定常増分

確率論において、確率過程の変化が観測期間のみに依存し、観測開始時刻には依存しない場合、その過程は定常増分を持つと言われます。多くの大きな確率過程族は、定義（例：レヴィ過程）または構成（例：ランダムウォーク） によって定常増分を持ちます。

定義

すべてのおよびに対して、確率変数の分布が ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle h>0}$

${\displaystyle Y_{t,h}:=X_{t+h}-X_{t}}$

のみに依存し、^には依存しない場合、確率過程は定常増分を持つ。^{[1] [2]} ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t}$

例

定常増分を持つことは、レヴィ過程のような多くの大きな確率過程族にとって定義的な性質です。ウィーナー過程とポアソン過程は特殊レヴィ過程であるため、どちらも定常増分を持ちます。ランダムウォークなどの他の確率過程族も、構造上、定常増分を持ちます。

レヴィ過程ではない定常増分を持つ確率過程の例は で示されます。ここで、 は平均0、分散1の正規分布に従う独立かつ同一分布の確率変数です。この場合、増分は平均0、分散2の正規分布に従うため、とは独立です。この特殊なケースでは、増分は観測期間自体からも独立です。 ${\displaystyle X=(X_{t})}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle Y_{t,h}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle h}$

複素指数集合の一般化定義

定常増分の概念は、より複雑な指数集合を持つ確率過程に一般化できます。指数集合が 加法に関して閉じている確率過程をとします。任意のに対して、確率変数が ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}}$ ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p,q,r\in T}$

${\displaystyle Y_{1}=X_{p+q+r}-X_{q+r}}$

と

${\displaystyle Y_{2}=X_{p+r}-X_{r}}$

^{同一の分布を持つ場合、定常増分を持ちます}。を考慮するだけで十分です。^[1] ${\displaystyle 0\in T}$ ${\displaystyle r=0}$

参照

• 定常過程

参考文献

1. Klenke, Achim (2008). Probability Theory . Berlin: Springer. p. 190. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6。
2. Kallenberg, Olav (2002). Foundations of Modern Probability (2nd ed.). New York: Springer. p. 290.

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