Shape formed from points common to other shapes
赤い点は 2 本の線が交差する点を表します。 幾何学 において 、 幾何学的オブジェクト（点の 集合として捉えられる）間の 交点 とは、2つ以上のオブジェクト（直線、曲線、平面、曲面など）に共通する点、直線、または曲線のことです。 ユークリッド幾何学 における最も単純な例は、 2つの異なる 直線間の 交点 です。この交点は、1つの 点 （ 頂点 と呼ばれることもあります） であるか、 存在しない か（直線が 平行 な場合）のいずれかです。その他の幾何学的交点の種類には、以下のものがあります。
平面（高 次元 空間に埋め込まれた線状の幾何学的オブジェクト） の交差の判定は、 線型代数 の単純な課題、すなわち連立一 次方程式の 解法です 。一般に、交差の判定は 非線型方程式 につながり、これは ニュートン反復法 などを使用して 数値的に解く ことができます。直線と 円錐曲線 （円、 楕円 、放物線など）または二 次曲線 （球、円柱、双曲面など）との交差の問題は、簡単に解ける 二次方程式 につながります。二次曲線同士の交差は、 代数的に 解ける 四次方程式 につながります。
幾何学における交差の概念は、ジュゼッペ・ペアノ の著作において、集合の操作である 交差（集合論） の地位にまで拡張されました 。
飛行機の中で
2行 2本の非平行線の交点を求める
a 1 x + b 1 y = c 1 , a 2 x + b 2 y = c 2 {\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}}
クラメールの規則 または変数を代入することで、交点の座標が 得られます 。 ( x s , y s ) {\displaystyle (x_{s},y_{s})}
x s = c 1 b 2 − c 2 b 1 a 1 b 2 − a 2 b 1 , y s = a 1 c 2 − a 2 c 1 a 1 b 2 − a 2 b 1 . {\displaystyle x_{s}={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}},\quad y_{s}={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}.\ } ( 直線が平行な場合は、0 で割る必要があるため、これらの式は使用できません。) a 1 b 2 − a 2 b 1 = 0 {\displaystyle a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0}
2つの線分 2つの線分の交点 2つの非平行 線分 と については、 必ずしも交点が存在するとは限りません（図を参照）。これは、 対応する線分の交点が必ずしも線分に含まれる必要がないためです。この状況を確認するために、線分の媒介変数表現を使用します。 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})} ( x 3 , y 3 ) , ( x 4 , y 4 ) {\displaystyle (x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})} ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})}
( x ( s ) , y ( s ) ) = ( x 1 + s ( x 2 − x 1 ) , y 1 + s ( y 2 − y 1 ) ) , {\displaystyle (x(s),y(s))=(x_{1}+s(x_{2}-x_{1}),y_{1}+s(y_{2}-y_{1})),} ( x ( t ) , y ( t ) ) = ( x 3 + t ( x 4 − x 3 ) , y 3 + t ( y 4 − y 3 ) ) . {\displaystyle (x(t),y(t))=(x_{3}+t(x_{4}-x_{3}),y_{3}+t(y_{4}-y_{3})).} 対応するパラメータが条件を満たす場合、 線分は 対応する直線の共通点でのみ交差する 。パラメータ は線形システムの解である
。 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} s 0 , t 0 {\displaystyle s_{0},t_{0}} 0 ≤ s 0 , t 0 ≤ 1 {\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1} s 0 , t 0 {\displaystyle s_{0},t_{0}}
s ( x 2 − x 1 ) − t ( x 4 − x 3 ) = x 3 − x 1 , {\displaystyle s(x_{2}-x_{1})-t(x_{4}-x_{3})=x_{3}-x_{1},} s ( y 2 − y 1 ) − t ( y 4 − y 3 ) = y 3 − y 1 . {\displaystyle s(y_{2}-y_{1})-t(y_{4}-y_{3})=y_{3}-y_{1}\ .} これはクラメールの定理（上記参照）を用いてs と t について解くことができます 。条件が 満たされる場合、対応する媒介変数表現に またはを挿入し 、交点 を得ます 。 0 ≤ s 0 , t 0 ≤ 1 {\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1} s 0 {\displaystyle s_{0}} t 0 {\displaystyle t_{0}} ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})}
例: 線分 と 線型システム
の場合、 ( 1 , 1 ) , ( 3 , 2 ) {\displaystyle (1,1),(3,2)} ( 1 , 4 ) , ( 2 , − 1 ) {\displaystyle (1,4),(2,-1)}
2 s − t = 0 {\displaystyle 2s-t=0} s + 5 t = 3 {\displaystyle s+5t=3} および 。つまり、直線は点で交差します 。 s 0 = 3 11 , t 0 = 6 11 {\displaystyle s_{0}={\tfrac {3}{11}},t_{0}={\tfrac {6}{11}}} ( 17 11 , 14 11 ) {\displaystyle ({\tfrac {17}{11}},{\tfrac {14}{11}})}
注: 線分の代わりに点のペアによって決定される線を考慮すると、各条件は 削除でき、メソッドは線の交点を生成します (上記を参照)。 0 ≤ s 0 , t 0 ≤ 1 {\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}
線と円 線と円の交差 交差点については
線 と 円 a x + b y = c {\displaystyle ax+by=c} x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} x または y の直線方程式を解き 、 それを円の方程式に 代入する と、解は次のようになる（二次方程式の公式を使用） 。 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}
x 1 / 2 = a c ± b r 2 ( a 2 + b 2 ) − c 2 a 2 + b 2 , {\displaystyle x_{1/2}={\frac {ac\pm b{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,} y 1 / 2 = b c ∓ a r 2 ( a 2 + b 2 ) − c 2 a 2 + b 2 , {\displaystyle y_{1/2}={\frac {bc\mp a{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,} この条件が厳密な不等式で成り立つ場合 、交点は 2 つあります。この場合、線は円の 割線 と呼ばれ、交点を結ぶ線分は 円の 弦と呼ばれます。 r 2 ( a 2 + b 2 ) − c 2 > 0 . {\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}>0\ .}
が成り立つ場合 、交点は1つだけ存在し、直線は円に接します。弱不等式が成り立たない場合、直線は円と交差しません。 r 2 ( a 2 + b 2 ) − c 2 = 0 {\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}=0}
円の中心点が原点でない場合は、 [1] を参照してください。直線と放物線または双曲線の交点も同様に扱うことができます。
2つの円 2つの円の交点の決定
( x − x 1 ) 2 + ( y − y 1 ) 2 = r 1 2 , ( x − x 2 ) 2 + ( y − y 2 ) 2 = r 2 2 {\displaystyle (x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r_{1}^{2},\ \quad (x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}=r_{2}^{2}} 直線と円の交差という前述の例に帰着します。与えられた2つの方程式を引き算すると、直線の方程式が得られます。
2 ( x 2 − x 1 ) x + 2 ( y 2 − y 1 ) y = r 1 2 − x 1 2 − y 1 2 − r 2 2 + x 2 2 + y 2 2 . {\displaystyle 2(x_{2}-x_{1})x+2(y_{2}-y_{1})y=r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}.} この特別な線は、 2 つの円の 根号線です。
x軸上に中心を持つ2つの円の交点。その根号線は濃い赤色です。 特殊なケース ： x 1 = y 1 = y 2 = 0 {\displaystyle \;x_{1}=y_{1}=y_{2}=0}
この場合、原点は最初の円の中心であり、2番目の中心はx軸上にあります（図参照）。根直線の方程式は次のように簡略化され 、交点は 次の
ように表すことができます。 2 x 2 x = r 1 2 − r 2 2 + x 2 2 {\displaystyle \;2x_{2}x=r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}\;} ( x 0 , ± y 0 ) {\displaystyle (x_{0},\pm y_{0})}
x 0 = r 1 2 − r 2 2 + x 2 2 2 x 2 , y 0 = r 1 2 − x 0 2 . {\displaystyle x_{0}={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}}{2x_{2}}},\quad y_{0}={\sqrt {r_{1}^{2}-x_{0}^{2}}}\ .} 円の場合、 共通点はありません。円 の場合 、共通点は1つあり、根線は共通接線です。 r 1 2 < x 0 2 {\displaystyle r_{1}^{2}<x_{0}^{2}} r 1 2 = x 0 2 {\displaystyle r_{1}^{2}=x_{0}^{2}}
上記のような一般的なケースは、シフトと回転によって特殊なケースに変換できます。
2 つの円盤 (2 つの円の内部)の交差により、 レンズ と呼ばれる形状が形成されます 。
円と楕円の交差
2つの円錐曲線 楕円／双曲線／放物線と別の円錐曲線 との交差問題は、二次方程式 の連立方程式 に帰着しますが 、特殊な場合には、1つの座標を消去するだけで容易に解くことができます。円錐曲線の特殊な性質を利用して 解を 求めることができます。一般に、交点はニュートン反復法で方程式を解くことで決定できます。a) 両方の円錐曲線が暗黙的に（方程式によって）与えられている場合、2次元ニュートン反復法が用いられます。b) 一方が暗黙的に与えられ、もう一方がパラメトリックに与えられている場合、1次元ニュートン反復法が必要となります。次のセクションを参照してください。
2つの滑らかな曲線 2つの曲線の交差 交差点に接触（左）、接触（右） 連続的に微分可能な（つまり、急激な曲がりがない） 2 つの曲線（2 次元空間）には、平面上の共通点があり、この点に次のものがある場合、交点が存在します（図を参照）。 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
a) 異なる接線（ 交差交差 、 交差 後）、または b) 接線が共通で、互いに交差している（ 接点 に接した 後 ）。 両方の曲線に点 S とそこに接線が共通しているが、交差していない場合は、それらの曲線は 点 Sで 接している だけです。
接触する交点は稀にしか現れず、扱いが難しいため、以下の考察ではこのケースは除外する。いずれの場合も、必要な微分条件はすべて前提とされている。交点の決定は、常に1つまたは2つの非線形方程式を導き、ニュートン反復法で解くことができる。現れるケースのリストは以下のとおりである。
パラメトリック曲線と暗黙曲線の交差 2つの暗黙曲線の交差 両方の曲線が明示的に与えられている 場合 ： 、それらを等しくすると次の式が得られる。 y = f 1 ( x ) , y = f 2 ( x ) {\displaystyle y=f_{1}(x),\ y=f_{2}(x)} f 1 ( x ) = f 2 ( x ) . {\displaystyle f_{1}(x)=f_{2}(x)\ .} 両方の曲線がパラメトリックに与えられている 場合 : C 1 : ( x 1 ( t ) , y 1 ( t ) ) , C 2 : ( x 2 ( s ) , y 2 ( s ) ) . {\displaystyle C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:(x_{2}(s),y_{2}(s)).} これらを等しくすると、2 つの変数を持つ 2 つの方程式が得られます。 x 1 ( t ) = x 2 ( s ) , y 1 ( t ) = y 2 ( s ) . {\displaystyle x_{1}(t)=x_{2}(s),\ y_{1}(t)=y_{2}(s)\ .} 一方の曲線がパラメトリックに与えられ、もう一方が暗黙的に 与えられている場合 : C 1 : ( x 1 ( t ) , y 1 ( t ) ) , C 2 : f ( x , y ) = 0. {\displaystyle C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:f(x,y)=0.} これは、明示的な場合を除けば最も単純なケースです。 の媒介変数表現を 曲線の 方程式に代入すると 、次の方程式が得られます。 C 1 {\displaystyle C_{1}} f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0} C 2 {\displaystyle C_{2}} f ( x 1 ( t ) , y 2 ( t ) ) = 0 . {\displaystyle f(x_{1}(t),y_{2}(t))=0\ .} 両方の曲線が暗黙的に与えられている 場合 ： C 1 : f 1 ( x , y ) = 0 , C 2 : f 2 ( x , y ) = 0. {\displaystyle C_{1}:f_{1}(x,y)=0,\ C_{2}:f_{2}(x,y)=0.} ここで、交点はシステムの解である。 f 1 ( x , y ) = 0 , f 2 ( x , y ) = 0 . {\displaystyle f_{1}(x,y)=0,\ f_{2}(x,y)=0\ .} ニュートン反復法はいずれも、両方の曲線を視覚化することで得られる便利な初期値を必要とします。パラメータ的に与えられた曲線、あるいは明示的に与えられた曲線は、任意のパラメータ t または x に対して対応する点を容易に計算できるため、容易に視覚化できます。一方、暗黙的に与えられた曲線の場合、この作業はそれほど容易ではありません。この場合、初期値と反復法を用いて曲線点を決定する必要があります。 [2]を参照してください。
例:
1: 円を描きます （図を参照）。 C 1 : ( t , t 3 ) {\displaystyle C_{1}:(t,t^{3})} C 2 : ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2 − 10 = 0 {\displaystyle C_{2}:(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-10=0} 関数の ニュートン反復法 t n + 1 := t n − f ( t n ) f ′ ( t n ) {\displaystyle t_{n+1}:=t_{n}-{\frac {f(t_{n})}{f'(t_{n})}}} f ( t ) = ( t − 1 ) 2 + ( t 3 − 1 ) 2 − 10 {\displaystyle f(t)=(t-1)^{2}+(t^{3}-1)^{2}-10} 実行する必要があります。開始値として、-1 と 1.5 を選択できます。 交点は（−1.1073, −1.3578）、（1.6011, 4.1046）である。 2: C 1 : f 1 ( x , y ) = x 4 + y 4 − 1 = 0 , {\displaystyle C_{1}:f_{1}(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0,} C 2 : f 2 ( x , y ) = ( x − 0.5 ) 2 + ( y − 0.5 ) 2 − 1 = 0 {\displaystyle C_{2}:f_{2}(x,y)=(x-0.5)^{2}+(y-0.5)^{2}-1=0} （図を参照）。 ニュートン反復法 ( x n + 1 y n + 1 ) = ( x n + δ x y n + δ y ) {\displaystyle {x_{n+1} \choose y_{n+1}}={x_{n}+\delta _{x} \choose y_{n}+\delta _{y}}} 実行する必要がある。 線形システムの解は ( δ x δ y ) {\displaystyle {\delta _{x} \choose \delta _{y}}} ( ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y ) ( δ x δ y ) = ( − f 1 − f 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{pmatrix}}{\delta _{x} \choose \delta _{y}}={-f_{1} \choose -f_{2}}} 点 において 、初期値として(−0.5, 1)と(1, −0.5)を選択できます。 ( x n , y n ) {\displaystyle (x_{n},y_{n})} 線形システムはクラメールの規則によって解くことができます。 交点は（−0.3686, 0.9953）と（0.9953, −0.3686）です。
2つのポリゴン 2つの多角形の交差：ウィンドウテスト 2つの多角形 の交点を特定したい場合 、多角形の任意の線分のペアの交点を調べることができます（上記参照）。線分の多い多角形の場合、この方法はかなり時間がかかります。実際には、 ウィンドウテスト を使用することで交差アルゴリズムを高速化できます。この場合、多角形を小さなサブポリゴンに分割し、任意のサブポリゴンの最小のウィンドウ（座標軸に平行な辺を持つ長方形）を決定します。時間のかかる2つの線分の交点の特定を開始する前に、任意のウィンドウのペアに共通点がないかテストします。 [3]を参照してください。
宇宙（三次元） 3次元空間では、曲線と曲面の間には交点（共通点）が存在します。以下のセクションでは、 横断 交差 のみを扱います。
線と平面 線と面の交差 3 次元の一般的な位置 における 線と平面の交点 は点です。
一般的に、空間上の直線は媒介変数で表現され 、平面は方程式で表現され ます。この方程式にパラメータ表現を代入すると、線形方程式が得られます。 ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) {\displaystyle (x(t),y(t),z(t))} a x + b y + c z = d {\displaystyle ax+by+cz=d}
a x ( t ) + b y ( t ) + c z ( t ) = d , {\displaystyle ax(t)+by(t)+cz(t)=d\ ,} 交差点の パラメータです 。 t 0 {\displaystyle t_{0}} ( x ( t 0 ) , y ( t 0 ) , z ( t 0 ) ) {\displaystyle (x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))}
線形方程式に解がない場合、その線は平面上にあるか、平面に平行になります。
3機の飛行機 線が 2 つの交差する平面によって定義され 、3 番目の平面によって交差する必要がある場合 、3 つの平面の共通交点を評価する必要があります。 ε i : n → i ⋅ x → = d i , i = 1 , 2 {\displaystyle \varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2} ε 3 : n → 3 ⋅ x → = d 3 {\displaystyle \varepsilon _{3}:\ {\vec {n}}_{3}\cdot {\vec {x}}=d_{3}}
線形独立法線ベクトルを持つ 3つの平面 の交点は ε i : n → i ⋅ x → = d i , i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle \varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2,3} n → 1 , n → 2 , n → 3 {\displaystyle {\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2},{\vec {n}}_{3}}
p → 0 = d 1 ( n → 2 × n → 3 ) + d 2 ( n → 3 × n → 1 ) + d 3 ( n → 1 × n → 2 ) n → 1 ⋅ ( n → 2 × n → 3 ) . {\displaystyle {\vec {p}}_{0}={\frac {d_{1}({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})+d_{2}({\vec {n}}_{3}\times {\vec {n}}_{1})+d_{3}({\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2})}{{\vec {n}}_{1}\cdot ({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})}}\ .} 証明には、 スカラー三重積 の規則を用いる必要がある 。スカラー三重積が0の場合、平面は三重交差を持たないか、直線（または3つの平面がすべて同じ場合は平面）となる。 n → i ⋅ p → 0 = d i , i = 1 , 2 , 3 , {\displaystyle {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {p}}_{0}=d_{i},\ i=1,2,3,}
曲線と面 曲線と面 の交差 ( t , t 2 , t 3 ) {\displaystyle (t,t^{2},t^{3})} x 4 + y 4 + z 4 = 1 {\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}=1} 平面の場合と同様に、以下のケースは非線形システムとなり、1次元または3次元のニュートン反復法を使用して解くことができます。 [4]
パラメトリック曲線 と C : ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) {\displaystyle C:(x(t),y(t),z(t))} パラメトリックサーフェス S : ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) , {\displaystyle S:(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\ ,} パラメトリック曲線 と C : ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) {\displaystyle C:(x(t),y(t),z(t))} 暗黙の表面 S : f ( x , y , z ) = 0 . {\displaystyle S:f(x,y,z)=0\ .} 例：
パラメトリック曲線 と C : ( t , t 2 , t 3 ) {\displaystyle C:(t,t^{2},t^{3})} 暗黙の表面 （図参照）。 S : x 4 + y 4 + z 4 − 1 = 0 {\displaystyle S:x^{4}+y^{4}+z^{4}-1=0} 交点は、(−0.8587, 0.7374, −0.6332)、(0.8587, 0.7374, 0.6332)です。 線 と球の交差 は単純な特殊なケースです。
線と平面の場合と同様に、 一般的な位置 における 曲線と面の交差は個別の点から構成されますが、曲線は面内に部分的または全体的に含まれる場合があります。
直線と多面体
2つの表面 交差する2つの面は 交差曲線 を形成します。最も単純な例は、平行でない2つの平面の交差線です。
球と平面 球面と平面の交点が空点や一点でない場合、それは円です。これは次のように表すことができます。
S を中心 O の球面 、 P を S と交差する平面とし ます 。 OE を P に垂直に描き 、 E で P と交わります。 A と B を 交差点上の任意の2つの異なる点とします。すると、 AOE と BOE は、共通の辺 OE を持ち、斜辺 AO と BO が 等しい直角三角形になります 。したがって、残りの辺 AE と BE も等しいです。これは、交差点のすべての点が平面 P 上の点 E から同じ距離にあることを証明しています。言い換えると、交差点のすべての点は 中心 Eを持つ円 C 上にあります。 [5]これは、 P と S の交差点が C に含まれることを証明しています 。 OE は 円の軸であることに注意してください。
ここで、円 C 上の点 D を考えてみましょう。 C は P に含まれるため 、 D も P に含まれます。一方、三角形 AOE と DOE は 、共通辺 OE を持ち、辺 EA と ED が等しい直角三角形です。したがって、斜辺 AO と DO は等しく、 S の半径に等しい ため、 D は S に含まれます 。これは、 C が P と S の交点に含まれることを証明しています 。
結果として、球面上には与えられた3点を通る円が1つだけ存在する。 [6]
この証明は、円上の点はすべてその極の1つから共通の角度距離にあることを示すために拡張することができます。 [7]
楕円 を作成できる 円錐曲線 も比較してください 。
2つの球体 2つの球面の交差が円であることを示すために、（ 一般性を失うことなく ）一方の球面（半径 ）が原点を中心としていると仮定する。この球面上の点は R {\displaystyle R}
x 2 + y 2 + z 2 = R 2 . {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.} また、一般性を失うことなく、半径 の2番目の球面が、 原点からの 距離にある正のx軸上の点を中心としていると仮定する。その点は r {\displaystyle r} a {\displaystyle a}
( x − a ) 2 + y 2 + z 2 = r 2 . {\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.} 球面の交点は、両方の方程式を満たす点の集合である。方程式を引き算すると、
( x − a ) 2 − x 2 = r 2 − R 2 a 2 − 2 a x = r 2 − R 2 x = a 2 + R 2 − r 2 2 a . {\displaystyle {\begin{aligned}(x-a)^{2}-x^{2}&=r^{2}-R^{2}\\a^{2}-2ax&=r^{2}-R^{2}\\x&={\frac {a^{2}+R^{2}-r^{2}}{2a}}.\end{aligned}}} 特異な場合 、球面は同心円状になります。2つの可能性があります。 の場合 、球面は一致し、交差は球面全体になります。 の場合 、球面は互いに交わらず、交差は空になります。 a が ゼロ以外の場合、交差はこのx座標の垂直面上にあり、両方の球面と交差するか、両方の球面に接するか、両方の球面の外側にある可能性があります。結果は、球面と平面の交差に関する前述の証明から導き出されます。 a = 0 {\displaystyle a=0} R = r {\displaystyle R=r} R ≠ r {\displaystyle R\not =r}
参照
注記 ^ Erich Hartmann: コンピュータ支援設計のための幾何学とアルゴリズム。講義ノート、ダルムシュタット工科大学、2003 年 10 月、p. 17 ^ Erich Hartmann: コンピュータ支援設計のための幾何学とアルゴリズム。講義ノート、ダルムシュタット工科大学、2003 年 10 月、p. 33 ^ Erich Hartmann: CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie。講義ノート、ダルムシュタット工科大学、1997 年、p. 79 (PDF; 3,4 MB) ^ Erich Hartmann: コンピュータ支援設計のための幾何学とアルゴリズム。講義ノート、ダルムシュタット工科大学、2003 年 10 月、p. 93 ^ 証明はホッブスの命題304に従う ^ ホッブス、提案308 ^ ホッブス、提案310
参考文献 ホッブス, CA (1921). 『立体幾何学』 GHケント. pp. 397 ff.
さらに読む Haines, Eric (2021年6月6日). 「交差（レイトレーシングリソースページ）」. リアルタイムレンダリング. 2023年 12月14日 閲覧 . 様々な一般的なオブジェクトの交差ルーチンのグリッド。書籍やウェブ上のリソースを参照できます。 ニコラス・M・パトリカラキス、前川隆『 コンピュータ支援設計・製造のための形状調査』 、Springer、2002年、 ISBN 3540424547 、9783540424543、408ページ。[1] Sykes, M.; Comstock, CE (1922). 『立体幾何学』 Rand McNally. pp. 81 ff. 
