計算解剖学

生物学の学際分野

計算解剖学は、解剖学的形状の変動性の定量的な調査とモデル化に焦点を当てた生物学の学際的な分野です。 ^{[1] [2]}計算解剖学には、生物学的構造のモデル化とシミュレーションのための数学的、統計的、データ分析的手法の開発と応用が含まれます。

この分野は広く定義されており、解剖学、応用数学、純粋数学、機械学習、計算力学、計算科学、生物学的画像、神経科学、物理学、確率、統計学の基礎を含み、流体力学や幾何力学とも密接な関係があります。さらに、その解釈には元のセンサー画像診断法（磁気共鳴画像法はその一例）から得られたメタデータを使用するという意味で、バイオインフォマティクスやニューロインフォマティクスなどの新しい学際分野を補完します。医療用画像診断装置ではなく、画像化される解剖学的構造に焦点を当てています。伝送および通信媒体として機能するセンサーではなく、言語構造に焦点を当てた学問分野である計算言語学の歴史と精神は似ています。

計算解剖学では、微分同相写像群は、における流れのラグランジュ速度とオイラー速度を介して生成される座標変換を介して、異なる座標系を調べるために使用されます。計算解剖学における座標間の流れは、流れの運動エネルギーに対して最小作用の原理を満たす測地線の流れになるように制約されます。運動エネルギーは、流速の各成分に対して2つ以上の一般化された平方積分可能な導関数を持つソボレフの滑らかさノルムを通じて定義され、これにより、における流れが微分同相写像であることが保証されます。^[3]これは、測地線のオイラー–ラグランジュ方程式を満たす点ごとに取られた微分同相形状の運動量が、速度場の空間微分を介してその近傍によって決定されることも意味します。これにより、運動量が速度の点ごとの関数である非圧縮性流体の場合^[4] とこの分野が区別されます。計算解剖学は、リーマン多様体と非線形大域解析の研究と交差しており、その中心的焦点は微分同相写像群である。形状に関する高次元理論^{[5]の出現は、計算解剖学の多くの研究の中心であり、}形状統計という新興分​​野から生じる問題も同様である。計算解剖学における計量構造は、精神的には形態計測学と関連しているが、計算解剖学は微分同相写像によって変換された座標系の無限次元空間に焦点を当てているという点で異なる。そのため、微分同相写像による座標系の計量空間研究である微分形態測定法という用語が中心的に用いられている。 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

創世記

計算解剖学の核心は、ある形状の中に別の形状を認識することによる形状比較である。これは、ダーシー・ウェントワース・トンプソンの著書『成長と形態について』と関連しており、この著書は生物学におけるパターン形成過程である形態形成の科学的説明につながった。アルブレヒト・デューラーの『人体比例に関する四書』は、おそらく計算解剖学に関する最も初期の著作である。^{[6] [7] [8]}計算言語学の先駆者であるノーム・チョムスキーの努力は、変換を介して作用された標本から形状と形態を生成するモデルとして、計算解剖学の独自の定式化に影響を与えた。^[9]

磁気共鳴画像法（MRI）などの技術による高密度の 3D 測定が利用できるようになったため、3D の形態素スケールで解剖学的座標系を抽出するための医療用画像およびバイオエンジニアリングのサブフィールドとして計算解剖学が浮上しました。この分野の精神は、問題の動きを担うグループを解析することによって物体を研究するコンピューター ビジョンや剛体の運動学などの領域と重なり合っています。計算解剖学は、無限次元微分同相写像グループが生物学的形状の解析の中心であるため、剛体運動に焦点を当てたコンピューター ビジョンとは異なります。これは、ウルフ グレナンダーが開拓したブラウン大学の画像解析およびパターン理論学派^[10]の一分野です。グレナンダーの一般計量パターン理論では、パターン空間を計量空間にすることが基本的な操作の 1 つです。解剖学的構成をクラスター化して認識するには、形状間の近い距離と遠い距離の計量が必要になることが多いためです。計算解剖学における微分形態測定計量^[11]は、2つの微分同相座標変換が互いにどれだけ離れているかを測定し、それによって、それらにインデックス付けされた形状や画像に対する計量が得られる。計量パターン理論^{[12] [13]}のモデル、特に形状や形態の軌道に対する群作用は、計算解剖学における形式的定義の中心的なツールである。

歴史

計算解剖学は形態素または肉眼解剖学ミリメートル、あるいは形態学スケールで形状や形態を研究する学問であり、人体解剖学における点、曲面、部分体積の部分多様体の研究に重点を置いています。近代初期の計算神経解剖学者である David Van Essen ^[14]は、人間の皮質の印刷と切断に基づいて、人間の脳の初期の物理的展開の一部を行いました。Jean Talairach によるTalairach 座標 の出版は、形態素スケールにおける重要なマイルストーンであり、神経解剖学の研究における局所座標系の基本的根拠を示し、したがって微分幾何学の図表との明確なつながりを示しています。同時に、高解像度の高密度画像座標にわたる計算解剖学の仮想マッピングは、Ruzena Bajcy ^[15]と Fred Bookstein ^{[16]による}コンピュータ体軸断層撮影法と磁気共鳴画像法 に基づく初期の開発において既に行われていました。画像解析や医用画像処理における座標系の変換に微分同相写像の流れを利用する最も古い研究は、クリステンセン、ジョシ、ミラー、ラビットらによって行われた^{[17] [18] [19] 。} ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3},}$

計算解剖学が微分同相 群作用の下での模範テンプレートの軌道として初めて形式化されたのは、1997年5月にブラウン大学応用数学部の創立50周年記念式典でグレナンダーとミラーが同じ題名で行った講義であり、^[20]その後出版された^[9] 。これは、歴史的に加算と基底展開の概念に基づいていた空間正規化と画像レジストレーションの高度な手法に関するこれまでの研究の多くから大きく逸脱する基礎となった。現代の計算解剖学の分野で中心となる構造保存変換、同相写像、微分同相写像は滑らかな部分多様体を滑らかに運ぶ。これらは、群の性質を形成する関数の合成法則を満たすラグランジュ流とオイラー流を介して生成されるが、加法的ではない。

計算解剖学の原型モデルは、三つ組、すなわち群 、形状と形態の軌道、そして軌道上の物体の変動を符号化する確率法則で構成されていた。テンプレート、あるいはテンプレートの集合は、形状の軌道を構成する要素である。 ${\displaystyle ({\mathcal {G}},{\mathcal {M}},{\mathcal {P}})\ ,}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle m_{\mathrm {temp} }\in {\mathcal {M}}}$

計算解剖学の運動方程式のラグランジアンおよびハミルトン定式化は、1997 年以降、エコール・ノルマル・カシャンのアゼンコット^[22]スクールが主催した「形状認識の数学」に関する 1997 年ルミニー会議^[21]や、デイヴィッド・マンフォードが主催したアンリ・ポアンカレ研究所の 1998 年トリメストル「信号と画像の処理に関する数学的問題」など、いくつかの極めて重要な会議をきっかけに始まりました。これらの会議は、ホプキンス、ブラウン、ENS カシャン グループと、それに続く計算解剖学の発展や、グローバル解析の発展とのつながりを促進しました。

計算解剖学の発展には、微分同相写像の空間における変分問題の解の存在を保証するための微分形態測定計量に関するソボレフの滑らかさ条件の確立、 ^{[23] [24]}群と関連する保存則を通じて測地線を特徴付けるオイラー–ラグランジュ方程式の導出、^{[25] [26] [27]}右不変計量の計量特性の実証、^{[28]オイラー–ラグランジュ方程式がすべての時間に対して一意の解を持つ適切に設定された}初期値問題を持つことの実証、^[29]ランドマーク空間における微分形態測定計量の断面曲率に関する最初の結果が含まれます。^[30] 2002年のロスアラモス会議の後、^[31]ジョシ^[32]による計算解剖学における独自の大変形特異ランドマーク解は、カマッサ・ホルム方程式の解としてピークソリトンまたはピーコン^[33]と結び付けられた。その後、ソボレフ滑らかさを満たす右不変計量に対する運動量密度の計算解剖学におけるオイラー・ラグランジュ方程式と、ウラジミール・アーノルド^[4]による体積保存微分同相写像群における測地線を記述する非圧縮流のオイラー方程式の特徴付けとの関連づけがなされた。 ^{[34] [35]}最初のアルゴリズムは、一般的に大変形微分同相写像を表すLDDMMと呼ばれ、体積^{[32] [36] [37]}と球面多様体^[38]曲線^[39]電流と表面^{[40] [41] [42]}体積^[43]テンソル^[44]可変長体[ ^45]時系列^{[46] [47] [48]}内のランドマーク間の接続を計算するものである。

微分同相群の部分群の無限次元多様体に関連する大域解析への計算解剖学の貢献は、決して自明ではない。無限次元多様体上で微分幾何学、曲率、測地線を扱うという元々のアイデアは、ベルンハルト・リーマンの『仮説の上、幾何学がどこまで大域にあるのか』（原題：Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen ^{[49] [50]}）に遡る。大域解析におけるこうしたアイデアの基礎を築いた現代の重要な書籍は、ミコールによるものである。^[51]

計算解剖学の医用画像への応用は、カリフォルニア大学ロサンゼルス校の純粋応用数学研究所会議^{[52] [53]}での2回の組織的な会合の後も引き続き盛んに行われました。計算解剖学は、形態素スケールでの人間の脳の萎縮の正確なモデルや心臓テンプレート^[54]のほか、生物システムのモデリングにも役立っています。^[55] 1990年代後半以降、計算解剖学は医用画像分野の新技術開発の重要な一部となっています。デジタルアトラスは、現代の医学部教育^{[56] [57]}や形態素スケールでの神経画像研究の基礎となっています。^{[58] [59]}アトラスベースの方法と仮想教科書^{[60]は変形可能なテンプレートなどのバリエーションに対応しており、Freesurfer、 [61]} FSL、^[62] MRIStudio、^[63] SPMなど多くの神経画像解析プラットフォームの中心となっています。^[64] 1990年代に導入された微分同相レジストレーション^{[18]は現在では重要な役割を果たしており、ANTS、 [65]}、DARTEL、^[66]、DEMONS、^{[67 ]}、LDDMM、 [68]、 StationaryLDDMM、^[69] 、 FastLDDMM、^[70]といった既存のコードベースは、疎な特徴と密な画像に基づく座標系間の対応関係を構築するために積極的に利用されている計算コードの例である。ボクセルベースの形態計測は、これらの原理の多くに基づいて構築された重要な技術である。

計算解剖学の変形可能なテンプレート軌道モデル

人体解剖モデルは、変形可能なテンプレート、すなわち群作用を受ける模型の軌道である。変形可能なテンプレートモデルは、グレナンダーの計量パターン理論の中心であり、テンプレートを通して典型性を、そしてテンプレートの変形を通して可変性を説明する。変形可能なテンプレートの表現としての群作用を受ける軌道は、微分幾何学における古典的な定式化である。図形の空間は と表され、群は合成則 を持つ。群の図形への作用は と表され、群の作用はを満たすように定義される。 ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {G}},\circ )}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle g\cdot m}$ ${\displaystyle g\cdot m\in {\mathcal {M}},m\in {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle (g\circ g^{\prime })\cdot m=g\cdot (g^{\prime }\cdot m)\in {\mathcal {M}}.}$

テンプレートの軌道は、 の要素の作用の下で同次であるすべての図形の空間になります。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{m=g\cdot m_{\mathrm {temp} },g\in {\mathcal {G}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

MRI の背景に埋め込まれた基準ランドマークとともに、内側側頭葉の 3 つの構造である扁桃体、嗅内皮質、海馬を示す図。

計算解剖学の軌道モデルは、群が形状に対して非線形に作用することから、線型代数と比較される抽象代数である。これは線型代数の古典的モデルの一般化であり、有限次元ベクトルの集合が有限次元解剖学的部分多様体（点、曲線、面、体積）とその像に置き換えられ、線型代数の行列が線型群とアフィン群、そしてより一般的な高次元微分同相群に基づく座標変換に置き換えられる。 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$

形と形状

中心となるオブジェクトは計算解剖学における形状またはフォームであり、一組の例としては の 0、1、2、3 次元部分多様体があり、二組の例としては磁気共鳴画像法(MRI) や機能的磁気共鳴画像法などの医療用画像法によって生成された画像があります。 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

扁桃体、海馬、視床、尾状核、被殻、脳室などの皮質下構造を表す三角形のメッシュ サーフェス。形状は三角形のメッシュとして表されます。 ${\displaystyle m(u),u\in U\subset {\mathbb {R} }^{1}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}}$

0 次元多様体はランドマークまたは基準点です。1 次元多様体は、脳の溝や脳回曲線などの曲線です。2 次元多様体は、中脳の皮質下構造や大脳新皮質の脳回表面などの解剖学におけるサブ構造の境界に対応します。サブボリュームは、人体、心臓、視床、腎臓のサブ領域に対応します。

ランドマークとは、他に構造を持たない点の集合であり、人間の形状における重要な基準点を描き出します（関連するランドマーク画像を参照）。面などの部分多様体形状は、局所チャートまたは浸漬によってパラメータ化された点の集合です（メッシュ面としての形状を示す図を参照）。MR画像やDTI画像などの画像は、スカラー、ベクトル、行列などの密関数です（スカラー画像を示す図を参照）。 ${\displaystyle X\doteq \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle m:U\subset {\mathbb {R} }^{1,2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle m(u),u\in U}$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle I(x),x\in X\subset {\mathbb {R} }^{1,2,3}}$

グループとグループアクション

T1 強調に基づくスカラー画像を表す 3D 脳の MRI 断面を表示します。 ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{2}}$

群と群作用は、機械工学、電気工学、応用数学における信号やシステムの解析の基本モデルとして、線形代数が広く普及・標準化されたことで、工学界ではよく知られています。線形代数では、行列群（逆行列を持つ行列）が中心的な構造であり、群作用は行列の通常の定義によって定義され、ベクトルとして作用します。線形代数における軌道は、によって与えられる -ベクトルの集合であり、これはの軌道を通る行列の群作用です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle x\in {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle y=A\cdot x\in {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$

の体積上で定義される計算解剖学の中心的なグループは 、 3 成分を持つ写像である微分同相写像、関数の合成法則、逆写像です。 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\doteq \operatorname {Diff} }$ ${\displaystyle \varphi (\cdot )=(\varphi _{1}(\cdot ),\varphi _{2}(\cdot ),\varphi _{3}(\cdot ))}$ ${\displaystyle \varphi \circ \varphi ^{\prime }(\cdot )\doteq \varphi (\varphi ^{\prime }(\cdot ))}$ ${\displaystyle \varphi \circ \varphi ^{-1}(\cdot )=\varphi (\varphi ^{-1}(\cdot ))={\rm {id}}}$

最も人気のあるのは、逆作用素を介して右側に作用するスカラー像 です。 ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I(x)=I\circ \varphi ^{-1}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}.}$

部分多様体 の場合、チャートまたは浸漬によってパラメータ化され、微分同相作用は位置の流れ ${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle m(u),u\in U}$

${\displaystyle \varphi \cdot m(u)\doteq \varphi \circ m(u),u\in U.}$

計算解剖学ではいくつかのグループアクションが定義されている。^{[引用が必要]}

微分同相写像を生成するためのラグランジアンフローとオイラーフロー

剛体 運動学の研究において、低次元行列リー群は中心的な焦点となってきました。行列群は低次元写像であり、座標系間の一対一対応と滑らかな逆写像を提供する微分同相写像です。回転とスケールの行列群は、行列指数関数によって解が与えられる単純な常微分方程式の解である有限次元閉行列によって生成できます。

計算解剖学における変形可能な形状の研究においては、より一般的な微分同相群、すなわち無限次元の類似群が好んで用いられてきた。計算解剖学で用いられる高次元微分同相群は 、 ^{[17] [19] [71]}で初めて導入された流れ場のラグランジュ的およびオイラー的指定を満たす滑らかな流れによって生成され、常微分方程式を満たす。 ${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$

常微分方程式を満たす関連するベクトル場を持つ座標のラグランジアンフローを表示します。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}(\varphi _{t}),\varphi _{0}={\rm {id}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi _{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\ \varphi _{0}={\rm {id}}\ ;}$

ラグランジュ流

上のベクトル場は、流れの位置における粒子のオイラー速度と呼ばれる。ベクトル場は関数空間における関数であり、高次元の滑らかなヒルベルト空間としてモデル化される。流れのヤコビアンも関数空間における高次元場であり、行列群における低次元行列ではない。流れは、画像マッチングにおける大変形のために初めて導入された^{[72] [73]} 。は、時刻における粒子の瞬間速度である。 ${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \ D\varphi \doteq \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

群に必要な逆関数 は、移流逆流 を伴うオイラーベクトル場上で定義される。 ${\displaystyle \varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi _{t}^{-1}=-(D\varphi _{t}^{-1})v_{t},\ \varphi _{0}^{-1}={\rm {id}}\ .}$

逆輸送フロー

計算解剖学の微分同相写像群

微分同相写像の群は非常に大きい。微分同相写像のスムーズな流れを確保し、逆写像のショックのような解を回避するためには、ベクトル場は空間において少なくとも1回連続微分可能でなければならない。 ^{[74] [75]}上の微分同相写像では、ベクトル場はソボレフの埋め込み定理を用いてヒルベルト空間の元としてモデル化され、 各元は厳密に2より大きい一般化平方積分空間微分を持ち（したがって十分）、1回連続微分可能な関数が得られる。^{[74] [75]} ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$

微分同相群はソボレフノルムで絶対積分可能なベクトル場を持つ流れである。

${\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}\doteq \left\{\varphi =\varphi _{1}:{\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}},\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}\,dt<\infty \right\}\ ,}$

微分同相群

ここで 、線形演算子は双対空間 にマッピングされ、積分は部分積分によって計算されます。この場合、は双対空間の一般化関数です。 ${\displaystyle \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot v\,dx,\ v\in V\ ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A:V\mapsto V^{*}}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$

ソボレフの滑らかさとグリーン核による再生核ヒルベルト空間

再生核ヒルベルト空間でモデル化されたベクトル場のソボレフ平滑性条件

計算解剖学で用いられるモデリング手法では、ベクトル場の空間を再生核ヒルベルト空間（RKHS）としてモデル化し、そのノルムを1-1の微分作用素 （グリーン逆関数 ）で定義することで、ベクトル場に連続微分可能条件を強制する。ヒルベルト空間のノルムは微分作用素によって誘導される。一般化された関数または超関数の場合、線型形式を と定義する。これは、 のノルムを に従って 決定する。 ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}}$ ${\displaystyle K=A^{-1}}$ ${\displaystyle \sigma (v)\doteq Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle (\sigma |w)\doteq \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\sum _{i}w_{i}(x)\sigma _{i}(dx)}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle _{V}\doteq \int _{X}Av\cdot w\,dx,\ \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot v\,dx,\ v,w\in V\ .}$

は微分作用素なので、ノルム平方の有限性は微分作用素からの微分を含み、ベクトル場が滑らかであることを意味する。 ^{[74] [75]では}ソボレフの埋め込み定理の議論がなされ、滑らかな流れには1-連続微分が必要であることが示された。 を適切に選択すると、はベクトル場の場合のグリーン関数（スカラーの場合）から生成されたグリーン作用素 と呼ばれる作用素を持つRKHSとなる。微分作用素に関連するグリーン核は、核が 両変数において連続的に微分可能である ため滑らかであり、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (Av|v)<\infty }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle K=A^{-1}:V^{*}\rightarrow V}$ ${\displaystyle k(\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle K\sigma (x)_{i}\doteq \sum _{j}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}k_{ij}(x,y)\sigma _{j}(dy)}$

のとき、ベクトル密度は、 ${\displaystyle \sigma \doteq \mu \,dx}$ ${\displaystyle (\sigma \mid v)\doteq \int v\cdot \mu \,dx.}$

微分形態測定法：形と形態の計量空間

微分同相写像群の計量研究と多様体と曲面の間の計量研究は重要な研究分野である。^{[28] [76] [77] [78] [79] [80]}微分形態測定計量は、2つの図形または画像が互いにどれだけ近いか遠いかを測定する。計量長は、1つの座標系から他の座標系に移動する流れの最短の長さである。

多くの場合、図形や画像のパターンはベクトル空間を形成しないため、よく知られているユークリッド計量は直接適用できません。計算解剖学のリーマン軌道モデルでは、フォームに作用する微分同相写像は線形に作用しません。 計量を定義する方法は多数あり、図形に関連付けられたセットの場合、ハウスドルフ計量は別の方法です。リーマン計量を誘導するために使用する方法は、フローに対する微分同相座標系変換間の計量の長さで定義することにより、図形の軌道上の計量を誘導するために使用されます。 図形の軌道上の座標系間の測地線フローの長さを測定することを、微分形態測定法と呼びます。 ${\displaystyle \varphi \cdot m\in {\mathcal {M}},\varphi \in \operatorname {Diff} _{V},m\in {\mathcal {M}}}$

微分同相写像上の右不変計量

微分同相写像群上の距離を定義する

${\displaystyle d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi ,\varphi )=\inf _{v_{t}}\left(\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\ dt:\varphi _{0}=\psi ,\varphi _{1}=\varphi ,{\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t}\right)^{1/2}\ ;}$

計量微分同相写像

これは微分形態測定法の右不変計量であり、^{[11] [28]}空間の再パラメータ化に対して不変である。なぜなら、すべての に対して、 ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$

${\displaystyle d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi ,\varphi )=d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi \circ \varphi ,\varphi \circ \varphi )}$。

形状と形態の測定基準

形状と形態上の距離、^[81]、 ${\displaystyle d_{\mathcal {M}}:{\mathcal {M}}\times {\mathcal {M}}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle d_{\mathcal {M}}(m,n)=\inf \left\{d_{\operatorname {Diff} _{V}}({\rm {id}},\varphi ):\varphi \in \operatorname {Diff} _{V},\,\varphi \cdot m=n\right\}}$

メトリック形状フォーム

像^[28] は軌道が 、計量として表される。 ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle ,d_{\mathcal {I}}}$

微分同相流におけるハミルトン原理の作用積分

古典力学では、物理システムの発展は、ハミルトンの最小作用原理に関連するオイラー・ラグランジュ方程式の解によって記述される。これは、例えばニュートンの自由粒子の運動法則を得るための標準的な方法である。より一般的には、オイラー・ラグランジュ方程式は一般化座標系に対しても導出できる。計算解剖学におけるオイラー・ラグランジュ方程式は、微分同相写像計量の座標系間の測地線最短経路フローを記述する。計算解剖学では、一般化座標は微分同相写像のフローとそのラグランジュ速度であり、この2つはオイラー速度を介して関連付けられている。 オイラー・ラグランジュ方程式を生成するハミルトンの原理は、次式で与えられるラグランジュ上の作用積分を必要とする。 ${\displaystyle \varphi ,{\dot {\varphi }}}$ ${\displaystyle v\doteq {\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}$

${\displaystyle J(\varphi )\doteq \int _{0}^{1}L(\varphi _{t},{\dot {\varphi }}_{t})\,dt\ ;}$

ハミルトン積分ラグランジアン

ラグランジアンは運動エネルギーによって与えられる：

${\displaystyle L(\varphi _{t},{\dot {\varphi }}_{t})\doteq {\frac {1}{2}}\int _{X}A({\dot {\varphi }}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1})\cdot ({\dot {\varphi }}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1})dx={\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\ dx\ .}$

ラグランジュ運動エネルギー

微分同相またはオイラー形状運動量

計算解剖学において、この演算子は、 オイラー速度に対して積分するとエネルギー密度が得られ、また微分同相形状運動量の保存則が成り立つことから、最初はオイラーまたは微分同相形状運動量と呼ばれていまし^た[ 82]。この演算子は、一般化慣性モーメントまたは慣性演算子です。 ${\displaystyle Av}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A}$

微分同相写像群上の測地線の形状運動量に関するオイラー・ラグランジュ方程式

ハミルトン原理からオイラー・ラグランジュ方程式を古典的に計算するには、流れの一次摂動に対する運動エネルギーにおけるベクトル場上のラグランジアンの摂動が必要である。これは、ベクトル場のリー括弧による調整を必要とする。このリー括弧は、次 式で表されるヤコビアンを含む 演算子によって与えられる。 ${\displaystyle ad_{v}:w\in V\mapsto V}$

${\displaystyle ad_{v}[w]\doteq [v,w]\doteq (Dv)w-(Dw)v\in V}$。

随伴関数を定義して一次変分により、一般化方程式を満たすオイラー形状の運動量が得られます。 ${\displaystyle ad_{v}^{*}:V^{*}\rightarrow V^{*},}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})=0\ ,\ t\in [0,1]\ ;}$

EL-一般

すべての滑らかな意味 ${\displaystyle w\in V,}$

${\displaystyle \int _{X}\left({\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})\right)\cdot w\,dx=\int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})dx=0.}$

計算解剖学は、部分多様体、点、曲線、曲面、体積の運動を研究する学問である。点、曲線、曲面に関連付けられた運動量はすべて特異であり、運動量がルベーグ測度の次元の部分集合に集中していることを意味する。このような場合でも、 は一般化関数であるにもかかわらずベクトル場は滑らかであり、オイラー運動量は滑らかな関数への作用を通じて理解されるため、エネルギーは依然として明確に定義されている。このことを完璧に例示すると、デルタディラックの重ね合わせであっても、体積全体の座標の速度は滑らかに動く。一般化関数の微分同相写像に関するオイラー–ラグランジュ方程式 ( EL-一般)は で導出された。^{[83] 『}測地線上のオイラー–ラグランジュ方程式のリーマン計量とリー括弧解釈』では、微分同相写像群の随伴演算子とリー括弧によって導出されている。これは 、非圧縮性、発散のない流体の慣性演算子の文脈で研究されてきたオイラー-ポアンカレ法に関連する微分同相写像のEPDiff方程式と呼ばれるようになった。 ^{[35] [84]} ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \leq 2}$ ${\displaystyle (Av_{t}\mid v_{t})}$ ${\displaystyle Av_{t}}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle A=identity}$

微分同相形状運動量：古典的なベクトル関数

運動量密度の場合、オイラー・ラグランジュ方程式は古典解を持つ。 ${\displaystyle (Av_{t}\mid w)=\int _{X}\mu _{t}\cdot w\,dx}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mu _{t}+(Dv_{t})^{T}\mu _{t}+(D\mu _{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)\mu _{t}=0\ ,t\in [0,1].}$

ELクラシック

微分同相写像に関するオイラー-ラグランジュ方程式は、古典的には運動量密度に対して定義され、医用画像解析のための^{[85]で初めて登場した。}

リーマン指数（測地線測位）とリーマン対数（測地線座標）

医用画像と計算解剖学において、形状の位置決めと座標設定は基本的な操作です。解剖学的座標と形状の位置決めシステムは、計量とオイラー・ラグランジュ方程式に基づいて構築され、ミラー・トゥルーヴとユネスによって初めて説明された測地線位置決めシステムです。^[11]初期条件から測地線を解くことはリーマン指数と呼ばれ、群への恒等写像です。 ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(\cdot ):V\to \operatorname {Diff} _{V}}$

リーマン指数関数は、初期条件、ベクトル場ダイナミクス、 ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})=\varphi _{1}}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{0}=v_{0}}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},t\in [0,1]}$

• 古典方程式の微分同相形状運動量、の場合、 ${\displaystyle \int _{X}Av_{t}\cdot w\,dx}$ ${\displaystyle Av\in V}$

${\displaystyle \ \ \ {\frac {d}{dt}}Av_{t}+(Dv_{t})^{T}Av_{t}+(DAv_{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)Av_{t}=0\ ;}$

• 一般化方程式の場合、、、 ${\displaystyle Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle w\in V}$

${\displaystyle \ \ \ \int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})\,dx=0.}$

座標リーマン対数上への流れを計算し、^{[11] [81]}からベクトル場への恒等写像を行う。 ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle Log_{\rm {id}}(\cdot ):\operatorname {Diff} _{V}\to V}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle v_{0}\in V}$

${\displaystyle \log _{\rm {id}}(\varphi )=v_{0}\ {\text{initial condition of EL geodesic}}{\dot {\varphi }}_{0}=v_{0},\varphi _{0}=id,\varphi _{1}=\varphi \ .}$

グループ全体に広げると

${\displaystyle \varphi =\operatorname {Exp} _{\varphi }(v_{0}\circ \varphi )\doteq \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\circ \varphi }$ ; 。 ${\displaystyle \log _{\varphi }(\varphi )\doteq \log _{\rm {id}}(\varphi \circ \varphi ^{-1})\circ \varphi }$

これらは互いに逆であり、対数の一意の解が得られます。前者は測地線測位、後者は測地座標と呼ばれます（有限次元版については指数写像、リーマン幾何学を参照）。測地線計量は、リーマン座標系の局所的な平坦化です（図を参照）。

座標化された形状とフォームの多様体の計量局所平坦化を示す。局所計量は測地線写像のベクトル場のノルムによって与えられる。 ${\displaystyle \|v_{0}\|_{V}}$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\cdot m}$

計算解剖学のハミルトン定式化

計算解剖学では、微分同相写像は座標系を推し進めるために用いられ、ベクトル場は解剖学的軌道または形態空間における制御として用いられる。このモデルは力学系であり、座標の流れとベクトル場の制御は、 ハミルトン的視点^{[81] [86] [87] [88] [89]}を介して関連付けられる。ハミルトン的視点は、運動量分布を共役運動量または正準運動量で再パラメータ化するもので、これはラグランジュ速度を制約するラグランジュ乗数として導入される。したがって、 ${\displaystyle t\mapsto \varphi _{t}\in \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle t\mapsto v_{t}\in V}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\cdot \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}}.}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle p:{\dot {\varphi }}\mapsto (p\mid {\dot {\varphi }})}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t}}$

${\displaystyle H(\varphi _{t},p_{t},v_{t})=\int _{X}p_{t}\cdot (v_{t}\circ \varphi _{t})\,dx-{\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx.}$

この関数は拡張ハミルトニアンである。ポンチャギン最大値原理^[81]は、縮約ハミルトニアンと同様に、 測地線流を決定する最適化ベクトル場を与える。 ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}},}$

${\displaystyle H(\varphi _{t},p_{t})\doteq \max _{v}H(\varphi _{t},p_{t},v)\ .}$

ラグランジュ乗数は線形形式として作用し、流れの速度に作用する正準運動量の内積を持ち、これは形状に依存します。例えば、ランドマークの場合は和、表面の場合は面積分、体積の場合は に関する体積積分です。いずれの場合も、グリーン核は重みを持ちます。これは常 微分方程式に従って発展する正準運動量であり、これはELに対応しますが、正準運動量における測地線の再パラメータ化です。最適化ベクトル場は次のように与えられます。 ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle v_{t}\doteq \operatorname {argmax} _{v}H(\varphi _{t},p_{t},v)}$

測地線に沿ったベクトル場を再パラメータ化する正準運動量のダイナミクスを用いて

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}={\frac {\partial H(\varphi _{t},p_{t})}{\partial p}}\\[6pt]\displaystyle {\dot {p}}_{t}=-{\frac {\partial H(\varphi _{t},p_{t})}{\partial \varphi }}\end{cases}}}$

ハミルトン力学

オイラー・ラグランジュに沿ったハミルトニアンと運動エネルギーの定常性

ベクトル場は の背景空間全体に拡張されているのに対し、部分多様体に関連付けられた測地線フローはオイラー形状の運動量を持ち、これは部分多様体に集中した一般化関数として発展する。ランドマーク^{[90] [91] [92]}の場合 、測地線は有限個の粒子とともに移動するデルタ分布の重ね合わせであるオイラー形状の運動量を持つ。座標の微分同相フローは重み付きグリーン核の範囲で速度を持つ。表面の場合、運動量は表面とともに移動するデルタ分布の面積分である。^[11] ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle Av_{t}\in V^{*}}$

EL一般を満たす座標系を結ぶ測地線は、ラグランジアンの定常性を持つ。ハミルトニアンは経路 に沿った極値 で与えられ、これはラグランジアンの運動エネルギーに等しく、 EL一般 に沿って定常である。恒等式 で測地線速度を定義し、測地線に沿って ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle H(\varphi ,p)=\max _{v}H(\varphi ,p,v)}$ ${\displaystyle v_{0}=\arg \max _{v}H(\varphi _{0},p_{0},v)}$

${\displaystyle H(\varphi _{t},p_{t})=H(\varphi _{0},p_{0})={\frac {1}{2}}\int _{X}p_{0}\cdot v_{0}\,dx={\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{0}\cdot v_{0}\,dx={\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx}$

ハミルトン測地線

ハミルトニアンの定常性は、ラグランジュ乗数を運動量として解釈できることを示しています。速度に対して積分するとエネルギー密度が得られます。正準運動量には多くの名前があります。最適制御において、流れは状態として解釈され、 は共役状態または共役運動量として解釈されます。^[93] EL の測地線は、におけるベクトル場またはオイラー運動量の指定、あるいは正準運動量の指定によって流れが決定されることを意味します。 ${\displaystyle {\dot {\varphi }}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle Av_{0}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle p_{0}}$

軌道上のランドマーク、表面、体積の測地線フローの測定基準

計算解剖学において、部分多様体とは、点集合、曲線、曲面、部分体積など、基本的なプリミティブです。部分多様体間の測地線フローは距離を決定し、微分形態測定における基本的な測定・移動ツールとなります。測地線には、 共役運動量と、オイラー運動量を定義する慣性演算子のグリーン核によって決定されるベクトル場があります。測地線を介して接続された座標系間の計量距離は、単位元と群元との間の誘導距離によって決定されます。 ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle v_{0}=Kp_{0}}$ ${\displaystyle K=A^{-1}}$

${\displaystyle d_{\operatorname {Diff} _{V}}({\rm {id}},\varphi )=\|\log _{\rm {id}}(\varphi )\|_{V}=\|v_{0}\|_{V}={\sqrt {2H({\rm {id}},p_{0})}}}$

保全法計算解剖学における微分同相形状運動量について

最小作用が与えられれば、一般化座標に関連付けられた運動量の自然な定義が存在する。速度に抗して作用する量はエネルギーを与える。この分野では、オイラーベクトル場に関連付けられた運動量（オイラー微分同相形状運動量）と、初期座標または標準座標に関連付けられた運動量（標準微分同相形状運動量）の 2 つの形式が研究されている。それぞれに運動量保存則がある。運動量の保存則は、EL 一般と密接に関連している。計算解剖学では、はオイラー運動量である。なぜなら、これをオイラー速度に対して積分するとエネルギー密度を与えるからである。演算子 は、オイラー速度に作用する一般化慣性モーメントまたは慣性演算子であり、測地線に沿って保存される運動量を与える。 ${\displaystyle Av}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Eulerian }}&{\frac {d}{dt}}\int _{X}Av_{t}\cdot ((D\varphi _{t})w)\circ \varphi _{t}^{-1})\,dx=0\ ,\ t\in [0,1].\\[8pt]{\text{Canonical }}&{\frac {d}{dt}}\int _{X}p_{t}\cdot ((D\varphi _{t})w)\,dx=0\ ,\ t\in [0,1]\ {\text{ for all}}\ w\in V\ .\end{aligned}}}$

オイラー保存則と定数エネルギー

オイラー形状運動量の保存は^{[94]で示されており、} EL一般から従う。正準運動量の保存は^[81]で示されている。

保全の証明

証明は を定義することから導かれ、 ${\displaystyle w_{t}=((D\varphi _{t})w)\circ \varphi _{t}^{-1}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}w_{t}=(Dv_{t})w_{t}-(Dw_{t})v_{t}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(Av_{t}\mid ((D\varphi _{t})w)\circ \varphi _{t}^{-1})=({\frac {d}{dt}}Av_{t}\mid ((D\varphi _{t})w)\circ \varphi _{t}^{-1})+(Av_{t}\mid {\frac {d}{dt}}((D\varphi _{t})w)\circ \varphi _{t}^{-1})=({\frac {d}{dt}}Av_{t}\mid w_{t})+(Av_{t}\mid (Dv_{t})w_{t}-(Dw_{t})v_{t})=0.}$

正準運動量の証明は次のように示される。 ${\displaystyle {\dot {p}}_{t}=-(Dv_{t})_{|_{\varphi _{t}}}^{T}p_{t}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(p_{t}\mid (D\varphi _{t})w)=({\dot {p}}_{t}\mid (D\varphi _{t})w)+(p_{t}\mid {\frac {d}{dt}}(D\varphi _{t})w)=({\dot {p}}_{t}\mid (D\varphi _{t})w)+(p_{t}\mid (Dv_{t})_{|_{\varphi _{t}}}(D\varphi _{t})w)=0}$。

変分問題による座標系間の情報の測地線内挿

図形間の微分同相対応の構築は、初期ベクトル場座標とグリーン核の関連する重みを計算する。これらの初期座標は、大変形微分同相計量マッピング (LDDMM)と呼ばれる図形のマッチングによって決定される。LDDMMは、対応のあるランドマークと対応のないランドマーク^{[32] [95] [96 ] [97] [98]}および稠密画像マッチングに対して解かれてきた。^{[99] [100]}曲線、^[101]表面、^{[41] [102]}稠密ベクトル^[103]およびテンソル^[104]画像、および方向を除去する変分に対しても解かれてきた。^[105] LDDMM は、 EL 一般のターゲット座標への測地線フローを計算し、座標系変換下での軌道内の要素の対応を測定するエンドポイント マッチング条件を作用積分に追加します。^[24]変分問題の解は境界条件付きでEL一般を満たす。 ${\displaystyle v_{0}\in V}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt}$ ${\displaystyle E:\varphi _{1}\rightarrow R^{+}}$ ${\displaystyle t\in [0,1)}$

運動エネルギー作用を最小化し、終点条件を満たすマッチング

${\displaystyle {\begin{aligned}&\min \left\{C(\varphi ):v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1},\varphi _{0}={\rm {id}}\right\}\\[5pt]\doteq {}&{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+E(\varphi _{1})\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Euler conservation }}&\displaystyle {\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})=0,\ t\in [0,1)\ ,\\{\text{Boundary condition }}&\displaystyle \varphi _{0}={\rm {id}},Av_{1}=\left.-{\frac {\partial E(\varphi )}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =\varphi _{1}}\ .\end{cases}}}$

EL一般からの保存則は、経路 における境界条件を経路の残りの部分 に拡張します。端点マッチング項を伴う不正確なマッチング問題には、いくつかの代替形式があります。測地線解に沿ったハミルトニアンの定常性に関する重要な概念の一つは、積分ランニングコストがt  = 0において初期コストに減少することであり、EL一般の測地線は初期条件 によって決定されます。 ${\displaystyle t=1}$ ${\displaystyle t\in [0,1)}$ ${\displaystyle E(\varphi _{1})}$ ${\displaystyle v_{0}}$

実行コストは、Kernel-Surf.-Land.-Geodesicsによって 決定される初期コストまで削減されます。 ${\displaystyle v_{0}=Kp_{0}}$

測地線撮影に基づくマッチング

${\displaystyle {\begin{aligned}&\min _{v_{0}}C(v_{0})\doteq {\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{0}\cdot v_{0}\,dx+E(\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot I_{0})\\[6pt]&\min _{p_{0}}C(p_{0})={\frac {1}{2}}\int _{X}p_{0}\cdot Kp_{0}\,dx+E(\mathrm {Exp} _{\text{id}}(Kp_{0})\cdot I_{0})\end{aligned}}}$

初期条件に明示的にインデックス付けされたマッチング問題はシューティングと呼ばれ、共役運動量を介して再パラメータ化することもできます。 ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle p_{0}}$

計算解剖学における高密度画像マッチング

稠密画像マッチングには長い歴史があり、初期の取り組み^{[106] [107]}は小規模な変形フレームワークを活用したものでした。大規模な変形は1990年代初頭に始まり、^{[18] [19]、}稠密画像マッチングにおける微分同相写像の流れに関する変分問題に対する最初の解法が確立されました。^[24]ベグは、稠密画像によって定義される端点をベクトル場に関して、ベクトル場に関する変分をとって解くという、初期のLDDMMアルゴリズムの一つによって解かれました。^[99]稠密画像マッチングの別の解法は、最適化問題を状態に関して再パラメータ化し、移流方程式によって定義される微小作用に関して解を与えるものです。^{[11] [27] [100]} ${\displaystyle q_{t}\doteq I\circ \varphi _{t}^{-1},q_{0}=I}$

LDDMM高密度画像マッチング

ベグのLDDMMにおいて、群作用 を持つ像 と表記する。これを最適制御問題として見ると、システムの状態は座標の微分同相フロー となり、制御と状態を関連付けるダイナミクスは で与えられる。端点整合条件は変分問題を与える。 ${\displaystyle I(x),x\in X}$ ${\displaystyle \varphi \cdot I\doteq I\circ \varphi ^{-1}}$ ${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}=v\circ \varphi }$ ${\displaystyle E(\varphi _{1})\doteq \|I\circ \varphi _{1}^{-1}-I^{\prime }\|^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\ \ \ \ \ \min _{v:{\dot {\varphi }}=v\circ \varphi }C(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+{\frac {1}{2}}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}|I\circ \varphi _{1}^{-1}(x)-I^{\prime }(x)|^{2}\,dx\end{aligned}}}$

高密度画像マッチング

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Endpoint condition:}}&Av_{1}=\mu _{1}\,dx,\mu _{1}=(I\circ \varphi _{1}^{-1}-I^{\prime })\nabla (I\circ \varphi _{1}^{-1})\ ,\\[5pt]{\text{Conservation:}}&Av_{t}=\mu _{t}\,dx,\ \mu _{t}=(D\varphi _{t}^{-1})^{T}\mu _{0}\circ \varphi _{t}^{-1}|D\varphi _{t}^{-1}|\ .\\[5pt]&\mu _{0}=(I-I^{\prime }\circ \varphi _{1})\nabla I|D\varphi _{1}|\ .\\\end{cases}}}$

Begの反復LDDMMアルゴリズムは、必要な最適化条件を満たす固定点を持ちます。この反復アルゴリズムは、稠密画像マッチングのためのBegのLDDMMアルゴリズムで示されています。

縮小移流状態におけるハミルトニアンLDDMM

状態とダイナミクス関連の状態と制御を移流項で表す。終点は変分問題を与える。 ${\displaystyle I(x),x\in X}$ ${\displaystyle q_{t}\doteq I\circ \varphi _{t}^{-1}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{t}=-\nabla q_{t}\cdot v_{t}}$ ${\displaystyle E(q_{1})\doteq \|q_{1}-I^{\prime }\|^{2}}$

${\displaystyle \min _{q:{\dot {q}}=v\circ q}C(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+{\frac {1}{2}}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}|q_{1}(x)-I^{\prime }(x)|^{2}\,dx}$

高密度画像マッチング

Viallard の反復ハミルトニアン LDDMM には、必要な最適化条件を満たす固定点があります。

計算解剖学における拡散テンソル画像マッチング

行列画像 (行列値画像) の 3 つの固有ベクトルの方向を表す 3 つのカラー レベルを持つ拡散テンソル画像を示す画像。3 つの色のそれぞれが方向を表します。 ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{2}}$

稠密LDDMMテンソルマッチング^{[104] [108]}は、画像を3x1ベクトルと3x3テンソルとして取り、各ボクセルの-テンソルで構成される拡散テンソルMRI画像（DTI）の主固有ベクトルに基づいて座標系間のマッチングを行う変分問題を解きます。正方行列間のフロベニウス行列ノルムに基づいて定義されるグループアクションがいくつかあります。添付の​​図には、各ボクセルでのDTI行列の固有ベクトルの方向を示すカラーマップを介して示されたDTI画像が示されており、色は方向の方向によって決まります。テンソル画像を固有要素、で表します。 ${\displaystyle M(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle \|A\|_{F}^{2}\doteq \operatorname {trace} A^{T}A}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle M(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \{\lambda _{i}(x),e_{i}(x),i=1,2,3\}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \lambda _{3}}$

DTI イメージングに基づく座標系変換では、 原理固有ベクトルまたは全体行列に基づく2 つのアクションが利用されています。

拡散テンソル行列の主固有ベクトルに基づくLDDMMマッチングは、画像を第1固有ベクトルで定義される単位ベクトル場として扱う。群作用は次のようになる。 ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I={\begin{cases}{\frac {D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|I\circ \varphi ^{-1}\|}{\|D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|}}&I\circ \varphi \neq 0;\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

テンソル行列全体に基づくLDDMMマッチングはグループアクションが変換された固有ベクトル になる ${\displaystyle \varphi \cdot M=(\lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2}{\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\circ \varphi ^{-1},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{1}&={\frac {D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\sqrt {\|D\varphi e_{2}\|^{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle ^{2}}}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{3}={\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\end{aligned}}}$。

主固有ベクトルまたは行列への変分マッチング問題は、 LDDMM テンソル画像マッチングで説明されています。

計算解剖学における高角度分解能拡散画像（HARDI）マッチング

高角度分解能拡散イメージング（HARDI）は、DTIのよく知られた限界、すなわち、DTIでは各位置において1つの主要な繊維配向しか明らかにできないという限界を克服します。HARDIは球面上の均一に分布する方向に沿った拡散を測定し、より複雑な繊維形状を特徴付けることができます。HARDIは、水分子の拡散確率密度関数の角度プロファイルを特徴付ける配向分布関数（ODF）を再構築するために使用できます。ODFは単位球面上で定義される関数です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathbb {S} }^{2}}$

稠密なLDDMM ODFマッチング^[109]は、各ボクセルでHARDIデータをODFとして受け取り、ODFの空間でLDDMM変分問題を解きます。情報幾何学の分野^[110]では、ODFの空間はフィッシャー・ラオ計量を持つリーマン多様体を形成します。LDDMM ODFマッピングの目的で、測地線、指数写像、対数写像などのさまざまなリーマン演算が閉じた形式で利用できるため、現在までに見つかった最も効率的な表現の1つであるため、平方根表現が選択されます。以下では、平方根ODF ( )を と表記します。ここで、は一意性を保証するために非負であり、 です。マッチングの変分問題は、2つのODFボリュームが、恒等写像 から始まる常微分方程式の解である微分同相写像 のフローを介して、一方から他方へ生成できることを前提としています。テンプレート上の微分同相写像の作用を、、はそれぞれ単位球面、および像領域の座標であり、ターゲットは同様に 、 、 とインデックス付けされます。 ${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$ ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$ ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$ ${\displaystyle \int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})\,d{\bf {s}}=1}$ ${\displaystyle \varphi _{t}}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}(\varphi _{t}),t\in [0,1],}$ ${\displaystyle \varphi _{0}={\rm {id}}}$ ${\displaystyle \varphi _{1}\cdot \psi _{\mathrm {temp} }({\bf {s}},x)}$ ${\displaystyle {\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {{\mathbb {S} }^{2}}}$ ${\displaystyle \psi _{\mathrm {targ} }({\bf {s}},x)}$ ${\displaystyle {\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}$ ${\displaystyle x\in X}$

テンプレート上の微分同相写像の群作用は次のように与えられる。

${\displaystyle \varphi _{1}\cdot \psi (x)\doteq (D\varphi _{1})\psi \circ \varphi _{1}^{-1}(x),x\in X}$、

ここで、はアフィン変換されたODFのヤコビアンであり、次のように定義される。 ${\displaystyle (D\varphi _{1})}$

${\displaystyle (D\varphi _{1})\psi \circ \varphi _{1}^{-1}(x)={\sqrt {\frac {\det {{\bigl (}D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left({\frac {(D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\varphi _{1}^{-1}(x)\right).}$

ODFに対する微分同相写像のこの群作用は、ODFの向きを変え、アフィン変換によるの大きさと のサンプリング方向の両方の変化を反映します。これにより、小さなパッチに向いた繊維の体積分率は、パッチが変換された後も必ず同じままであることが保証されます。 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\bf {s}}}$

LDDMM変分問題は次のように定義される。

${\displaystyle C(v)=\inf _{v:{\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+\lambda \int _{x\in \Omega }\|\log _{(D\varphi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \varphi _{1}^{-1}(x)}(\psi _{\mathrm {targ} }(x))\|_{(D\varphi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \varphi _{1}^{-1}(x)}^{2}\,dx.}$

ここでの対数は次のように定義される。 ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}\in \Psi }$

${\displaystyle \|\log _{\psi _{1}}(\psi _{2})\|_{\psi _{1}}=\cos ^{-1}\langle \psi _{1},\psi _{2}\rangle =\cos ^{-1}\left(\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi _{1}({\bf {s}})\psi _{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}\right),}$

ここで、これはメトリックの下の球面上の点間の通常のドット積です。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {L} ^{2}}$

このLDDMM-ODFマッピングアルゴリズムは、加齢に伴う脳白質変性、アルツハイマー病、血管性認知症の研究に広く利用されている。^[111] ODFに基づいて生成された脳白質アトラスは、ベイズ推定によって構築されている。^[112] ODFの回帰分析は、ODF多様体空間で展開されている。^[113]

変態

マイケル・ジャクソンのビデオなどの初期のモーフィング技術に関連する、座標変換における微分同相的変化と画像強度の変化の両方を可能にするメタモルフォーシスを示しています。テンプレートには存在しない腫瘍のグレーレベル強度が挿入されていることに注目してください。

軌道モデルによって表現される変化の主なモードは座標の変化である。微分同相写像によって関連付けられていない画像ペアが、テンプレートでは表現されない測光変化や画像変化を持つような状況では、アクティブ・アピアランス・モデリングが導入された。これは、エドワーズ・クーツ・テイラー^[114]によって初めて導入され、3D医用画像では^[115]で導入された。解剖学的軌道の指標が研究されている計算解剖学の文脈では、テンプレートには存在しない腫瘍や測光変化などの構造をモデリングするためのメタモルフォーシスが^[28]で磁気共鳴画像モデルに導入され、その後多くの開発によってメタモルフォーシスの枠組みが拡張された。^{[116] [117] [118]}

画像マッチングにおいて、画像メタモルフォーシス・フレームワークは、作用 が作用 となるように作用を拡大します。この設定において、メタモルフォーシスは、計算解剖学における微分同相座標系変換と、測光値または画像強度のみをフェードまたは変更する初期のモーフィング技術の両方を組み合わせます。 ${\displaystyle t\mapsto (\varphi _{t},I_{t})}$ ${\displaystyle \varphi _{t}\cdot I_{t}\doteq I_{t}\circ \varphi _{t}^{-1}}$

すると、マッチング問題は等式境界条件を持つ形式になります。

${\displaystyle \min _{(v,I)}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx+\|{\dot {I}}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1}\|^{2}/\sigma ^{2}\right)\,dt{\text{ subject to}}\ \varphi _{0}={\rm {id}},I_{0}={\text{fixed}},I_{1}={\text{fixed}}}$

ランドマーク、曲線、表面のマッチング

ランドマーク点またはフィデューシャルマーカーの特徴に基づく座標系の変換は、ブックスタインによる初期の研究^[119]にまで遡ります。この研究は、フィデューシャル点によって定義された対応関係を、フィデューシャルが定義されている2次元または3次元の背景空間に補間するものです。大変形ランドマーク法は1990年代後半に登場しました。^{[26] [32] [120]}上の図は、扁桃体、嗅内皮質、海馬という3つの脳構造に関連する一連のランドマークを示しています。

ラベルなしの点分布、曲線、曲面などの幾何学的オブジェクトのマッチングも、計算解剖学におけるもう1つの一般的な問題です。これらがメッシュを持つ頂点として一般的に与えられる離散設定でも、上で説明したランドマークの状況とは対照的に、点間に事前に決定された対応関係はありません。理論的な観点からは、の任意の部分多様体はローカル チャート でパラメータ化できますが、これらのチャートのすべての再パラメータ化は幾何学的に同じ多様体をもたらします。したがって、計算解剖学の早い段階で、研究者はパラメータ化不変表現の必要性を認識していました。不可欠な要件の1つは、2つの部分多様体間の端点のマッチング項自体が、それらのパラメータ化から独立していることです。これは、幾何学的測度理論、特に曲線と曲面のマッチングに広く使用されてきたカレント^[40]と可変フォールド^[45]から借用した概念と方法によって実現できます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle d=1,2,3}$ ${\displaystyle m:u\in U\subset {\mathbb {R} }^{0,1,2,3}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$

ランドマークまたはポイントの対応とのマッチング

一つのランドマークにおける測地線の流れの図解。背景空間の微分同相運動を示している。赤い矢印は、青い曲線は、黒いグリッドは を示している。 ${\displaystyle p_{0}(1)}$ ${\displaystyle \varphi _{t}(x_{1})}$ ${\displaystyle \varphi _{t}}$

ランドマークマッチングと対応関係を示す図。左と右のパネルは、解を持つ2つの異なるカーネルを示しています。

終点 を持つランドマーク図形を表すと、変分問題は次のようになる。 ${\displaystyle X\doteq \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subset {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle E(\varphi _{1})\doteq \textstyle \sum _{i}\displaystyle \|\varphi _{1}(x_{i})-x_{i}^{\prime }\|^{2}}$

${\displaystyle \min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\sum _{i}\|\varphi _{1}(x_{i})-x_{i}^{\prime }\|^{2}}$

ランドマークマッチング

測地線オイラー運動量は、変分問題におけるランドマーク集合上で支持される一般化された関数である 。保存則を伴う終点条件は、群の恒等式における初期運動量を示唆する。 ${\displaystyle \displaystyle Av_{t}\in V^{*}\textstyle ,t\in [0,1]}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Endpoint condition: }}&Av_{1}=\sum _{i=1}^{n}p_{1}(i)\delta _{\varphi _{1}(x_{i})},p_{1}(i)=(x_{i}^{\prime }-\varphi _{1}(x_{i}))\ ,\\[5pt]{\text{Conservation: }}&Av_{t}=\sum _{i=1}^{n}p_{t}(i)\delta _{\varphi _{t}(x_{i})},\ p_{t}(i)=(D\varphi _{t1})_{|\varphi _{t}(x_{i})}^{T}p_{1}(i)\ ,\ \varphi _{t1}\doteq \varphi _{1}\circ \varphi _{t}^{-1}\ ,\\[5pt]&Av_{0}=\sum _{i}\delta _{x_{i}}(\cdot )p_{0}(i)\ {\text{ with }}p_{0}(i)=(D\varphi _{1})_{|x_{i}}^{T}(x_{i}^{\prime }-\varphi _{1}(x_{i}))\end{cases}}}$

ランドマークの大変形微分同相距離マッピングのための反復アルゴリズム を示します。

測定マッチング：未登録のランドマーク

Glaunesらは、マッチング分布の一般的な設定において、点集合の微分同相マッチングを初めて導入した。^[121]ランドマークとは対照的に、これは特に、定義済みの対応関係がなく、異なる基数を持つ可能性のある重み付き点群の状況を含む。テンプレートとターゲットの離散点群は、の符号付き測度の空間に存在するディラックと2つの重み付き和として表される。この空間には、上の実正核から得られるヒルベルト計量があり、次のノルムを与える。 ${\displaystyle \mu _{m}=\sum _{i=1}^{n}\rho _{i}\delta _{x_{i}}}$ ${\displaystyle \mu _{m^{\prime }}=\sum _{i=1}^{n^{\prime }}\rho _{i}^{\prime }\delta _{x_{i}^{\prime }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle k(x,y)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \|\mu _{m}\|_{\mathrm {mea} }^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}\rho _{i}\rho _{j}k(x_{i},x_{j})}$

テンプレートとターゲットポイントクラウド間のマッチング問題は、エンドポイントマッチング項のこのカーネルメトリックを使用して定式化できます。

${\displaystyle \min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\|\mu _{\varphi _{1}\cdot m}-\mu _{m^{\prime }}\|_{\mathrm {mea} }^{2}}$

ここで、変形によって輸送される分布です。 ${\displaystyle \mu _{\varphi _{1}\cdot m}=\sum _{i=1}^{n}\rho _{i}\delta _{\varphi _{1}(x_{i})}}$

曲線マッチング

1次元の場合、3次元の曲線は埋め込み で表現でき、 Diffの群作用は となる。しかし、曲線と埋め込みの対応は1対1ではない。区間 [0,1] の微分同相写像に対する任意の再パラメータ化 は、幾何学的に同じ曲線を表すからである。この端点マッチング項における不変性を保つために、前述の0次元測度マッチングアプローチのいくつかの拡張が考えられる。 ${\displaystyle m:u\in [0,1]\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \varphi \cdot m=\varphi \circ m}$ ${\displaystyle m\circ \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

• 電流による曲線マッチング

有向曲線の場合、カレントは不変マッチング項を構築するための効率的な設定を提供します。このような表現では、曲線は空間ベクトル場と双対な関数空間の要素として解釈され、これらの空間上の核ノルムを介して比較されます。2つの曲線のマッチングは、最終的に変分問題として記述されます。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m^{\prime }}$

${\displaystyle \min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}}$

終点項はノルムから得られる ${\displaystyle E(\varphi _{1})=\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}/2}$

${\displaystyle \|{\mathcal {C}}_{m}\|_{\mathrm {cur} }^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}K_{C}(m(u),m(v))\partial m(u)\cdot \partial m(v)\,du\,dv}$

導関数は曲線の接線ベクトルと与えられた行列核である。このような表現は、およびの任意の正の再パラメータ化に対して不変であり、したがって2つの曲線の向きに依存している。 ${\displaystyle \partial m(u)}$ ${\displaystyle K_{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m'}$

• バリフォールドによる曲線マッチング

バリフォールドは、例えば複数の曲線束が関係し、「一貫した」方向が定義できない状況など、方向が問題となる場合に、電流の代替として利用できます。バリフォールドは、点の位置に接空間方向を追加することで0次元測度を直接拡張し、曲線をと内のすべての直線のグラスマン多様体の積の測度として表すことができます。2つの曲線間のマッチング問題は、端点マッチング項をのバリフォールドノルムに置き換えることで実現されます。バリフォールドノルムは、次の形式を持ち ます。 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle E(\varphi _{1})=\|{\mathcal {V}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {V}}_{m^{\prime }}\|_{\text{cur}}^{2}/2}$

${\displaystyle \|{\mathcal {V}}_{m}\|_{var}^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}k_{\mathbb {R} ^{3}}(m(u),m(v))k_{\mathbf {Gr} }\left([\partial m(u)],[\partial m(v)]\right)\partial m(u){|}\partial m(v){|}\,du\,dv}$

ここで、は接ベクトルと2つのスカラー核 によってそれぞれ向き付けられた無向直線であり、グラスマン多様体上にあります。グラスマン多様体表現の固有の無向性により、このような表現は正および負の再パラメータ化に対して不変です。 ${\displaystyle [\partial m(u)]}$ ${\displaystyle \partial m(u)}$ ${\displaystyle k_{\mathbb {R} ^{3}},k_{\mathbf {Gr} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

表面マッチング

曲面マッチングは曲線の場合と多くの類似点を持つ。 の曲面は局所チャートにおいて埋め込みによって媒介変数化され、 U の微分同相写像を持つすべての再媒介変数化は幾何学的に同値である。カレントと可変形も曲面マッチングを形式化するために用いることができる。 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle m:u\in U\subset {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle m\circ \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

• 流れと表面のマッチング

有向曲面は、微分2次元形式と双対な2次元カレントとして表すことができます。 では、3次元ベクトルの標準的なウェッジ積を通して、2次元形式とベクトル場をさらに同一視することができます。この設定では、曲面マッチングは次のように書き直されます。 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}}$

終点はノルムを通して与えられる ${\displaystyle E(\varphi _{1})=\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}/2}$

${\displaystyle \|{\mathcal {C}}_{m}\|_{\mathrm {cur} }^{2}=\iint _{U\times U}K_{C}(m(u),m(v)){\vec {n}}(u)\cdot {\vec {n}}(v)\,du\,dv}$

表面の法線ベクトルはによってパラメータ化されます。 ${\displaystyle {\vec {n}}=\partial _{u_{1}}m\wedge \partial _{u_{2}}m}$ ${\displaystyle m}$

この表面マッピングアルゴリズムは、CARETとFreeSurferを用いて脳皮質表面に対して検証されている。^{[122]マルチスケール表面のLDDDMMマッピングについては、 [123]}で議論されている。

• バリフォールドによる表面マッチング

非有向曲面や非有向曲面の場合、しばしば可変長体フレームワークがより適切です。パラメトリック曲面を、とグラスマン多様体の積の測度空間における可変長体と同一視することで、従来の計量を次のように置き換えることができます。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{m}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \|{\mathcal {C}}_{m}\|_{\mathrm {cur} }^{2}}$

${\displaystyle \|{\mathcal {V}}_{m}\|_{\mathrm {var} }^{2}=\iint _{U\times U}k_{\mathbb {R} ^{3}}(m(u),m(v))k_{\mathbf {Gr} }\left([{\vec {n}}(u)],[{\vec {n}}(v)]\right){|}{\vec {n}}(u){|}{|}{\vec {n}}(v){|}\,du\,dv}$

ここで、法線ベクトルがサーフェスに向ける（無指向の）線です。 ${\displaystyle [{\vec {n}}(u)]}$

縦断的時系列からの成長と萎縮

一連の測定値、つまり時系列が存在し、それらに基礎となる座標系が対応付けられ、流れ込むような状況は数多く存在します。これは、例えば^{[46] [124] [125] [126]}で検討されているような動的成長・萎縮モデルや動作追跡において見られます。観測された時系列が与えられ、その目的は、観測期間を通してエクゼンプラーまたはテンプラーを運ぶ座標の幾何学的変化の時間的流れを推測することです。

一般的な時系列マッチング問題は、時間系列が であると仮定します。フローはコスト系列で最適化され、次のような最適化問題が与えられます。 ${\displaystyle 0<t_{1}<\cdots <t_{K}=1}$ ${\displaystyle E(t_{k}),k=1,\ldots ,K}$

${\displaystyle \min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1},\varphi _{0}=id}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}(Av_{t}\mid v_{t})\,dt+\sum _{k=1}^{K}E(\varphi _{t_{k}})}$。

これまでに少なくとも3つの解法が提案されており、区分測地線法^[46] 、主測地線法^[126]、スプライン法^{[127]である。}

計算解剖学のランダム軌道モデル

テンプレート上の微分同相群作用に関連する脳の軌道は、滑らかな流れを介して測地線の流れに関連付けられ、ランダムスプレーと初期接空間ベクトル場のランダム生成に関連付けられて描かれています。^[11] ${\displaystyle v_{0}\in V}$

計算解剖学におけるランダム軌道モデルは、[128] [129] [130] で初めて登場し、テンプレート^{に作用する}群のランダム性に関連する座標の変化をモデル化しています。このランダム性は、解剖学的形状の軌道における画像源のランダム性を引き起こし、その結果として医療用画像装置を通した観察結果に反映されます。群のランダム性が画像にもランダム性を誘導するこのようなランダム軌道モデルは、物体認識のための特殊ユークリッド群について検討されました。^[131]

図には、初期接空間ベクトル場を恒等関数 で生成し、次にランダム オブジェクト を生成することでフローをランダム化して生成された、各例の周りのランダム軌道 が示されています。 ${\displaystyle m_{0}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle v_{0}\in V}$ ${\displaystyle n\doteq \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\cdot m_{0}\in {\mathcal {M}}}$

ランダム軌道モデルは、特定のアトラスを条件として、形状と画像に関する事前分布を誘導する。このため、生成モデルは、テンプレートの座標のランダムな変化として平均場を に従って生成する。ここで、座標の微分同相変化は測地線フローを介してランダムに生成される。上のランダム変換に関する事前分布は、ガウス確率場事前分布 として構築されたフローによって誘導される。センサー出力におけるランダム観測量の密度は、次のように与えられる。 ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I_{a}\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{a}}$ ${\displaystyle \pi _{\text{Diff}}(d\varphi )}$ ${\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v)}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \pi _{V}(dv)}$ ${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{D}}$

合成の運動量に使用される固有関数の分散を表す 2 次元グリッド内に配置された合成皮質下構造のランダム スプレーを示す図。

${\displaystyle p(I^{D}\mid I_{a})=\int _{V}p(I^{D}\mid \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v)\cdot I_{a})\pi _{V}(dv)\ .}$

右の図に示されている漫画の軌道は、サブ多様体上でサポートされているベクトル フィールドをランダム化することによって生成された皮質下多様体のランダム スプレーです。 ${\displaystyle v_{0}}$

計算解剖学のベイズモデル

画像のソース、変形可能なテンプレート、およびMRIセンサーに関連付けられたチャネル出力を示すソースチャネルモデル ${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{\mathrm {temp} }\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$

医用画像処理の計算解剖学の中心的な統計モデルは、シャノン理論のソースチャネルモデルである^{[128] [129] [130]。}ソースは画像の変形可能なテンプレートであり、チャネル出力は観測可能な値を持つ画像センサーである（図を参照）。 ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$

(i) 複数のアトラスを使用した MAP 推定、(ii) 複数のアトラスを使用した MAP セグメンテーション、集団からのテンプレートの MAP 推定については、 「計算解剖学のベイズモデル」を参照してください。

計算解剖学における統計的形状理論

計算解剖学における形状は局所理論であり、形状や構造をテンプレートにインデックス付けし、それらが全単射にマッピングされる。計算解剖学における統計的形状は、集団と共通テンプレート座標系との間の微分同相対応に関する経験的研究である。これは、David G. Kendall ^[132]が開拓したプロクラステス解析や形状理論とは大きく異なる。Kendallの理論の中心群は有限次元リー群であるのに対し、計算解剖学における形状理論^{[133] [134] [135]}は微分同相群に焦点を当てており、ヤコビアンを介して一階に並べると、スケールと回転の低次元リー群の体（したがって無限次元）として考えることができる。

形状の集団から推定された経験的共分散の最初の 2 つの固有ベクトルから生成された 2 次元運動量空間に埋め込まれた数百の皮質下構造を示す図。

ランダム軌道モデルは、解剖学的形状と形態に関する誘導確率法則の非線形性が、微分同相群の恒等式における接空間のベクトル場への還元によって誘導されるため、計算解剖学における経験的形状と形態統計を理解するための自然な設定を提供する。オイラー方程式の連続流は、形状と形態のランダム空間を誘導する。 ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle v_{0}\in V}$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\cdot m\in {\mathcal {M}}}$

この接空間の恒等関数における経験統計を行うことは、形状の統計に関する確率法則を導く自然な方法です。ベクトル場とオイラー運動量はどちらもヒルベルト空間内にあるため、自然なモデルはガウス分布の確率場であり、検定関数が与えられた場合、検定関数との内積は平均と共分散を持つガウス分布に従います。 ${\displaystyle Av_{0}}$ ${\displaystyle w\in V}$

これは添付の図に示されており、皮質下脳構造は、テンプレートからそれらを生成する初期ベクトル場の内積に基づく 2 次元座標系で示され、ヒルベルト空間の 2 次元スパンで示されています。

集団からのテンプレート推定

MaのEMアルゴリズムソリューションを用いたMR画像集団における複数の皮質下表面からのテンプレート推定の描写。^[136]

集団における形状と統計の研究は局所理論であり、形状と構造をテンプレートにインデックス付けし、それらが全単射に写像される。統計的形状は、テンプレートに対する微分同相対応の研究である。中核となる操作は、集団からテンプレートを生成し、集団に適合する形状を推定することである。テンプレートを生成するための重要な手法としては、フレシェ平均法に基づく手法^[137]や、期待最大化アルゴリズムと計算解剖学のベイズランダム軌道モデルに基づく統計的アプローチなど、いくつかある。 ^{[136] [138]}添付の図は、MRI被験者集団から再構成された皮質下テンプレートである。^[139]

微分同相写像用ソフトウェア

さまざまな微分同相写像アルゴリズムを含むソフトウェア スイートには、次のものがあります。

• アリ^[65]
• DARTEL ^[66] ボクセルベース形態計測
• デフォルメトリカ^[140]
• 悪魔^[67]
• LDDMM ^[68] 大変形微分同相計量写像
• フレームベースカーネルに基づくLDDMM ^[141]
• 定常LDDMM ^[69]

クラウドソフトウェア

• MRIクラウド^[142]

参照

• 計算解剖学におけるテンプレートのベイズ推定
• 計算神経解剖学
• 幾何学的データ分析
• 大変形微分同相計量写像
• プロクルステス分析
• 計算解剖学におけるリーマン計量とリー括弧
• 形状分析（曖昧さ回避）
• 統計的形状分析

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