集合（数学）

Collection of mathematical objects

オイラー図における多角形の集合

この集合は、同じ要素を持つため、上記の集合と等しくなります。

数学において、集合とは異なるものの集まりです。これらのものは集合の要素またはメンバーであり、通常は数学的な対象、すなわち数、記号、空間内の点、直線、その他の幾何学的形状、変数、または他の集合です。集合は有限または無限の場合があります。要素のない唯一の集合があり、これは空集合と呼ばれます。単一の要素を持つ集合はシングルトンです。

集合は現代数学において遍在しています。実際、集合論、より具体的にはツェルメロ・フランケル集合論は、 20世紀前半以来、すべての数学の分野に 厳密な基礎を提供する標準的な方法となっています。

文脈

19世紀末までは、集合は具体的に研究されておらず、列と明確に区​​別されていませんでした。ほとんどの数学者は、無限を潜在的なもの、つまり終わりのないプロセスの結果と見なし、無限集合、つまり要素の数が自然数ではない集合を考慮することに消極的でした。具体的には、直線はその点の集合としてではなく、点が位置する可能性のある 軌跡として考えられていました。

無限集合の数学的研究は、ゲオルク・カントール（1845～1918年）から始まりました。これは、いくつかの直感に反する事実とパラドックスをもたらしました。例えば、数直線には無限の数の要素があり、これは無限の数の自然数よりも厳密に大きく、任意の線分には空間全体と同じ数の要素があります。また、ラッセルのパラドックスは、 「すべての集合の集合」という表現が自己矛盾していることを示唆しています

これは他の直感に反する結果とともに数学の基礎的危機につながり、最終的には集合論とすべての数学の強固な基礎としてツェルメロ-フランケル集合論が一般に採用されることにより解決されました。

一方、集合はあらゆる数学において広く用いられるようになりました。特に代数構造や数学的空間は、典型的には集合を用いて定義されます。また、多くの古い数学的成果も集合を用いて言い換えられています。例えば、ユークリッドの定理はしばしば「素数の集合は無限である」と述べられます。数学における集合のこの広範な使用は、ダヴィド・ヒルベルトが「カントルが我々のために創造した楽園から我々を追い出す者は誰もいない」と述べた際に予言されていました。^[1]

一般的に、数学における集合の一般的な使用には、ツェルメロ＝フランケル集合論の完全な力は必要ありません。数学の実践においては、集合はこの理論の論理的枠組みとは独立して操作することができます

この記事の目的は、数学で一般的に用いられる集合の操作規則と特性を、論理的枠組みを参照することなく要約することです。集合を研究する数学の分野については集合論を参照してください。対応する論理的枠組みの非公式な表現については素朴集合論を参照してください。より正式な表現については公理的集合論とツェルメロ＝フランケル集合論を参照してください。

基本概念

数学において、集合とは異なるものの集まりです。^{[2] [3] [4] [5]}これらのものは集合の要素またはメンバーと呼ばれ、通常は数、記号、空間上の点、直線、その他の幾何学的形状、変数、関数、さらには他の集合など、あらゆる種類の数学的対象です。 ^{[6] [7]}集合は、特にその要素自体が集合である場合、コレクションまたはファミリーと呼ばれることもあります。これにより、集合とそのメンバーの混同を避け、読みやすくすることができます。集合は、その要素を列挙することによって、または素数の集合や特定のクラスのすべての生徒の集合のように、その要素を特徴付ける特性によって指定できます。 ^{[8] [9] [10]}

⁠ ⁠ が ${\displaystyle x}$集合⁠ ⁠ ${\displaystyle S}$の要素である場合、 ⁠ ⁠ は ${\displaystyle x}$ ⁠ ⁠に属しているか⁠ ⁠内にあるとされ、これは⁠ ⁠と表記されます。^[11]「⁠ ⁠は⁠ ⁠ ⁠にない」という文は⁠ ⁠と表記され、「 yはSにない」と読むこともできます。 ^{[12] [13]}例えば、⁠ ⁠ が整数の集合である場合、⁠ ⁠と⁠ ⁠が存在します。各集合はその要素によって一意に特徴付けられます。特に、まったく同じ要素を持つ 2 つの集合は等しいです（それらは同じ集合です）。^[14]この特性は外延性と呼ばれ、式では次のように表記できます。 これは、 ⁠ ⁠、^[a]または⁠ ⁠で表される、要素のない集合が1つだけ存在することを意味します。 [ 17 ^{] [18]}シングルトンは、要素が 1 つだけの集合です。^[b] ⁠ ⁠がこの要素である場合、シングルトンは⁠ ⁠と表記されます。集合の要素は、それ自体が集合になることができます。たとえば、シングルトン⁠ ⁠は、空集合⁠ ⁠を唯一の要素として持つ集合です。これら2つの集合は同じ要素を持たないため、⁠ ⁠と⁠ ⁠ は異なる集合です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S\,}$ ${\displaystyle y\not \in S}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle -3\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 1.5\not \in \mathbb {Z} }$ $${\displaystyle A=B\iff \forall x\;(x\in A\iff x\in B).}$$ ${\displaystyle \varnothing ,\emptyset }$ ${\displaystyle \{\,\}.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}.}$ ${\displaystyle \{\emptyset \}}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \{\emptyset \}}$ ${\displaystyle \emptyset }$

集合が有限であるとは、自然数 が存在し、 ${\displaystyle n}$その集合の要素と最初の自然数が1対1で対応できる場合です。この場合、集合の要素の数は自然数であると言います。その ${\displaystyle n}$ような自然数が ${\displaystyle n}$存在しない場合、集合は無限です。空集合は、要素 が自然数である有限集合です ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0}$

自然数、整数、有理数、実数の標準的な記数体系は無限集合です。

自然数は、一般的に と表記される無限集合を形成します。無限集合の他の例としては、整数（）、有理数（ ） 、実数（）、実ベクトル空間、曲線、およびほとんどの種類の数学的空間が挙げられます。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

集合の指定

外延性とは

ロスター記法

名簿記法または列挙記法は、1908年にエルンスト・ツェルメロによって導入された記法で、要素を中括弧で囲み、コンマで区切って列挙することで集合を指定します。^{[19] [20] [21] [22] [23]}例えば、 括弧で囲まれているため、と は集合を表し、組を表すものではないことがわかります。 ${\displaystyle \{4,2,1,3\}}$ ${\displaystyle \{{\text{blue, white, red}}\}}$

上記の空 ${\displaystyle \{\,\}}$集合と単集合の記法 と は、名簿記法の例です。 ${\displaystyle \{x\}}$

集合を指定する場合、それぞれの異なる要素が集合に含まれているかどうかだけが重要です。つまり、要素が繰り返されたり、異なる順序で並べられたりしても、集合は変化しません。例えば、^{[24] [25] [26]}

$${\displaystyle \{1,2,3,4\}=\{4,2,1,3\}=\{4,2,4,3,1,3\}.}$$

集合のすべての要素を生成するための明確なパターンがある場合、表記法を省略するために省略記号を使用できます。 ^{[27] [28]}例えば、 ⁠ ⁠ 以下の正の整数の場合は⁠ ⁠となります $${\displaystyle \{1,2,3,\ldots ,1000\}}$$ ${\displaystyle 1000}$

省略記号を使用すると、名簿記法をいくつかの無限集合に拡張することもできます。例えば、すべての整数の集合は次のように表記できます

$${\displaystyle \{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}}$$

または

$${\displaystyle \{0,1,-1,2,-2,3,-3,\ldots \}.}$$

集合ビルダー記法

集合構築記法は、集合を、ある論理式を満たすすべての要素の集合として指定します。^{[29] [30] [31]}より正確には、⁠ ⁠が ${\displaystyle P(x)}$変数 ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$に依存する論理式であり、変数⁠ ⁠が⁠ ⁠の値に応じて真または偽に評価される場合、 または^[32]は⁠ ⁠ ⁠が真となるすべての⁠ ⁠の集合を表します。^[8]たとえば、集合Fは次のように指定できます。この表記法では、縦棒「|」は「～であるような」と読み、式全体は「F​​は、 nが0から19までの範囲の整数であるすべてのnの集合である」と読みます ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \{x\mid P(x)\}}$$ $${\displaystyle \{x:P(x)\}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P(x)}$ $${\displaystyle F=\{n\mid n{\text{ is an integer, and }}0\leq n\leq 19\}.}$$

や ${\displaystyle \color {red}{S{\text{ is a set}}}}$などの論理式は、要素が式によって特徴付けられる集合が存在しないため、集合構築記法では使用できません。この問題を回避する方法はいくつかあります。式が集合を定義していることを証明する方法があります。これは多くの場合ほぼ即座に証明できますが、非常に難しい場合があります。 ${\displaystyle \color {red}{S{\text{ is a set and }}S\not \in S}}$

された集合のすべての要素を含む必要があるより大きな集合 を導入し、 ${\displaystyle U}$表記を または と書くことも できます。 $${\displaystyle \{x\mid x\in U{\text{ and ...}}\}}$$ $${\displaystyle \{x\in U\mid {\text{ ...}}\}.}$$

を ${\displaystyle U}$一度だけ定義し、表記の縦棒の左側に現れるすべての変数が の要素を表すという規則を採用することもできます。これは ${\displaystyle U}$、集合構築記法ではが ${\displaystyle x\in U}$暗黙的に含まれていることを意味します。この場合、はしばしば ${\displaystyle U}$の領域またはの宇宙と呼ばれます。

例えば、小文字のラテン文字は実数のみを表し、それ以外は表さないという規則では、はの略語 であり、無理数 を定義します。 $${\displaystyle \{x\mid x\not \in \mathbb {Q} \}}$$ $${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid x\not \in \mathbb {Q} \},}$$

部分集合

集合の部分集合とは、集合 ${\displaystyle B}$のすべての要素が集合の要素でもあるような集合の ${\displaystyle A}$ことである。[ ^33]が集合の部分集合である場合、一般的に、集合は集合に含まれる、集合は集合を含む、または集合は集合のスーパーセットであるとされる。これは、およびと表記さ れる。しかし、多くの著者は代わりにおよびを使用する。部分集合の定義は、次のように表記できる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle B\supseteq A}$ ${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle B\supset A}$ $${\displaystyle A\subseteq B\quad {\text{if and only if}}\quad \forall x\;(x\in A\implies x\in B).}$$

集合は、かつ ${\displaystyle A}$、であるとき、集合の真集合である ${\displaystyle B}$。これは、およびと表記される。部分集合関係にが使用される場合、または曖昧さが予想される場合は、一般的におよびが使用される。[ ³⁴ ] ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle A\neq B}$ ${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle B\supset A}$ ${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle A\subsetneq B}$ ${\displaystyle B\supsetneq A}$

⊆ によって確立される集合間の関係は、包含または包含と呼ばれます。集合間の等価性は、部分集合で表現できます。2つの集合は、互いを包含する場合に限り等しくなります。つまり、A ⊆ BとB ⊆ AはA = Bと等しくなります。^{[30] [8]}空集合はすべての集合の部分集合です。∅ ⊆ A。^[17]

例：

• すべての人間の集合は、すべての哺乳類の集合の真部分集合です。
• {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}
• {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}

基本演算

加算と乗算が与えられた数から新しい数を生成するのと同じように、与えられた集合から新しい集合を生成する標準的な演算がいくつかあります。このセクションで検討する演算は、生成された集合のすべての要素が以前に定義された集合に属するような演算です。これらの演算は、一般的にオイラー図とベン図で示されます。^[35]

集合に対する主な基本演算は次のとおりです。

積

AとBの積は、A∩Bと表記されます。

2つの集合⁠ ⁠と⁠ ⁠の積は、 ⁠ ⁠と⁠ ⁠の両方に属する要素を要素とする⁠ ⁠と表記される集合です。 つまり、 ⁠ ⁠ は論理積を表します ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle A\cap B=\{x\mid x\in A\land x\in B\},}$$ ${\displaystyle \land }$

交差は結合法則と可換法則を持ちます。つまり、一連の交差を進める際に、演算の順序を指定するための括弧を必要とせず、任意の順序で進めることができます。交差には一般的な単位元はありません。ただし、交差を与えられた ${\displaystyle U}$集合 の部分集合に制限すると、交差は単位元として を持ちます。 ${\displaystyle U}$

が空でない集合の集合である 場合、その交差は と表記され 、その要素は 内のすべての集合に属する要素です。つまり、 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\textstyle \bigcap _{A\in {\mathcal {S}}}A,}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ $${\displaystyle \bigcap _{A\in {\mathcal {S}}}A=\{x\mid (\forall A\in {\mathcal {S}})\;x\in A\}.}$$

交差のこれらの2つの定義は、が2 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$つの要素を持つ場合に一致します。

和集合

AとBの和集合は、A ∪ B と表記されます。

2つの集合 と の和集合は、と表記され、その要素は または 、あるいはその両方に属する要素です。 つまり、は論理和を表します ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\cup B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle A\cup B=\{x\mid x\in A\lor x\in B\},}$$ ${\displaystyle \lor }$

和集合は結合法則と可換法則を持ちます。つまり、一連の交差を実行する場合、演算の順序を指定するための括弧を必要とせず、任意の順序で実行できます。空集合は和集合演算 の単位元です。

が ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$集合の集合である 場合、その和集合は、その要素が 内の少なくとも1つの集合に属する要素である 集合です。つまり、 ${\textstyle \bigcup _{A\in {\mathcal {S}}}A,}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ $${\displaystyle \bigcup _{A\in {\mathcal {S}}}A=\{x\mid (\exists A\in {\mathcal {S}})\;x\in A\}.}$$

和 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$集合のこれらの2つの定義は、 が2つの要素を持つ場合に一致します

差集合

差集合 A \ B

2つの集合 と の差集合は、 ${\displaystyle A}$またはで ${\displaystyle B}$表され、その要素が に属するが には属さない要素である集合です。 ${\displaystyle A\setminus B}$つまり 、は論理積を表します。 ${\displaystyle A-B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle A\setminus B=\{x\mid x\in A\land x\not \in B\},}$$ ${\displaystyle \land }$

UにおけるAの補集合

差は、における補集合とも呼ばれます。対象となるすべての集合が固定された全体集合の部分集合である場合、補集合はしばしば絶対補集合と呼ばれます。 ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle A\setminus B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U\setminus A}$ ${\displaystyle A}$

の集合Bの対称差 ${\displaystyle A}$（と表記）は、AまたはBの ${\displaystyle B}$いずれ ${\displaystyle A\,\Delta \,B}$かに属し、両方に属していない要素の集合です。 $${\displaystyle A\,\Delta \,B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A).}$$

部分集合の代数

集合⁠ ⁠の部分集合全体の集合は ${\displaystyle U}$⁠ ⁠の冪集合と呼ばれ、しばしば⁠ ⁠と表記されます。冪集合は代数構造であり、その主な演算は和集合、積集合、差集合、対称差、絶対補集合（⁠ ⁠における補集合）です。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)}$ ${\displaystyle U}$

冪集合は、対称差を加法、共通集合を乗法、空集合を加法恒等式、乗法恒等式、そして部分集合自身を加法逆集合とするブール環です。 ${\displaystyle U}$

冪集合はまた、結合が和集合、交わりが共通集合、否定が補集合となるブール代数でもあります。 ${\displaystyle \lor }$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \cap }$

代数集合包含に関して半順序集合でもあります、完備束でもあります。

の構造の公理は、部分集合に関連する多くの恒等式を誘導しますこれらはリンクされた記事で詳しく説明されています。

関数

集合A（定義域）から集合B（余域）への関数は、 Aの各元にBの一意の元を割り当てる規則です。例えば、平方関数はすべての実数xをx^ ²に写します。関数は、定義域と余域の直積（下記参照）の 部分集合であるグラフを用いて、集合によって正式に定義できます。

関数は集合論の基礎であり、以下のセクションで例を示します。

添字族

直感的に、添字族とは、その元が別の集合（添字集合）の元でラベル付けされた集合です。これらのラベルにより、同じ元が族内で複数回出現することができます。

正式には、添字族とは、添字集合を定義域とする関数です。一般的に、通常の関数表記法 は添字族には使用されません。代わりに、添字集合の元は ${\displaystyle f(x)}$、の ${\displaystyle a_{i}}$ように族の名前の添え字として表されます

インデックス集合が⁠ ⁠ ${\displaystyle \{1,2\}}$のとき、インデックス族は順序付きペアと呼ばれます。インデックス ${\displaystyle n}$集合が最初の自然数の集合のとき、インデックス族は⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -タプルと呼ばれます。インデックス集合がすべての自然数の集合のとき、インデックス族はシーケンスと呼ばれます。

これらすべての場合において、自然数の自然順序により、明示的なインデックス付き族のインデックスを省略できます。たとえば、⁠ ⁠ は、 ${\displaystyle (b,2,b)}$⁠ ⁠となる3要素組⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$を表します。 ${\displaystyle A_{1}=b,A_{2}=2,A_{3}=b}$

上記の表記とは通常、インデックス付き族を含む表記、つまり およびに置き換えられます。 ${\textstyle \bigcup _{A\in {\mathcal {S}}}A}$ ${\textstyle \bigcap _{A\in {\mathcal {S}}}A}$ $${\displaystyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}=\{x\mid (\exists i\in {\mathcal {I}})\;x\in A_{i}\}}$$ $${\displaystyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}=\{x\mid (\forall i\in {\mathcal {I}})\;x\in A_{i}\}.}$$

上記のセクションの式は、⁠ ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {I}}}$および⁠ ⁠ ⁠であるインデックス付き族の式の特殊なケースです。式は、⁠ ⁠ ⁠ がいくつかの ${\displaystyle i=A=A_{i}}$⁠ ⁠ ⁠に対して⁠ ⁠ ${\displaystyle A_{i}=A_{j}}$となる場合でも、正しいままです。なぜなら、⁠ ⁠ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle A=A\cup A=A\cap A.}$

外部演算

§ 基本演算では、集合演算によって生成される集合のすべての要素は、以前に定義された集合に属します。このセクションでは、これまでに検討されたすべての集合の外側に要素が存在する可能性のある集合を生成する、他の集合演算について検討します。これらの演算は、直積、非素和、集合のべき乗、およびべき集合です。

直積

2つの集合の直積は、関数の定義にすでに使用されています

2つの集合 と が与えられたとき、それら ${\displaystyle A_{1}}$の直積は ${\displaystyle A_{2}}$、ととなるすべての順序付きペアによって形成される集合です。つまり、 ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2})}$ ${\displaystyle a_{1}\in A_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}\in A_{2}}$ $${\displaystyle A_{1}\times A_{2}=\{(a_{1},a_{2})\mid a_{1}\in A_{1}\land a_{2}\in A_{2}\}.}$$

この定義は $${\displaystyle A\times A=\{(a_{1},a_{2})\mid a_{1}\in A\land a_{2}\in A\}.}$$

この定義は添え字のペア (1,2) を含むため、任意の添え字付き集合族の直積に直接一般化されますつまり、集合族の直積の要素はすべて、それぞれが同じ添え字の集合に属するような要素の族です。空でない集合のすべての添え字付き族について、直積が空でない集合であるという事実は、選択公理によって保証されています。 $${\displaystyle \prod _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}=\{(a_{i})_{i\in {\mathcal {I}}}\mid (\forall i\in {\mathcal {I}})\;a_{i}\in A_{i}\}.}$$

集合のべき乗

2 つの集合⁠ ⁠ ${\displaystyle E}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle F}$が与えられた場合、集合指数 ( ⁠ ${\displaystyle F^{E}}$ ⁠と表記)は、 ⁠ ⁠から ${\displaystyle E}$⁠ ⁠ ${\displaystyle F}$までのすべての関数を要素として持つ集合です。

同様に、⁠ ⁠ は、すべて ${\displaystyle F^{E}}$⁠ ⁠に等しい集合の、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle E}$でインデックス付けされた族の直積と見なすことができます。これは用語と表記法を説明しています。整数指数によるべき乗は、すべての因数が底に等しい積だからです。 ${\displaystyle F}$

冪集合

集合⁠ ⁠のべき集合とは、空集合と⁠ ⁠自身を含む、 ⁠ ⁠のすべての部分集合を要素として持つ集合です。^{[30]これはしばしば}⁠ ⁠と表記されます。例えば、 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}$ $${\displaystyle {\mathcal {P}}(\{1,2,3\})=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.}$$

⁠ ⁠の部分集合と⁠ ⁠から⁠ ⁠への関数の間には自然な一対一対応（全単射）があります。この対応は、各部分集合に、その部分集合上および他の場所で⁠ ⁠ ⁠の値を取る関数を関連付けます。この対応のため、⁠ ⁠ の冪集合は一般的に集合のべき乗と同一視されます。この表記法では、⁠ ⁠はしばしば⁠ ⁠と略され、 ^{[30] [36]}となります。特に、⁠ ⁠が⁠ ⁠個の要素を持つ場合、⁠ ⁠は⁠ ⁠個の要素を持ちます。^[37] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)=\{0,1\}^{E}.}$$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle 2}$ $${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)=2^{E}.}$$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{E}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

非結合和

2つ以上の集合の非結合和は和に似ていますが、2つの集合に共通の要素がある場合、これらの要素は非結合和では異なるものとして扱われます。これは、要素に元の集合のインデックスでラベルを付けることで得られます

2つの集合⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$の互いに素な和集合は、一般的に⁠ ⁠ ${\displaystyle A\sqcup B}$と表記され、次のように定義されます $${\displaystyle A\sqcup B=\{(a,i)\mid (i=1\land a\in A)\lor (i=2\land a\in B\}.}$$

⁠ ⁠ が ${\displaystyle A=B}$⁠個 ${\displaystyle n}$の要素を持つ集合である場合、⁠ ⁠は ${\displaystyle A\cup A=A}$⁠個 ${\displaystyle n}$の要素を持ち、⁠ ⁠は ${\displaystyle A\sqcup A}$⁠個の ${\displaystyle 2n}$要素を持ちます。

2つの集合の素和は、インデックス付き集合族の素和の特殊なケースであり、次のように定義されます $${\displaystyle \bigsqcup _{i\in {\mathcal {I}}}=\{(a,i)\mid i\in {\mathcal {I}}\land a\in A_{i}\}.}$$

不連続和は集合の圏における余積です。したがって、この表記法は 一般的に用いられます。 $${\displaystyle \coprod _{i\in {\mathcal {I}}}=\{(a,i)\mid i\in {\mathcal {I}}\land a\in A_{i}\}}$$

内部

インデックス付き集合族が与えられたとき、インデックス ${\displaystyle (A_{i})_{i\in {\mathcal {I}}}}$を「忘れる」ことからなる自然な写像が存在します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\bigsqcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}&\to \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\\(a,i)&\mapsto a,\end{aligned}}}$$

この写像は常に射影的です。つまり、集合族の2つの集合のすべての交差が ${\displaystyle A_{i}}$空である場合に限り、単射です。この場合、とは通常同一視され、それらの和は族の要素の不連続和であると言えます。 ${\textstyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}}$ ${\textstyle \bigsqcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}}$

集合が部分集合族の不連続和である場合、その族は集合の分割でもあると言えます。

濃度

非公式には、集合Sの濃度（しばしば| S |と表記）は、その要素の数です。^[38]この数は、対象とする集合と最初の自然数の集合との間に一対一の関係がある場合の自然数です。空集合の濃度はです。[ 39 ]自然数^の濃度を持つ集合は有限集合と呼ばれ、これはどちらの場合にも当てはまります。そうでない場合は、無限集合と呼ばれます。^[40] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0}$

自然数が有限集合の濃度を測定するという事実は、自然数の概念の基礎であり、集合の概念よりも数千年も前から存在しています。組合せ論の大部分は、有限集合の濃度の計算または推定に費やされています。

無限濃度

無限集合の基数は、有限集合の要素数が自然数で表されるのとまったく同じように、一般的に基数で表されます。基数の定義はこの記事では専門的すぎるため、ここでは扱いません。しかし、基数の多くの性質は、以下のように基数を参照せずに扱うことができます

2つの集合⁠ ⁠ ${\displaystyle S}$と⁠ ⁠ は、 ${\displaystyle T}$それらの間に一対一対応（全単射）が存在する場合、同じ濃度を持ちます。これは と表記され、すべての集合からなる集合が存在する場合、集合上の同値関係となります。 ${\displaystyle |S|=|T|,}$

例えば、自然数と偶数の自然数は同じ濃度を持ちます。これは、2を掛け合わせるとそのような一対一性が得られるためです。同様に、区間と すべての実数の集合は同じ濃度を持ちます。これは、関数 によって一対一性が得られるためです。 ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle x\mapsto \tan(\pi x/2)}$

部分集合の濃度が同じであることは、無限集合の特徴的な性質です。集合が無限であるためには、その真部分集合の1つと同じ濃度を持つ必要があります。したがって、上記の例では、自然数は無限集合を形成します。^[30]

等式に加えて、濃度間には自然な不等式があります。集合 から への単射がある場合、ある集合 の濃度は別の集合の濃度以下 ${\displaystyle S}$に ${\displaystyle T}$なります。これはと表されます ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle |S|\leq |T|.}$

シュレーダー・ベルンシュタインの定理は、また、が成り立つことを意味し、また、が成り立つ場合と、 ⁠ ⁠から⁠ ⁠への全射が存在する場合とに限ります。すべての2つの集合⁠ ⁠と⁠ ⁠に対して、または^[c]が成り立ちます。したがって、濃度の不等性は全順序です。 ${\displaystyle |S|\leq |T|}$ ${\displaystyle |T|\leq |S|}$ ${\displaystyle |S|=|T|.}$ ${\displaystyle |S|\leq |T|,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle |S|\leq |T|}$ ${\displaystyle |T|\leq |S|.}$

自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$の集合 の濃度は、最小の無限濃度で表されます。これは、 が自然数の集合である場合、が有限であるか、 ${\displaystyle |\mathbb {N} |=\aleph _{0},}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle |S|=|\mathbb {N} |.}$

濃度が 未満の集合は可算集合と呼ばれます。これらは有限集合または可算無限集合（濃度の集合）のいずれかです。一部の著者は「可算」を「可算無限」の意味で使用します。 よりも真に大きい濃度の集合は、不可算集合と呼ばれます ${\displaystyle |\mathbb {N} |=\aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

カントールの対角線論法は、任意の集合⁠ ⁠ ${\displaystyle S}$に対して、その冪集合（その部分集合の集合）⁠ ⁠ ${\displaystyle 2^{S}}$の濃度がより大きくなることを示しています。これは、最大濃度は存在しないことを意味します。 $${\displaystyle |S|<\left|2^{S}\right|.}$$

実数の濃度

実数の集合の濃度は連続体の濃度と呼ばれ、⁠ ⁠と表記されます。（「 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$連続体」という用語は、実数直線が一般的に数の集合とは見なされていなかった20世紀以前の実数直線を指していました。）

上で見たように、実数直線は開 ${\displaystyle \mathbb {R} }$区間と同じ濃度を持つため、空でない開区間を含む⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$のすべての部分集合も濃度⁠ ⁠を持ちます。 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

実数の濃度は自然数の冪集合の濃度に等しいという意味があります 。特に、^[41] $${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}},}$$ $${\displaystyle {\mathfrak {c}}>\aleph _{0}.}$$

1878年にゲオルク・カントール^[42]によって発表されたとき、この結果は非常に驚くべきものであったため、数学者によって拒否され、一般に受け入れられるまでに数十年を要しました。

⁠ ⁠は ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$平面全体の濃度、および任意の有限次元 ユークリッド空間 ⁠の濃度でもあることが示されます。^[43]

連続体仮説は、 1878年にゲオルク・カントールによって定式化された予想であり、濃度が厳密に と の間にある集合は存在しないというもの ${\displaystyle \aleph _{0}}$です。^[42] 1963年、ポール・コーエンは、連続体仮説は選択公理を持つツェルメロ＝フランケル集合論の公理とは独立していることを証明しました。^[44] これは、最も広く使用されている集合論が矛盾しない（つまり自己矛盾しない）場合、^[d]連続体仮説をさらに公理として追加した集合論と、連続体仮説の否定を追加した集合論の両方で同じことが成り立つことを意味します。 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

選択公理

非公式には、選択公理とは、任意の空でない集合の族が与えられたとき、それぞれの要素を同時に選択できるというものである。^[e]このように定式化すると、無限の瞬間的な作用を想像することが難しいため、この公理の妥当性は基礎的な論理的問題を引き起こす。しかし、それと同等の定式化がいくつかあり、それらははるかに議論の余地が少なく、数学の多くの分野に大きな影響を与える。したがって、今日では、選択公理は主流の数学で広く受け入れられている。

選択公理のより正式な記述は、「すべてのインデックス付き空でない集合の族の直積は空でない」である。

他の同等の形式については、以下の節で説明する。

ツォルンの補題

ツォルンの補題は、集合論の他の公理の下での選択公理と同等の主張であり、通常の数学でより使いやすい

を ${\displaystyle S}$半順序集合とする。⁠ ⁠内の連鎖は、 ${\displaystyle S}$誘導順序の下で全順序付けされた部分集合である。ツォルンの補題は、⁠ ⁠ 内のすべての連鎖が⁠ ⁠ に上限を持つ場合、⁠ ⁠は（ ${\displaystyle S}$少なくとも）最大元、つまり⁠ ⁠ ⁠ の他の要素よりも小さくない要素を持つと述べている。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

のほとんどの用法において、⁠ ⁠ ${\displaystyle S}$は集合の集合であり、順序は集合の包含であり、連鎖の上限はその要素の和集合として取られる

ツォルンの補題の使用例としては、すべてのベクトル空間が基底を持つことの証明があります。ここで、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle S}$の元はベクトル空間の線型独立な部分集合です。⁠ ⁠の元の連鎖の和は線型 ${\displaystyle S}$独立です。なぜなら、無限集合が線型独立であるためには、各有限部分集合も線型独立である必要があり、また、連鎖の和のすべての有限部分集合は、連鎖の元に含まれなければならないからです。したがって、最大線型独立集合が存在します。この線型独立集合は、最大性のためにベクトル空間を張らなければならないため、基底となります

ツォルンの補題のもう一つの古典的な用法は、環のすべての真イデアル（つまり、環全体ではないイデアル）が極大イデアルに含まれるという証明です。ここで、⁠ ⁠は与えられたイデアルを含む真イデアルの集合です。イデアルの連鎖の和集合はイデアルです。なぜなら、イデアルの公理は有限個の元を含むからです。真イデアルの連鎖の和集合は真イデアルです。なぜなら、そうでなければ⁠ ⁠は和集合に属し、これは⁠ ⁠が連鎖の要素に属することを意味するからです。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1}$

超限帰納法

選択公理は、すべての集合に整列順序を定義できるという事実と同等です。ここで、整列順序とは、すべての空でない部分集合が最小元を持つような全順序です

順序付き集合の簡単な例としては、自然数（自然順序）と、すべてのnに対して、辞書式順序を持つn組の自然数の集合が挙げられます。

順序付き集合は、数学的帰納法の一般化、すなわち超限帰納法を可能にします。自然数に依存する性質（述語）が与えられた場合、数学的帰納法とは、が常に真であることを証明するには、すべてのnに対して、であることを証明すれば十分であるという事実です。 ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle (m<n\implies P(m))\implies P(n).}$

超限帰納法

多くの場合、超限帰納法による証明は、3つのケースを別々に証明するとより簡単になります。最初の2つのケースは通常の帰納法と同じです。

• ${\displaystyle P(0)}$は真です。ここで、nは順序 ${\displaystyle 0}$付き集合の最小の要素を表します。
• ${\displaystyle P(x)\implies P(S(x)),\quad }$ nは ${\displaystyle S(x)}$nの後続要素を表します。つまり、 nより大きい最小の要素です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle (\forall y;\;y<x\implies P(y))\implies P(x),\quad }$が ${\displaystyle x}$後続要素でない場合

超限帰納法は、順序数と基数を定義するための基本的な方法です。

参照

• 集合の代数 - 集合を含む恒等式と関係
• 代替集合論 – 標準的なツェルメロ・フランケル集合論の代替Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 集合の圏 – 対象が集合であり、射が関数である圏
• クラス（集合論）  – 数学における集合の集まりで、その要素の性質に基づいて定義できるもの
• 集合族 – 集合の任意の集合、または集合の部分集合
• ファジー集合 – 要素に帰属度がある集合
• 数理論理学 – 数学の分野
• メレオロジー – 部分とそれらが形成する全体の研究
• プリンキピア・マテマティカ – 1910年から1913年にかけて刊行された全3巻の数学論文
• 集合論 – 集合を研究する数学の分野
• ツェルメロ＝フランケル集合論 – 公理的集合論の標準体系

注釈

1. ϕ、^{[15] 、} ϕ ^[16]など、表記上の異形が時々使用されます。
2. 単位集合という用語も時々使用されます。^[14]
3. この性質は選択公理と同等です。
4. 集合論の無矛盾性は、それ自体の中から証明することはできません
5. ゲーデル^[45]とコーエン^[46]は、選択公理は残りの集合論公理からはそれぞれ証明も反証もできないことを示しました。

引用

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   「天国から、歌い手は我々を解き放ち、我々を再び見ることができる。」

   ジャン・ヴァン・ヘイエノールト著『無限について』ハーバード大学出版局に翻訳

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参考文献

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外部リンク

• Wiktionaryの「集合」の辞書定義
• カントールの「超限集合論の基礎となるもの」（ドイツ語）

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