下限トポロジー

実数上の位相

数学において、下極限位相、あるいは右半開区間位相は、実数の集合上で定義される 位相である。これは、（開区間によって生成される）上の標準位相とは異なり、いくつかの興味深い性質を持つ。これは、すべての半開区間[ a , b ) の基底によって生成される位相である。ここで、aとb は実数である。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

結果として得られる位相空間は、ロバート ・ソルゲンフライにちなんでソルゲンフライ直線、あるいは矢印と呼ばれ、 、あるいは と表記されることもある。 [ 1 ]カントール^集合や長直線と同様に、ソルゲンフライ直線は、一般位相幾何学における、一見もっともらしく聞こえる多くの予想に対する有用な反例としてしばしば用いられる。と 自身の積もまた有用な反例であり、ソルゲンフライ平面として知られる。 ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\text{LL}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\text{bad}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$

完全に類推して、上限位相、または左半開区間位相を定義することもできます。

プロパティ

• 下限位相は、実数上の標準位相（開区間によって生成される）よりも細かく（開集合の数が多い）なっています。これは、すべての開区間が（可算無限個の）半開区間の和集合として表すことができるからです。
• 任意の実数 と に対して、区間 はにおいて閉開区間である（すなわち、 は開区間であり、も閉区間でもある）。さらに、任意の実数 に対して、集合とも閉開区間である。これは、ソルゲンフライ直線 が において完全に不連続であることを示す。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle [a,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x<a\}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x\geq a\}}$
• の任意のコンパクト部分集合は、高々可算集合でなければならない。これを理解するには、空でないコンパクト部分集合 を考えてみよう。 を固定し、 の次の開被覆を考えてみよう。 ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} _{l}}$ ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\bigl \{}[x,+\infty ){\bigr \}}\cup {\Bigl \{}{\bigl (}-\infty ,x-{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}\,{\Big |}\,n\in \mathbb {N} {\Bigr \}}.}$

はコンパクトであるため、この被覆は有限部分被覆を持ち、したがって、区間以外にの点を含まないような実数 が存在する。これはすべての について成り立つ。次に、有理数 を選ぶ。によってパラメータ化された区間 は互いに素であるため、関数 は単射であり、したがって は高々可算である。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle (a(x),x]}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle q(x)\in (a(x),x]\cap \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (a(x),x]}$ ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle q:C\to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle C}$

• 「下限位相」という名称は、次の事実に由来する：におけるシーケンス（またはネット）が の極限に収束する場合、かつその場合のみ、それが「右から近づく」、つまり任意の に対して となるような指数が存在する、ということである。したがって、ソルゲンフライ線はの右側極限を調べるために使用することができる。が関数である場合、（共線領域が標準位相を持つ場合）におけるの通常の右側極限は、領域に下限位相が備えられ、共線領域が標準位相を持つ場合の におけるの通常の極限と同じである。 ${\displaystyle (x_{\alpha })}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \forall \alpha \geq \alpha _{0}:L\leq x_{\alpha }<L+\epsilon }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$
• 分離公理の観点から見ると、は完全に通常のハウスドルフ空間です。 ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$
• 可算性公理によれば、は第一可算かつ分離可能ですが、第二可算ではありません。 ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$
• コンパクト性の特性から見ると、はリンデレフかつパラコンパクトですが、σ コンパクトでも局所コンパクトでもありません。 ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$は計量化可能ではない。なぜなら、可分距離空間は第二可算だからである。しかし、ソルゲンフライ直線の位相は準計量的によって生成される。
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$はベール空間である。^[2]
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$連結コンパクト化は存在しない。^[3]

参照

• トポロジのリスト

参考文献

1. 、マイケル、スー、フランシス（2019年）。『トポロジー・スルー・インクワイアリー』MAAプレス、p.43。ISBN 9781470452766。
2. 「一般位相幾何学 - ソルゲンフライ線はベール空間である」。Mathematics Stack Exchange。
3. Adam Emeryk, Władysław Kulpa. ソルゲンフリー直線には連結コンパクト化がない. Comm. Math. Univ. Carolinae 18 (1977), 483–487.

• スティーン、リン・アーサー；シーバッハ、J.アーサー・ジュニア（1995）[1978]、「位相幾何学における反例」（ 1978年版のドーバー再版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-486-68735-3、MR  0507446

「https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Lower_limit_topology&oldid=1311344590」から取得