近隣圏システム

Concept in mathematics

位相幾何学および関連数学分野において、近傍システム、完全近傍システム、^[1]、または位相空間内の点の近傍フィルターは、すべての 近傍の集合です。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

定義

点または集合の近傍

ある位相空間における点（または部分集合^[注1]）の開近傍とは、 Aを含む任意の開部分集合である。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x.}$におけるの近傍と ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$は、Aの開近傍を含む任意の部分集合である。明示的には、Aを含む開部分集合が存在する場合のみ、AAにおけるの近傍である。^[2][3] 同様に、の近傍とその位相内部Aを含む任意の集合である。 ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in U\subseteq N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

重要なのは、「近傍」は必ずしも開集合である必要はないということである。開集合でもある近傍は「開近傍」として知られている。 ^[注2] 同様に、閉集合（それぞれ、コンパクト、連結など）でもある近傍は閉近傍（それぞれ、コンパクト近傍、連結近傍など）。位相幾何学や関数解析などの関連分野では、他にも多くの種類の近傍が用いられます。特定の「有用な」性質を持つすべての近傍の族は、しばしば近傍基底を形成しますが、多くの場合、これらの近傍は必ずしも開近傍であるとは限りません。例えば、 局所コンパクト空間は

近傍フィルタ

点（または空でない部分集合）の近傍システムは、近傍フィルタと呼ばれるフィルタです。点の近傍フィルタは、単集合の近傍フィルタと同じです。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}.}$

近傍基底

A近傍基底または局所基底（または近傍基底または局所基底）は、近傍フィルタのフィルタ基底です、すべての点に対して^[3]を満たすものが存在するここで、はxのすべての近傍の集合を表します。つまり、任意の近傍に対して、近傍基底に含まれる近傍を見つけることができます ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$$ ${\displaystyle V\in {\mathcal {N}}(x),}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq V.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V.}$

同様に、近傍フィルタが次の等式が成り立つ意味でから復元できる場合、 はにおける局所基底である。 ^[4] 族がの近傍基底であるのは、がの半順序に関する共終部分集合である場合、かつその場合に限る（重要なのは、この半順序は部分集合関係ではなく、上位集合関係であるということ）。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=\left\{V\subseteq X~:~B\subseteq V{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\right\}\!\!\;.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {N}}(x),\supseteq \right)}$ ${\displaystyle \supseteq }$

近傍部分基底

Aにおける近傍部分基底は、それぞれが を含む部分集合の族であり交差の集合はにおける近傍基底を形成する。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle x.}$

例

が通常のユークリッド位相を持つ場合、 の近傍はとなる実数が存在するような部分集合すべてです。たとえば、次の集合はすべて における の近傍です。しかし、次の集合はいずれも の近傍ではありません。 ここで、は有理数を表します。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle N\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle (-r,r)\subseteq N.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle (-2,2),\;[-2,2],\;[-2,\infty ),\;[-2,2)\cup \{10\},\;[-2,2]\cup \mathbb {Q} ,\;\mathbb {R} }$$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \{0\},\;\mathbb {Q} ,\;(0,2),\;[0,2),\;[0,2)\cup \mathbb {Q} ,\;(-2,2)\setminus \left\{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

が位相空間の開部分集合である場合、任意の に対して はにおけるの近傍です 。より一般的には、が任意の集合であり、がにおけるの位相的内部を表す場合、 は任意の点のにおける の近傍であり、さらに は他の任意の点の近傍ではありません。言い換えれば、が点の近傍である場合、かつその場合に限ります。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u\in U,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N.}$

近傍基底

任意の位相空間において、ある点の近傍系はその点の近傍基底でもあります。ある点におけるすべての開近傍の集合は、その点における近傍基底を形成します。計量空間内の任意の点について、半径 の周りの開球の列は可算な近傍基底を形成します。これは、すべての計量空間が第一可算であることを意味します。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{B_{1/n}:n=1,2,3,\dots \right\}}$

離散位相を持つ空間が与えられた場合、任意の点の近傍系は空間 全体のみを含みます ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=\{X\}}$

空間上の測度空間上の弱位相において、近傍基数は で与えられ、ここでは から への連続有界関数であり、は正の実数である。 ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle \nu }$ $${\displaystyle \left\{\mu \in {\mathcal {M}}(E):\left|\mu f_{i}-\nu f_{i}\right|<r_{i},\,i=1,\dots ,n\right\}}$$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n}}$

半ノルム空間と位相群

半ノルム空間、つまり半ノルムによって誘導される位相を持つベクトル空間において、すべての近傍系は近傍系を原点へ変換することによって構成できる。 $${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)={\mathcal {N}}(0)+x.}$$

これは、仮定により、ベクトルの加算は誘導された位相において別々に連続であるためである。したがって、位相は原点における近傍系によって決定される。より一般的には、空間が位相群である場合、または位相が擬距離によって定義されている場合は常に、これは真である。

性質

をにおけるの近傍基底と仮定し、を...​​​​​​​​​​​​​ ${\displaystyle u\in U\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \,\supseteq .}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}}$ ${\displaystyle X\setminus U}$ ${\displaystyle x_{N}\in N\setminus U}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}\to u}$ ${\displaystyle X}$

参照

• 基底（位相）  - 位相を定義するために使用される開集合の集合
• 集合のフィルター - 「大きな」集合を表す部分集合の族
• 位相におけるフィルター - すべての基本的な位相概念と結果を記述および特徴付けるためのフィルターの使用
• 局所凸位相ベクトル空間 - 凸開集合によって定義された位相を持つベクトル空間
• 近傍（数学）  - 与えられた点を含む開集合
• 部分基底 - 位相を生成する部分集合の集合
• 管状近傍 - 部分多様体の近傍

参考文献

1. 通常、「近傍」は点の近傍を指し、集合の近傍を指す場合はそれが明確に示されます。したがって、例えば、「〜内の近傍」のように、特定の点または集合を指していない記述は、特に明記されていない限り、「〜内のある点の近傍」を意味するものと解釈されるべきです ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. ほとんどの著者は、近傍が開集合であることを要求しません。なぜなら、この性質が必要な場合に「近傍」の前に「開」と書くことはそれほど面倒ではないからです。また、近傍が常に開集合であることを要求することは、「閉近傍」や「コンパクト近傍」といった用語の有用性を大きく制限することになるからです。

1. Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introduction to Topology (Third ed.). Dover . p. 41. ISBN   0-486-66352-3。
2. ブルバキ 1989, 17–21ページ
3. ウィラード 2004, 31–37ページ
4. Willard, Stephen (1970). General Topology . Addison-Wesley Publishing. ISBN 9780201087079。（第2章第4節を参照）

参考文献

• ブルバキ、ニコラ(1989) [1966]. 一般位相幾何学：第1章～第4章 [ Topologie Générale ].数学の要素. ベルリン、ニューヨーク: シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. ISBN 978-3-540-64241-1 OCLC  18588129
• ディクスミア、ジャック(1984).一般位相幾何学．Undergraduate Texts in Mathematics．ベルベリアン訳，S.K .ニューヨーク：シュプリンガー出版社．ISBN   978-0-387-90972-1 OCLC  10277303
• ウィラード、スティーブン (2004) [1970]. 一般位相幾何学.ミネオラ、ニューヨーク州:ドーバー・パブリケーションズ. ISBN  978-0-486-43479-7 OCLC  115240

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Neighbourhood_system&oldid=1312263938#Neighbourhood_basis"