半周長

多角形の辺の長さの合計の半分

幾何学において、多角形の半周は、その周長の半分です。半周は周長から簡単に導出できますが、三角形やその他の図形の公式に頻繁に現れるため、別の名前が付けられています。半周が公式の一部として現れる場合、通常は文字sで表されます。

動機：三角形

どの三角形でも、三角形の境界に沿った頂点から外接円が接する反対側の辺上の点までの距離は半周に等しくなります。

半周は三角形で最もよく使われます。辺の長さがa、b、cである三角形の半周の公式は、

${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}.}$

プロパティ

任意の三角形において、任意の頂点と、対外円が三角形に接する点は、三角形の周長を2つの等しい長さに分割し、それぞれの長さが半周長に等しい2つの経路を作成します。図に示すように、 A、B、B'、C'が、対外円に接する頂点を結ぶ線分（図では赤で示されているAA'、BB'、CC' ）は、分割線と呼ばれます。

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=|AB|+|A'B|=|AB|+|AB'|=|AC|+|A'C|\\&=|AC|+|AC'|=|BC|+|B'C|=|BC|+|BC'|.\end{aligned}}}$

3 つのスプリッターは三角形のナーゲル点に一致します。

三角形の包丁とは、三角形の周を二等分し、3辺の中点を一端とする線分のことです。したがって、あらゆる包丁は、あらゆる分割器と同様に、三角形をそれぞれの長さが半周に等しい2つの経路に分割します。3つの包丁は、中心三角形の内接円であるシュピーカー円の中心で一致します。シュピーカー中心は、三角形の辺上のすべての点の重心です。

三角形の内心を通る線が周囲を 二等分するのは、その線が面積も二等分する場合に限ります。

三角形の半周は、その中心三角形の周長に等しくなります。

三角不等式により、三角形の最長辺の長さは半周よりも短くなります。

半周長に関する公式

三角形の場合

三角形の面積Aは、その内接円の半径と半周の積です。

${\displaystyle A=rs.}$

三角形の面積は、ヘロンの公式を使用して、半周と辺の長さa、b、cから計算することもできます。

${\displaystyle A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.}$

三角形の外接半径 Rは、半周と辺の長さから計算することもできます。

${\displaystyle R={\frac {abc}{4{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}.}$

この式は正弦定理から導き出せます。

内接円は

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}.}$

余接の法則は、半周、辺、内接半径に関して三角形の頂点の半角の余接を与えます。

長さaの辺と反対側の角の内二等分線の長さは^[1]である。

${\displaystyle t_{a}={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}.}$

直角三角形において、斜辺上の外接円の半径は半周長に等しくなります。半周長は内接円の半径と外接円の2倍の和です。直角三角形の面積は、aとbをそれぞれの辺としたときの面積です。 ${\displaystyle (s-a)(s-b)}$

四辺形の場合

辺の長さがa、b、c、dである四辺形の半周長の公式は

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

半周長を含む三角形の面積公式の 1 つは、接線四辺形にも適用されます。接線四辺形には内接円があり、ピトーの定理によれば、向かい合う 2 辺の長さの合計は半周長になります。つまり、面積は内接円と半周長の積です。

${\displaystyle K=rs.}$

円周四辺形の面積を求めるブラフマグプタの公式の最も単純な形は、三角形の面積を求めるヘロンの公式と似ています。

${\displaystyle K={\sqrt {\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)}}.}$

ブレトシュナイダーの公式はこれをすべての凸四辺形に一般化します。

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}},}$

ここで、αとγは 2 つの反対角です。

二心四辺形の 4 つの辺は、半周、内接円の半径、および外接円の半径によってパラメータ化された 4 次方程式の 4 つの解です。

正多角形

凸 正多角形の面積は、その半周と周長の積です。

サークル

円の半周は半円周とも呼ばれ、その半径 rに正比例します。

${\displaystyle s=\pi \cdot r.\!}$

比例定数は円周率、πです。

参照

• 半径

参考文献

1. ジョンソン、ロジャー・A. (2007). 『ユークリッド幾何学の発展』ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー、p. 70. ISBN 9780486462370。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「半周長」。MathWorld。

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