迅速性

特殊相対論では、光速によって決まる限界に対応するため、古典的な速度の概念はラピディティに変換されます。速度はアインシュタインの速度加法公式によって結合する必要があります。低速の場合、ラピディティと速度はほぼ正確に比例しますが、高速になるとラピディティはより大きな値を取り、光のラピディティは無限大になります。

数学的には、ラピディティは、相対的に動く2 つの参照フレームを区別する双曲線角度として定義できます。各フレームは、距離と時間の座標に関連付けられています。

逆双曲関数 $artanh$ を用いると、速度 $v$ に対応するラピディティ $wは$ $w$ $= artanh($ $v$ $/$ $c$ $)$ となり、 $c$ は光速である。低速の場合、小角近似により、wは $ほぼ$ v / c となる $。$ $相対$ $論$ では任意の速度 $v$ は区間 $-$ $c$ $<$ $v$ $<$ $c$ に制限されるため、比 $v$ $/$ $c$ $は-1 <$ $v$ $/$ $c$ $< 1$ を満たす。逆双曲正接は、定義域として単位区間 $(-1, 1)を持ち、$ 像として実数直線全体を持つ。つまり、区間 $-$ $c$ $<$ $v$ $<$ $c$ $は-\infty <$ $w$ $< \infty$ に写像される。

歴史

1908 年、ヘルマン・ミンコフスキーは、ローレンツ変換が単なる時空座標の双曲回転、すなわち虚角による回転として見られることを説明した。 ^[1]したがって、この角度は（1 つの空間次元で）フレーム間の速度の単純な加法的な尺度を表す。^{[2]速度に代わるラピディティパラメーターは、1910 年に}ウラジミール・ヴァリチャク^[3]とE.T. ウィテカー^[4]によって導入された。このパラメーターは、アルフレッド・ロブ(1911) ^[5]によってラピディティと名付けられ、この用語は、ルートヴィヒ・シルバーシュタイン(1914)、フランク・モーリー(1936) 、ヴォルフガング・リンドラー(2001)など、その後の多くの著者によって採用された。

ミンコフスキー図

ラピディティは、原点 O から 1 時間単位離れた未来の事象を表す双曲線上の事象の変動性を表すパラメータです。これらの事象は (sinh w , cosh w ) と表すことができます。ここで、 sinh は双曲線正弦、 cosh は双曲線余弦です。速度とw が増加すると、軸は対角線に向かって傾くことに注意してください。実際、 wの値に関わらず、それらは双曲線直交関係を維持します。適切な x 軸は、原点におけるラピディティwに対応する同時性の超平面です。

双曲線は単位双曲線と関連付けることができます。運動系は静止系と同様に時空を捉えるため、一方が他方に適合することを説明するには変換理論が必要です。単位双曲線を未来に作用し、それに応じて過去やその他の場所にも作用する1パラメータ群として解釈すると、ミンコフスキー配置は同時性の相対性やその他の相対性理論の特徴を表現します。

ローレンツブースト

基準系を関連付ける変換はヘンドリック・ローレンツに由来する。ラピディティwの運動系を、時間と空間の軸が垂直な静止系に変換するには、パラメータ-wの双曲回転を適用する。cosh( -w ) = cosh wかつ sinh- w = - sinh wであるため、以下の双曲回転の行列表現により、運動系は垂直になる（ただし、双曲回転に対して双曲直交性は不変であるため、すべての系は双曲直交性を維持する）。

ローレンツブーストはベクトル行列積である ${\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}=\mathbf {\Lambda } (w){\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}.$

行列 $Λ (w)は、$ $p$ と $q が$ $p$ $2$ $-$ $q$ $2$ $= 1$ を満たす型であり、( $p$ $,$ $q$ $)$ $は$ 単位双曲線上に存在します。このような行列は、反対角単位行列が張る1次元リー代数を持つ不定値直交群 O(1,1)を形成し、ラピディティがこのリー代数上の座標であることを示しています。行列指数表記では、 $Λ$ $($ $w$ $)$ はと表すことができます。ここで、 $Z$ は反対角単位行列の負です。 Z ²は単位行列であるため、 Zは双曲単位です。 ${\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}$ $\mathbf {\Lambda } (w)=e^{\mathbf {Z} w}$ $\mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.$

速度加算

指数行列の重要な性質は、から成り、そこから直ちに次の式が成り立ちます。これは、ラピディティの有用な加法性を確立します。A、B、Cが参照フレームである場合 $、$ $w$ PQ $は$ 参照フレームPに対する $参照$ $フレーム$ $Q$ の $ラピディティ$ を表します。この式の簡潔さは、対応する速度加法式の複雑さとは対照的です。 $e^{\mathbf {X} (s+t)}=e^{\mathbf {X} s}e^{\mathbf {X} t}$ $\mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2})。$ $w_{\text{AC}}=w_{\text{AB}}+w_{\text{BC}},$

上のローレンツ変換から分かるように、ローレンツ因子は $cosh w$ と同一視されるため、ラピディティ $wは$ $γ$ と $β$ を用いたローレンツ変換式において双曲角として暗黙的に用いられる。ラピディティと速度加法の公式との関連は、以下の式によって示される。 $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\equiv \cosh w,$ $u={\frac {u_{1}+u_{2}}{1+{\frac {u_{1}u_{2}}{c^{2}}}}$ $\beta _{i}={\frac {u_{i}}{c}}=\tanh {w_{i}}$ $\tanh w={\frac {\tanh w_{1}+\tanh w_{2}}{1+\tanh w_{1}\tanh w_{2}}}=\tanh(w_{1}+w_{2})$

固有加速度（加速される物体が「感じる」加速度）とは、固有時間（加速を受ける物体自身によって測定される時間）に対するラピディティの変化率である。したがって、ある座標系における物体のラピディティは、その物体がその座標系で静止状態から所定の速度まで加速した場合に、その物体自体に搭載された慣性誘導システムによって非相対論的に計算される速度と単純に考えることができる。

双曲線関数

$β$ と $γ$ の積は特殊相対論の方程式に頻繁に現れる。そのため、一部の著者はこの式に明確なパラメータを定義している。それは、上記の式から次のようになる。 $\alpha$ $\alpha =\beta \gamma =\tanh w\cosh w=\sinh w$

この関係は、ミンコフスキーが観察したように、ラピディティの双曲関数を使用して特殊相対性理論のこれらのパラメータを関連付けます。 $w$

$\alpha =\sinh w$ $\beta =\tanh w$ $\gamma =\cosh w$

指数関係と対数関係

上記の式から、したがって、または明示的に $e^{w}=\cosh(w)+\sinh(w)=\gamma (1+\beta )={\frac {1+\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\sqrt {\frac {1+{\tfrac {v}{c}}}{1-{\tfrac {v}{c}}}},$ $e^{-w}=\cosh(w)-\sinh(w)=\gamma (1-\beta )={\frac {1-\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\sqrt {\frac {1-{\tfrac {v}{c}}}{1+{\tfrac {v}{c}}}}。$ $w=\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]\,.$

ドップラー効果

発生源と受信機が互いに直接近づいたり遠ざかったりする縦方向の場合、ラピディティ $w$ に関連付けられたドップラーシフト係数はです。 $k=e^{w}$

実験粒子物理学では

非ゼロ（静止）質量 $m$ の粒子のエネルギー $E$ とスカラー運動量 $| p |$ は次のように与えられます。w $の$ 定義を用いると、エネルギーとスカラー運動量は次のように表すことができます。 ${\begin{aligned}E&=\gamma mc^{2}\\\left|\mathbf {p} \right|&=\gamma mv.\end{aligned}}$ $w=\オペレーター名 {artanh} {\frac {v}{c}}=\オペレーター名 {artanh} \beta ,$ $\cosh w=\cosh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma$ $\sinh w=\sinh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\beta \gamma =\alpha ,$ ${\begin{aligned}E&=mc^{2}\cosh w\\\left|\mathbf {p} \right|&=mc\,\sinh w.\end{aligned}}$

したがって、測定されたエネルギーと運動量からラピディティを計算することができる。 ${\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {|\mathbf {p} |c}{E}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{E-|\mathbf {p} |c}}=\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{mc^{2}}}~。$

しかし、実験素粒子物理学者は、ビーム軸に対するラピディティの修正定義をしばしば用いる。ここで $p$ $z は$ ビーム軸に沿った運動量成分である。^{[6]これは、ビーム軸に沿ったブーストのラピディティであり、観測者を実験室系から、粒子がビームに対して垂直方向にのみ移動する系へと移す。これに関連して、}擬似ラピディティの概念がある。 $y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+p_{z}c}{E-p_{z}c}},$

ビーム軸に対するラピディティは次のようにも表される。 $y=\ln {\frac {E+p_{z}c}{\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{T}^{2}c^{2}}}}~.$

参照

注釈と参考文献

^ ヘルマン・ミンコフスキー(1908)「運動物体における電磁過程の基礎方程式」Wikisourceより
^ ゾンマーフェルト、物理学Z 1909
^ Vladimir Varicak (1910) 「ロバチェフスキー幾何学の相対性理論への応用」Physikalische Zeitschrift、Wikisource経由
^ ET Whittaker (1910)『エーテルと電気の理論の歴史』441ページ。
^ アルフレッド・ロブ(1911)『運動の光学幾何学』 p.9
^ Amsler, C. et al. , "The Review of Particle Physics", Physics Letters B 667 (2008) 1, Section 38.5.2

ウラジーミル・ヴァリチャク(1910、1912、1924)、ウラジーミル・ヴァリチャク#出版物を参照
ウィテカー、エドマンド・テイラー（1910年）『エーテルと電気の理論の歴史』 441ページ。
ロブ、アルフレッド（1911）『運動の光学幾何学：相対性理論への新たな視点』ケンブリッジ：ヘフナー・アンド・サンズ社。
エミール・ボレル(1913)、『相対性理論と映画映画』 (フランス語)、科学アカデミー、パリ: 156 巻、215 ～ 218 頁。 157 巻、703 ～ 705 ページ
シルバーシュタイン、ルドヴィク（1914年）『相対性理論』ロンドン：マクミラン社、179頁。
ウラジミール・カラペトフ(1936)、「ラピディティの双曲関数による制限相対論」、アメリカ数学月刊誌、第 43 巻、70 ページ。
フランク・モーリー(1936)、「いつ、どこで」、トーマス・スターンズ・エリオット編『ザ・クライテリオン』第 15 巻、200 ～ 209 ページ。
Wolfgang Rindler (2001) Relativity: Special, General, and Cosmological、53 ページ、Oxford University Press。
ショー、ロナルド（1982）線形代数と群表現、第1巻、229ページ、アカデミックプレス ISBN 0-12-639201-3。
ウォルター、スコット (1999). 「ミンコフスキー相対論の非ユークリッド的スタイル」(PDF) . ジェレミー・ジョン・グレイ編著『シンボリック・ユニバース：幾何学と物理学』オックスフォード大学出版局. pp. 91– 127. 2013年10月16日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2009年1月8日閲覧。（e-linkの17ページを参照）
ローズ, ジョン A.; セモン, マーク D. (2004). 「相対論的速度空間、ウィグナー回転、そしてトーマス歳差運動」. American Journal of Physics . 72 (7): 90– 93. arXiv : gr-qc/0501070 . Bibcode :2004AmJPh..72..943R. doi :10.1119/1.1652040. S2CID 14764378.
ジャクソン、ジョン・デイビッド(1999) [1962]. 「第11章」.古典電気力学（第3版）. John Wiley & Sons . ISBN 0-471-30932-X。

[1] ヘルマン・ミンコフスキー(1908)「運動物体における電磁過程の基礎方程式」Wikisourceより

[2] ゾンマーフェルト、物理学Z 1909

[3] Vladimir Varicak (1910) 「ロバチェフスキー幾何学の相対性理論への応用」Physikalische Zeitschrift、Wikisource経由

[4] ET Whittaker (1910)『エーテルと電気の理論の歴史』441ページ。

[5] アルフレッド・ロブ(1911)『運動の光学幾何学』 p.9

[6] Amsler, C. et al. , "The Review of Particle Physics", Physics Letters B 667 (2008) 1, Section 38.5.2