単体ホモロジー

代数的位相幾何学において、単体ホモロジーとは単体複体のホモロジー群の列である。これは、複体における与えられた次元の穴の数という概念を形式化する。これは連結成分の数（次元0の場合）を一般化する。

単体ホモロジーは、三角形のn次元相似体であるn単体を構成要素とする位相空間を研究する方法として生まれた。これには、点（0単体）、線分（1単体）、三角形（2単体）、四面体（3単体）が含まれる。定義により、このような空間は単体複体（より正確には、抽象単体複体の幾何学的実現）と同相である。このような同相は、与えられた空間の三角形分割と呼ばれる。多くの関心のある位相空間は三角形分割することができ、あらゆる滑らかな多様体（ケアンズとホワイトヘッド）も含まれる。^[1]^{: sec.5.3.2}

単体ホモロジーは、任意の抽象単体複体に対する単純な処方によって定義される。単体ホモロジーが関連する位相空間のみに依存することは注目すべき事実である。^[2]^{: sec.8.6}結果として、単体ホモロジーはある空間を別の空間と区別するための計算可能な方法を与える。

定義

オリエンテーション

単体ホモロジーを定義する上で重要な概念は、単体の向きの概念です。定義により、 $k$ 単体の向きは頂点の順序（ $v 0, ..., v k$ ）で表されます。2つの順序が同じ向きを定義するのは、それらが偶数順列だけ異なる場合のみです。したがって、すべての単体には正確に2つの向きがあり、2つの頂点の順序を入れ替えると、向きが反対の向きに変わります。例えば、1単体の向きを選択することは、2つの可能な方向のいずれかを選択することであり、2単体の向きを選択することは、「反時計回り」の意味を選択することです。

チェーン

$S を$ 単体複体とする。単体k $連鎖$ とは、各 $c$ $i$ が整数で $σ$ $i$ が向き付けられた $k$ 単体である有限の形式和である。この定義において、向き付けられた各単体は、向きが逆の単体の負の数に等しいと宣言する。例えば、 $\sum _{i=1}^{N}c_{i}\sigma _{i},\,$ $(v_{0},v_{1})=-(v_{1},v_{0}).$

$S$ 上の $k$ 鎖群は $C$ $k$ と表記される。これは自由アーベル群であり、 $Sの$ $k$ 単体の集合と一対一に対応する基底を持つ。基底を明示的に定義するには、各単体の向きを選択する必要がある。これを行う標準的な方法の一つは、すべての頂点の順序を選択し、各単体にその頂点の誘導順序に対応する向きを与えることである。

境界とサイクル

$σ = (v 0, ..., v k)を$ $C$ $k$ の基底元として見た向き付けられた $k$ 単体とする。境界演算子は次式で定義される準同型である。ここで向き付けられた単体は $σの$ $i$ 番目の面であり、 $i$ 番目の頂点を削除することによって得られる。 $\partial _{k}:C_{k}\rightarrow C_{k-1}$ $\partial_{k}(\sigma )=\sum_{i=0}^{k}(-1)^{i}(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k}),$ $(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k})$

$C k$ では、部分群の要素はサイクルと呼ばれ、部分群は境界で構成されていると言われます。 $Z_{k}:=\ker \partial _{k}$ $B_{k}:=\operatorname {im} \partial _{k+1}$

境界の境界

なぜなら、2番目の面が取り除かれたはだからです。幾何学的に言えば、これは、あらゆるものの境界の境界には境界がないことを意味します。同様に、アーベル群は鎖複体を形成します。また、 $B$ $k$ $はZ$ $k$ に含まれるとも言えます。 $(-1)^{i+j-1}(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,{\widehat {\widehat {v_{j}}}},\dots ,v_{k})=-(-1)^{i+j}(v_{0},\dots ,{\widehat {\widehat {v_{i}}}},\dots ,{\widehat {v_{j}}},\dots ,v_{k})$ ${\widehat {\widehat {v_{x}}}}$ $\partial ^{2}=0$ $(C_{k},\partial _{k})$

例として、頂点がの向きにある四面体を考えます。定義により、その境界はで与えられます。境界の境界はで与えられます。 $w,x,y,z$ $xyz-wyz+wxz-wxy.$ $(yz-xz+xy)-(yz-wz+wy)+(xz-wz+wx)-(xy-wy+wx)=0.$

ホモロジー群

$S$ の $k$ 番目のホモロジー群H $k は$ 商アーベル群として定義される。 $H_{k}(S)=Z_{k}/B_{k}\,.$

したがって、ホモロジー群 $H k (S)が非ゼロとなるのは、$ $S$ 上に境界ではない $k 個の$ サイクルが存在する場合である。ある意味では、これは複体に $k$ 次元の穴が存在することを意味する。例えば、図に示すように、2つの三角形（内部を持たない）を1つの辺に沿って接着することで得られる複体 $S$ を考える。各三角形の辺は、サイクルを形成するように配置することができる。これらの2つのサイクルは、構成上、境界ではない（すべての2次元鎖はゼロであるため）。ホモロジー群 $H$ $1$ $($ $S$ $)は、前述の2つのサイクルによって与えられた基底を持つ$ $Z$ $2$ と同型であることが計算によってわかる。これにより、 $S に$ は2つの「1次元の穴」があるという非公式な考えが明確になる。

穴は異なる次元を持つことがあります。k $番目$ のホモロジー群の階数、つまり $S$ の $k$ 番目のベッティ数と呼ばれる数は、 $S$ における $k$ 次元の穴の数の尺度となります。 $\beta _{k}=\operatorname {rank} (H_{k}(S))\,$

例

三角形のホモロジー群

$S を$ 三角形（内部空間を持たない）とし、単体複体として捉える。したがって、S $は3つの頂点（$ $v 0 、 v 1 、 v 2$ ）と3つの辺（それぞれ1次元単体）を持つ。 $S$ のホモロジー群を計算するために、まず連鎖群 $C k$ を記述する。

$C 0$ は基底 $($ $v$ $0$ $)、($ $v$ $1$ $)、($ $v$ $2$ $)を持つ$ $Z 3$ と同型である
$C 1 は$ $、向き付けられた 1 単体($ $v$ $0$ $、$ $v$ $1$ $)$ 、 $($ $v$ $0$ $、$ $v$ $2$ $)$ 、 $($ $v$ $1$ $、$ $v$ $2$ $)$ によって与えられる基底を持つ $Z 3$ と同型です。
$C 2$ は自明群である。なぜなら、三角形は内部を持たないと仮定されているため、のような単体は存在しないからである。他の次元の連鎖群も同様である。 $(v_{0},v_{1},v_{2})$

境界準同型 $\partial$ : $C 1 \to C 0$ は次のように与えられます。 $C$ $-1$ $= 0$ であるため、すべての 0 チェーンはサイクルです (つまり、 $Z$ $0$ $=$ $C$ $0$ )。さらに、 0 境界のグループ $B$ $0$ は、これらの式の右側の3つの要素によって生成され、 $C$ $0$ の2次元部分群を作成します。そのため、0 番目のホモロジーグループ $H$ $0$ $($ $S$ $) =$ $Z$ $0$ $/$ $B$ $0は$ $Z$ と同型であり、基底は (たとえば) 0 サイクルの像 ( $v$ $0 ) によって与えられます。実際、商群では 3 つの頂点すべてが等しくなります。これは、$ $S$ が連結されているという事実を表します。 $\partial (v_{0},v_{1})=(v_{1})-(v_{0})$ $\partial (v_{0},v_{2})=(v_{2})-(v_{0})$ $\partial (v_{1},v_{2})=(v_{2})-(v_{1})$

次に、1-サイクル群は上記の準同型写像 ∂ の核であり、これは $Z$ と同型で、基底は（例えば） $(v 0, v 1) - (v 0, v 2) + (v 1, v 2)$ で与えられます。（図から、この1-サイクルが三角形を2つの可能な方向のいずれかで一周することがわかります。） $C 2 = 0$ なので、1-境界群はゼロであり、第1ホモロジー群 $H 1 (S)は$ $Z /0 ≅ Z$ と同型です。これにより、三角形に1つの1次元の穴があるという考えが明確になります。

次に、定義により2-サイクルは存在しないため、 $C 2 = 0$ （自明群）となる。したがって、第2ホモロジー群 $H 2 (S)$ は0となる。0または1以外のすべての $iについて、$ $H i (S)$ も同様である。したがって、三角形のホモロジー連結性は0である（ $k$ までの被約ホモロジー群が自明となる最大の $k$ である）。

高次元単体のホモロジー群

$S を$ （内部を持たない）正四面体とし、単体複体として見ると、 $S$ は4つの0次元頂点、6つの1次元辺、4つの2次元面を持つ。H $0 (S) は$ $Z$ と同型であり、 $H 2 (S)も$ $Z$ と同型であり、その他の群はすべて自明である。したがって、正四面体のホモロジー連結性は0である。

四面体にその内部が含まれている場合、 $H 2 (S)$ も自明です。

一般に、 $S が$ $d$ 次元単体である場合、次が成り立ちます。

$S を$ その内部なしで考えると、 $H 0 (S) = Z$ 、 $H d -1 (S) = Z$ となり、他のホモロジーも自明になります。
$S を$ その内部とともに考えると、H 0 ( S ) = Z となり、 $他のすべてのホモロジーは$ 自明になります。

単体地図

SとT を単体複体とする。SからTへの単体写像 fは、 Sの頂点集合からTの頂点集合への関数であり、 Sの各単体の像(頂点集合として見たもの) がTの単体となる。単体写像 $f$ $:$ $S$ $\to$ $T は$ 、各整数kについてホモロジー群 $H$ $k$ $($ $S$ $) \to$ $H$ $k$ $($ $T$ $)$ の準同型を決定する。これは、Sの連鎖複体からTの連鎖複体への連鎖写像に関連付けられた準同型である。明示的に、この連鎖写像は、 $f$ $($ $v$ $0$ $), ...,$ $f$ $($ $v$ $k$ $)$ がすべて異なる場合k連鎖上で次のように与えられ、そうでない場合は $f$ $(($ $v$ $0$ $, ...,$ $v$ $k$ $)) = 0 となる$ 。 $f((v_{0},\ldots ,v_{k}))=(f(v_{0}),\ldots ,f(v_{k}))$

この構成により、単体ホモロジーは単体複体からアーベル群への関手となる。これは、ブラウワー不動点定理や単体ホモロジーの位相不変性といった理論の応用において不可欠である。

アプリケーション

多くのコンピュータアプリケーションにおける標準的なシナリオは、点の集合（測定値、ビットマップの暗いピクセルなど）から位相的な特徴を見つけようとするものである。ホモロジーは、単体複体などの組み合わせデータから容易に計算できるため、このような特徴を探すための定性的なツールとして利用できる。しかし、まずデータポイントを三角形分割する、つまりデータを単体複体の近似値に置き換える必要がある。持続的ホモロジーの計算^[4]では、異なる解像度でのホモロジーの解析を行い、解像度を変えても保持されるホモロジークラス（ホール）を登録する。このような特徴は、分子の構造、X線画像における腫瘍、複素データにおけるクラスター構造の検出に利用できる。

より一般的には、単体ホモロジーは、データマイニングの分野における技術である位相データ解析において中心的な役割を果たします。

実装

GAP 単体ホモロジーを使用すると、大きな単体複合体の単体ホモロジーを正確かつ効率的に計算できます。
パーシステントホモロジーを計算するためのMATLABツールボックス、Plex (Vin de Silva、Gunnar Carlsson ) がこのサイトから入手できます。
C++でのスタンドアロン実装は、Perseus、Dionysus、および PHAT ソフトウェアプロジェクトの一部として利用できます。
Pythonには、scikit-tda、Persim、giotto-tda、GUDHI などのライブラリがあります。GUDHI は機械学習用のトポロジカル特徴の生成を目的としています。これらのライブラリは PyPIリポジトリで入手できます。

参照

単体ホモトピー

参考文献

^ Prasolov, VV (2006),組合せ的および微分的位相幾何学の要素、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-3809-1、MR 2233951
^ Armstrong, MA (1983), Basic topology , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90839-0、MR 0705632
^ ハッチャー、アレン（2002）、代数的位相幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-79540-0、MR 1867354
^ Edelsbrunner, H.; Letscher, D.; Zomorodian, A. (2002). 「位相的持続性と単純化」.離散幾何学と計算幾何学. 28 (4): 511– 533. doi : 10.1007/s00454-002-2885-2 .
Robins, V. (1999年夏). 「有限近似からのホモロジー計算に向けて」(PDF) . Topology Proceedings . 24 : 503– 532.

外部リンク

科学計算における位相幾何学的手法
計算ホモロジー（立方ホモロジーとも呼ばれる）

[1] Prasolov, VV (2006),組合せ的および微分的位相幾何学の要素、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-3809-1、MR 2233951

[2] Armstrong, MA (1983), Basic topology , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90839-0、MR 0705632

[3] ハッチャー、アレン（2002）、代数的位相幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-79540-0、MR 1867354

[4] Edelsbrunner, H.; Letscher, D.; Zomorodian, A. (2002). 「位相的持続性と単純化」.離散幾何学と計算幾何学. 28 (4): 511– 533. doi : 10.1007/s00454-002-2885-2 .
Robins, V. (1999年夏). 「有限近似からのホモロジー計算に向けて」(PDF) . Topology Proceedings . 24 : 503– 532.