({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)}$[fg]				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{q6}}$ [18] 2𝝅 {4}	${\displaystyle ({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)}$
	2𝝅	360°	√0​	0		⁠𝝅/2⁠	90°	√2​	1.414~		⁠𝝅/2⁠	90°	√2​	1.414~
{24/12}=12{2} ${\displaystyle ^{q6,-q6}}$ [18] 4𝝅 {2}	${\displaystyle [36]R_{q6,-q6}}$[fh]				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{q6}}$ [18] 2𝝅 {4}	${\displaystyle ({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)}$				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{-q6}}$ [18] 2𝝅 {4}	${\displaystyle (-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)}$
	𝝅	180°	√4​	2		⁠𝝅/2⁠	90°	√2​	1.414~		⁠𝝅/2⁠	90°	√2​	1.414~
{24/9}=3{8/3} [fi] ${\displaystyle ^{q6,-q4}}$ [72] 4𝝅 {8/3}	${\displaystyle [144]R_{q6,-q4}}$[fk]				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{q6}}$ [72] 2𝝅 {4}	${\displaystyle ({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)}$				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{-q4}}$ [72] 2𝝅 {4}	${\displaystyle (0,0,-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}})}$
	⁠𝝅/2⁠	90°	√2​	1.414~		⁠𝝅/2⁠	90°	√2​	1.414~		𝝅	180°	√4​	2
{24/1}={24} ${\displaystyle ^{q4,q4}}$ [36] 4𝝅 {1}	${\displaystyle [72]R_{q4,q4}}$[fl]				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{q4}}$ [36] 2𝝅 {4}	${\displaystyle (0,0,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}})}$				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{q4}}$ [36] 2𝝅 {4}	${\displaystyle (0,0,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}})}$
	2𝝅	360°	√0​	0		⁠𝝅/2⁠	90°	√2​	1.414~		⁠𝝅/2⁠	90°	√2​	1.414~
{24/2}=2{12} [es] ${\displaystyle ^{q2,q7}}$ [48] 4𝝅 {12}	${\displaystyle [96]R_{q2,q7}}$[fm]				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{q2}}$ [48] 2𝝅 {4}	${\displaystyle (0,0,0,1)}$				{24/4}=4{6} ${\displaystyle ^{q7}}$ [48] 2𝝅 {6}	${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$
	⁠𝝅/3⁠	60°	√1​	1		⁠𝝅/2⁠	90°	√2​	1.414~		⁠𝝅/3⁠	60°	√1​	1
{24/12}=12{2} ${\displaystyle ^{q2,-q2}}$ [9] 4𝝅 {2}	${\displaystyle [18]R_{q2,-q2}}$[脚注]				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{q2}}$ [9] 2𝝅 {4}	${\displaystyle (0,0,0,1)}$				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{-q2}}$ [9] 2𝝅 {4}	${\displaystyle (0,0,0,-1)}$
	𝝅	180°	√4​	2		⁠𝝅/2⁠	90°	√2​	1.414~		⁠𝝅/2⁠	90°	√2​	1.414~
{24/12}=12{2} ${\displaystyle ^{q2,q1}}$ [12] 4𝝅 {2}	${\displaystyle [12]R_{q2,q1}}$[fp]				{24/12}=12{2} ${\displaystyle ^{q2}}$ [12] 2𝝅 {2}	${\displaystyle (0,0,0,1)}$				{24/12}=12{2} ${\displaystyle ^{q1}}$ [12] 2𝝅 {2}	${\displaystyle (1,0,0,0)}$
	⁠𝝅/2⁠	90°	√2​	1.414~		⁠𝝅/2⁠	90°	√2​	1.414~		⁠𝝅/2⁠	90°	√2​	1.414~
{24/1}={24} ${\displaystyle ^{q1,q1}}$ [0] 0𝝅 {1}	${\displaystyle [1]R_{q1,q1}}$[fq]				{24/12}=12{2} ${\displaystyle ^{q1}}$ [0] 2𝝅 {2}	${\displaystyle (1,0,0,0)}$				{24/12}=12{2} ${\displaystyle ^{q1}}$ [0] 2𝝅 {2}	${\displaystyle (1,0,0,0)}$
	0	0°	√0​	0		⁠𝝅/2⁠	90°	√2​	1.414~		⁠𝝅/2⁠	90°	√2​	1.414~
{24/12}=12{2} ${\displaystyle ^{q1,-q1}}$ [12] 2𝝅 {2}	${\displaystyle [1]R_{q1,-q1}}$[フランス語]				{24/12}=12{2} ${\displaystyle ^{q1}}$ [12] 2𝝅 {2}	${\displaystyle (1,0,0,0)}$				{24/12}=12{2} ${\displaystyle ^{-q1}}$ [12] 2𝝅 {2}	${\displaystyle (-1,0,0,0)}$
	𝝅	180°	√4​	2		⁠𝝅/2⁠	90°	√2​	1.414~		⁠𝝅/2⁠	90°	√2​	1.414~

回転クラスにおいて、各四元数群は、クリフォード平行平面^[ej]の自身のファイブレーションだけでなく、他の合同なファイブレーション^[r]も表すことができる。例えば、回転クラスは、 の4つの六角形平面を、120° 離れた4つの六角形平面に等傾斜回転させる。しかし、この種の剛体回転では、^[el]すべての [16] 六角形平面が合同な回転変位で移動するため、この回転クラスには、、およびも含まれる。この名前は、すべての [16] 合同な平面変位の慣例的な表現である。 ${\displaystyle [d]{R_{ql,qr}}}$ ${\displaystyle \pm {q_{n}}}$ ${\displaystyle [4]R_{q7,q8}}$ ${\displaystyle q7}$ ${\displaystyle q8}$ ${\displaystyle [4]R_{-q7,-q8}}$ ${\displaystyle [4]R_{q8,q7}}$ ${\displaystyle [4]R_{-q8,-q7}}$ ${\displaystyle [16]R_{q7,q8}}$

これらの回転クラスはすべて、[16] ではなく [32] の異なる回転変位を持つサブクラスです。これは、どの回転クラスでも、左回転と右回転と呼ばれる 2 つのキラルな方法を実行することができるためです。このクラスの [16] 左変位は [16] 右変位と合同ではなく、靴のように鏡像同形です。^[fs]各左（または右）等傾斜回転は [16] 左平面から [16] 右平面に移動しますが、左回転と右回転では左平面と右平面の対応が異なります。同じ左平面の左回転と右回転の変位は、異なる右平面に移動します。 ${\displaystyle [32]R_{q7,q8}}$

各回転クラス（表の行）は、それぞれ異なる左（および右）等斜回転を表します。左（または右）回転は、左平面を右平面へ同時に、特定の回転角^{[cb]で移動させます。 [au]}例えば、回転はすべての[16]六角形平面を一度に⁠ ${\displaystyle [32]R_{q7,q8}}$2𝝅/3⁠ = 120°ずつ回転します。この左（または右）等傾斜回転を6回繰り返すと、各平面が720°回転し、同じ方向で元の位置に戻ります。この回転は、左セットの4つの平面すべてと右セットの4つの平面すべてをそれぞれ1回ずつ通過します。^[ei]等傾斜列の図は、この左平面セットと右平面セットの結合を表しています。例では、4つのクリフォード平行斜め六角形のセットとして見ることができます。各六角形は、各大六角形平面に1つの辺を持ち、左（または右）等傾斜回転全体の各頂点で左（または右）に傾斜しています。^[cd] ${\displaystyle q7}$ ${\displaystyle q8}$ ${\displaystyle [32]R_{q7,q8}}$

視覚化

ペンシルベニア州立大学のオクタキューブ鋼彫刻

携帯電話の着信音

24セルは24個の八面体 セルで囲まれている。視覚化のために、八面体が対向する平行な面を持っていると都合がよい（これはテッセラクトや120セルのセルと共通の特徴である）。八面体を4番目の方向に直線状に曲げて向かい合わせて積み重ねると、円周が6セルの大円を形成できる。^{[78] [79]}セルの位置は超球面による記述に適している。任意のセルを1つ選び、それを「北極」と名付ける。8本の大円子午線（2セル分の長さ）が3次元に放射状に広がり、3番目の「南極」セルで収束する。このスケルトンは24セルのうち18個（2 + 8 × 2 ）を占める 。下の表を参照。

24セルには、上記の大円の双対となる、関連する別の大円があります。6つの頂点を辺に沿ってのみ通過する経路は、この多面体の双対に存在します。この多面体は自己双対であるため、それ自体も双対です。これらは、上で説明した六角形測地線です。^{[ai]この経路は、赤道直方}八面体の断面を描画することで簡単に辿ることができます。

北極から始めて、24セルを緯度方向に5層に分け、構築することができます。極を除き、各層はそれぞれ独立した2次元球面を表し、赤道は大2次元球面となります。^[an]下表で「赤道」とラベル付けされたセルは、子午線大圏セルの隙間にあります。隙間にある「赤道」セルは、子午線セルに面で接しています。セルは互いに接し、極セルにも頂点で接しています。この8つの非子午線および極セルのサブセットは、面ではなく頂点で接しているものの、テッセラクト（8セル）のセルと同じ相対位置にあります。

レイヤー番号	セルの数	説明	緯度	地域
1	1セル	北極	0°	北半球
2	8セル	経絡細胞の第一層	60°
3	6セル	非経線/間質	90°	赤道
4	8セル	経絡細胞の第2層	120°	南半球
5	1セル	南極	180°
合計	24セル

赤道の周囲に6つの八面体の4つのリングのうちの1つを示す、エッジセンター透視投影図法

24セルからなる大円環は、これらの6セルからなる大円環を4つ、セルが互いに素な集合に分割することができ、交差しない4つの連結環からなる離散的なホップファイブレーションを形成する。 ^[de] 1つの環は「垂直」で、極セルと4つの子午線セルを包含する。他の3つの環はそれぞれ、2つの赤道セルと4つの子午線セル（北半球から2つ、南半球から2つ）を包含する。^[80]

この六角形の大円軌道は、隣接するセル間の内角（二面角）が180 - 360/6 = 120度であることを示しています。これは、24セルを3つ平面上に隣接して積み重ねることで、前述のように24セルからなる4次元ハニカムを形成できることを示唆しています。

正八面体の対角頂点を通る、長さ4セルの大円経路を辿ることもできます。これらは、前述の4本の√2弦に沿った正方形の測地線です。この経路は、正八面体の断面における正方形を対角線状に横断する経路に相当します。24セルは、2次元以上の正多面体において、各セルの対角頂点（および内部）のみを通る大円を横断できる唯一の正多面体です。この大円は自己双対です。この経路については、8つの非子午線（赤道）セルと極セルの集合に関して既に触れました。

24セルは、それぞれが四次元立方体の構成を持つ8セルのサブセット3つに等分割できます。これらのサブセットはさらに、4セルの長さを持つ、交差しない2つの連結された大円鎖に等分割できます。これら3つのサブセットを合わせると、6環の離散ホップファイバが形成されます。

平行投影

24セルの投影エンベロープ。（各セルは異なる色の面で描画され、反転したセルは描画されません）

24セルを頂点優先で平行投影した3次元空間は、菱形十二面体の包絡面を持つ。24個の 八面体セルのうち12個は、菱形十二面体の中心で交わる6つの正方二錐に対比して投影される。残りの12個の八面体セルは、菱形十二面体の12個の菱形面に投影される。

24 個のセルを 3 次元空間にセル優先で平行投影すると、立方八面体の外殻が得られます。w軸に沿って観察者から最も近い 2 つの八面体セルと観察者から遠い 2 つの八面体セルは、立方八面体の正方形の面の中心に頂点がある八面体に投影されます。この中心の八面体の周囲には、16 個の他のセルの投影があり、各セルは中心の八面体の三角形の面と立方八面体の最も近い三角形の面の間にある 8 つの体積のいずれかに投影される 8 組のセルを持ちます。残りの 6 つのセルは、立方八面体の正方形の面に投影されます。これは、立方八面体を 1 つの正八面体と 8 つの不規則だが等しい八面体に分解することに対応しており、各八面体は、反対の 2 つの頂点が削除された立方体の凸包の形状になります。

エッジファースト平行投影は、細長い六角形の双錐体エンベロープを持ち、面ファースト平行投影は、不均一な六角形の双逆柱状エンベロープを持ちます。

透視投影

24個のセルを頂点優先の透視投影で3次元空間に投影すると、正六面体の外殻を持つ。この 図におけるセルの配置は、平行投影による図と類似している。

以下の一連の画像は、24セルを3次元にセルファースト透視投影した構造を示しています。4次元視点は、24セルの頂点中心半径の5倍の距離に配置されています。

セルファースト透視投影
この画像では、最も近いセルが赤で表示され、残りのセルはエッジアウトラインで示されています。わかりやすくするために、4D視点から見て反対側を向いているセルは除外されています。	この画像では、最も近いセルを囲む8つのセルのうち4つが緑色で表示されています。この視点では、4つ目のセルは中央のセルの後ろにあります（赤いセルが半透明になっているため、わずかに識別できます）。	最後に、最も近いセルを囲む 8 つのセルがすべて表示され、最後の 4 つはマゼンタでレンダリングされます。
これらの画像には、4Dの視点から見て反対側を向いている細胞は含まれていないことに注意してください。そのため、ここでは9つの細胞のみが表示されています。24個の細胞からなる領域の反対側には、同じ配置の別の9つの細胞があります。残りの6つの細胞は、24個の細胞からなる領域の「赤道」上にあり、2組の細胞を繋いでいます。

24細胞の断面アニメーション

イコシトラコリン（24 細胞）の立体 3D投影。

8セル（テッセラクト）+ 16セル= 24セルの等角投影

関連する多面体

3つのコクセター群の構成

24胞体には、16胞体を修正したものとして導かれる2つの低対称性形式があり、B _{4対称性（[3,3,4]対称性）は、8個と16個の}八面体胞で2色で描かれます。最後に、D ₄対称性（[3 ^1,1,1 ]対称性）から構成され、それぞれ8個の八面体で3色で描かれます。

D 4、 B 4、 F 4対称性で色分けされたセルを持つ24セルの3つのネット
整流された半石器	整流16セル	通常の24セル
D 4 , [3 1,1,1 ], 順序192	B 4、[3,3,4]、順序384	F 4 , [3,4,3], 順序1152
8つの整流四面体セルの3セット	16 個の整流四面体セルのセット 1 つと8 個の八面体セルのセット 1 つ。	24個の八面体セル1セット
頂点図 （各辺は1つの三角形の面に対応し、対称配置によって色分けされています）

関連する複雑な多角形

正複素多角形 ₄ {3} ₄、または24面体セルの24頂点と、48面体セルのうち24個の中心正方形に対応する24本の4辺を含む。対称性は₄ [3] ₄、次数96である^。[81]

正則複素多面体₃ {4} ₃、またはは、4次元空間における24セルとして実数表現されます。3 _{{4} 3}は24個の頂点と24本の3次元辺を持ちます。その対称性は₃ [4] ₃、次数72です。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

直交投影の関連図

名前	{3,4,3},	4 {3} 4、	3 {4} 3、
対称	[3,4,3],、命令1152	4 [3] 4 ,、注文番号96	3 [4] 3 ,、注文番号72
頂点	24	24	24
エッジ	96 2エッジ	24 4エッジ	24 3エッジ
画像	F4 コクセター平面には 24 個のセルがあり、12 個のリング 2 つに 24 個の頂点があり、96 個の辺があります。	4 {3} 4、24 個の頂点と 32 個の 4 辺があり、ここでは赤、緑、青、黄色の 8 個の正方形の 4 辺が示されています。	3 {4} 3または24 個の頂点と 24 個の 3 辺を持ちます。ここでは、8 個の赤、8 個の緑、8 個の青の正方形の 3 辺が示され、青の辺が塗りつぶされています。

関連する4次元多面体

24セルから切り捨てによっていくつかの均一な4次元多面体を導くことができる。

• 辺の長さの 1/3 で切り捨てると、切り捨てられた 24 セルが生成されます。
• 辺の長さの1/2で切り捨てると、整流された24セルが生成されます。
• 深さの半分でデュアル 24 セルに切り捨てると、セル推移的なビット切り捨て 24 セルが生成されます。

24セルの96辺を黄金比に分割することで、スナブ24セルの96頂点を生成できます。これは、まず24セルの辺に沿ってベクトルを配置し、各2次元面が閉路で囲まれるようにし、次に同様に各辺をそのベクトルの方向に沿って黄金比に分割することで実現されます。正八面体にも同様の変形を加えると、正20面体、または「スナブ正八面体」が生成されます。

24セルは、多角形でも単体でもない唯一の凸自己双対正ユークリッド多面体です。凸性の条件を緩和すると、さらに2つの図形、すなわち大120セルと大星型120セルが存在します。また、24セル自身と複合多面体、すなわち2つの24セルの複合多面体を形成できます。

関連する均一多面体

D 4均一な多孔体
{3,3 1,1 } h{4,3,3}	2r{3,3 1,1 } h 3 {4,3,3}	t{3,3 1,1 } h 2 {4,3,3}	2t{3,3 1,1 } h 2,3 {4,3,3}	r{3,31,1} {3 1,1,1 }={3,4,3}	rr{3,3 1,1 } r{3 1,1,1 }=r{3,4,3}	tr{3,3 1,1 } t{3 1,1,1 }=t{3,4,3}	sr{3,3 1,1 } s{3 1,1,1 }=s{3,4,3}

24細胞ファミリー多面体
名前	24セル	切り捨てられた24セル	スナブ24セル	整流24セル	24セルのカンテラ型	ビットランケート24セル	24細胞切断	ランシネートされた24細胞	ランシトランケート24セル	全切断型24細胞
シュレーフリ 記号	{3,4,3}	t 0,1 {3,4,3} t{3,4,3}	s{3,4,3}	t 1 {3,4,3} r{3,4,3}	t 0,2 {3,4,3} rr{3,4,3}	t 1,2 {3,4,3} 2t{3,4,3}	t 0,1,2 {3,4,3} tr{3,4,3}	t 0,3 {3,4,3}	t 0,1,3 {3,4,3}	t 0,1,2,3 {3,4,3}
コクセター 図
シュレーゲル 図
F4​
B4​
B 3 (a)
B 3 (b)
B2​

24 セルは整流された 16 セルとして導くこともできます。

B4対称多面体
名前	テッセラクト	修正四次元 方位	切断された四次元 方位磁石	カンテラテッド テッセラクト	ランシネー テッド・テッセラクト	ビットランケーテッド テッセラクト	切頂四次元 方位図	ランシトランケーテッド テッセラクト	全切形四次元 体
コクセター 図		＝				＝
シュレーフリ 記号	{4,3,3}	t 1 {4,3,3} r{4,3,3}	t 0,1 {4,3,3} t{4,3,3}	t 0,2 {4,3,3} rr{4,3,3}	t 0,3 {4,3,3}	t 1,2 {4,3,3} 2t{4,3,3}	t 0,1,2 {4,3,3} tr{4,3,3}	t 0,1,3 {4,3,3}	t 0,1,2,3 {4,3,3}
シュレーゲル 図
B4​
名前	16セル	整流 16セル	切り詰められた 16セル	16セルのカンテレーション	ランシネーテッド 16セル	ビットランケート 16セル	片側切断型 16細胞	ランシトランケーテッド 16セル	全切断型 16細胞
コクセター 図	＝	＝	＝	＝		＝	＝
シュレーフリ 記号	{3,3,4}	t 1 {3,3,4} r{3,3,4}	t 0,1 {3,3,4} t{3,3,4}	t 0,2 {3,3,4} rr{3,3,4}	t 0,3 {3,3,4}	t 1,2 {3,3,4} 2t{3,3,4}	t 0,1,2 {3,3,4} tr{3,3,4}	t 0,1,3 {3,3,4}	t 0,1,2,3 {3,3,4}
シュレーゲル 図
B4​

{3, p ,3} 多面体
空間	S 3		H3​
形状	有限		コンパクト	パラコンパクト	非コンパクト
{3, p ,3}	{3,3,3}	{3,4,3}	{3,5,3}	{3,6,3}	{3,7,3}	{3,8,3}	... {3,∞,3}
画像
細胞	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}
頂点 図形	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

参照

• オクタキューブ（彫刻）
• 一様4次元多面体 § F4族

注記

1. 24セルは、多角形でも単体でもない、わずか3つの自己双対正則ユークリッド多面体のうちの1つです。他の2つも4次元多面体ですが、凸多面体ではありません。それらは、大星型120セルと大120セルです。24セルは、自己双対正則凸多面体の中でほぼ唯一無二であり、面と辺が対向しない多面体は、24セルと偶数多角形だけです。
2. 24セルの長半径（中心から頂点まで）はその辺の長さに等しい。したがって、長直径（頂点から反対の頂点まで）は2辺の長さである。この特性を持つ均一多面体は、4次元の24セルと四次元立方体、3次元の立方八面体、2次元の六角形など、ごくわずかである。（立方八面体は24セルの赤道断面であり、六角形は立方八面体の赤道断面である。）放射状に正辺のある多面体とは、その長半径を持つ、多面体の中心で交わる正三角形から構成できる多面体であり、各正三角形は2つの半径と1辺を提供する。
3. シュレーフリ記号に5が含まれる最初の4次元の凸正多面体は、五角形{5}、二十面体{3, 5}、十二面体{5, 3}、600セル{3, 3, 5}、および120セル{5, 3, 3}である。5セル{3, 3, 3}も、ペトリー多角形が五角形であるという意味で五角形である。
4. 凸正多面体は、同じ半径に対する 4 次元コンテンツ (超体積) の尺度として、サイズで順序付けることができます。これがそれらの正しい列挙順序であり、それらが複合として互いに入れ子になる順序です。^[7]シーケンス内の各大きな多面体は、前のものよりも丸く、同じ半径内に多くのコンテンツを囲みます^[8]。4 単体 (5 セル) が最小のケースで、120 セルが最大です。複雑さ (配置マトリックスの比較または単に頂点の数によって測定) も同じ順序に従います。これは、24 セルが 24 点の 4 多面体である正多面体の代替の数値命名スキームを提供します。これは、5 点の 4 多面体から 600 点の 4 多面体までの昇順シーケンスの 4 番目です。
5. 両方とも放射状に正三角形でない限り、つまり、それらの辺の長さが半径と等しい（したがって両方とも保存される）場合を除き、辺の長さは常に異なります。放射状に正三角形の多面体^[b]はまれであるため、そのような構成（どの次元でも）は8セルから24セルまでに限られ、24セルは（どの次元でも）同じ半径を持つ前の多面体と同じ辺の長さを持つ唯一の正多面体となります。
6. 6つの正方形の辺は、半径√2の座標系のグリッド線に沿っています。例えば、
        (   0, −1,   1,   0)    (   0,   1,   1,   0)
        (   0, −1, −1, 0   )    (   0,   1, −1,   0)はxy
   平面 上の正方形です。正方形の辺は24セルの辺ではなく、互いに90^度離れた2つの頂点を結ぶ内弦です。つまり、正方形は24セルの4つの頂点の目に見えない配置に過ぎず、目に見える24セルの特徴ではありません。
7. 4 次元では、最大 6 つの平面が相互に直交できます。3 次元空間には、単一の点を通る 3 つの垂直軸と 3 つの垂直平面しかありません。4 次元空間では、1 つの点を通る 4 つの垂直軸と 6 つの垂直平面を持つことができます (正四面体の辺が 4 ではなく 6 つであるのと同じ理由)。つまり、4 次元を 2 次元ずつ取る方法は 6 通りあります。このような 3 つの垂直平面 (軸のペア) は、24 セルの各頂点で交わります (正四面体の各頂点で 3 つの辺が交わるのと同じ理由)。6 つの平面のそれぞれは、他の平面の 1 つとだけ完全に直交します。つまり、直線を共有しない唯一の平面です (正四面体の各辺が他の辺の 1 つとだけ直交するのと同じ理由)。つまり、点を共有しない唯一の平面です。四面体の 2 つの辺が垂直かつ向かい合っているのと同じように、完全に直交する 2 つの平面は互いに垂直かつ向かい合っています。
8. 4次元空間において、2つの平面が一点で交差する様子を視覚的に理解するために、ユークリッド空間 (w, x, y, z) を考えてみましょう。w次元は空間次元ではなく時間次元を表すと仮定します。xy中心平面 (w=0, z=0) は、wz中心平面 (x=0, y=0) と軸を共有しません。xy平面は時間 (w=0) の特定の瞬間にのみ存在しますが、wz平面 (特にw軸) は常に存在します。したがって、これらの平面が交差する唯一の瞬間と場所は原点 (0,0,0,0) です。
9. 4次元空間における2つの平面は、次の4つの相互の位置をとることができます: (1) 一致する(まったく同じ平面である)、(2) 平行である(まったく交差しない唯一の方法である)、(3) 3次元空間で2つの平行でない平面がそうであるように、1本の線で交差する、(4)完全に直交している場合は、1つの点^[h]で交差する。

10. 

    24 セルは、交差しない 6 つの大きな正方形の複合体です {24/6}=6{4}。

    24セル（合計[18]個の異なる大正方形）には、6個の互いに素な大正方形の3組があり、^[fb]、、およびで指定されます。6個のクリフォード平行正方形^[ad]の各名前付きセット^[fc]は、24頂点すべてをカバーする離散ファイブレーションを構成します。 ${\displaystyle \pm q1}$ ${\displaystyle \pm q2}$ ${\displaystyle \pm q3}$
11. 4次元ユークリッド幾何学では、四元数は単なる (w, x, y, z) 直交座標である。ハミルトンは四元数を発見したとき、これをそのようには考えていなかった。シュレーフリは4次元ユークリッド空間を検討した最初の人物であり、1852年に正則多元法の発見を発表したが、ハミルトンはその研究に影響を受けることはなく、20世紀に入っても無名のままだった。ハミルトンは、3次元空間で回転をモデル化するために、ある意味で4番目の次元が必要であることに気付いたときに四元数を発見した。^[39]彼は四元数を実数の4つの要素の順序付き倍数として説明したが、彼にとって四元数は複素数の拡張であり、4次元のユークリッド空間ではなかった。
12. 直交する大正方形の辺は、単位半径座標系のグリッド線と一致していません。6つの正方形はこの座標系の6つの直交平面上にありますが、その辺は座標格子の単位辺長の正方形の√2対角線です。例えば、                  ( 0,0,1,0 )      ( 0,-1,0,0 ) ( 0,1,0,0 ) (                  0,0 , -1,0 )はxy平面上の正方形です。8つの整数座標が6つの直交正方形の頂点を構成していることに注意してください。
            
                     
          
    
13. 等傾斜回転では、4 次元多面体上のどの点でも、4 次元対角線上で 4 つの直交方向に同時に等しい距離を移動します。点の移動距離の合計は、その距離の 2 乗の 4 乗根に等しいピタゴラス距離だけ移動します (4 次元の場合、直交距離はピタゴラス距離の合計の半分に等しくなります)。すべての頂点は、1 辺の長さ以上離れた頂点に移動されます。 ^[s]たとえば、単位半径の 24 セルが六角形不変平面で 60° 等傾斜回転し、完全に直交する不変平面で 60° 回転すると、^{[ax]各頂点は}√ 3 (120°) 離れた別の頂点に移動され、 4 つの直交方向に√ 3/4 ≈ 0.866 ( √ 3弦の長さの半分) 移動します。^[cf]
14. 24セルの各大六角形には、3つの内接する16セルそれぞれに属する1つの軸（1対の対蹠頂点）が含まれます。24セルには、互いに60°等傾斜^[m]回転した、互いに隣接しない3つの内接する16セルが含まれます（したがって、対応する頂点は120° = √ 3離れています）。16セルは、その8つの頂点が4つの直交軸を定義するため、4次元座標系の直交基底です。頂点を上に置く座標系（この記事で使用されている単位半径座標など）のいずれを選択した場合でも、3つの内接する16セルのいずれかが座標系の基底となり、各六角形には座標系の軸が1つだけあります。
15. 六角形は、単位半径座標系の直交面に対して60度傾いています。各六角形面には、4つの座標系軸のうち1つだけが含まれます。 ^[n]六角形は、3組の向かい合う頂点（24セルの直径3つ）で構成されます。1組の向かい合う整数座標頂点（4つの座標軸のうちの1つ）と、2組の向かい合う半整数座標頂点（座標軸ではない）です。例：(
                     0   ,   0,   1,   0)
         ( ⁠  1/2⁠、 − ⁠1/2⁠、 ⁠  1/2⁠、 − ⁠1/2⁠ )   ( ⁠  1/2⁠、 ⁠  1/2⁠、 ⁠  1/2⁠、 ⁠  1/2⁠ )
         (− ⁠1/2⁠、 − ⁠1/2⁠、 − ⁠1/2⁠、 − ⁠1/2⁠ )   (− ⁠1/2⁠、 ⁠  1/2⁠、 − ⁠1/2⁠、 ⁠  1/2⁠ )
                     (  0,  0, −1,  0)はy
    軸 上の六角形です。√2の正方形とは異なり、六角形は実際には24個のセルからなる辺で構成されているため、24個のセルの目に見える特徴です。
16. 24セルの立方体頂点図形^{[ag]の角から}8本の√1辺が湾曲した3次元空間に収束し、中心（頂点）で交わり、そこで4本の直線を形成します。立方体の8つの頂点は、24セルの他の最も近い8つの頂点です。これらの直線は測地線です。測地線は、一見直線に見える直線（24セルの曲面の3次元空間内）の2つの√1長さの線分であり、4次元空間では大円六角形（4次元空間内）に曲げられています。この湾曲した3次元空間の内側から想像すると、六角形の曲がりは見えません。外側から見ると（24セルを4次元空間で見ることができると仮定すると）、直線は立方体の中心で4次元方向に曲がっているように見えます。これは、中心が立方体の頂点によって定義される超平面から4次元方向に外側にずれているためです。したがって、頂点立方体は実際には立方錐です。立方体とは異なり、（テッセラクトや24セル自体のように）放射状に正三角形をしているように見えます。つまり、その「半径」は辺の長さに等しいのです。^[あ]
17. 3次元であっても、互いに60度で交差する4つの六角形平面を視覚化することは難しくありません。立方八面体では、4つの六角形の中心平面が60度で交差します。 24セルの16の六角形の中心平面のうち4つ（同じ3次元超平面にあります）は、立方八面体の中心とまったく同じように、24セルの各頂点で交差します。 しかし、頂点の周りの辺は、立方八面体の中心で半径が交わるようには交わりません。 24セルは各頂点の周りを12辺ではなく8辺で囲むため、その頂点の図は立方体であり、立方八面体ではありません。 8辺は、標準的な立方ピラミッドの頂点で8辺が交わるように正確に交わります。^[p]

18. 

    24 セルは、交差しない 4 つの大きな六角形の組み合わせです {24/4}=4{6}。

    24セル（合計[16]の異なる大六角形）には、4つの互いに交わらない大六角形の4セットがあり、、、およびと呼ばれます。[ ei ] ^{4つのクリフォード平行[ad]}六角形のそれぞれの名前付きセットは、24の頂点すべてをカバーする離散的なファイバで構成されています。 ${\displaystyle q7}$ ${\displaystyle -q7}$ ${\displaystyle q8}$ ${\displaystyle -q8}$
19. 等傾斜回転では、頂点はチェスのビショップのように斜めに移動します。等傾斜回転の頂点は、その方向に直角に二重回転しても、直交して最も近い隣接頂点に到達できません[ ^z]。その二重回転では、最も近い頂点の間を対角線状に回転し、それらの頂点を逃し、より半径の大きい頂点シェル内のさらに遠い頂点に移動するためです^[ab]。これは、ビショップがチェス盤の白または黒のマス目に制限され、隣接するマス目であっても反対色のマス目には到達できないのと同じです。^[cm]斜めに移動する物体は、各移動ステップで 1 単位の距離以上移動します (チェス盤では√ 2、24セルでは√ 3 )。ただし、移動先の半分を逃すことになります。 ^[bz]しかし、剛体の等傾斜回転ではすべての頂点が同時に回転するため、どの目的地にもいずれかの頂点が到達します。さらに、六角形不変平面には、各頂点を隣接する（最も近い）頂点に移動させる別の等傾斜回転があります。24 セルは、2 つの完全に直交する不変平面（そのうちの 1 つは六角形）で 30° 等傾斜回転することで、各頂点を 60° 離れた頂点（最も近い頂点）に移動できます。これは、最も近い頂点に向かって直接（その方向に対しても直交する）二重回転ではなく、より遠い頂点に向かって直接（その方向に対しても直交する）二重回転によって行われます。この螺旋状の 30° 等傾斜回転では、単純な 60° 回転とは異なる経路で、頂点を最も近い隣接頂点まで 60° 移動させます。螺旋等傾斜線に沿った経路と単純大円に沿った経路は、弧の長さが60°で同じですが、端点である2つの頂点を除いて、互いに交わらない点の集合で構成されています。どちらも測地線（最短の弧）ですが、2種類の測地線上に存在します。1つは二重曲線（4次元全体にわたる）で、もう1つは単純曲線（2次元平面上に存在する）です。
20. それらは互いに60°等傾斜回転しています。2つの8セルの対応する頂点は√3（120°）離れています。各8セルには8つの立方体セルが含まれ、各立方体には4本の√3弦（長径）が含まれます。8セルは完全に分離しているわけではなく（頂点を共有しています）^[w] 、各√3弦は1つの8セルにのみ立方体の長径として現れます。2つの8セルの対応する頂点を結ぶ√3弦は、 3つ目の8セルの立方体の直径として存在します。^[ab]
21. これらの三角形の長さ√3の辺は、 24セル内にある単位辺長の立方体セルの対角線[ ^{s]ですが、それらの立方体（テッセラクト） [t]}セルは単位半径座標格子のセルではありません。
22. これらの三角形は、六角形を含む同じ平面上にあります。^{[o]各六角形には、辺の長さが}√3の2つの三角形が内接しています。例えば、単位半径座標では、
                     (   0,   0,   1,   0)
         ( ⁠  1/2⁠、 − ⁠1/2⁠、 ⁠  1/2⁠、 − ⁠1/2⁠ )   ( ⁠  1/2⁠、 ⁠  1/2⁠、 ⁠  1/2⁠、 ⁠  1/2⁠ )
         (− ⁠1/2⁠、 − ⁠1/2⁠、 − ⁠1/2⁠、 − ⁠1/2⁠ )   (− ⁠1/2⁠、 ⁠  1/2⁠、 − ⁠1/2⁠、 ⁠  1/2⁠ )
                     (  0,  0, −1,  0 )は、 y
    軸 上の2つの対向する中心三角形で、各三角形は交互の列の頂点によって形成されます。六角形とは異なり、 √3三角形は実際の24セルの辺で構成されていないため、√2正方形と同様に、24セルの目に見えない特徴です。
23. 多面体は、そのすべての要素集合が互いに素である場合、完全に素である。つまり、頂点、辺、面、セルを共有しない。ただし、空間的に重なり合う場合、4次元の内容、体積、面積、または線分を共有する。
24. 4次元空間では、1点を通る4本の垂直軸と6本の垂直平面を作成できます。一般性を失うことなく、これらを(w、x、y、z)直交座標系の軸と直交中心平面と見なすことができます。4次元には、3次元と同じ3つの直交平面(xy、xz、yz)があり、さらに他に3つの直交平面(wx、wy、wz)があります。6つの直交平面のそれぞれは、他の4つの平面と軸を共有し、他の平面のうち1つとのみ完全に直交します。つまり、軸を共有しない唯一の平面とのみ直交します。したがって、完全に直交する平面が3組あります。xyとwzは原点のみで交差します。xzとwyは原点のみで交差します。yzとwxは原点のみで交差します。
25. 24セルの18の大正方形は、6つの直交する大正方形の3セットとして現れ、^[x]それぞれが16セルを形成します。3つの16セルは完全に分離しており（クリフォード平行です）、それぞれが8つの頂点（4つの直交軸上）と24の辺（長さ√2 ）を持ちます。18の正方形の大円は16の六角形の大円と交差しており、各六角形は各16セルに1つの軸（2つの頂点）を持ちます。^[o]各大六角形に内接する2つの大三角形（交互の頂点を占め、辺が√3の弦である）は、各16セルに1つの頂点を持ちます。したがって、各大三角形は3つの完全に分離した16セルを結ぶリングです。 16セルの8頂点が√3間隔の三角形となることで対応する方法は4通り（24セルの4つの異なるファイブレーション）あります。つまり、32個の異なる連結三角形が存在します。16セルの各ペアは、四次元方陣（8セル）を形成します。各大三角形は、各四次元方陣に1辺√3の辺を持つため、3つの四次元方陣を結ぶ環でもあります。
26. 24セルの境界面の湾曲した3次元空間において、8つの最も近い隣接頂点は、立方体の8つの角が中心を囲むのと同じように、頂点を囲みます。（ 24セルの頂点図形は立方体です。）
27. 八面体の 6 つの角が中心を囲むのと同じように、6 つの 2 番目に近い隣接頂点が湾曲した 3 次元空間で頂点を囲みます。
28. 24セルの立方体の頂点図形^[ag]の角から8本の√3弦が収束し、中心（頂点）で交わり、そこで4本の直線を形成します。8本の√3弦はそれぞれ、この立方体の中心から、対角線上に隣接する（頂点結合した）立方体の中心^[s]まで伸びています。この立方体は24セルの別の頂点で、√1頂点からなる最初の殻を囲む√3頂点からなる2番目の殻を囲む√3頂点からなる3番目の同心円状の殻から120 °離れた位置にあります。
29. したがって、( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) は、24セルの頂点弦の長さであると同時に、テッセラクト全体の頂点弦の長さでもある。また、これらは24セルの直径ではないものの、テッセラクト全体の直径（短辺から長辺への）でもある。

30. 

    ねじれた環状部によって張られた3次元球面上の2つのクリフォード平行 大円。これらは4次元ユークリッド空間に共通の中心点を持ち、完全に直交する回転平面上に存在する可能性がある。

    クリフォード平行線は、交差しない曲線で、各点でそれらの間の垂直（最短）距離が同じという意味で平行である。^[15]二重らせんは通常の 3 次元ユークリッド空間におけるクリフォード平行線の例である。 4 次元空間では、クリフォード平行線は3 次元球面上の測地線大円として現れる。^[16] 3 次元空間では、2 次元球面上の任意の 2 つの測地線大円は必ず 2 つの対蹠点で交差するが、4 次元空間ではすべての大円が交差するわけではなく、3 次元球面上にはクリフォード平行線で交差しない測地線大円のさまざまなセットが見つかる。 おそらく最も単純な例は、3 次元球面上に 6 つの互いに直交する大円を、完全に直交する大円の 3 組として描くことができるということである。^[x]完全に直交する各組はクリフォード平行である。 2 つの円は、3 次元球面の中心という 1 点のみで交差する平面上にあるため、まったく交差できません。^[am] 2 つの円は垂直で共通の中心を共有しているため、^[an] 2 つの円は、3 次元の平行円の通常の状態のように平行で分離しているのではなく、むしろチェーン内の隣接するリンクのように接続され、どの点でも交差することなく、ホップリンクを形成しています。
31. 測地線大円は、多面体の中心を通る2次元平面上にあります。4次元では、この中心平面は3次元のように多面体を等しい大きさの2つの部分に二分しないことに注意してください。これは、直径（中心線）が円を二分するが球面を二分しないのと同じです。もう一つの違いは、4次元では3次元のようにすべての大円のペアが2点で交差するわけではないことです。交差するペアもありますが、交差しないクリフォード平行線となる大円のペアもあります。^[広告]
32. 任意の 2 つの頂点間のピタゴラス距離が√ 1の場合、それらの測地線距離は 1 です。これらの頂点は、隣接する 2 つの頂点 (曲がった 3 次元空間内) または頂点と中心 (4 次元空間内) である可能性があります。ピタゴラス距離が√ 2の場合、測地線距離は 2 です (3 次元空間経由か 4 次元空間経由かに関係なく、辺に沿った経路は、中心を通る経路と同じ 90^{度屈曲のある直線であるため)。ピタゴラス距離が}√ 3の場合、測地線距離は 2 のままです (六角形の大円上で 60^度屈曲を 1 回超えた位置でも、中心を通り60^度屈曲を 1 回含む直線でも)。最後に、ピタゴラス距離が√4の場合、測地線距離は4次元空間では依然として2（中心を一直線）ですが、3次元空間では3（六角形の大円を半周）に達します。
33. 頂点図形とは、頂点を切り落とすことによって作られる面のことである。典型的には、頂点に接する辺の中央で切り落とす。しかし、辺の任意の点で切り落とすことで、半径の異なる同様の頂点図形を作ることができる。隣接する頂点を切り落とすことで、完全な頂点図形を作ることも可能である。スティルウェルは頂点図形を「与えられた頂点の隣接する頂点の凸包」と定義している。^[14]ここでの例示はまさにこの定義に基づいている。
34. 立方体は 3 次元ユークリッド空間では放射状に正三角形ではありませんが、立方体ピラミッドは、24 セルの表面である 3 次元球面の曲がった 3 次元空間では放射状に正三角形です。 4 次元空間では、頂点から放射状に伸びる 8 つの辺は実際には半径ではありません。つまり、立方体ピラミッドの頂点は実際には中心ではなく、頂点の 1 つにすぎません。しかし、曲がった 3 次元空間では、頂点から対称的に放射状に伸びる辺は半径であるため、立方体はその曲がった 3 次元空間では放射状に正三角形です。 4 次元ユークリッド空間では、中心点から対称的に放射状に伸びる 24 の辺が放射状に正三角形の 24 セルを構成し、^[b]これらの辺の対称的な 16 個のサブセットが放射状に正三角形の 4 次元方眼を構成します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$
35. 24セルには、6つの頂点（大六角形）を通る4つの交差しないクリフォード平行大円の組が4つあり^、各組には各頂点を通る大六角形が1つだけあり、各組の4つの六角形は24の頂点すべてに達します。[ ^r]各組は、交差しない連結された大円の離散ホップファイブレーションを構成します。24セルは、6つの頂点（ヘキサグラム）の4つの互いに素な部分集合に（8通りの方法で）分割することもできます。これらの部分集合は六角形の中心平面上にはなく、各斜めのヘキサグラムは等傾斜測地線または等傾斜線を形成します。等傾斜線とは、特定の左または右の等傾斜回転において、これらの6つの頂点が通過する回転円です。これら4つのクリフォード平行等傾斜線のそれぞれのセットは、六角形大円の4つの個別のホップファイバの1つに属します。^[dd]
36. 24セルの立方体頂点図形^[ag]の面心から6本の√2弦が3次元空間に収束し、中心（頂点）で交わり、そこで3本の直線を形成します。立方体の8つの頂点は、24セルの他の最も近い8つの頂点であり、そこから8本の√1辺が収束しますが、中心で7本の直線が交差すると一度に視覚化するのが困難になるため、今はこれらを無視します。 6本の√2弦はそれぞれ、この立方体の中心（頂点）から面心を通って、隣接する（面結合した）立方体の中心まで伸びています。この立方体は24セルの別の頂点です。この中心は、最も近い頂点（立方体の角）ではなく、√1から離れた8つの頂点からなる最初のシェルを囲む、√2から離れた6つの頂点からなる2番目の同心シェル内で90°離れた位置にあります。√2弦が通る面心は√2弦の中点であるため、24セル内にあります。
37. 24セルは、（任意の六角形大円平面では）6つの頂点で切断することも、（任意の正方形大円平面では）4つの頂点で切断することもできます。これは、立方八面体（24セルの中心超平面）で確認でき、そこには4つの六角形大円（辺に沿って）と6つの正方形大円（正方形の面を対角線方向に横切る）があります。
38. 16セルでは、6つの直交する大正方形が3組の完全に直交する大円を形成し、各組はクリフォード平行です。24セルでは、3つの内接する16セルが互いに60度等傾斜^[m]で回転しており、その結果、対応する頂点は六角形の大円上で120度離れています。90度離れた頂点同士をペアにすると、クリフォード平行な対応する正方形大円が現れます。18個の正方形大円のそれぞれは、同じ16セル内の他の1つの正方形大円（完全に直交する大円）とクリフォード平行であるだけでなく、他の2つの16セルのそれぞれにある2つの正方形大円（互いに完全に直交している）ともクリフォード平行です。 (完全に直交する大円はクリフォード平行ですが、すべてのクリフォード平行が直交するわけではありません。^[am] ) 六角形不変平面の 24 セルを 60 度等傾斜回転させると、各正方形大円は、異なる 16 セル内のクリフォード平行 (ただし非直交) 正方形大円になります。
39. 各正方形平面は他の 5 つの正方形平面と等斜線 (クリフォード平行) ですが、完全に直交するのはそのうちの 1 つの平面のみです。^[al]完全に直交する平面のすべてのペアにはクリフォード平行大円がありますが、すべてのクリフォード平行大円が直交しているわけではありません (たとえば、24 セル内の六角形測地線はどれも互いに直交していません)。
40. 4 次元空間では、2 つの大円が垂直になり、共通の中心を共有できます。この中心は、それらの唯一の交点です。これは、3 次元球面上に2 つ以上の大球面があるためです。大円(1 次元球面)に次元的に類似した構造は2 次元球面です^[17]。これは、大円が 2 次元球面を分割するのと同じように、3 次元球面を 2 つの等しい半分に分割する赤道境界を構成する通常の球です。2 つのクリフォード平行大円^{[ad]は同じ 3 次元球面を占めますが、異なる 2 次元球面上にあります。2 次元大球面はクリフォード平行な 3 次元オブジェクトであり、4 次元で固定距離}dだけ互いにずれています。それらの対応する点 (2 つの表面上) はd離れています。2 次元球面 (つまり表面) は、4 次元空間に共通の中心点がありますが、まったく交差しません。対応する 1 組の点の間の変位d は、2 つの球面の両方と交差する大円の弦であるため、d は線形弦距離、または角度距離として同等に表すことができます。
41. 24 セルには、それぞれ 4 つの頂点 (大正方形) を通過する 6 つの交差しないクリフォード平行大円の 3 セットがあり、各セットで各頂点を通過する大正方形は 1 つだけであり、各セットの 6 つの正方形は 24 の頂点すべてに到達します。^[j]各セットは、6 つの交差しない連結された大正方形の離散ホップファイバを構成します。これは、2 つの大正方形の 3 つの内接する 16 セルの離散ホップファイバの単純な合成です。 24 セルは、正方形の中心平面上にはないが、16 セルを構成し、等傾斜測地線または等傾斜を形成する斜めのオクタグラム 3 上に位置する 8 つの頂点 (オクタグラム) の 3 つの互いに素なサブセットに (6 つの異なる方法で) 分割することもできます。等傾斜測地線または等傾斜とは、16 セル内の位置が回転するときに、8 つの頂点が特定の左または右の等傾斜回転で横断する回転円です。
42. 1・96 + 2・72 + 3・96 + 4・12 を足すと 576 になります。
43. 単位半径の正凸n多面体のすべての異なる弦の長さの二乗の和は、頂点の数の二乗である。^[18]
44. 等傾斜回転による点は、単一の等傾斜測地線の対角線^{[m]直線を横切り、連続する 2 つの}単純測地線の折れ線ではなく、直接目的地に到達します。^[ca]測地線は、空間を通る最短経路です(直感的には、2 点間で張られた紐)。単純測地線は、中心平面にある大円です (2 次元球面上の 3 次元空間に発生する唯一の種類の測地線)。等傾斜測地線は異なります。単一平面にあるわけではなく、単純な 2 次元の円ではなく、4 次元の螺旋です。 [ by ^{]ただし、3 次元の}ねじ山とは異なります。なぜなら、任意の円のように閉じたループを形成するためです。^[cu]等斜線測地線は4 次元の大円であり、2 次元の円と同じように円形です。実際には、2 つの直交する大円を同時に描いているため、円形度は 2 倍です。^[cv]これらは真の円であり、^[bz]通常の 2 次元の大円のようにファイブレーションを形成することさえあります。 ^{[ai] [ao]}これらの等斜線は、4 次元空間に埋め込まれた 1 次元の測地線です。3 次元球面^[cw]上では、常に、等斜回転で頂点が通過する測地線の経路であるクリフォード トーラス上のヴィラルソー円として対になって発生します^[cy]。これらは、 4 次元でメビウスの輪に曲げられた螺旋であり、 4 次元多面体の斜めクリフォード多角形の隣接していない頂点^{[s]を通って 3 次元球面の周りを}斜めに曲がります。^[cj]
45. 平行な√ 1辺の各ペアは、平行な√ 3弦のペアと結合して48 個の長方形 (中央の 16 個の六角形に内接) の 1 つを形成し、平行な√ 2弦の各ペアは別の平行な√ 2弦のペアと結合して18 個の中央の正方形の 1 つを形成します。
46. n次元超平面を視覚化する 1 つの方法は、 n + 1個の点で定義できるn空間として定義することです。点は、1 個の点によって定義される 0 空間です。直線は、一致しない 2 個の点によって定義される 1 空間です。平面は、共線的でない 3 個の点 (任意の三角形) によって定義される 2 空間です。4 空間では、3 次元超平面は、共平面的でない 4 個の点 (任意の四面体) によって定義される 3 空間です。5 空間では、4 次元超平面は、共細胞 (任意の 5 細胞) ではない 5 個の点によって定義される 4 空間です。これらの単体図は、超平面を 2 つの部分 (図の内側と外側) に分割しますが、さらに、囲む空間を 2 つの部分 (超平面の上と下) に分割します。 n点は有限の単体図形を（外側から）囲み、無限の超平面を（内側から）定義します。 ^{[37]これらの 2 つの分割は直交するため、定義する単体は空間}を6 つの領域に分割します。単体の内側かつ超平面内にある領域、単体の内側だが超平面の上または下にある領域、単体の外側だが超平面内にある領域、単体の外側で超平面の上または下にある領域です。
47. 4 次元空間で 2 つの平面の相対的な位置を決定するには、2 つの角度が必要です。^[19]同じ超平面^[at]にあるすべての平面は、2 つの角度のうちのいずれかで 0 度離れているため、3 次元空間では 1 つの角度のみが必要です。異なる超平面にある大六角形は、両方の角度で 60 度離れています。異なる超平面にある大正方形は、両方の角度で 90 度離れている (完全に直交) か、両方の角度で 60 度離れています。^[al] 2 つの等しい角度で隔てられた平面は等傾斜と呼ばれます。等傾斜の平面には、クリフォード平行な大円があります。^[ad]異なる超平面にある大正方形と大六角形は等傾斜である可能性がありますが、多くの場合、90 度の角度と60 度の角度で隔てられています。
48. クリフォード平行多角形の各ペアは、2つの異なる超平面（立方八面体）に存在します。4つのクリフォード平行六角形は、4つの異なる立方八面体にあります。
49. 交差する2つの大正方形または大六角形は、互いに向かい合う2つの頂点を共有しますが、クリフォード平行大円上の正方形または六角形は、互いに向かい合う頂点を共有しません。交差する2つの大三角形は、向かい合う頂点がないため、互いに向かい合う頂点を1つだけ共有します。
50. 24 セルでは、各大正方形平面は別の大正方形平面と完全に直交し、各大六角形平面は 2 つの対蹠頂点のみと交差する平面、つまり大二角形平面と完全に直交します。
51. 内部特徴は多面体の要素とはみなされません。例えば、24セルの中心は（長半径と同様に）注目すべき特徴ですが、これらの内部特徴は、多面体自体を含む他のどの特徴に対しても内部ではない基本特徴のみを数える配置行列の要素としてはカウントされません。この記事のほとんどの図やイラストでは、内部特徴は描画されません（通常は見えないため）。内部特徴を示すイラストでは、基本辺と区別するために、内部辺は常に破線で描画します。
52. 600セルは24セルよりも大きく、内部特徴として24セルを含みます。^{[20]正5セルは}120セルを除くどの凸正4多面体の内部にも見つかりませんが、^[21]すべての凸4多面体は不規則5セルに分解できます。

53. 

    立方体から菱形十二面体を構築する。

    このアニメーションは、立方体の中心から面までのピラミッドを反転させることで、立方体から菱形十二面体を構築する様子を示しています。ゴセットが四次元立方体から24セルを構築する方法は、このプロセスの4次元版であり、8セル（四次元立方体）の中心から面までのピラミッドを反転させるものです。^[23]
54. 0 次元の切断器具 (ナイフの先端やジッパーの先端など) を使用して多角形の頂点を 1 次元の線に沿ってスイープすることで切り取り、新しい辺を露出させることができます。1 次元の切断エッジ (ナイフなど) を使用して多面体の頂点を 2 次元の面平面に沿ってスイープすることで切り取り、新しい面を露出させることができます。2 次元の切断面 (除雪車など) を使用してポリクロロン (4 次元多面体) の頂点を 3 次元のセル ボリュームに沿ってスイープすることで切り取り、新しいセルを露出させることができます。多角形の新しい辺の長さまたは多面体の新しい面の領域内では、新しいセル ボリューム内のすべての点がポリクロロンの表面に露出していることに注意してください。
55. 各セル面は、その特徴的な頂点弦の辺において、完全に直交または平行ではない同種の他の面と交差する。直角に面するセル（立方体など）の隣接する面は、完全に直交していないため、辺で交差する。^[i]境界3次元空間における二面角は90度であるが、それらは同じ超平面^[at]に位置する（4次元空間では垂直ではなく一致している）。したがって、それらは、あらゆる3次元空間における非平行面と同様に、直線で交差する。
56. 24 セルのちょうど 6 つの頂点を通る平面 (中心の頂点は含まない) は、16 個の六角形の大円のみです。ちょうど 5 つの頂点を通る平面はありません。ちょうど 4 つの頂点を通る平面には、18 個の√ 2正方形大円、72 個の√ 1正方形 (テッセラクト) 面、144 個の√ 1 × √ 2長方形など、いくつかの種類があります。ちょうど 3 つの頂点を通る平面は、96 個の√ 2正三角形 (16 セル) 面と96 個の√ 1正三角形 (24 セル) 面です。ちょうど 2 つの頂点を通る中心平面 (大円二角形)は無数にあります。そのうち 16 個は、それぞれが 16 個の六角形の大円のいずれかに完全に直交するため区別されます。この記事で説明されている投影と回転アニメーションでは、 24セル√1のエッジで構成されたポリゴンのみが表示されています。その他のポリゴンには、目に見えない内部弦が含まれています。^[ay]
57. 24セルの立方体頂点図形^[ag]は、四面体頂点図形に切り詰められています（ケプラーの図を参照）。立方体の頂点図形は消滅し、以前は8つあった頂点図形の角は4つだけになりました。四面体の頂点から4本の四辺形辺が収束し、中心で交わりますが、四面体には対向する頂点がないため、交差しません。
58. 二つの四次元方陣は頂点のみを共有し、辺、面、立方体（内接する四面体を含む）、八面体（中心の正方形面が立方体の正方形面である）は共有しません。八面体が頂点で別の八面体に接し（ただし、辺や面は接しません）、別の四次元方陣の八面体、その八面体が張る正方形面を持つ別の四次元方陣の隣接する立方体のペア、そしてそれぞれの立方体に内接する四面体にも接します。
59. を簡単に述べると、√2半径4次元多面体の共通核は単位半径24次元セルである。24次元セルとその内接する8次元セルおよび16次元セルの共通核は、単位半径24次元セルの内接球面を持つ双対24次元セル（辺長√1/2、半径√1 /2）である。^[27] 3つの16次元セルのいずれかを平行移動すると、このより小さな24次元セルが現れ、その4次元セルの含有量はわずか1/2（単位半径24次元セルの1/4）である。その頂点は24次元セルの八面体セルの中心に位置し、八面体セルは四次元多面体の正方形面の中心であり、また16次元セルの辺の中心でもある。^[28]
60. 24セルの立方体頂点図形^[ag]は、八面体頂点図形に切り詰められました。頂点立方体は消滅し、頂点図形の角は以前は8つでしたが、現在は6つしかありません。以前は立方体の面心から収束していた6本の√2弦は、今では八面体の頂点から収束しています。しかし、以前と同様に、それらは3本の直線が直交する中心で交わります。八面体の頂点は、消滅した立方体の外側に90°離れた、新たに最も近い頂点に位置しています。切り詰められる前は、それらは周囲の頂点の2番目の殻内の24セル頂点でした。
61. 24 セル内の72 本の√ 2弦のそれぞれは、2 つの異なる立方体セル (異なる 8 セル) の面対角線と、4 つの四面体セル (1 つの 16 セル) の辺です。
62. オルソスキームとは、直角三角形の面を持つ不規則な単体であり、ある多面体を自身の面（鏡面壁）における自身の反射で正確に埋め尽くす場合、その多面体の特性を持つ。すべての正多面体は、その中心を囲む特性オルソスキームのインスタンスに放射状に分割できる。特性オルソスキームは、生成点環を持たない正多面体と同じコクセター・ディンキン図で表される形状を持つ。
63. 24 セルの 24 頂点はそれぞれ 2 回使用され、3 つの 16 頂点四次元体の頂点になります。
64. 24セルの24頂点はそれぞれ1回使用され、3つの8頂点16セルの頂点です。^[n]
65. この記事のどの描画にも16セルの辺は示されていません。もし内部の辺を示したい場合は、破線で描くことができます。内接四次元体の辺は常に表示されます。これは、24セルの辺でもあるためです。
66. 単位辺長の四次元方陣の4次元的内容は（定義により）1である。単位辺長24セルの内容は2であるため、その内容の半分は各四次元方陣の内部にあり、残りの半分はそれらの包絡線の間にある。各16セル（辺長√2 ）は2/3の内容を取り囲み、包絡線の間にはそれを囲む四次元方陣の1/3が残る。
67. 24セルのエンベロープと8セルのエンベロープの間には、ゴセットの作図における8つの立方体ピラミッドがあります。8セルのエンベロープと16セルのエンベロープの間には、16個の正四面体ピラミッドがあり、その頂点はテッセラクト（四次元方陣）の角を埋めています。
68. 3つの垂直な√2長径を考えてみましょう。 [ 32 ^]それぞれが異なる16セルの辺です。そのうち2つは、2つの立方体の間の正方形面の面対角線です。それぞれが√2弦であり、正方形面を挟んで8セル立方体の2つの頂点を結び、立方体に内接する2つの16セル四面体の2つの頂点を結び、3つの直交する正方形中央セクションのうち2つを対角線で囲む24セル八面体の2つの反対の頂点を結びます。^[bi]八面体の3つ目の垂直な長径も全く同じことをします（対称性により）。つまり、これも2つの立方体の2つの頂点を共通の正方形面を挟んで結びます。ただし、これは24セル内の他の四次元立方体のいずれかから得られた、異なる立方体のペアです。^[bf]
69. 24 セルには 3 つの重なり合う四次元方陣が内接しているため、^[t]各八面体セルは、1 つの四次元方陣の立方体セル (立方体に基づく立方体ピラミッド内、ただし立方体の体積内ではない) と、他の 2 つの四次元方陣のそれぞれの 2 つの立方体セル (その四次元方陣がまたがり、体積を共有する立方体セル)に位置します。 ^[bp]
70. これは一見角度的に不可能に思えるかもしれませんし、実際、3次元の平坦な空間では不可能でしょう。通常の3次元空間（通常の3次元部屋のテーブルの表面など）に2つの立方体が向かい合って置かれている場合、正八面体はその6つの頂点のうち4つが2つの立方体の間の正方形の面の4つの角に位置するようにそれらの中に収まります。しかし、他の2つの正八面体頂点は立方体の角には位置しません（2つの立方体の体積内に収まりますが、立方体の頂点には位置しません）。4次元でも、これは同様に当てはまります。他の2つの正八面体頂点は、同じ四次元方陣内の隣接する面結合立方体の角には位置しません。ただし、24セルには、内接する四次元方陣（8つの立方体）が1つだけではなく、重なり合う四次元方陣（それぞれ8つの立方体）が3つあります。他の2つの八面体頂点は立方体の角に位置しますが、それは別の（重なり合う）四次元立方体にあります。[ ^bq]
71. 半径はハニカムの辺ではないため、24セルの内部構造（破線）としてのみ視覚化することが重要です。同様に、24セルの中心は空であり、ハニカムの頂点ではありません。
72. 24セルやテッセラクトとは異なり、16セルは放射状に正三角形ではありません。そのため、単位辺長ハニカムには、2つの異なるサイズ（単位辺長と単位半径）の16セルが存在します。各24セルの中心で交わる24個の16セルは、単位辺長と単位半径を持ちます。√2​/2⁠ . 各24セルに内接する3つの16セルは、辺の長さが√2で、半径が単位です。
73. 3次元の回転は軸線の周りで発生します。4次元の回転は平面の周りで発生する可能性があります。そのため、3次元では、平面を共通線の周りに折りたたむことができます（6つの正方形の平らな網を立方体に折りたたむ場合など）。また、4次元では、セルを共通面の周りに折りたたむことができます（ 8つの立方体の平らな網を四次元立方体に折りたたむ場合など）。正方形の面の周りを折りたたむということは、同時に2つの直交する辺の周りを折りたたむということです。3次元ではこれを行うのに十分なスペースがありません。これは、2次元では線の周りを折りたたむのに十分なスペースがないのと同じです（点の周りを折りたたむには十分なスペースしかありません）。
74. 次元類推には (少なくとも) 2 種類あります。1 つは次元nと次元n + 1の間にある通常の類推で、もう 1 つは次元nと次元n + 2の間にあるはるかに稀でわかりにくい類推です。後者の例としては、4 次元空間での回転は 2 次元空間での回転と同様に、単一の点の周りで発生することがあります。もう 1 つは、n +2 次元に埋め込まれた球の表面積がn次元に埋め込まれた球によって囲まれた体積のちょうど 2 π r倍であるというn球面規則です。最もよく知られている例としては、円周が 2 π r倍 1 であり、通常の球の表面積が 2 π r倍 2 rであることです。Coxeter は^[46]これを次元類推が方法として失敗する例として挙げていますが、実際には 1 次元類推と 2 次元類推のどちらが適切な方法であるかを認識できないことが原因です。
75. 4次元ユークリッド空間での回転は、隣接するセルが交差面の周囲に折り畳まれる場合のように、平面の周囲で発生することがあります（隣接する面が交差線の周囲に折り畳まれる方法と類似しています）。^{[bu]しかし、4次元では、}二重回転と呼ばれる別の方法で回転が発生する可能性があります。二重回転は4次元で発生する現象であり、3次元には類似点がありません。正方形の面を折り畳むことと立方体のセルを折り畳むことは、どちらも単純回転の例であり、4次元未満で発生する唯一の種類です。3次元回転では、回転中に線上の点は固定されたままですが、他のすべての点は移動します。4次元の単純回転では、回転中に平面上の点は固定されたままですが、他のすべての点は移動します。4次元の二重回転では、回転中に1つの点が固定され、他のすべての点が移動します（2次元回転と同様に！）。^[bv]
76. クリフォード変位(等斜回転とも呼ばれる)では、すべてのクリフォード平行^[ad]不変平面が 4 つの直交方向に同時に変位します。つまり、これらの平面は同じ角度で回転し、同時に完全に直交する回転で同じ角度で横に傾きます。 ^[bz]クリフォード変位は4 次元的に対角です。^[m]完全に直交する平面のいずれかにクリフォード平行なすべての平面 (この場合は 4 つの六角形のクリフォード平行束全体を含みますが、16 個の六角形すべてではありません) は、等斜回転では不変です。つまり、平面内のすべての点は円を描いて回転しますが、平面全体が横に傾いても平面内に残ります。^[cb] 16 個の六角形はすべて同じ角度で回転します (ただし、不変に回転するのは 4 個だけです)。 16個の六角形はすべて60度回転し、さらに120度離れたクリフォード平行六角形まで横方向に60度ずらします。他の中心多角形（例えば正方形）もすべて、120度離れたクリフォード平行多角形までずらします。
77. 二重回転において、各頂点は同時に2つの完全に直交する大円に沿って移動すると言えるが、どちらの大円の中心平面内にも留まることはない。むしろ、大円の間を斜めに横切る螺旋状の測地線に沿って移動する。2つの完全に直交する回転面は、一方の面がもう一方の面の回転角度だけ回転し、横に傾いても、それぞれの面上の点は平面内の所定の位置に留まるため、不変であると言われる。
78. 60° の等傾斜回転は、2 つの 60° の単純回転を同時に行うものです。^[ct]すべての頂点をさまざまな方向に同時に 120° 移動します。6 つの連続する対角線回転増分 (それぞれ 60°x60°) により、各頂点は等傾斜線と呼ばれるメビウスの二重ループ上で 720° 移動し、24 セルの周りを2 周して元のポイントに戻ります。これは、通常の大円で頂点が 24 セルの周りを1 周する単純回転と同じ時間(6 回転単位) で行われます。 ^[cu]らせん状の二重ループ 4𝝅 等傾斜線は、単純な大円と同じ時間間隔と周期 (6 弦) を持つ、単なる単一の完全な円の別の種類です。等傾斜線は一つの真円であり、^[cv]単純な大円と同様に完全に円形で測地線的ですが、弦の長さは√3長く、円周は2𝝅ではなく4𝝅であり、^[cx] 2次元ではなく4次元を周回し、^[cy] 2つのカイラル形式（左と右）を持ちます。^[cj]ただし、混乱を避けるため、ここでは常に等傾斜線と呼び、平面上の通常の大円には大円という用語を使用します。 ^[cz]
79. 任意の二重回転（等傾斜回転を含む）は、2つの単純回転aとbの合成として考えることができます。つまり、左二重回転はa の次にb、右二重回転はbの次にaです。単純回転は可換ではありません。左回転と右回転は（一般に）異なる目的地に到達します。二重回転とそれを構成する 2 つの単純回転との違いは、二重回転が 4 次元的に対角的であることです。移動する各頂点は、 aの次にbが触れる中間点、またはbの次にaが触れるもう一方の中間点を通過せずに、単一のらせん測地線上を回転することで直接目的地に到達します（したがって、これが最短経路です）。^{[by]逆に、任意の単純回転は、2つ}の等角度の二重回転（左等傾斜回転と右等傾斜回転）の合成として考えることができます。 ^{[bz]これは}Cayleyによって発見されました。驚くべきことに、この合成は可換であり、任意の二重回転でも可能です。^[49]
80. 等斜回転では、各不変面は移動先の平面とクリフォード平行であり、中心点を除いていかなる時点でも交差しません。単純回転では、不変面は移動先の平面と直線で交差し、その直線の周りを回転することで移動します。
81. 4次元空間における回転は、不変平面と、その不変平面が回転する角度と方向（左または右）を選択することで完全に特徴付けられます。また、その不変平面と完全に直交する不変平面が回転する別の角度と方向も選択することで完全に特徴付けられます。2つの回転変位は、同じ角度で同じ方向（したがって、同じカイラル方向の組み合わせ）を通る、同じ不変回転平面のペアを持つ場合、同一です。したがって、4次元空間における一般的な回転は、 2つの角度によって特徴付けられる二重回転です。単純回転は、1つの回転角度が0である特殊なケースです。^{[ca] 等}傾斜回転は別の特殊なケースで、^[bx]同じ角度を通る2つの単純回転に似ていますが、同一ではありません。^[cb]
82. 形容詞leftとright は、通常、2 つの異なる意味で使用され、2 つの異なる種類の組み合わせを区別します。これらは、交互の方向を指す場合があります。たとえば、体の左側にある手と、右側にある手などです。または、鏡像異形オブジェクトのキラルなペアを指すこともあります。つまり、左手は右手の鏡像です (裏返しの手袋のように)。手の場合、意図される意味が曖昧になることはめったにありません。なぜなら、左側にある手は、右側にある手の鏡像であるのは当然だからです。手は、どちらの意味でも左または右です。ただし、二重に回転する 4 次元オブジェクトの場合、左と右の 1 つの意味のみが正しく適用されます。つまり、左と右の回転が互いの裏返しの鏡像であるという鏡像異形的な意味です。正と負の2つの方向があり、移動する頂点は等傾斜線上を回転することがありますが、回転の方向とそのキラリティは独立した特性であるため、これらの回転方向を「右」と「左」と分類するのは曖昧です。つまり、右回転（または左回転）は正方向または負方向のどちらにも回転します。左回転は「左」回転ではなく、右回転は「右」回転ではありません。また、左右の手とは異なり、二重回転は4次元多面体の左側または右側に位置しません。二重回転を左手と右手に例えると、体を中心に握り合った一対の手と考えるのが適切です。なぜなら、もちろん、それらは共通の中心を持っているからです。
83. 24セルのペトリー多角形は、斜め十二角形{12} であり、（直交して）斜め十二四角形{12/5} でもあります。これは、チェス盤の白と黒のマス目を分割する辺のように、左右に 90° ジグザグに伸びています。^[66]対照的に、斜め六角形_{2 の}等傾斜線はジグザグに伸びず、チェス盤の白と黒のマス目の対角線に沿ったビショップの進路のように、白と黒の境界線のどちらかの側にとどまります。 [ ^s]ペトリー十二角形は、 6 つの異なる八面体の 12 の辺（各八面体に 3 つの連続する辺がある）に沿って 360° 回転し、左右に 90° ジグザグに伸びる√ 1辺の円形らせんです。対照的に、等斜六角形_{2 には、}両方のキラリティー (左と右) ^[cj]の測地線螺旋に沿って2 番目の頂点ごとに左または右に曲がる√ 3の辺がありますが、色は 1 つだけ (黒または白) ^[cm]で、 720° 回転して同じ 6 つの八面体のそれぞれの頂点を 1 つ訪れます。
84. √ 3/4 ≈ 0.866 は、 √ 2辺正四面体（単位半径16セルのセル）の長半径です。これらの4つの四面体の半径は直交しておらず、対称的に圧縮されて3次元（4次元ではない）に放射状に広がります。24セルに特徴的な等傾斜回転^{[m]において、4つの直交する}√ 3/4 ≈ 0.866 の変位が合計120°の変位となることは、半径ほど視覚化が容易ではありませんが、 4次元直交配座の直交辺に沿って4次元すべてに伸びる経路における連続する直交ステップとして想像することができます。実際の左（または右）等傾斜回転では、120°の変位ごとに4つの直交する√3 /4 ≈ 0.866ステップが連続的ではなく同時であるため、4次元では対称的な半径となります。実際には、これらは回転頂点を中心とする単位半径24セルの4つの直交する中辺半径です。最後に、2次元単位では、√3 /4 ≈ 0.866は、単位辺、単位半径24セルの正三角形の面の面積です。単位半径の放射状正辺多面体^{[b]の放射状正三角形の面積は}√3 /4 ≈ 0.866です。
85. 二重回転によって 4 次元多面体を裏返しにできることは、四次元立方体の二重回転ではさらに顕著です。
86. 点や線を白く塗るのは難しいため、白黒ではなく赤黒を使うことがあります。特に等傾斜弦は、黒または赤の破線で示されることがあります。 [ ^ay]
87. 各大正方形平面は他の 5 つの正方形平面と等斜線 (クリフォード平行) ですが、完全に直交するのはそのうちの 1 つの平面だけです。^[al]完全に直交する平面のすべてのペアにはクリフォード平行な大円がありますが、すべてのクリフォード平行な大円が直交しているわけではありません (たとえば、24 セルの六角形測地線はどれも互いに直交していません)。 また、完全に直交する平面がクリフォード平行面の特別なカテゴリに分類される別の方法もあります。つまり、それらはキラルではなく、厳密に言えば両方のキラリティを備えています。等斜線 (クリフォード平行) 平面の​​ペアは、2 つの角度が 90° (完全に直交する平面) または 0° (一致する平面) で離れていない限り、左ペアまたは右ペアになります。 ^[59]ほとんどの等斜面は、それぞれ左等斜回転または右等斜回転によってのみ一緒になります。完全に直交する平面は特別です。つまり、平面のペアは左右両方のペアなので、左または右の等傾斜回転のいずれかで平面を合わせることができます。これは、等傾斜正方形平面がすべての頂点ペアで 180° 離れているためです。つまり、クリフォード平行であるだけでなく、完全に直交しています。90° 等傾斜回転の等傾斜線 (カイラル頂点パス) ^[ar]も同じ理由で特別です。左および右の等傾斜線は、他のすべてのファイブレーションの左および右等傾斜線のように、黒または白の反対心頂点の互いに素な左および右のサブセット (各軸の一方の端にのみヒット) をループするのではなく、同じ反対心頂点セット (各16 セル軸の両端にヒット) をループします。
88. 等傾斜線（頂点が等傾斜回転で移動する測地線）の弦経路は、4次元多面体のクリフォード多角形と呼ばれることがあります。これは、4次元多面体の頂点がその特徴的なクリフォード変位で横断する回転円の斜めの多角形であるためです。^[65]等傾斜線は、完全な二重回路の過程で2回そのキラリティーを反転する螺旋状のメビウスの二重ループです。二重ループは単一のセルリング内に完全に含まれており、その中で偶数（奇数）頂点を結ぶ弦に沿って進みます。典型的には、隣接するセルの反対側の頂点で、2辺の長さだけ離れています。^[cm]二重ループの両方の「半分」はセルリングの各セルを通過しますが、各偶数（奇数）セル内の2つの偶数（奇数）頂点とのみ交差します。偶数（奇数）セル内の交差する頂点の各ペアは、メビウスの帯上で互いに向かい合っており、ちょうど1辺の長さだけ離れている。したがって、各セルには両方の螺旋が貫通しており、これらは各平行点のペアにおいて反対のカイラリティを持つクリフォード平行線^{[ad]である。全体として、これらの2つの螺旋は}両方のカイラリティを持つ単一の連結円であり、正味のねじれはない。等傾斜線は、左（または右）回転（異なるファイブレーション）によって横断される場合、左（または右）等傾斜線として作用する。^[bz]
89. キラリティーと偶数/奇数パリティは異なるフレーバーです。偶数/奇数座標パリティを持つものは黒または白です。チェス盤のマス目、^[ch] セル、頂点、等斜回転でそれらを結ぶ等斜線です。 ^[ar]その他すべては白黒です。たとえば、隣接する面結合セルペア、または一方の端が黒くもう一方の端が白いエッジと弦です。キラリティーを持つものは、右または左のエナンチオモルフ形式で現れます。等斜回転とキラルオブジェクトには、特徴的なオルソスキーム、クリフォード平行大多角形平面の集合、^{[ci]クリフォード平行円の} ファイバー束（円自体がキラルであるかどうかは関係ありません）、および16 セルと600 セルに見られるキラルセルリングが含まれます。偶奇パリティもカイラリティも持たないものには、すべての辺と面（黒と白のセルが共有する）、大円多角形とそのファイブレーション、そして24セルの八面体のセルリングのような非カイラリティセルリングが含まれる。偶奇パリティとカイラリティの両方を持つものもある。等傾斜線は、すべて同じ色の頂点を繋ぐため黒または白で、左回転または右回転の頂点パスである場合には左または右のカイラリティオブジェクトとして機能するが、それ自体には固有のカイラリティはない。左回転（または右回転）は、それぞれ同数の黒と白の等傾斜線を通過する。^[cj]
90. 左回転と右回転は、24個のセル（および24個の頂点）を同じように黒と白に分割します。^[44]同じ種類の大多角形のすべてのファイブレーションの回転は、同じチェス盤を使用します。これは、偶数座標と奇数座標に基づく座標系の慣例です。左と右は色ではありません。左回転（または右回転）のどちらにおいても、移動する頂点の半分は黒で、黒の等傾斜に沿って黒の頂点を通り、残りの半分は白の頂点で、同様に互いに回転します。^[ck]
91. 等傾斜回転^[ar]は、24 セルの 24 個のセル (および 24 個の頂点) を、偶数と奇数 (または黒と白) の 12 個のセル (および 12 個の頂点) の 2 つの互いに素なサブセットに分割します。これらのサブセットは、ビショップの対角線移動^[s]がチェス盤の黒または白のマス目に制限されるのと次元的に類似した方法で、セル間で場所を移動します。^[cl]
92. 等斜測地線上の隣接する頂点は弦√ 3離れているが、回転する剛体上の点は弦に沿って移動するのではなく、弦の両端点間の円弧に沿って移動する（より長い距離）。√ 3 離れた2つの頂点間の単純な回転では、頂点は六角形の大円の円弧に沿って移動し、大六角形の2辺離れた頂点まで移動し、その間にある六角形の頂点の中間点を通過する。しかし、√ 3離れた2つの頂点間の等斜回転では、頂点は等斜線と呼ばれる螺旋状の円弧（平面大円ではない）に沿って移動する。^[ar]この円弧は中間の頂点を通過しないため、中間点に最も近い頂点を通過できない。[ ^s]
93. P ₀と P ₁は同じ超平面（同じ中心立方八面体）にあるので、もう一方の分離角は0です。^[au]
94. V ₀と V ₂は、この回転等傾斜線の測地線上で2 本の√ 3弦離れていますが、これはそれらの間の最短の測地線ではありません。24 セルでは、2 つの頂点が1 本の √ 3弦より離れることは、それらの頂点が√ 4離れている対蹠頂点でない限り、不可能です。^[af] V ₀と V ₂は、他の等傾斜線では1 本の √ 3弦離れており、ある大きな六角形ではわずか√ 1_{離れています。 V 0}と V _{2の間では、等傾斜回転が 24 セルの周りを 2 本の}√ 3弦にわたって長い道のりを進み、わずか√ 1離れた頂点に到達しています。より一般的には、等傾斜線が測地線であるのは、それらの連続する頂点間の距離が、それらを接続するある回転におけるそれらの 2 つの頂点間の最短距離であるためですが、3 次元球面上ではより短い別の回転がある場合があります。測地線に沿った 2 つの頂点間の経路は、必ずしもそれらの頂点間の最短距離とは限りません (通常の大円測地線上でも同様)。
95. P ₀と P _2は、どちらの分離角においても 60° 離れています。 ^[au]クリフォード平行面は等斜面（つまり、2つの等しい角度で離れている）であり、対応する頂点間の距離はすべて等距離です。V ₀と V ₂は2つの 弦（√3 ）^{離れていますが、 [cp]} P ₀と P _2は（最も近い頂点のどのペアにおいても） 1つの辺（√1 ）しか離れていません。
96. 斜め六角形の各半分は、3本の√3弦からなる開三角形で、その両端の開先は1辺の長さ√1だけ離れている。等斜線全体と同様に、この2つの半分は固有のキラリティーを持たないが、同じパリティカラー（黒または白）を持つ。これらの半分は、幅√1のメビウスの帯の2つの反対側の「辺」である。実際には、メビウスの帯は1辺のみを持ち、それは6本の弦を持つ単一の連続した円である。
97. 傾斜回転の元の大六角形面 P ₀にある任意の頂点 V ₀から出発して、最初の頂点 V ₁に到達するには、別の六角形面 P _1にある√ 3弦に沿って 120 度離れている必要があります。P ₁は P ₀に対して60 度の角度で傾斜しています。^[co] 2 番目の頂点 V _{2に到達するには、 P 0}とクリフォード平行な別の六角形面 P 2 にある 2 番目の √ 3 弦に_沿ってV 1_から120 度離れている必要があります。^[cq]（V _{1 は交差する平面 P 1}と P ₂の両方に位置し、V _{0 は}P ₀と P _{1 の}両方に位置していることに注意してください。しかし、P ₀と P _{2には共通の頂点}がなく、交差していません。）3番目の頂点 V _{3は、P 1}とクリフォード平行な別の六角形平面 P 3 に位置する3番目の√ 3 弦に_沿ってV 2から₁₂₀度先にあります。V ₀と V ₃は隣接する頂点であり、√ 1離れています。^[cr] 3つの√ 3弦は異なる8セルに位置しています。^[t] V ₀から V ₃は360°等傾斜回転であり、24セルの二重ループ六角形₂クリフォード多角形の半分です。^[cj]
98. 完全に直交する不変平面のペアにおける 2 つの単純な 60° 回転の合成は、完全に直交する不変平面の4組における 60° 等傾斜回転です。 ^[ca]したがって、等傾斜回転は 4 つの単純な回転の合成であり、単純な回転では 6 つの頂点だけが回転するのに対し、不変六角形平面では 24 個の頂点すべてが回転します。
99. 24セルの螺旋状の六芒星_{2の測地線は、}メビウスの帯のように4次元でねじれたリングに曲げられているため、そのねじ山は各回転でそれ自体を横切って2倍になり、そのキラリティー^[cj]を反転しますが、回転の偶数/奇数パリティ（黒または白）は変わりません。^[cm] 6頂点の等傾斜路は、2つの平行な3頂点の螺旋の端が互いに交差接続された3次元二重螺旋のような、メビウスの二重ループを形成します。この60°等傾斜^{[dc]は、{6/2}=2{3}または六芒星}₂で表される正複合多角形の歪んだ例です。^{[cr] 720°等傾斜回転では、各六角形}が6セルリングの6つの六角形すべてを通り、各8セルが3つの8セルすべてを2回通るため、連続する√3辺は異なる8セルに属します。^[t]
100. 等傾斜測地線または等傾斜線は、4次元空間で2つの直交する大円に同時に曲がる1次元測地線という意味で、4次元の大円です。 ^[cw]これらは、大円（大1球）の4次元類似体である大2球と混同しないでください。 ^[17]離散等傾斜線は多角形です。 ^[cj]離散大2球は多面体です。
101. すべての等傾斜線は測地線であり、3 次元球面上の等傾斜線は円 (各次元で等しく曲がっている) ですが、4 次元空間の 3 次元多様体上のすべての等傾斜線が円になるわけではありません。
102. 同じ円周を持つ3次元球面の等傾斜線はすべて、直接的または鏡像的に合同な円です。^[cw]通常の大円は円周の等傾斜線です。単位半径多面体の単純な回転は2π等傾斜線上で行われます。二重回転は円周以外の等傾斜線を持つ場合があります。正則4次元多面体の特性回転は、その辺を含む中心平面が回転の不変面である等傾斜回転です。16セルと24セルは4π円周の等傾斜線上で辺回転します。600セルは5π円周の等傾斜線上で辺回転します。 ${\displaystyle 2\pi r}$ ${\displaystyle 2\pi r}$
103. 3次元球面上の等高線は、偶数/奇数の座標パリティの交差しないペアで発生します。^[cm]単一の黒または白の等高線は、{1,1}トーラス結び目またはヴィラルソー円と呼ばれるメビウスのループを形成します^[57]。このメビウスの「8の字」ループでリンクされた2つの「円」のそれぞれが、4次元すべてを横断します。^[cj]二重ループは、4次元では真の円です。^[bz]偶数と奇数の等高線も、メビウスのループではなく、2つの交差しない円のホップリンクとしてリンクされています。 ^[ad]ホップファイバーバンドルのすべてのクリフォード平行等高線と同様に。
104. 傾斜線は、不変回転面にある頂点が完全な回転中にたどる円形の測地線です。等傾斜回転では、すべての頂点が不変回転面にあり、その上を回転する等傾斜線は、平面内の単純な測地大円ではなく、4 つの次元すべてを回る螺旋測地円です。単純回転では、不変回転面は 1 つだけであり、その面にある各頂点は平面内の単純な測地大円上を回転します。等傾斜回転の螺旋測地線等傾斜線と単純回転の単純な測地線等傾斜線はどちらも大円ですが、それらの混同を避けるために、一般に前者に対しては等傾斜線という用語を使用し、平面内の通常の大円である後者に対しては大円という用語を使用します。ただし厳密に言えば、後者は円周 の等傾斜線であり、前者は より大きい円周の等傾斜線です。^[ar] ${\displaystyle 2\pi r}$ ${\displaystyle 2\pi r}$
105. 剛体24セルの720°等傾斜回転では、 24の頂点は4つの別々のクリフォード平行六角形の₂測地線ループ（各ループで6つの頂点が回転）に沿って回転し、元の位置に戻ります。^[cy]
106. 帯の長さは、その中心線で測定することも、メビウスの帯をその境界に垂直に切断して長方形を形成することによって測定することもできます。
107. 紙片を、中心線が正三角形に沿うように斜めに折り、両端を合わせることで、平面上に平坦なメビウスの帯を形成することができる。この手法が可能な最短の帯は、3つの正三角形の紙を、2つの三角形が交わる辺で折り畳んだものである。ループは各三角形の両側を横切るため、6つの正三角形をまたぐ六角形のループとなる。そのアスペクト比（帯の長さ^[db]と幅の 比）は である。 ${\displaystyle 60^{\circ }}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1.73}$
108. クリフォード平行大円多角形の各集合は、対応するクリフォード平行等傾斜^[ar]ポリグラムの集合とは異なる繊維束であるが、2つの繊維束は、同じ離散ホップ繊維群を構成する。なぜなら、24個の頂点を、同じ（左または右）等傾斜回転における交差によって列挙するからである。これらは、繊維群という同じ織物の縦糸と横糸である。
109. 正4次元多面体をセルリング（ファイブレーション）に分割する選択は任意である。なぜなら、そのセルはすべて同一だからである。4次元多面体が回転しない限り、特定のファイブレーションは区別されない。各ファイブレーションは、特定のクリフォード平行不変中心回転面における左右の等傾斜回転のペアに対応する。24セルの場合、六方ファイブレーション^[ai]を区別することは、4つのクリフォード平行六方不変面における左右の等傾斜回転のペアを唯一収容する、セルが互いに素な4つの6セルリングの集合を選択することを意味する。左右の回転は、その収容体のカイラル部分空間^[64]で起こるが、ファイブレーションと八面体セルリング自体はカイラル対象ではない。^[dm]
110. すべての等斜面はクリフォード平行線（完全に互いに素）である。^[w] 3次元および4次元の共心物体は、交差（要素を共有）する場合でも、等斜回転の関係にある。多面体および4次元多面体は、対応するすべての平面がクリフォード平行線、共細胞状（同一超平面内）、または一致する（同一平面内）場合、等斜面でありながら互いに素ではない。
111. 生成するとは、回転の過程で最初の多面体のいくつかの頂点が生成された多面体の各頂点を訪問することを意味します。
112. 4次元の錠前を操作する鍵のように、物体はクリフォード平行部分空間間の短い距離を移動するために、2つの完全に垂直なタンブラーシリンダー内で回転する必要があります。
113. 多面体の各面が異なる（2次元）面平面を占めるのと同様に、多面体の各セルは異なる（3次元）セル超平面を占めます。^[at]
114. 柱をリングに折る平面は複数ありますが、いずれも合同なリングを形成するという点で等価です。どの折り畳み平面を選んだとしても、6つのらせんはそれぞれ自身の両端を結び、単純な大円六角形を形成します。これらの六角形はらせんではなく、通常の平坦な大円上にあります。そのうち3つはクリフォード平行^{[ad]で、1つの六角形繊維分に属します。それらは他の3つと交差し、それらは別の六角形繊維分に属します。各繊維分における3つの平行な大円は、3つの通常の円}を繋ぐという意味で互いに螺旋状に巻き付いていますが、ねじれていません。つまり、6セルリングには時計回りにも反時計回りにもねじれはありません。 [ ^dm]
115. 単位辺八面体を向かい合わせに置いた場合、それらの体積中心間の距離は√2 /3 ≈ 0.816である。^[62] 24個の面結合八面体を3次元球面上に24個のセルに折り曲げると、四次元空間における八面体の中心は互いに近づく。24個のセルで満たされた湾曲した3次元表面空間内では、セル中心はそれらを結合する曲線測地線に沿って√2 /3離れている。しかし、3次元球面の内側に沈む、それらを結合する直線弦上では、セル中心間の距離はわずか1/2辺の長さである。
116. 6面体リングの軸六角形は、24セルの頂点や辺とは交差しないが、面には接する。単位辺長の24セルでは、軸六角形は辺の長さが1/2である。^[dk]軸六角形は6つのセル中心を繋ぐため、24セル中心を繋ぐことで形成される小さな双対24セルの大六角形となる。^[bg]
117. 6セルリングは1種類しか存在せず、2つの異なるキラルな種類（右手と左手）は存在しません。これは、八面体が反対の面を持ち、ねじれのないセルリングを形成するためです。6セルリングには、3つのクリフォード平行大六角形^[ad]の2組に加えて、3つの黒と3つの白の等斜六角形測地線が6セルリングを貫通しています。^[ai]これらのキラルな歪んだ六角形はそれぞれ、等斜線[ ^cw]と呼ばれる異なる種類の円上にあります。等斜線とは、単一の平面上に存在するのではなく、4つの次元すべてを巻き込む螺旋状の円です。 ^[ar]これらの螺旋状の大円は、通常の平面大円と同様に、クリフォード平行繊維束内に存在します。6セルリングでは、黒と白の六角形はそれぞれ偶数と奇数の頂点を通過し、その間の頂点を通過しないため、等斜線は互いに素です。^[cm]
118. 3つの大六角形はクリフォード平行であり、これは通常の平行とは異なります。^[広告]クリフォード平行大六角形は、鎖の隣接するリンクのように互いに貫通し、ホップリンクを形成します。3次元鎖のリンクとは異なり、同じ中心点を共有します。24セルでは、クリフォード平行大六角形は3つではなく4つで出現します。4つ目の平行六角形は6セルリングの完全に外側に位置し、その6つの頂点はリングの18個の頂点と完全に分離しています。
119. 6つの八面体セルの列では、列の上から下に向かって0から5の番号をセルに付けます。また、各頂点には、列の上から下に向かって何辺の長さがあるかに基づいて、0から5の整数でラベルを付けます。
120. 60°の倍数による等斜回転では、環の偶数八面体は偶数八面体に、奇数八面体は奇数八面体になる。^[do]左または右の等斜回転のみでは、偶数八面体が奇数八面体になることは不可能であり、その逆も同様である。^[cm]
121. 24セルの双対多面体は、別の24セルです。24セルの中心に頂点を配置することで構築できます。各6セル環は双対24セルの大六角形に対応し、16個の異なる6セル環が存在します。これは、それぞれが1つのファイブレーションに属する16個の異なる大六角形が存在するためです。
122. 頂点で経路が 60° 曲がる 2 つの中心平面は、(a)頂点の前の弦が属する大六角形平面と、(b) 頂点の後の弦が属する大六角形平面です。平面 (b) には、元の頂点と大六角形平面 (c) の頂点 (a とクリフォード平行) を結ぶ 120° 等傾斜弦が含まれます。頂点はこの弦を越えて次の頂点に移動します。クリフォード平行 (等傾斜) 大六角形平面 (a) と (c) の間の傾斜角も 60° です。等傾斜回転のこの 60° 間隔では、大六角形平面 (a) は内部で 60° 回転し、直交平面 (平面 (b) ではない) 内で 60° 傾いて大六角形平面 (c) になります。 3つの大きな六角形平面（a）、（b）、（c）は直交していません（互いに60°傾いています）が、（a）と（b）は同じ立方八面体の中心にある2つの六角形であり、（b）と（c）も同様に直交立方八面体の中心にある2つの六角形です。^[q]
123. 6セルリングの各頂点は、異なるファイブレーションに属する同じパリティ（黒または白）の2つの斜め六芒星によって交差される。^[dm]
124. 6セルリングの各頂点は、同じメビウスの二重ループ六芒星の2つの半分によって囲まれておらず、その両側で曲線を描いて通過している。^[du]
125. 各頂点には、等傾斜線が 60 度曲がることができる隣接する大六角形平面が 1 つだけあります。等傾斜線経路は、セル リング内の各頂点が、セル リングに含まれる 6 つの大六角形のうち 2 つだけが交差する場所であるため、分岐ではなく直線であるという意味で決定論的です。各大六角形に特定の色の辺と弦が割り当てられている場合 (6 セル リングの図のように)、各大六角形をその色で、各頂点の種類をハイフンでつながれた 2 色の名前を付けることができます。セル リングには、9 種類の固有の 2 色の組み合わせで名前が付けられた 18 個の頂点が含まれます。各頂点とその対蹠頂点の名前には同じ 2 色が使用されています。これは、2 つの大六角形が交差する場合、対蹠頂点で交差するためです。各等斜六芒星^{[cr]には、各色の}√3コードが1つずつ含まれており、 9つの異なる色の頂点のペアのうち6つを訪れます。^[ds]各6セルリングには、このような等斜六芒星が6つ含まれており、黒が3つ、白が3つです。^[dt]
126. √ 3弦は、24 桝目の√ 1半径の 1 つの中辺を通ります。24 桝目は、その長い半径を持つ√ 1三角形の中心で交わる√ 1^{三角形から構成できるため、 [b]弦図に示されているように、これは大六角形を構成する 6 つの}√ 1三角形の 1 つの中辺です。
127. 大六角形の隣接する辺の各ペアには、その横に湾曲する等傾斜線が1つだけあります。^[dt] 2辺の間の頂点は失われます（ただし、大六角形に内接する大三角形の√3辺が頂点を失っているのとは異なります。 ^[dv]等傾斜線は面上の円弧であり、弦ではないためです）。六角形の周囲の頂点に0から5の番号を付ける場合、六角形には偶数頂点を結ぶ隣接辺が3組（1つは内接する大三角形）、奇数頂点を結ぶ隣接辺が3組（もう1つは内接する大三角形）あります。偶数辺と奇数辺のペアには、それぞれ黒と白の等傾斜線の円弧が横に湾曲しています。^[cm] 3つの黒と白の等傾斜線は、同じファイブレーションの同じ6セルリングに属します。^[du]
128. 六角形の等傾斜線は、大円が両端に接するのとは異なり、軸の片端にのみ接します。同じ左右の等傾斜回転（同じファイブレーション）から得られるクリフォード平行の黒と白の等傾斜線は交差しませんが、24セルの12の軸の1つに対向する（対蹠的な）頂点に接します。
129. 等傾斜線自体には左右の区別はなく、束にのみ左右の区別がある。各等傾斜線は左右に分かれている。^[cj]
130. ^[dx]における12組の六芒星等傾斜の白黒ペアと、24セルにおける16個の異なる六芒星等傾斜は、24セルの12本の軸と16個の六角形と同様に、ライ配置12 ₄ 16 ₃を形成する。12組の白黒ペアはそれぞれ、4つの六芒星等傾斜の各繊維の1つのセルリングに存在し、各セルリングには16個の六芒星等傾斜の白黒ペアが3組ずつ含まれる。
131. 16セルと同様に、等傾斜線は8つの頂点としか交差しない八角形ですが、24セルでは16セルよりも頂点同士が近くなっています。等傾斜線曲線は、その間にある追加の頂点を省略しています。16セルと同様に、等傾斜線が交差する最初の頂点は√2離れています。24セルでは、16セル（各回転で1つ）よりも多くの八角形等傾斜線（各回転で3つ平行）が使用されています。3つの螺旋状等傾斜線はクリフォード平行です。^[ad]これらは三重螺旋で互いの周りを螺旋状に巻き、互いに素な螺旋の対応する頂点のペアは√1 = 60 °の弦でつながっています。 3 つの等傾斜の三重らせんには、24 個の互いに素な√ 2辺 (6 個の互いに素な大正方形) と 24 個の頂点が含まれ、4 セル リングと同様に、24 セルの離散的なファイバを構成します。
132. 大きな正方形平面における600セルの等斜回転により、 16 セル全体が、異なる 24 セル内の他の 16 セルに移動します。
133. 、正多面体の3つの特性角𝟀、𝝓、𝟁 のいずれかを表すためにギリシャ文字 𝝓 (ファイ) が用いられています。𝝓 は黄金比定数 ≈ 1.618 を表すのに一般的に用いられますが、Coxeter はこの定数に 𝝉 (タウ) を用いています。そこで、ここでは Coxeter の慣例を逆にし、特性角を表すのに 𝝉 を用います。
134. 正則k多面体の場合、特性k直交配位のコクセター・ディンキン図は、 k多面体の図から生成点環を除いたものである。正則k多面体は、その対称性( k -1)元によって、その中心を取り囲む特性k直交配位のg個のインスタンスに細分される。ここでgはk多面体の対称群の位数である。^[72]
135. 正 4 次元多面体の中心で交わる各 4 辺の長さは不等です。これは、正 4 次元多面体の 4 つの特性半径、つまり頂点半径、辺中心半径、面中心半径、セル中心半径が等しくないためです。4 次元多面体の 5 つの頂点には、常に 1 つの正 4 次元多面体の頂点、1 つの正 4 次元多面体の辺中心、1 つの正 4 次元多面体の面中心、1 つの正 4 次元多面体のセル中心、および正 4 次元多面体の中心が含まれます。これらの 5 つの頂点 (この順序で) は、互いに垂直な 4 辺 (3 回の直角ターン) に沿った経路を構成し、これが 4 次元多面体の特性です。4 次元多面体には、5 つの異なる 3 次元多面体ファセットがあります。
136. (3次元)多面体の反射面は2次元の面から構成され、(4次元)多面体の反射面は3次元のセルから構成されます。

137. Q を回転、R を鏡映、T を並進とし、Q ^q R ^r T を互いに可換な複数の変換の積とすると、RT はすべり鏡映（2次元または3次元）、QR は回転鏡映、QT はらせん変位、Q ²は二重回転（4次元）となる。すべての直交変換は            Q ^q R ^r
     
     と表せる。ただし 2 q + r ≤ n（次元数）。並進を含む変換は            Q ^q R ^r Tと表せる。ただし 2 q + r + 1 ≤ n。特にn = 4の場合、すべての変位は二重回転 Q ²か、らせん変位 QT （回転成分 Q は単純回転）のいずれかとなる。4次元空間（キラリティー反転）におけるすべてのエナンチオモルフ変換は QRT である。^[75]
     
     
     
     
     
     

138. 左平面はクリフォード平行であり、右平面もクリフォード平行である。それぞれの平面の組はファイブレーションである。各左平面は、対応する右平面と等斜回転においてクリフォード平行である。^[cb]しかし、2組の平面はすべてが互いにクリフォード平行であるわけではない。表の行において左平面と右平面が同じ組である場合を除き、それらは異なるファイブレーションである。
139. 平面の集合は互いに素ではない。これらの4つの集合のうち任意の2つを合わせると、6つの平面の集合となる。これらの回転クラス（表の行）のそれぞれにおける左等傾回転（右等傾回転とは対照的に）は、同じ6つのクリフォード平行平面の集合の、異なる左等傾回転（右等傾回転とは対照的に）を繰り返す。 ${\displaystyle \pm q7}$ ${\displaystyle \pm q8}$
140. 四元数群は、クリフォード平行大円多角形の異なる集合に対応する。例えば、4つの互いに素な大六角形の集合に対応する。^[r]と は一般に異なる集合であることに注意。平面と平面の対応する頂点は180°離れている。^[au] ${\displaystyle \pm {q_{n}}}$ ${\displaystyle q7}$ ${\displaystyle q_{n}}$ ${\displaystyle -{q_{n}}}$ ${\displaystyle q_{n}}$ ${\displaystyle -{q_{n}}}$
141. 四元数直交座標は、頂点が一つの異なる弦によって上端の頂点と結ばれていることを表します。単位半径4次元多面体の標準的な（頂点を上に向けた）上端の頂点は、直交座標の「北極」です。したがって、egは弧長60°の√1弦を表します。このような異なる弦はそれぞれ、北極と南極を横切る大きな六角形である、異なる大円多角形の辺です。大円多角形は、クリフォード平行中心平面の集合に存在し、各集合の互いに素な大円は、すべての頂点と一度だけ交差する離散的なホップファイバリングで構成されます。各集合に含まれる1つの大円多角形は、北極と南極を横切ります。この四元数座標は、図示されている4つの互いに素な大六角形を表しており、24セルに発生する[16]個の大六角形（大六角形の4つのファイブレーション）の1つの異なるファイブレーションを構成する四元数グループ^{[ej]です。 [r]} ${\displaystyle (0,0,1,0)}$ ${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$ ${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$
142. 傾斜回転では、すべての左平面が一緒に移動し、移動しながらクリフォード平行を維持し、移動時にすべての点を右平面に運びます。つまり、右平面は不変平面です。 ^[cb]左（および右）の中心多角形セットはすべての頂点をカバーするファイブレーションであるため、すべての頂点は不変平面に沿って運ばれる点です。
143. 回転変位の各クラス (各表行) は、複数の不変平面における別個の剛体左 (および右) 等傾斜回転に同時に対応します。^[el]等傾斜は頂点がたどる経路であり、^[cz]はどの中心平面にも存在しない螺旋状の測地線です。各回転変位は、1 つの不変左平面から対応する不変右平面に移動し、すべての左 (または右) 変位が同時に発生します。^[cb]各左平面は、対応する右平面から 2 つの等しい角度だけ離れており、^{[au]それぞれの角度は、各頂点が変位する円弧角度の半分に等しくなります (角度と距離は}回転クラス列に表示されます)。
144. 各六角形は、6つではなく3つの斜六角形等傾斜線上に存在します。これは、各六角形の反対側の頂点が同じクリフォード六角形の反対側のレール上に、同じ（反対ではない）回転方向で存在するためです。^[cj]
145. 24 点 24 セルを{12/4}=4{3} 十二四角形に直交投影したもので、各点は 2 つの頂点を表し、各線は複数の√ 3弦を表します。各非結合三角形は、 √ 3辺を持つ斜め {6/2}六角形と見ることができます。つまり、2 つの開いた斜め三角形の反対側の端が、円周 4𝝅 のメビウスの輪で接続されています。六角形は 4 次元すべてで斜めになっているため、2 次元では 1 つの三角形に投影されます。これら 4 つの非結合な斜め六角形等傾斜は、ファイブレーションの特徴的な左（および右）等傾斜回転のクリフォード平行円形頂点パスです。^[ar]ファイブレーションの 4 つのクリフォード平行大六角形は、この回転の不変面です。大六角形は、車輪のように 60° ずつ、またコインを投げるように 60° ずつ、増分変位しながら回転します。各頂点は、連続するクリフォード平行六角形平面を通る平行螺旋等傾斜路に沿って動き、各頂点は 120° ずつ変位します。^[en]あるいは、4 つの三角形は、8 つの互いに素な三角形と見なすことができます。4 組のクリフォード平行大三角形で、2 つの対向する大三角形が同じ大六角形の中心平面にあるため、4 つのクリフォード平行大六角形平面のファイブレーションが表現されます。^[r]これは、4 つの六角形の等傾斜も、実際には4 つの大六角形と同じファイブレーションである、異なるファイブレーションに対応していることを示しています。
146. 大六角形不変平面における等斜回転は、各頂点を2頂点離れた頂点（120° = √3）まで移動させ、その間に介在する頂点を通過させません。各左六角形は（車輪のように）60°回転すると同時に、対応する右六角形平面に向かって（直交中心平面内で）横に60°傾きます。この回転変位を6回繰り返すと、24個のセルは720°回転し、元の向きに戻ります。 ${\displaystyle [32]R_{q7,q8}}$
147. 24点24セルを{12/4}=4{3}十二角形に直交投影したこの図では、各点は2つの頂点を表し、各線は√3の弦の倍数を表す。4つの三角形は、8つの互いに素な三角形として見ることができる。4組のクリフォード平行大三角形は、互いに向き合う2つの大三角形が同じ大六角形の中心平面上にあるため、この回転クラスの4つの左平面（表の行）のように、4つのクリフォード平行大六角形平面のファイブレーションが表現される。^[r]
148. 各六角形は、6 つの等傾斜線ではなく 2 つの平行な 12 角形等傾斜線上に存在します。これは、各六角形の交互の頂点のみが、異なる 12 角形レール上に存在しているためです。大六角形に内接する各大三角形の 3 つの頂点は、同じ 12 角形ペトリー多角形に存在し、4 つの頂点が離れており、等傾斜線上を循環しています。^[cj]
149. 24 点 24 セルを{12/2}=2{6} 十二角形に直交投影したこの図では、各点は 2 つの頂点を表し、各線は複数の 24 セルの辺を表します。各分離した六角形は、2 つの開いた斜め六角形が円周 4𝝅 のメビウスのループで反対側の端と接続されていると見なすことで、24 セルのペトリ多角形である斜め{12}十二角形として見ることができます。十二角形は 4 次元すべてで斜めになっているため、2 次元では単一の六角形に投影されます。これら 2 つの分離した斜め十二角形は、ファイブレーションの特徴的な左 (および右) 等傾斜回転のクリフォード平行円形頂点パスです。^[ar]ファイブレーションの 4 つのクリフォード平行大六角形は、この回転の不変面です。大六角形は、車輪のように 30° ずつ、またコインを弾くように 30° ずつ、増分変位しながら回転します。各頂点は、連続するクリフォード平行六角形平面を通る平行螺旋等傾斜路に沿って動き、各頂点は 60° ずつ変位します。^[er]あるいは、2 つの六角形は 4 つの互いに素な六角形と見なすこともできます。つまり、2 組のクリフォード平行大六角形なので、4 つのクリフォード平行大六角形平面のファイブレーションが表現されます。^[r]これは、2 つの十二角形等傾斜も、実際には4 つの大六角形と同じファイブレーションである、異なるファイブレーションに対応していることを示しています。
150. 等傾斜弧の中点（30°離れたところ）では、24 セル エッジの中点を直接通過します。
151. 大六角形不変平面における等斜回転は、各頂点を1頂点ずつ離れた頂点（60° = √ 1離れた頂点）まで移動させ、その間に介在する頂点を一切通過させない。^[et]各左六角形は（車輪のように）30°回転すると同時に、対応する右六角形平面に向かって（直交中心平面内で）横に30°傾く。この回転変位を12回繰り返すと、24個のセルは720°回転し、元の向きに戻る。 ${\displaystyle [32]R_{q7,-q8}}$
152. 大六角形不変平面における等斜回転は、各頂点を360°回転させ、中間の頂点を通過せずに、自身（360° = √ 0）に戻ります。各左六角形は（車輪のように）180°回転すると同時に、対応する右六角形平面に向かって（直交中心平面内で）横に180°傾きます。この回転変位を2回繰り返すと、24個のセルは720°回転し、元の向きに戻ります。 ${\displaystyle [32]R_{q7,q7}}$
153. 六角形不変平面における等斜回転は、各頂点を3頂点離れた頂点（180° = √4）まで移動させ、その間に頂点を介さずに移動します。 ^[ej]各左六角形は（車輪のように）90°回転すると同時に、対応する右六角形平面に向かって（直交中心平面内で）横に90°傾きます。この回転変位を4回繰り返すと、24個のセルは720°回転し、元の向きに戻ります。 ${\displaystyle [32]R_{q7,-q7}}$
154. 16セルの辺と4𝝅特性回転は、大正方形の中心平面にあります。この種の回転は対称群の表現です。24セルの辺と4𝝅特性回転は、大六角形（大三角形）の中心平面にあります。この種の回転は対称群の表現です。 ${\displaystyle B_{4}}$ ${\displaystyle F_{4}}$
155. 2つの大円多角形は、共通の軸で交差するか、クリフォード平行（等斜線）で頂点を共有しません。^[au] 3つの大正方形と4つの大六角形は、24セルの各頂点で交差します。各大六角形は、3つの軸それぞれで3つずつ、合計9つの異なる大正方形と交差し、他の9つの大正方形とクリフォード平行です。各大正方形は、2つの軸それぞれで4つずつ、合計8つの異なる大六角形と交差し、他の8つの大六角形とクリフォード平行です。
156. このハイブリッド等斜回転は、 16セルに特徴的な大正方形面と24セルに特徴的な大六角形（大三角形）面という2種類の中心面を互いに持ち合わせています。^[例]これは、大六角形面の一部が大正方形面とクリフォード平行になっているためです。^[ey]
157. 大六角形不変平面における等斜回転は、各頂点を1つ離れた頂点（60° = √ 1）まで移動させ、その間に介在する頂点を通過させません。各左六角形は（車輪のように）30°回転すると同時に、対応する右正方形平面に向かって（直交中心平面内で）横に30°傾きます。^[ez]この回転変位を12回繰り返すと、24個のセルは720°回転し、元の向きに戻ります。 ${\displaystyle [16]R_{q7,q1}}$
158. 24セルには18個の大正方形があり、互いに直交する6個の大正方形が3組ずつ、合計16セルを構成している。^[x]各16セルには、2個の大正方形が3組ずつ、それぞれ完全に直交しているため、各大正方形は他の2つの16セルにあるすべての大正方形と直交していないだけでなく、同じ16セル内の他の1つの大正方形とも直交していない。各大正方形は他の13個の大正方形と直交しておらず、同じ16セル内の他の4個の大正方形と2つの頂点（軸）を共有している。
159. 24セルでは、各大正方形は他の大正方形と完全に直交するため、四元数群と（例えば）は、同じ大正方形平面の集合に対応します。この6つの互いに交わらない大正方形の集合は、左回転（または右回転）の文脈で使われる2つの名前を持ちます。これは、大正方形の左ファイバ化と右ファイバ化の両方を構成するためです。 ${\displaystyle q1}$ ${\displaystyle -{q1}}$ ${\displaystyle \pm q1}$
160. 六角形不変平面における等斜回転は、各頂点を2頂点離れた頂点（120° = √3）まで移動させ、その間に介在する頂点を通過させません。各左六角形は（車輪のように）60°回転すると同時に、対応する右正方形平面に向かって（直交中心平面内で）横に60°傾きます。^[ez]この回転変位を6回繰り返すと、24個のセルは720°回転し、元の向きに戻ります。 ${\displaystyle [16]R_{q7,-q1}}$
161. 大正方形不変平面における等斜回転は、各頂点を360°回転させ、中間の頂点を通過せずに、自身（360° = √ 0）へと回転させる。各左正方形は（車輪のように）180°回転すると同時に、対応する右正方形平面に向かって（直交中心平面内で）横に180°傾く。この回転変位を2回繰り返すと、24個のセルは720°回転し、元の向きに戻る。 ${\displaystyle [36]R_{q6,q6}}$
162. 、異なる弦の1つのインスタンスによって最上位の頂点に結合された頂点を指定します。単位半径4次元多面体のセル優先方向における通常の最上位の頂点は です。したがって、eg は弧長90°の√2弦を指定します。このような異なる弦はそれぞれ、最上位の頂点と交差する異なる大円多角形（この例では大正方形）の辺です。大円多角形はクリフォード平行中心平面の集合に存在し、各集合の互いに素な大円は、すべての頂点と1回だけ交差する離散的なホップファイバで構成されます。各集合内の1つの大円多角形は最上位の頂点と交差します。この四元数座標は、図示されている6つの互いに素な大正方形を表しており、24セルに発生する[18]個の大正方形（大正方形の3つのファイブレーション）の1つの異なるファイブレーションを構成する四元数グループ[ ^{ej]です。 [j]} ${\displaystyle (0,0,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}})}$ ${\displaystyle ({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)}$ ${\displaystyle ({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)}$
163. 代表座標は、標準（頂点を上向き）の24セルにおける単位半径の頂点ではなく、正八面体セルの中心です。24セルの対称線（コクセターの「反射円」）の一部は、頂点ではなくセルの中心を通り、四元数群はそれらの集合に対応します。しかし、四元数群は、これらのセルに直交する（セルとは完全に分離した）大正方形の集合にも対応します。^[ff] ${\displaystyle ({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)}$ ${\displaystyle q6}$ ${\displaystyle q6}$
164. 大正方形不変平面における等斜回転は^{、各頂点を180° =} √ 4離れた頂点まで移動させ、その間に介在する頂点を一切通過させません。各左側の正方形は（車輪のように）90°回転すると同時に、（直交中心平面内で）対応する右側の正方形に向かって横に90°傾きます。この回転において、右側の正方形は完全に直交する平面です。この回転変位を4回繰り返すと、24個のセルは720°回転し、元の向きに戻ります。 ${\displaystyle [36]R_{q6,-q6}}$
165. 24 点 24 セルを{12/3}=3{4} 十二四角形に正射影したこの図では、各点は 2 つの頂点を表し、各線は複数の√ 2弦を表します。各隣接していない正方形は、 √ 2辺を持つ斜めの {8/3} 八四角形として考えることができます。つまり、{24/9}=3{8/3} 正射影で見える、円周 4𝝅 のメビウスの輪で反対側の端が接続された 2 つの開いた斜めの正方形です。八四角形は 4 次元すべてで傾斜しているため、2 次元では単一の正方形に投影されます。これら 3 つの隣接していない斜めの八四角形の等傾斜線は、大正方形平面での等傾斜回転の円形の頂点パス特性であり、その中で 6 つのクリフォード平行大正方形は不変回転平面です。大正方形は車輪のように90°回転し、コインを投げるように90°直交して各頂点を180°ずらすため、各頂点は対蹠頂点と位置を交換します。各八角形等傾斜線は、互いに素な16セルの8つの頂点を周回します。あるいは、3つの正方形は6つのクリフォード平行正方形のファイブレーションと見なすこともできます。^[j]これは、3つの八角形等傾斜線がそれぞれ異なるファイブレーション、つまり6つの正方形と同じファイブレーションに対応していることを示しています。
166. 等傾斜弧の中点（45°離れたところ）では、24 セル エッジの中点を直接通過します。
167. 大正方形不変平面における等斜回転は、各頂点を90° = √ 2離れた頂点まで移動させ、その間に介在する頂点を通過させません。^[fj]各左正方形は（車輪のように）45°回転すると同時に、対応する右正方形平面に向かって（直交中心平面内で）横に45°傾きます。この回転変位を8回繰り返すと、24個のセルは720°回転し、元の向きに戻ります。 ${\displaystyle [144]R_{q6,-q4}}$
168. 大正方形不変平面における等斜回転は、各頂点を360°回転させ、中間の頂点を通過せずに、自身（360° = √ 0）へと回転させる。各左正方形は（車輪のように）180°回転すると同時に、対応する右正方形平面に向かって（直交中心平面内で）横に180°傾く。この回転変位を2回繰り返すと、24個のセルは720°回転し、元の向きに戻る。 ${\displaystyle [72]R_{q4,q4}}$
169. 大六角形不変平面における等斜回転は、各頂点を1頂点ずつ離れた頂点（60° = √ 1）まで移動させ、その間に介在する頂点を通過させません。各左辺の正方形は（車輪のように）30°回転すると同時に、対応する右六角形平面に向かって（直交中心平面内で）横に30°傾きます。^[ez]この回転変位を12回繰り返すと、24個のセルは720°回転し、元の向きに戻ります。 ${\displaystyle [96]R_{q2,q7}}$
170. 大正方形不変平面における等斜回転は^{、各頂点を180° =} √ 4離れた頂点まで移動させ、その間に介在する頂点を一切通過させない。各左正方形は（車輪のように）90°回転すると同時に、（直交中心平面内で）対応する右正方形平面へと横方向に90°傾く。この回転において、右正方形平面は完全に直交する平面となる。この回転変位を4回繰り返すと、24個のセルは720°回転し、元の向きに戻る。 ${\displaystyle [18]R_{q2,-q2}}$
171. 等傾斜弧の中点（45°離れたところ）では、24 セル エッジの中点を直接通過します。
172. 大二角形不変面における等斜回転は、各頂点を90° = √ 2離れた頂点まで移動させ、その間に介在する頂点を通過させません。^[fo]各左二角形は（車輪のように）45°回転すると同時に、対応する右二角形面に向かって（直交中心面内で）横に45°傾きます。この回転変位を8回繰り返すと、24個のセルは720°回転し、元の向きに戻ります。 ${\displaystyle [12]R_{q2,q1}}$
173. 回転は24 セルの恒等演算であり、点は動きません。 ${\displaystyle [1]R_{q1,q1}}$
174. この回転は24セルの中心反転である。大二角形不変面におけるこの等斜回転は、各頂点を180° = √ 4離れた頂点まで移動させ、^その間に介在する頂点を一切通過させない。各左二角形は（車輪のように）90°回転すると同時に、（直交中心面において）対応する右二角形面へと90°傾き、この回転において右二角形面は完全に直交する面となる。この回転変位を4回繰り返すと、24セルは720°回転し、元の向きに戻る。 ${\displaystyle [1]R_{q1,-q1}}$
175. 右回転は左右の平面を「同じ」方向に回転させることによって行われ、左回転は左右の平面を「反対」方向に回転させることによって行われます。これは、4つの座標軸のそれぞれにおいてどちらが「上」であるかを慣習的に判断する右手の法則に基づいています。左回転と右回転は、キラルな鏡像異形（靴のような）であり、反対方向の回転ではありません。左回転と右回転はどちらも、正方向または負方向（左平面から右平面へ、または右平面から左平面へ）のどちらでも実行できますが、これは追加の区別です。^[cd]

引用

1. Coxeter 1973、p. 118、第 VII 章: 高次空間における通常の多面体。
2. ジョンソン 2018、249頁、11.5頁。
3. Ghyka 1977、68ページ。
4. Coxeter 1973、p. 289、エピローグ。「4次元空間のもう1つの特徴は、24セル{3,4,3}の発生であり、これは完全に独立しており、上にも下にも類似するものがない。」
5. Coxeter 1995、p. 25、（論文3）4次元における通常の24セルの2つの側面。
6. Coxeter 1968、p. 70、§4.12 ゾノヘドラの分類。
7. Coxeter 1973、p. 136、§7.8 可能な正則図形の列挙。
8. Coxeter 1973, pp. 292–293, 表I(ii): 4次元における16個の正多面体 { p, q, r }。各4次元多面体の20個の計量すべてを辺の長さ単位で示す貴重な表。単位半径の多面体を比較するには、代数的に変換する必要がある。
9. Coxeter 1973, p. 302、表VI (ii): 𝐈𝐈 = {3,4,3}: 結果の列を参照
10. Coxeter 1973, p. 156, §8.7. 直交座標。
11. Coxeter 1973、pp. 145–146、§8.1 一般正多面体の単純な切断。
12. Waegell & Aravind 2009、pp. 4–5、§3.4 24セル：点、線、およびライの構成。24セルのライの「点」と「線」は、それぞれ軸と六角形です。
13. Coxeter 1973、p. 298、表V：平行立体断面における4次元多面体の頂点の分布（§13.1）（i）頂点から始まる{3,4,3}（辺2）の断面。列aを参照。
14. スティルウェル 2001、17ページ。
15. Tyrrell & Semple 1971, pp. 5–6, §3. Cliffordによる平行法の本来の定義。
16. Kim & Rote 2016、pp. 8–10、クリフォード平行主義との関係。
17. スティルウェル 2001、24ページより。
18. Copher 2019、p.6、§3.2定理3.4。
19. Kim & Rote 2016、p. 7、§6 4次元空間における2つの平面間の角度。「4次元（およびそれ以上）では、2つの平面間の相対位置を固定するために2つの角度が必要です。（より一般的には、k次元の部分空間間でk角度が定義されます。）」
20. Coxeter 1973, p. 153, 8.5. ゴセットによる{3,3,5}の構成：「実際、{3,3,5}の頂点をそれぞれ5回取ると、25個の{3,4,3}の頂点となる。」
21. Coxeter 1973、304ページ、表VI(iv) II={5,3,3}：120セルの{5,3,3}[120𝛼4]{3,3,5}をファセットすると、120個の通常の5セルが明らかになる_。
22. Egan 2021、回転する24セルのアニメーション：赤い半整数頂点（テッセラクト）、黄色と黒の整数頂点（16セル）。
23. コクセター、1973、p. 150、ゴセット。
24. Coxeter 1973, p. 148, §8.2. {3, 4, 3} に対する Cesaro の構築。
25. Coxeter 1973、p. 302、表VI(ii) II={3,4,3}、結果の列。
26. Coxeter 1973, pp. 149–150, §8.22。図8.2Aと図8.2Bを参照。
27. Coxeter 1995, p. 29, (論文 3) 4次元における正24セルの2つの側面; 「4次元立方体と16セルの共通の内容は、頂点が[(± ⁠1/2⁠、± ⁠1/2⁠ , 0, 0)]"。
28. Coxeter 1973、p. 147、§8.1 一般正多面体の単純な切断。「接点において、[正多面体の要素と、何らかの方法で内接するその双対の要素]は、[相互の]球面に対する接超平面の完全に直交する部分空間に存在するため、それらの唯一の共通点は接点自体です...。^[i]実際、[さまざまな]半径₀ 𝑹、₁ 𝑹、_{2 𝑹、... によって、頂点が元の多面体の要素 𝐈𝐈 0}、𝐈𝐈 ₁、𝐈𝐈 ₂ 、...の中心である多面体が決定されます。」
29. ケプラー1619、181ページ。
30. van Ittersum 2020、73–79 ページ、§4.2。
31. Coxeter 1973, p. 269, §14.32. 「例えば、…の場合」 ${\displaystyle \gamma _{4}[2\beta _{4}]}$
32. ヴァン・イッターサム 2020、79ページ。
33. Coxeter 1973, p. 150: 「したがって、{3, 4, 3} の 24 個のセルは、 の 24 個の正方形に基づく双錐体です。(その中心は、 の 24 辺の中点です。)」 ${\displaystyle \gamma _{4}}$ ${\displaystyle \beta _{4}}$
34. Coxeter 1973, p. 12, §1.8. 構成。
35. 24セル: o3x3o4o
36. 24セル: o3x3o *b3o
37. Coxeter 1973、p. 120、§7.2.：「... ( n -1)-空間に存在しないn +1個の点は、 n次元単体の頂点である...したがって、一般単体は、 n +1個の超平面または( n -1)-空間で囲まれたn空間の有限領域として定義することもできます。」
38. ヴァン・イッテルスム 2020、p. 78、§4.2.5。
39. スティルウェル 2001、18-21ページ。
40. Egan 2021; 四元数、二元四面体群、二元八面体群、回転する図解付き。
41. スティルウェル 2001、22ページ。
42. Koca、Al-Ajmi、Koc 2007年。
43. Coxeter 1973、p. 163: Coxeter は、 24 セルのハニカム {3,4,3,3} のセルが、テッセラティック ハニカム {4,3,3,4} の交互のセルと同心であることを最初に発見したのはThorold Gossetであったようで、この観察によって Gosset は完全な正多面体とハニカムのセットを構築する方法を確立したと述べています。
44. Coxeter 1973、p. 156：「...チェス盤にはn次元の類似物がある。」
45. Mamone, Pileio & Levitt 2010, pp. 1438–1439, §4.5 Regular Convex 4-Polytopes; 24セルには、表2の対称群𝐹4に列挙されているように、1152の対称操作（回転と反射）があり_ます。
46. Coxeter 1973, p. 119, §7.1. 次元類推：「例えば、円の円周は 2 π rであるのに対し、球の表面積は 4 π r ²であることを考えると、計算を伴わない類推の使用によって、[超球面の]正しい式である 2 π ² r ³が得られる可能性は低い。」
47. Kim & Rote 2016, p. 6, §5. 4次元回転。
48. Perez-Gracia & Thomas 2017, §7. 結論; 「3次元における回転は、回転軸とその周りの回転角によって決定されます。回転軸は、点が回転する平面に垂直です。4次元では状況はより複雑です。この場合、回転は2つの直交平面と、各平面に1つずつ存在する2つの角度によって決定されます。Cayleyは、一般的な4次元回転は常に2つの4次元回転に分解でき、それぞれの回転は符号の変化を除いて2つの等しい回転角によって決定されることを証明しました。」
49. ペレス・グラシア＆トーマス 2017.
50. Perez-Gracia & Thomas 2017, pp. 12−13, §5. 有用なマッピング。
51. Coxeter 1995, pp. 30–32, (論文3) 4次元における正24セルの2つの側面; §3. 12角形の側面; ^{[ce] Coxeterは、周期12の150°/30°の二重回転を考察し}、120セルに内接する225個の異なる24セルのうち12個が、120正12面体セルを持つ正4次元多面体で、25個の互いに素な24セルの複合体の凸包となることを明らかにした。
52. Perez-Gracia & Thomas 2017, pp. 2−3, §2. 等斜回転。
53. Kim & Rote 2016, pp. 7–10, §6. 4次元空間における2つの平面間の角度。
54. Coxeter 1973, p. 141, §7.x. 歴史的考察：「メビウスは1827年という早い時期に、2つの鏡像異形立体を一致させるには4次元回転が必要であることを認識していました。この考えはHGウェルズによって『プラットナー物語』の中で巧みに展開されました。」
55. ファインマン＆ワインバーグ 1987、「反粒子の理由」。
56. フィリピンのワインダンスまたはビナスアンとしてフォークダンスの専門家の間で知られ、物理学者リチャード・P・ファインマンが1986年のディラック記念講演^[55]で披露した、人間の腕の特定の動きをコンピューターで実装したいという願望から始まりました。この動きは、単一​​の回転（2回転）はすべての点で回転がないことと同じではないが、二重の回転（4回転）は回転がないことと同じであることを示すために行われました。」
57. Dorst 2019, p. 44, §1. Villarceau Circles; 「数学において、トーラス上の(1, 1)結び目が描く経路は、Villarceau円とも呼ばれます。Villarceau円は通常、トーラスを適切に切断する平面によって切断される2つの交差する円として導入されます。そのような円を1つ選び、トーラスの軸を中心に回転させると、結果として得られる円族を用いてトーラスを規則化することができます。トーラスを巧みに入れ子にすることで、そのような円の集合はホップファイブレーションを形成します。…Villarceau円は、平面切断ではなく、(1, 1)トーラス結び目として考えることを推奨します。」
58. Kim & Rote 2016、pp. 8–9、クリフォード平行法との関係。
59. Kim & Rote 2016、p. 8、等斜面の左右のペア。
60. Tyrrell & Semple 1971, pp. 1–9, §1. はじめに
61. Tyrrell & Semple 1971、pp. 20–33、Clifford Parallel SpacesおよびClifford Reguli。
62. Coxeter 1973、pp. 292-293、表I(i): 八面体。
63. Kim & Rote 2016, pp. 14–16, §8.3 ホップファイブレーションの特性; 系9. すべての大円は、唯一の右[(および左)]ホップ束に属します。
64. Kim & Rote 2016、p. 12、§8 ホップファイバの構築、3。
65. Tyrrell & Semple 1971、pp.34-57、Clifford Parallelsの線形システム。
66. Coxeter 1973、pp. 292-293、表I(ii)；24セルh ₁は{12}、h ₂は{12/5}です。
67. Coxeter 1973、pp. 292-293、表I(ii)；24セルのペトリー多角形h ₁は{12}である。
68. Coxeter 1973、pp. 292–293、表I(ii)。24セルのペトリー多角形の直交角h ₂は{12/5}で、各ペトリー多角形は24セルの半分なので{24/5}の半分です。
69. Coxeter 1973、pp. 292-293、表I(ii)；「24セル」。
70. Coxeter 1973、p. 139、§7.9 特性単体。
71. Coxeter 1973、p. 290、表I(ii)；「二面角」。
72. Coxeter 1973、pp. 130–133、§7.6 一般正多面体の対称群。
73. Kim & Rote 2016、pp. 17–20、§10 4次元点群のCoxeter分類。
74. Coxeter 1973、pp.33-38、§3.1 合同変換。
75. Coxeter 1973、pp. 217–218、§12.2 合同変換。
76. Coxeter 1973, p. 138; 「シュレーフリ記号{p,..., v}には、ユークリッド多面体、球面多面体、球面ハニカムという3つの異なる意味があることを認める。状況が率直に認識されている限り、混乱を招くことはない。これらの違いは二面角の概念に明確に表れている。」
77. Mamone、Pileio、Levitt 2010、pp. 1438–1439、§4.5 Regular Convex 4-Polytopes、表2、対称操作。
78. Coxeter 1970, p. 18, §8。単体、立方体、交差多面体、24セル。Coxeterはセルリングをその幾何学と群論の一般的なケースで研究し、各セルリングを、対応するハニカムで3次元多様体（ 3次元球面など）を満たすそれ自体の多面体であると特定しました。彼は、セルリングがペトリ多角形^[ce]に従い、一部（すべてではない）のセルリングとそのハニカムがねじれており、左手系と右手系のキラルな形で現れることを発見しました。具体的には、24セルの八面体セルは反対の面を持つため、24セルのセルリングは非キラル（直接合同）種類であることを発見しました。^[dm] 24 セルの各セル リングには、ユークリッド空間 (双曲空間ではなく) に対応するハニカムが存在するため、24 セルは 4 次元ユークリッド空間を平行移動して24 セルのハニカムを形成します。
79. クリフォード トーラスを敷き詰めるトーラスのハニカムに分解する研究を行い、ハニカムがホップ ファイブレーションに対応することを示し、特に 6 つの八面体セルからなる 24 セルの 4 つのリングをイラスト付きで研究しました。
80. バンチョフ 2013、265–266頁。
81. コクセター 1991.

参考文献

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外部リンク

• 24セルアニメーション
• ステレオ投影の24セル
• 正多面体の包摂
• 24セルの説明と図表 2007年7月15日アーカイブWayback Machine
• 24セルのペトリー十二角形：数学とアニメーションソフトウェア

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	アン​	B n	I 2 ( p ) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 22 • 2 21
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 32 • 2 31 • 3 21
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 42 • 2 41 • 4 21
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 k2 • 2 k1 • k 21	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

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