発射体の運動

Motion of launched objects due to gravity

水ジェットの放物線軌道

放物線投擲の初速度の成分

弾道の軌道は、重力が均一な場合は放物線状になり、重力が放射状の場合は楕円状になります。

物理学において、投射運動とは、空中に発射された物体が空気抵抗を無視し、重力のみの影響下で移動する運動を指します。この理想的なモデルでは、物体は初速度と重力による一定の加速度によって決まる放物線状の軌道を描きます。この運動は水平成分と垂直成分に分解でき、水平方向の運動は一定速度で発生し、垂直方向の運動は等加速度で発生します。

古典力学の中核を成すこの枠組みは、工学や弾道学からスポーツ科学や自然現象まで、幅広い応用の基礎となります。

ガリレオ・ガリレイは、与えられた発射体の軌道は放物線状であるが、物体が真上または真下に投げられた特殊な場合には直線となることもあることを示した。このような運動の研究は弾道学と呼ばれ、このような軌道は弾道的であると説明される。物体に作用する数学的に重要な力は重力のみであり、重力は下向きに作用し、物体に地球の質量中心に向かって下向きの加速を与える。物体の慣性により、物体の運動の 水平方向の速度成分を維持するために外力は必要ない。

空気抵抗や内部推進力（ロケットなど）といった他の力を考慮するには、追加の解析が必要です。弾道ミサイルとは、飛行初期の比較的短い推進段階においてのみ誘導され、その後の進路は古典力学の法則によって支配されるミサイルです。

弾道学（古代ギリシャ語の βάλλειν bállein「投げる」に由来）は、発射物、特に弾丸、無誘導爆弾、ロケットなどの飛行、動作、効果を扱う力学の科学であり、望ましい性能を達成できるように発射物を設計および加速する科学または技術です。  

空気抵抗と初期速度の変化を伴う発射体の軌道

弾道学の基本方程式は、初速度、発射角度、そして一定と仮定した重力加速度を除くほぼすべての要因を無視しています。弾道学の問題の実際的な解法は、空気抵抗、横風、標的の運動、高度によって変化する重力加速度、そして地球上のある地点から別の地点へのロケット打ち上げといった問題においては、地平線からの距離と地球の曲率R（地球の局所的な自転速度）の関係を考慮する必要があることがよくあります。実際的な問題の詳細な数学的解は、通常、閉形式の解を持たないため、数値的な手法が必要となります。 ${\textstyle v(lat)=\omega R(lat)}$

真空中の軌道

投射運動においては、水平方向の運動と垂直方向の運動は互いに独立しており、つまり、どちらの運動も他方に影響を与えません。これはガリレオが1638年に確立した複合運動の原理であり^[1]、ガリレオはこれを投射運動の放物線状の形態を証明するために用いました^{[2] 。}

発射体の速度の水平成分と垂直成分は互いに独立しています。

弾道の軌道は、他の力が作用していない状態で一定加速度で移動する宇宙船のように、一様な加速度を伴う放物線です。地球上では、加速度の大きさは高度によって変化し、方向（遠方の目標）は軌道上の緯度/経度によって変化します。このため、軌道は楕円形となり、小規模なスケールでは放物線に非常に近づきます。しかし、もし物体が投げ出され、地球が突然同じ質量のブラックホールに置き換わったとしたら、弾道の軌道は無限に伸びる放物線ではなく、その「ブラックホール」を周回する楕円軌道の一部であることが明らかになります。より高速な場合、軌道は円軌道（低軌道？の宇宙飛行士、5Rの静止衛星）、放物線、または双曲面（月や太陽などの他の物体によって歪ま​​ない限り）になることもあります。 ${\textstyle g(y)=g_{0}/(1+y/R)^{2}}$ ${\textstyle {\frac {5}{6}}}$

この記事では、均一な重力加速度が仮定されています。 ${\textstyle (g=g_{0})}$

加速度

加速度は垂直方向にのみ存在するため、水平方向の速度は一定で、 に等しい。発射体の垂直方向の運動は、自由落下中の粒子の運動である。ここで加速度は一定で、 gに等しい。^{[注 1]}加速度の成分は以下のとおりである。 ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}\cos \theta }$

${\displaystyle a_{x}=0}$、

${\displaystyle a_{y}=-g}$.*

*y 加速度は、地球が 対象物体に及ぼす力とも呼ばれます。 ${\textstyle (-F_{g}/m)}$

速度

発射体が初期速度 で発射されるとします。これは、次のように水平成分と垂直成分の合計として表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}} }$。

初期打ち出し角度θが分かっている場合は、成分とを求めることができます。 ${\displaystyle v_{0x}}$ ${\displaystyle v_{0y}}$

${\displaystyle v_{0x}=v_{0}\cos(\theta )}$、

${\displaystyle v_{0y}=v_{0}\sin(\theta )}$

物体の速度の水平成分は運動中ずっと変化しません。速度の垂直成分は、重力加速度が一定であるため、線形に変化します^{[注 2] 。x}方向とy方向の加速度を積分することで、任意の時刻tにおける速度成分を次のように求めることができます。

${\displaystyle v_{x}=v_{0}\cos(\theta )}$、

${\displaystyle v_{y}=v_{0}\sin(\theta )-gt}$。

速度の大きさ（ピタゴラスの定理、三角法則としても知られる）

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}$。

変位

放物線投射の変位と座標

いつでも、発射体の水平および垂直の変位は次のようになります。 ${\displaystyle t}$

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$、

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$。

変位の大きさは次のようになります。

${\displaystyle \Delta r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$。

次の方程式を考えてみましょう。

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$そして[ ^3] ${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

これら2つの方程式の間でtを消去すると、次の方程式が得られます。

${\displaystyle y=\tan(\theta )\cdot x-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x^{2}=\tan \theta \cdot x\left(1-{\frac {x}{R}}\right).}$

ここで、R は発射体の射程距離です。

g、θ、v ₀は定数なので、上記の式は次のようになる。

${\displaystyle y=ax+bx^{2}}$、

ここで、aとbは定数です。これは放物線の方程式なので、軌跡は放物線状です。放物線の軸は垂直です。

発射体の位置（x,y）と発射角度（θまたはα）がわかっている場合、前述の放物線方程式のv _{0を解くことで初期速度を求めることができます。}

${\displaystyle v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}}$。

極座標における変位

発射体の放物線軌道は、直交座標系ではなく極座標系でも表すことができます。この場合、位置は一般的な式で表されます。

${\displaystyle r(\phi )={\frac {2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{|g|}}\left(\tan \theta \sec \phi -\tan \phi \sec \phi \right)}$。

この式において、原点は発射体の水平射程距離の中点であり、地面が平坦であれば、放物線は射程距離 の範囲に描かれます。この式は、上記の直交座標系をとで変形することで得られます。 ${\displaystyle 0\leq \phi \leq \pi }$ ${\displaystyle y=r\sin \phi }$ ${\displaystyle x=r\cos \phi }$

飛行時間または全行程の合計時間

発射体が空中に留まる合計時間tを飛行時間と呼びます。

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

飛行後、弾丸は水平軸（x軸）に戻るので、 ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle v_{0}t\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt^{2}}$

${\displaystyle v_{0}\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt}$

${\displaystyle t={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{g}}}$

発射体に対する空気抵抗を無視していることに注意してください。

出発点が衝突点に対して 高さy _{0にある場合、飛行時間は次のようになります。}

${\displaystyle t={\frac {d}{v\cos \theta }}={\frac {v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}}{g}}}$

上と同様に、この式は（ y ₀は0）に簡約できる。

${\displaystyle t={\frac {v\sin {\theta }+{\sqrt {(v\sin {\theta })^{2}}}}{g}}={\frac {2v\sin {\theta }}{g}},}$＝ ${\displaystyle {\frac {2v\sin {(45^{\circ })}}{|g|}}={\frac {{\sqrt {2}}v}{|g|}}}$

θが45°の場合。

目標位置までの飛行時間

上記の「変位」セクションで示したように、発射体の水平速度と垂直速度は互いに独立しています。

このため、水平速度の変位式を使用して、目標に到達するまでの時間を求めることができます。

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {x}{t}}=v_{0}\cos(\theta )}$

${\displaystyle t={\frac {x}{v_{0}\cos(\theta )}}}$

この式は、空気抵抗を無視して、発射体がターゲットの水平方向の変位に到達するまでに移動する必要がある合計時間tを示します。

発射体の最大高度

発射体の最大高度

物体が到達する最高高度は、物体の運動のピークと呼ばれます。高さの増加は、つまり、 ${\displaystyle v_{y}=0}$

${\displaystyle 0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}}$。

最大高度に到達するまでの時間(h):

${\textstyle t_{h}={\frac {v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$。

これは、放物線の最大高度がその根の中央に位置するため、上記の式（飛行時間）と一致します。つまり、発射体は飛行の途中でhに到達するため、飛行時間は半分になります。

発射体の最大高度の垂直方向の変位について：

${\displaystyle h=v_{0}t_{h}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{h}^{2}}$

${\displaystyle h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta )}{2|g|}}}$

最大到達高さはθ =90°のときに得られます。

${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={\frac {v_{0}^{2}}{2|g|}}}$

発射体の位置 (x,y) と発射角度 (θ) がわかっている場合は、次の式で h を解くことで最大高さを見つけることができます。

${\displaystyle h={\frac {(x\tan \theta )^{2}}{4(x\tan \theta -y)}}.}$

最大高度における仰角（φ）は次のように表されます。

${\displaystyle \phi =\arctan {\tan \theta \over 2}}$

水平範囲と最大高度の関係

水平面上の範囲dと到達する最大高さhの関係は次の通りです。 ${\displaystyle {\frac {t_{d}}{2}}}$

${\displaystyle h={\frac {d\tan \theta }{4}}}$

証拠

${\displaystyle h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2|g|}}}$ ${\displaystyle d={\frac {v_{0}^{2}\sin 2\theta }{|g|}}}$ ${\displaystyle {\frac {h}{d}}={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2|g|}}}$× ${\displaystyle {\frac {g}{v_{0}^{2}\sin 2\theta }}}$ ${\displaystyle {\frac {h}{d}}={\frac {\sin ^{2}\theta }{4\sin \theta \cos \theta }}}$ ${\displaystyle h={\frac {d\tan \theta }{4}}}$。 もし ${\displaystyle h=R}$ ${\displaystyle \theta =\arctan(4)\approx 76.0^{\circ }}$

発射体の最大距離

発射体の最大距離

発射体の飛距離と最大高度は質量に依存しません。したがって、同じ速度と方向で投げられたすべての物体の飛距離と最大高度は等しくなります。発射体の水平飛距離d は、発射体が元の高さ（ ）に戻るまでの移動距離です。 ${\textstyle y=0}$

${\displaystyle 0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}}$。

地上到着までの時間:

${\displaystyle t_{d}={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$。

水平方向の変位から発射体の最大距離：

${\displaystyle d=v_{0}t_{d}\cos(\theta )}$、

だから^[注3]

${\displaystyle d={\frac {v_{0}^{2}}{|g|}}\sin(2\theta ).}$

dが最大値をとるのは次の場合である。

${\displaystyle \sin(2\theta )=1,}$

これは必然的に、 またはに対応します。 ${\textstyle 2\theta =90^{\circ }}$ ${\textstyle \theta =45^{\circ }}$

^{真空中、かつ10 m/s 2}の均一な下向きの重力場において、異なる仰角で発射されたが速度は10 m/sのままであった発射体の軌跡。点は0.05秒間隔で、尾の長さは速度に比例する。t = 発射からの時間、T = 飛行時間、R = 距離、H = 軌道の最高点（矢印で示す）。

移動した水平距離の合計（d）。^[4]

${\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{|g|}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}\right)}$

表面が平坦な場合（物体の初期高さがゼロの場合）、移動距離は次のようになります。^[5]

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{|g|}}}$

したがって、 θが45度のときに最大距離が得られます。この距離は次のように表されます。

${\displaystyle d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{|g|}}}$

仕事エネルギー定理の応用

仕事-エネルギー定理によれば、速度の垂直成分は次のようになります。

${\displaystyle v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy}$。

これらの式では空気抵抗は無視され、着陸エリアは均一な高さ 0 にあると想定されています。

リーチ角度

「到達角」とは、初期速度vが与えられた場合に、発射体が距離dを進むために発射されなければならない角度 ( θ ) です。

${\displaystyle \sin(2\theta )={\frac {gd}{v^{2}}}}$

解決策は 2 つあります。

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)}$（浅い弾道）

そして、なぜなら、 ${\displaystyle \sin(2\theta )=\cos(2\theta -90^{\circ })}$

${\displaystyle \theta =45^{\circ }+{\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)}$（急な軌道）

角度θ座標をヒットするために必要なもの（×、y）

異なる発射角度における弾丸の真空軌道。発射速度は全ての角度で同じ50 m/s、重力加速度は10 m/s ²です。

(0,0)から発射し、初速度vで距離x、高度yのターゲットに命中させるために必要な発射角度θは次のとおりです。

${\displaystyle \theta =\arctan {\left({\frac {v^{2}\pm {\sqrt {v^{4}-g(gx^{2}+2yv^{2})}}}{gx}}\right)}}$

方程式の2つの根は、虚数でない限り、2つの可能な発射角度に対応します。虚数の場合、初期速度は選択された点 ( x , y ) に到達するのに十分ではありません。この式により、 の制約を受けることなく、必要な発射角度を求めることができます。 ${\textstyle y=0}$

また、どのような打ち上げ角度で最小の打ち上げ速度が得られるかという問題もある。これは、上記の2つの解が等しいときに起こり、平方根の下の量がゼロになることを意味する。これはtan θ = v ² /gxであり、2次方程式[6]を解く必要がある^。そして、 ${\displaystyle v^{2}}$

^{${\displaystyle v^{2}/g=(2gy\pm g{\sqrt {4y^{2}+4(1x)^{2}}})/2g=y\pm {\sqrt {y^{2}+x^{2}}}.}$}

これにより

${\displaystyle \theta =\arctan \left(y/x+{\sqrt {y^{2}/x^{2}+1}}\right).}$

y/xの接線を持つ角度をαとすると[ ^7]、

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \alpha +1}{\cos \alpha }},}$その逆数：

${\displaystyle \tan(\pi /2-\theta )={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha +1}},}$^[8]

${\displaystyle \cos ^{2}(\pi /2-\theta )={\frac {1}{2}}(\sin \alpha +1)}$

${\displaystyle 2\cos ^{2}(\pi /2-\theta )-1=\cos(\pi /2-\alpha )}$

これは、

${\displaystyle \theta =\pi /2-{\frac {1}{2}}(\pi /2-\alpha ).}$

言い換えると、打ち上げはターゲットと天頂（重力と反対のベクトル）の中間の角度で行う必要があります。 ${\textstyle (\pi /2+\alpha )/2}$

軌道の全長

発射時と着地時の高さが同じ（空気抵抗がない）場合、発射体が描く放物線の長さLは次の式で表されます。

${\displaystyle L={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\left(2\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \ln {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right)={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\left(\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \tanh ^{-1}(\sin \theta )\right)}$

ここで、は初速度、は発射角度、は重力加速度（正の値）です。この式は、初期変位と最終変位（つまり、0から発射体の水平距離まで）の境界間の高さ-距離放物線の弧長積分を評価することで得られます。 ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle L=\int _{0}^{\mathrm {range} }{\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{v_{0}^{2}\sin(2\theta )/g}{\sqrt {1+\left(\tan \theta -{g \over {v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}x\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x.}$

飛行時間がtの場合、

${\displaystyle L=\int _{0}^{t}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{2v_{0}\sin \theta /g}{\sqrt {(gt)^{2}-2gv_{0}\sin \theta t+v_{0}^{2}}}\,\mathrm {d} t.}$

空中での軌道

70°の角度で投げられた質量の軌道：
 抗力なし（放物線）
 ストークスのドラッグで
 ニュートン力抵抗

空気抵抗は、（対称的な発射体の場合）常に周囲の媒体の運動の方向と逆方向に向く力を生み出し、その大きさは絶対速度に依存します：。摩擦力の速度依存性は、非常に低速（ストークス抗力）では線形（ ）、高速（ニュートン抗力）では二次（ ）です。 ^[9]これらの動作間の遷移はレイノルズ数によって決まります。レイノルズ数は、物体の速度とサイズ、密度、媒体の動粘性に依存します。レイノルズ数が約1未満の場合は依存性は線形で、1000を超えると（乱流）二次になります。動粘性が約0.15 cm ² /sの空気では、物体の速度と直径の積が約0.015 m 2 /sを超える^と抗力がvについて二次になることを意味します。これは発射体の場合に典型的です。 ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}} }$ ${\displaystyle f(v)\propto v}$ ${\displaystyle f(v)\propto v^{2}}$ ${\textstyle \rho }$ ${\textstyle \eta }$ ${\displaystyle \eta /\rho }$

• ストークス抗力: (の場合) ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} =-k_{\mathrm {Stokes} }\cdot \mathbf {v} \qquad }$ ${\textstyle Re\lesssim 1}$
• ニュートン抗力: (の場合) ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} =-k\,|\mathbf {v} |\cdot \mathbf {v} \qquad }$ ${\textstyle Re\gtrsim 1000}$

重力と空気抵抗のみが作用する物体の自由体図。

右の自由体図は、空気抵抗と重力の影響を受ける発射体の図です。ここでは、空気抵抗は発射体の速度と反対方向に作用すると仮定しています。 ${\displaystyle \mathbf {F_{\mathrm {air} }} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}} }$

ストークス抗力による発射体の軌道

ストークス抗力は、空気中では非常に低速の場合にのみ適用されるため、投射物には典型的には当てはまりません。しかし、が に線形依存するため、非常に単純な微分運動方程式が得られます。 ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} \propto \mathbf {v} }$ ${\displaystyle F_{\mathrm {air} }}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mu \,v_{x}\\-g-\mu \,v_{y}\end{pmatrix}}}$

2つの直交座標成分は完全に独立しており、したがって解くのが容易になります。^[10]ここで、、、はそれぞれ初速度、 x方向の速度、 y方向の速度を表すために使用されます。発射体の質量はm、で表されます。導出では、の場合のみを考慮します。ここでも、発射体は原点(0,0)から発射されます。 ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle v_{x}}$ ${\displaystyle v_{y}}$ ${\displaystyle \mu :=k/m}$ ${\textstyle 0^{o}\leq \theta \leq 180^{o}}$

水平位置の導出

粒子の運動を表す関係は、ニュートンの運動の第二法則によってx方向とy方向の両方で導かれます。x方向とy方向では、 ${\displaystyle \Sigma F=-kv_{x}=ma_{x}}$ ${\displaystyle \Sigma F=-kv_{y}-mg=ma_{y}}$ これは次のことを意味します: ${\displaystyle a_{x}=-\mu v_{x}={\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}}$（１） そして ${\displaystyle a_{y}=-\mu v_{y}-g={\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}}$（2） (1) を解くことは初等微分方程式であるため、 v xと、その後のxの唯一の解に至る手順は列挙しない。初期条件（ここでv x0は初期速度の x 成分と理解される）と について、以下の式が与えられる。 ${\displaystyle v_{x}=v_{x0}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle v_{x}=v_{x0}e^{-\mu t}}$（1a）

${\displaystyle x(t)={\frac {v_{x0}}{\mu }}\left(1-e^{-\mu t}\right)}$（1b）

垂直位置の導出

(1) はほぼ同様に解けますが、(2) は非同次な性質を持つため、特に興味深いです。したがって、(2) を詳しく解きます。この場合、初期条件が使用され、のとき となることに注意してください。 ${\displaystyle v_{y}=v_{y0}}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}=-\mu v_{y}-g}$（2） ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y}=-g}$（2a） この 1 次、線形、非同次微分方程式はさまざまな方法で解くことができますが、この例では、積分係数 を介して解に近づく方が速くなります。 ${\displaystyle e^{\int \mu \,\mathrm {d} t}}$ ${\displaystyle e^{\mu t}({\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y})=e^{\mu t}(-g)}$（2c） ${\displaystyle (e^{\mu t}v_{y})^{\prime }=e^{\mu t}(-g)}$（2日） ${\displaystyle \int {(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }\,\mathrm {d} t}=e^{\mu t}v_{y}=\int {e^{\mu t}(-g)\,\mathrm {d} t}}$（2e） ${\displaystyle e^{\mu t}v_{y}={\frac {1}{\mu }}e^{\mu t}(-g)+C}$（2階） ${\displaystyle v_{y}={\frac {-g}{\mu }}+Ce^{-\mu t}}$（2グラム） そして積分すると次のようになります。 ${\displaystyle y=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+C}$（3） 初期条件を解くと次のようになります。 ${\displaystyle v_{y}(t)=-{\frac {g}{\mu }}+(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}}$（2時間） ${\displaystyle y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})}$(3a) 代数を少し使って(3a)を簡略化すると、

${\displaystyle y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)(1-e^{-\mu t})}$（3b）

飛行時間の導出

空気抵抗がある場合（より具体的には、 の場合）の移動時間全体は、上記と同じ戦略、つまり方程式 を解くことで計算できます。空気抵抗がゼロの場合はこの方程式は初等的に解くことができますが、ここではランバートのW関数 が必要になります。この方程式は の形をしており、この方程式は関数 で解ける方程式に変換できます（変換の例については、を参照してください）。代数的に、閉じた形式での飛行時間全体は次のように表されます[11] ${\displaystyle F_{air}=-kv}$ ${\displaystyle y(t)=0}$ ${\displaystyle y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0}$ ${\displaystyle c_{1}t+c_{2}+c_{3}e^{c_{4}t}=0}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W{\bigl (}-(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0})e^{-(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0})}{\bigr )}\right)}$。

ニュートン抵抗による発射体の軌道

ニュートン抵抗がある空中でのスカイダイバーの軌道：パラシュート飛行、ターゲットの近く（上方）の爆撃機。cm 2 ^/ s? ${\textstyle v.d=10^{3}.\nu =150}$

レイノルズ数が約1000を超える場合の空気抵抗の最も一般的なケースは、ニュートン抵抗であり、その抗力は速度の2乗に比例します。空気の動粘性は約0.15 cm ^{2 /sであるため、物体の速度と直径の積は約0.015 m 2} /s以上である必要があります。 ${\displaystyle F_{\mathrm {air} }=-kv^{2}}$

残念ながら、この場合の運動方程式は解析的に解くのが容易ではないため、数値解を検討します。

次のような仮定が立てられています。

• 一定の重力加速度 ${\textstyle g}$
• 空気抵抗は次の抗力式で表されます。

${\displaystyle \mathbf {F_{D}} =-{\tfrac {1}{2}}c\rho A\,v\,\mathbf {v} }$

どこ：

• F _Dは抗力であり、
• cは抗力係数、
• ρは空気の密度であり、
• Aは発射体の断面積です。繰り返しますが、弾道係数の理論と実践を比較してください。 ${\displaystyle \mu =k/m:=}$ ${\displaystyle c\rho A/(2m)}$ ${\displaystyle =c\rho /(2\rho _{p}l)}$

特殊なケース

ニュートン抵抗を伴う投射体の一般的なケースは解析的に解くことができませんが、特殊なケースでは解析的に解くことができます。ここで、自由落下における終端速度を、特性沈降時定数をと表します。（次元は[m/s ² ]、[1/m]） ${\textstyle v_{\infty }={\sqrt {g/\mu }}}$ ${\textstyle t_{f}\equiv 1/(v_{\infty }\mu )=1/{\sqrt {g\mu }}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu }$

• ほぼ水平な運動：飛行する弾丸のように、運動がほぼ水平である場合。垂直方向の速度成分は水平方向の運動にほとんど影響を与えない。この場合：^[12] ${\displaystyle |v_{x}|\gg |v_{y}|}$

${\displaystyle {\dot {v}}_{x}(t)=-\mu \,v_{x}^{2}(t)}$

${\displaystyle v_{x}(t)={\frac {1}{1/v_{x,0}+\mu \,t}}}$

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{\mu }}\ln(1+\mu \,v_{x,0}\cdot t)}$

重力が無視できる（比較的小さい）場合、直線上のあらゆる方向への摩擦を伴う運動にも同じパターンが適用されます。また、エンジンを切った走行中の車のように、垂直方向の運動が妨げられている場合にも適用されます。 ${\displaystyle g}$

• 垂直方向の上向きの動き：^[12]

${\displaystyle {\dot {v}}_{y}(t)=-g-\mu \,v_{y}^{2}(t)}$

${\displaystyle v_{y}(t)=v_{\infty }\tan {\frac {t_{\mathrm {peak} }-t}{t_{f}}}}$

${\displaystyle y(t)=y_{\mathrm {peak} }+{\frac {1}{\mu }}\ln {\bigl (}\cos {\frac {t_{\mathrm {peak} }-t}{t_{f}}}{\bigr )}}$

ここ

${\displaystyle v_{\infty }\equiv {\sqrt {\frac {g}{\mu }}}}$そして ${\displaystyle t_{f}={\frac {1}{\sqrt {\mu g}}},}$

${\displaystyle t_{\mathrm {peak} }\equiv t_{f}\arctan {\frac {v_{y,0}}{v_{\infty }}}={\frac {1}{\sqrt {\mu g}}}\arctan {\left({\sqrt {\frac {\mu }{g}}}v_{y,0}\right)},}$

そして

${\displaystyle y_{\mathrm {peak} }\equiv -{\frac {1}{\mu }}\ln {\cos {\frac {t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}}={\frac {1}{2\mu }}\ln {{\bigl (}1+{\frac {\mu }{g}}v_{y,0}^{2}{\bigr )}}}$

ここでは における初期の上向きの速度であり、初期位置は です。 ${\displaystyle v_{y,0}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle y(0)=0}$

発射体は、0 m/s で ピーク (0 m、y_{ピーク) に到達したとき、垂直方向より長く上昇することはできません。} ${\displaystyle t_{\mathrm {rise} }={\frac {\pi }{2}}t_{f}}$

• 垂直下降運動：^[12]

${\displaystyle {\dot {v}}_{y}(t)=-g+\mu \,v_{y}^{2}(t)}$

${\displaystyle v_{y}(t)=-v_{\infty }\tanh {\frac {t-t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}}$

${\displaystyle y(t)=y_{\mathrm {peak} }-{\frac {1}{\mu }}\ln(\cosh {\biggl (}{\frac {t-t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}{\biggr )})}$双曲線関数の場合

y=0 で時間が経過すると、発射体はほぼ終端速度に達します。 ${\displaystyle t_{f}}$ ${\displaystyle -v_{\infty }}$

数値解

抗力を伴う投射体の運動は、常微分方程式の数値積分によって一般的に計算することができる。例えば、一次方程式に簡約を適用するなどである。解くべき方程式は

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}}$。

このアプローチでは、速度に依存する抗力係数、高度に依存する空気密度（製品 内）、および位置に依存する重力場（ の場合、 は線形減少）の効果を追加することもできます。 ${\displaystyle c(v)\rho (y)}$ ${\textstyle g(y)=g_{0}/(1+y/R)^{2}}$ ${\textstyle y\ll R:g\lesssim g_{0}/(1+2y/R)\approx g_{0}(1-2y/R)}$

ロフテッド軌道

北朝鮮の弾道ミサイル「火星14号」、「火星15号」、「火星17号」のロフティング軌道

ロケットの弾道軌道の特殊な例として、ロフテッド軌道があります。これは、同じ射程距離における最小エネルギー軌道よりも遠地点が高い軌道です。言い換えれば、ロケットはより高く飛行するため、同じ着地点に到達するのにより多くのエネルギーを消費します。これは、視認範囲や通信範囲を広げるために地平線までの距離を増やす、あるいはミサイルが着地する際の着弾角度を変えるなど、様々な理由で行われます。ロフテッド軌道は、ミサイルロケット工学と宇宙飛行の両方で使用されることがあります。^[13]

惑星規模の発射体運動

惑星の周りの発射体の軌道と均一な重力場における運動との比較

発射体が地球の半径（≈100 km以上）に比べてかなりの距離を飛行する場合、地球の曲率と不均一な地球重力を考慮する必要があります。これは、例えば宇宙船や大陸間ミサイルの場合に当てはまります。その場合、軌道は（空気抵抗なしで）放物線から地球の中心に焦点を持つケプラーの楕円へと一般化します（図3参照）。発射体の運動は、ケプラーの惑星運動の法則に従います。

軌道パラメータは、上述の均一重力場の値に基づいて調整する必要がある。地球の半径をR、標準表面重力をgとする。第一宇宙速度または脱出速度に対する発射速度を とする。 ${\displaystyle {\tilde {v}}:=v/{\sqrt {Rg}}}$

発射から衝突までの総距離d :

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{g}}{\Big /}{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}}$ （打ち上げ角度 ） ${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{2}}\arccos \left({\tilde {v}}^{2}/(2-{\tilde {v}}^{2})\right)}$

最適発射角度θ=45 ^°における発射体の最大射程距離:

${\displaystyle d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)}$       、最初の宇宙速度 ${\displaystyle v<{\sqrt {Rg}}}$

惑星表面からの発射体の最大高度:

${\displaystyle h={\frac {v^{2}\sin ^{2}\theta }{g}}{\Big /}\left(1-{\tilde {v}}^{2}+{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}\right)}$

垂直発射時の発射体の最大高度（）： ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$

${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{2g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)}$、       第二宇宙速度、 ${\displaystyle v<{\sqrt {2Rg}}}$

飛行時間:

${\displaystyle t={\frac {2v\sin \theta }{g}}\cdot {\frac {1}{2-{\tilde {v}}^{2}}}\left(1+{\frac {1}{{\sqrt {2-{\tilde {v}}^{2}}}\,{\tilde {v}}\sin \theta }}\arcsin {\frac {{\sqrt {2-{\tilde {v}}^{2}}}\,{\tilde {v}}\sin \theta }{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}}\right)}$

参照

• 運動方程式
• フゴイド

注記

1. gは重力加速度です。（地球の表面付近）。 ${\displaystyle 9.81\,\mathrm {m/s^{2}} }$
2. 物体が上向きになると減少し、下向きになると増加する
3. ${\displaystyle 2\cdot \sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha )=\sin(2\alpha )}$

参考文献

1. ガリレオ・ガリレイ『二つの新科学』ライデン、1638年、249ページ
2. ノルテ、デイビッド・D.、「ガリレオ・アンバウンド」（オックスフォード大学出版局、2018年）39-63頁。
3. スチュワート, ジェームズ; クレッグ, ダン; ワトソン, サリーム (2021).微積分学：初期超越関数（第9版）. ボストン, マサチューセッツ州: Cengage. p. 919. ISBN 978-1-337-61392-7。
4. ギャラント、ジョセフ (2012). 『科学ノートで物理学を学ぶ：問題解決アプローチ』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ132ページ. ISBN 978-1-119-94194-1。132ページの抜粋。出典のyy ₀が記事のy _{0に置き換えられていることに注意。}
5. Tatum (2019). 古典力学(PDF) . pp. Ch. 7.
6. V=v ²、 V ² - 2gy.V - (gx) ² = 0 の場合: ${\displaystyle V_{1,2}=(2gy\pm {\sqrt {4g^{2}y^{2}+4(gx)^{2}}})/2}$
7. ここで ${\textstyle tan(\theta )=y/x+{\sqrt {(y/x)^{2}+1}}}$ ${\textstyle y/x=sin(\alpha )/cos(\alpha ):sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1=(tan^{2}\alpha +1)cos^{2}\alpha }$
8. ${\displaystyle 1/\tan(\pi /2-\theta )=\cos(\pi /2-\theta )/\sin(\pi /2-\theta )=\sin \theta /\cos \theta }$ ${\displaystyle =(\sin \alpha +1)/\cos \alpha =\tan \alpha +1/\cos \alpha }$ ${\displaystyle =\tan \theta }$
9. スティーブン・T・ソーントン、ジェリー・B・マリオン（2007年）『粒子とシステムの古典力学』ブルックス／コール社、59頁。ISBN 978-0-495-55610-7。
10. アタム・P・アーヤ、アタム・パークアシュ・アーヤ（1997年9月）『古典力学入門』プレンティス・ホール・インターナショナル、227頁。ISBN 978-0-13-906686-3。
11. Reginald Cristian, Bernardo; Jose Perico, Esguerra; Jazmine Day, Vallejos; Jeff Jerard, Canda (2015). 「風の影響を受けた投射物の運動」. European Journal of Physics . 36 (2) 025016. Bibcode :2015EJPh...36b5016B. doi :10.1088/0143-0807/36/2/025016. S2CID  119601402.
12. Walter Greiner (2004). 古典力学：点粒子と相対性理論. Springer Science & Business Media. p. 181. ISBN 0-387-95586-0。
13. 弾道ミサイル防衛用語集、v.3.0、米国国防総省、1997年6月。

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