16セルハニカム

16セルハニカム
透視投影: 隣接する 16 セル ファセットの最初のレイヤー。
タイプ	レギュラー4ハニカム ユニフォーム4ハニカム
家族	交互ハイパーキューブハニカム
シュレーフリ記号	{3,3,4,3}
コクセター図	＝ ＝
4面タイプ	{3,3,4}
細胞の種類	{3,3}
顔のタイプ	{3}
エッジ図	キューブ
頂点図形	24セル
コクセターグループ	${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$= [3,3,4,3]
デュアル	{3,4,3,3}
プロパティ	頂点推移、辺推移、面推移、セル推移、4面推移

4 次元 ユークリッド幾何学において、16 セル ハニカムは、3 つの規則的な空間充填モザイク(またはハニカム) の 1 つであり、シュレーフリ記号{3,3,4,3} で表され、すべての (三角形の) 面の周囲に 3 つずつ、 16 セルの 面を 4 次元に詰め込むことによって構築されます 。

その双対は24セルハニカムである。その頂点図形は24セルである。頂点配置はB _{4 格子}、D _{4 格子}、またはF ₄格子と呼ばれる。^{[1] [2]}

別名

• ヘキサデカコリックテトラコーム/ハニカム
• デミテセラティックテトラコーム/ハニカム

座標

頂点は、座標の合計が偶数になるように、すべての整数座標 (i,j,k,l) に配置できます。

D₄格子

16セルハニカムの頂点配置はD 4 格子またはF 4 格子と呼ばれます。[ 2 _]この格子_の頂点^は、 4次元空間における最も稠密な球面のパッキングにおける3次元球面の中心です。 ^[3]その接吻数は24で、これはR ⁴の接吻数と同じであり、2003年にオレグ・ムシンによって証明されました。^{[4] [5]}

関連するD⁺⁴
_​格子（Dとも呼ばれる）²
_{4）は2つのD 4}格子の結合によって構成され、C ₄格子と同一である：^[6]

∪＝＝

Dのキスナンバー⁺⁴
_​2 ³ = 8（n < 8の場合は2 ^{n − 1 、} n = 8の場合は240 、n > 8の場合は2 n ( n − 1)）である。^[7]

関連するD^*
₄格子（Dとも呼ばれる）⁴
₄およびC²
_{4）は、4つのD 4}格子すべての和集合で構成できますが、 D ₄格子と同一です。これは、4次元体心立方格子でもあり、2つの4次元立方体ハニカムを双対位置で和集合したものです。^[8]

∪∪∪＝＝∪。

Dのキスナンバー^*
₄格子（およびD ₄格子）は24個あり^[9]、そのボロノイ分割は24セルのハニカムである。、すべての整流された16セル（24セル）ボロノイセルを含む、または. ^[10]

対称構造

このモザイクには3つの異なる対称構造があり、それぞれの対称性は、色付きの16セル面の異なる配置によって表現できます。

コクセターグループ	シュレーフリ記号	コクセター図	頂点図形の 対称性	ファセット/verf
${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$= [3,3,4,3]	{3,3,4,3}		[3,4,3]、注文番号1152	24: 16セル
${\displaystyle {\tilde {B}}_{4}}$= [3 1,1 ,3,4]	= h{4,3,3,4}	＝	[3,3,4]、順序384	16+8: 16セル
${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$= [3 1,1,1,1 ]	{3,3 1,1,1 } = h{4,3,3 1,1 }	＝	[3 1,1,1 ]、次数192	8+8+8: 16セル
2×½ = [[(4,3,3,4,2 + )]] ${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$	高さ0,4 {4,3,3,4}			8+4+4: 4デミキューブ 8: 16セル

関連するハニカム

これは、5-正方格子面を持つ正双曲型 5 空間5-正方格子ハニカム{3,3,3,4,3}、正方 4 多面体24 セル{3,4,3} (八面体 (3-正方格子) セル)、および (2-正方格子) 正方形面を持つ立方体 {4,3} と関連しています。

2次元の類似体である{3,6}があり、交代形式（半円ハニカム、h{4,3,3,4}）として交代立方ハニカムと関連しています。

このハニカムは、コクセター群によって構築された20個の均一ハニカムのうちの1つであり、3個を除く全ては、コクセター・ディンキン図における環のグラフ対称性に見られるように、拡張対称性によって他の族にも繰り返される。20個の順列は、最も拡張された対称性関係を持つ順に列挙されている。 ${\displaystyle {\tilde {D}}_{5}}$

D5ハニカム
拡張 対称性	拡張 図	拡張 グループ	ハニカム
[3 1,1 ,3,3 1,1 ]		${\displaystyle {\tilde {D}}_{5}}$
<[3 1,1 ,3,3 1,1 ]> ↔ [3 1,1 ,3,3,4]	↔	${\displaystyle {\tilde {D}}_{5}}$×2 1 = ${\displaystyle {\tilde {B}}_{5}}$	、、、 、、、
[[3 1,1 ,3,3 1,1 ]]		${\displaystyle {\tilde {D}}_{5}}$×2 2	、
<2[3 1,1 ,3,3 1,1 ]> ↔ [4,3,3,3,4]	↔	${\displaystyle {\tilde {D}}_{5}}$×4 1 = ${\displaystyle {\tilde {C}}_{5}}$	、、、、、
[<2[3 1,1 ,3,3 1,1 ]>] ↔ [[4,3,3,3,4]]	↔	${\displaystyle {\tilde {D}}_{5}}$×8 = ×2 ${\displaystyle {\tilde {C}}_{5}}$	、、

参照

4次元空間における規則的かつ均一なハニカム構造:

• テッセラティックハニカム
• 24セルハニカム
• 切頂24セルハニカム
• スナブ24セルハニカム
• 5セルハニカム
• 切頂5セルハニカム
• 全切頂5セルハニカム

注記

1. 「ラティスF4」。
2. 「The Lattice D4」。
3. Conway and Sloane,球面パッキング、格子、群、1.4 n次元パッキング、p.9
4. Conway and Sloane,球面パッキング、格子、群、1.5 球面パッキング問題の結果の要約、p. 12
5. OR Musin (2003). 「25球の問題」. Russ. Math. Surv . 58 (4): 794– 795. Bibcode :2003RuMaS..58..794M. doi :10.1070/RM2003v058n04ABEH000651.
6. Conway and Sloane,球面パッキング、格子、群、7.3 パッキング D ₃ ⁺、p.119
7. Conway and Sloane, Sphere Packings, lattices, and groups、p. 119
8. Conway and Sloane,球面パッキング、格子、群、7.4 双対格子 D ₃ ^*、p.120
9. コンウェイとスローン、「球面パッキング、格子、群」、120ページ
10. Conway and Sloane, Sphere Packings, lattices, and groups、p. 466

参考文献

• コクセター『HSM 正多面体』（第3版、1973年）、ドーバー版、ISBN 0-486-61480-8
  • pp. 154–156: 部分的な切り捨てまたは交替。接頭辞hで表されます。h{4,4} = {4,4}; h{4,3,4} = {3 ^1,1 ,4}、h{4,3,3,4} = {3,3,4,3}、...
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6[1]
  • （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• ジョージ・オルシェフスキー『均一な全倍数体テトラコーム』原稿（2006年）（11個の凸均一タイリング、28個の凸均一ハニカム、および143個の凸均一テトラコームの完全なリスト）
• Klitzing, Richard. 「4D ユークリッドモザイク」x3o3o4o3o - ヘクスト - O104
• Conway JH, Sloane NJH (1998). Sphere Packings, Lattices and Groups (第3版). Springer. ISBN 0-387-98585-9。

v t e 2～9次元の基本凸正則ハニカムと一様ハニカム
空間	家族	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$/ / ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E 2	均一なタイリング	0 [3]	δ 3	hδ 3	qδ 3	六角
E 3	均一な凸型ハニカム	0 [4]	δ 4	hδ 4	qδ 4
E4​	均一な4ハニカム	0 [5]	δ 5	hδ5	qδ 5	24セルハニカム
E 5	均一な5ハニカム	0 [6]	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	均一な6ハニカム	0 [7]	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	均一な7ハニカム	0 [8]	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E8​	均一な8ハニカム	0 [9]	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E9​	均一な9ハニカム	0 [10]	δ 10	hδ 10	qδ 10
E 10	均一な10ハニカム	0 [11]	δ 11	hδ 11	qδ 11
E n −1	均一な（n −1）ハニカム	0 [ n ]	δ n	hδ n	qδ n	1 k 2 • 2 k 1 • k 21

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