トリチェリの方程式

物理学において、トリチェリの方程式、またはトリチェリの公式は、エヴァンジェリスタ・トリチェリによって作成された方程式であり、既知の時間間隔を持たずに軸（たとえば、x 軸）に沿って一定の加速度で移動する物体の最終速度を求めるために作成されました。

方程式自体は次の通りである: ^[1]

$v_{\text{f}}^{2}=v_{\text{i}}^{2}+2a\Delta x\,$

どこ

$v_{\text{f}}$ 加速度が一定である x 軸に沿った物体の最終速度です。
$v_{\text{i}}$ 物体のx軸に沿った初期速度です。
$a$ は、x 軸に沿った物体の加速度であり、定数として与えられます。
$\Delta x\,$ は、オブジェクトの x 軸に沿った位置の変化であり、変位とも呼ばれます。

この式およびこの記事の以降のすべての式では、下付き文字( の場合のように) が暗黙的に含まれていますが、式をわかりやすくするために明示的には表現されていません。 $x$ ${v_{\text{f}}}_{x}$

この方程式は、加速度が一定である任意の軸に沿って有効です。

導出

微分積分なしで

等加速度の場合の次の関係から始めます。

x_{\text{f}}-x_{\text{i}}=v_{\text{i}}t+{\tfrac {1}{2}}at^{2}

1

v_{\text{f}}-v_{\text{i}}=at

2

(1) の両辺に加速度を掛けると ${\textstyle a}$

a(x_{\text{f}}-x_{\text{i}})=av_{\text{i}}t+{\tfrac {1}{2}}a^{2}t^{2}

3

次のように右側を並べ替えると、次の置換がわかりやすくなります。

a(x_{\text{f}}-x_{\text{i}})=v_{\text{i}}(at)+{\tfrac {1}{2}}(at)^{2}

4

(2)を使って製品を置き換えます。 ${\textstyle at}$

a(x_{\text{f}}-x_{\text{i}})=v_{\text{i}}(v_{\text{f}}-v_{\text{i}})+{\tfrac {1}{2}}(v_{\text{f}}-v_{\text{i}})^{2}

5

掛け算を計算します。

a(x_{\text{f}}-x_{\text{i}})=v_{\text{i}}v_{\text{f}}-v_{\text{i}}^{2}+{\tfrac {1}{2}}v_{\text{f}}^{2}-v_{\text{i}}v_{\text{f}}+{\tfrac {1}{2}}v_{\text{i}}^{2}

6

交差項は互いに減少し、2乗項のみが残ります。 ${\textstyle v_{\text{i}}v_{\text{f}}}$

a(x_{\text{f}}-x_{\text{i}})={\tfrac {1}{2}}v_{\text{f}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}v_{\text{i}}^{2}

7

（７）は、本稿の冒頭で示したトリチェリの式の形に変形される。

v_{\text{f}}^{2}=v_{\text{i}}^{2}+2a\Delta x

8

微分と積分を使う

位置の微分としての速度と、速度の微分としての加速度の定義から始めましょう。

v={\frac {dx}{dt}}

9

a={\frac {dv}{dt}}

10

初期位置から最終位置までの統合を設定する ${\textstyle x_{\text{i}}}$ ${\textstyle x_{\text{f}}}$

\int _{x_{\text{i}}}^{x_{\text{f}}}a\,dx

11

(9)に従って、をに置き換えることができ、それに応じて極限が変化する。 ${\textstyle dx}$ ${\textstyle v\,dt}$

\int _{t_{\text{i}}}^{t_{\text{f}}}a\,v\,dt

12

ここで、との順序を変更すると、次の置換を認識しやすくなります。 ${\textstyle a}$ ${\textstyle v}$

\int _{t_{\text{i}}}^{t_{\text{f}}}v\,a\,dt

13

(10)に従って、をに置き換えることができ、それに応じて極限が変化する。 ${\textstyle a\,dt}$ ${\textstyle dv}$

\int _{v_{\text{i}}}^{v_{\text{f}}}v\,dv

14

つまり次のようになります:

\int _{x_{\text{i}}}^{x_{\text{f}}}a\,dx=\int _{v_{\text{i}}}^{v_{\text{f}}}v\,dv

15

加速度は一定なので、積分から除外することができます。

a\int _{x_{\text{i}}}^{x_{\text{f}}}dx=\int _{v_{\text{i}}}^{v_{\text{f}}}v\,dv

16

統合の評価:

ax{\Big |}_{x=x_{\text{i}}}^{x=x_{\text{f}}}={\tfrac {1}{2}}v^{2}{\Big |}_{v=v_{\text{i}}}^{v=v_{\text{f}}}

17

a\left(x_{\text{f}}-x_{\text{i}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(v_{\text{f}}^{2}-v_{\text{i}}^{2}\right)

18

要因は変位です: ${\textstyle x_{\text{f}}-x_{\text{i}}}$ ${\textstyle \Delta x}$

2a\Delta x=v_{\text{f}}^{2}-v_{\text{i}}^{2}

19

v_{\text{f}}^{2}=v_{\text{i}}^{2}+2a\Delta x

20

応用

トリチェリの式とを組み合わせると、仕事-エネルギー定理が得られます。 ${\textstyle F=ma}$

トリチェリの方程式と非一様加速度への一般化は同じ形式になります。

（16）の繰り返し：

\int _{x_{\text{i}}}^{x_{\text{f}}}a\,dx=\int _{v_{\text{i}}}^{v_{\text{f}}}v\,dv

21

右側を評価する:

\int _{x_{\text{i}}}^{x_{\text{f}}}a\,dx={\tfrac {1}{2}}v_{\text{f}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}v_{\text{i}}^{2}

22

トリチェリの式と比較するために、(7)を繰り返します。

a(x_{\text{f}}-x_{\text{i}})={\tfrac {1}{2}}v_{\text{f}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}v_{\text{i}}^{2}

23

仕事-エネルギー定理を導くには、まず両辺に位置座標に関する積分を記述します。両辺が積分可能であれば、得られる式は有効です。 ${\textstyle F=ma}$

\int _{x_{\text{i}}}^{x_{\text{f}}}F\,dx=\int _{x_{\text{i}}}^{x_{\text{f}}}ma\,dx

24

（22）を使って右辺を処理する。

\int _{x_{\text{i}}}^{x_{\text{f}}}F\,dx={\tfrac {1}{2}}mv_{\text{f}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}mv_{\text{i}}^{2}

25

(22)と(23)の右辺が同じである理由：

まず、から、次にからという、連続する 2 段階の異なる均一加速度の場合を考えます。 ${\textstyle s_{0}}$ ${\textstyle s_{1}}$ ${\textstyle s_{1}}$ ${\textstyle s_{2}}$

2 つのステージそれぞれの表現:

$a_{1}(s_{1}-s_{0})={\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}-{\tfrac {1}{2}}v_{0}^{2}$ $a_{2}(s_{2}-s_{1})={\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}$

これらの式は連続した間隔を表すため、加算することができ、結果は有効な式になります。

加算すると中間項は消え、外側の項とのみが残ります。 ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}v_{0}^{2}}$

a_{1}(s_{1}-s_{0})+a_{2}(s_{2}-s_{1})={\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}v_{0}^{2}

26

上記の結果は一般化されます。つまり、合計距離は任意の数の区分に細分化でき、すべてを合計すると外側の項のみが残り、中間の項はすべて削除されます。

（26）をからまでの全区間の任意の数の細分に一般化すると、次の和として表すことができます。 ${\textstyle s_{0}}$ ${\textstyle s_{n}}$

\sum _{i=1}^{n}a_{\text{i}}(s_{\text{i}}-s_{i-1})={\tfrac {1}{2}}v_{n}^{2}-{\tfrac {1}{2}}v_{i-1}^{2}

27

参照

運動方程式

参考文献

^ レアンドロ・ベルトルド (2008)。 Fundamentos do Dinamismo (ポルトガル語)。ジョインヴィレ: Clube de Autores。41～ 42ページ。

外部リンク

トリチェリの定理

[Bertoldo2008-1] レアンドロ・ベルトルド (2008)。 Fundamentos do Dinamismo (ポルトガル語)。ジョインヴィレ: Clube de Autores。41～ 42ページ。