非合理性の尺度

Function that quantifies how near a number is to being rational

2 の平方根の有理近似値。

数学において、実数の無理数尺度は、実数が有理数によってどれだけ「近く」近似できるかを示す尺度です。 ${\displaystyle x}$

に対して定義された関数 が正の実数値を取り、両方の変数で厳密に減少する場合、次の不等式を考えます。 ${\displaystyle f(t,\lambda )}$ ${\displaystyle t,\lambda >0}$

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<f(q,\lambda )}$

与えられた実数と有理数に対して、を とする。を に対して有限個しか存在せず、不等式 が満たされるようなの集合と定義する。すると、は に関する無理数測度と呼ばれる。そのような が存在せず、集合が空である場合、は無限無理数測度 を持つと言われる。 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle \lambda (x)=\inf R}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lambda (x)=\infty }$

その結果、不平等は

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<f(q,\lambda (x)+\varepsilon )}$

は、すべてのに対してせいぜい有限個の解しか持たない。^[1] ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

無理数指数

無理数指数またはリウヴィル・ロス無理数測度はと設定することによって与えられる。^[1]この定義はリウヴィル数の定義の一つを適応したものである。無理数指数は、と互いに素な整数の無限個のペアが満たすような の集合の最大値として実数に対して定義される。^{[2] [3] : 246} ${\displaystyle f(q,\mu )=q^{-\mu }}$ ${\displaystyle \mu (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle q>0}$

任意の値 に対して、上記の不等式を満たすすべての有理数の無限集合は、 の良い近似値を生成します。逆に、 の場合、不等式を満たすと互いに素な数はせいぜい有限個しかありません。 ${\displaystyle n<\mu (x)}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n>\mu (x)}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle q>0}$

例えば、有理近似で正確な小数桁が得られるときは、 ${\displaystyle {\frac {p}{q}}\approx x}$ ${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n+1}$

${\displaystyle {\frac {1}{10^{n}}}\geq \left|x-{\frac {p}{q}}\right|\geq {\frac {1}{q^{\mu (x)+\varepsilon }}}}$

最大で有限個の「幸運な」ペアを除き、任意の に対してとなります。 ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle (p,q)}$

無理数指数を持つ数はディオファントス数^[4]と呼ばれ、無理数指数を持つ数はリウヴィル数と呼ばれる。 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu (x)\leq 2}$ ${\displaystyle \mu (x)=\infty }$

帰結

有理数は無理数指数が 1 ですが、（ディリクレの近似定理の結果として）すべての無理数は無理数指数が少なくとも 2 になります。

一方、ボレル・カンテリの補題を適用すると、すべての代数的無理数を含むほぼすべての数の無理数指数はちょうど2に等しいことが示される^{。[3] : 246}

これは実数と有理数に対して成り立ち、ある数に対して成り立つ。ある数に対して成り立つなら、成り立つ。^{[5] : 368} ${\displaystyle \mu (x)=\mu (rx+s)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r\neq 0}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu (x)\leq \mu }$ ${\displaystyle \mu (x^{1/2})\leq 2\mu }$

収束する単純な連分数展開によって与えられた実数に対しては次が成り立つ: ^[1] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},...]}$ ${\displaystyle p_{i}/q_{i}}$

${\displaystyle \mu (x)=1+\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln q_{n+1}}{\ln q_{n}}}=2+\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln a_{n+1}}{\ln q_{n}}}.}$

と、ある正の実数に対して成り立つ場合、無理数指数の上限を次のように定めることができる。^{[6] [7]} ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}{\ln |q_{n}|}\leq \sigma }$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}{\ln |q_{n}x-p_{n}|}=-\tau }$ ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mu (x)\leq 1+{\frac {\sigma }{\tau }}}$

既知の境界

ほとんどの超越数については、無理数指数の正確な値はわかっていません。^{[5]以下は既知の}上限と下限の表です。

番号 ${\displaystyle x}$	無理数指数 ${\displaystyle \mu (x)}$		注記
	下限	上限
有理数 と ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {Z} ^{+}}$	1		すべての有理数の無理数指数はちょうど 1 です。 ${\displaystyle p/q}$
無理数 ${\displaystyle \alpha }$	2		ロスの定理によれば、無理数代数の無理数指数はちょうど 2 になります。例としては、平方根や黄金比など があります。 ${\displaystyle \varphi }$
${\displaystyle e^{2/k},k\in \mathbb {Z} ^{+}}$	2		無理数の単純な連分数展開の要素が任意の多項式 によって上方に制限される場合、その無理数指数は です。 ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a_{n}<P(n)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mu (x)=2}$ 例としては、次のような連分数が予測通りに振舞う数が挙げられる。 ${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...]}$ そして。 ${\displaystyle I_{0}(2)/I_{1}(2)=[1;2,3,4,5,6,7,8,9,10,...]}$
${\displaystyle \tan(1/k),k\in \mathbb {Z} ^{+}}$	2
${\displaystyle \tanh(1/k),k\in \mathbb {Z} ^{+}}$	2
${\displaystyle S(b)}$と ${\displaystyle b\geq 2}$	2		${\displaystyle S(b):=\sum _{k=0}^{\infty }b^{-2^{k}}}$は、一定の定数を超えない連分数項を持つ。[8] [9] ${\displaystyle b\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle T(b)}$[10]と ${\displaystyle b\geq 2}$	2		${\displaystyle T(b):=\sum _{k=0}^{\infty }t_{k}b^{-k}}$ここではThue-Morse数列、です。Prouhet -Thue-Morse定数を参照してください。 ${\displaystyle t_{k}}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \ln(2)}$[11] [12]	2	3.57455...	他にも無理数指数の境界が知られている数が存在する。 [13] [14] [15] ${\displaystyle \ln(a/b)}$
${\displaystyle \ln(3)}$[11] [16]	2	5.11620...
${\displaystyle 5\ln(3/2)}$[17]	2	3.43506...	形の数は他にもたくさんあり、その無理数指数の境界は既知である。[17]がこれに該当する。 ${\displaystyle {\sqrt {2k+1}}\ln \left({\frac {{\sqrt {2k+1}}+1}{{\sqrt {2k+1}}-1}}\right)}$ ${\displaystyle k=12}$
${\displaystyle \pi /{\sqrt {3}}}$[18] [19]	2	4.60105...	形の数は他にもたくさんあり、その無理数指数の境界は既知である。[18]がこれに該当する。 ${\displaystyle {\sqrt {2k-1}}\arctan \left({\frac {\sqrt {2k-1}}{k-1}}\right)}$ ${\displaystyle k=2}$
${\displaystyle \pi }$[11] [20]	2	7.10320...	フリントヒルズ級数 （nはラジアン）が収束する場合、無理数指数は最大で[21] [22]であり、発散する場合は無理数指数は少なくともであることが証明されている。[23] ${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\csc ^{2}n}{n^{3}}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 5/2}$ ${\displaystyle 5/2}$
${\displaystyle \pi ^{2}}$[11] [24]	2	5.09541...	${\displaystyle \pi ^{2}}$および はにわたって線形従属します。バーゼル問題も参照してください。 ${\displaystyle \zeta (2)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \left(\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)}$
${\displaystyle \arctan(1/2)}$[25]	2	9.27204...	無理数指数の境界が知られているこの形式の数は他にも数多く存在する。 [26] [27] ${\displaystyle \arctan(1/k)}$
${\displaystyle \arctan(1/3)}$[28]	2	5.94202...
アペリーの定数 [11] ${\displaystyle \zeta (3)}$	2	5.51389...
${\displaystyle \Gamma (1/4)}$[29]	2	10 330
カーエン定数 [30] ${\displaystyle C}$	3
塩基のシャンパーノウン定数[31] ${\displaystyle C_{b}}$ ${\displaystyle b\geq 2}$	${\displaystyle b}$		例としては ${\displaystyle C_{10}=0.1234567891011...=[0;8,9,1,149083,1,...]}$
リウヴィル数 ${\displaystyle L}$	${\displaystyle \infty }$		リウヴィル数はまさに無限の無理数指数を持つ数である。[3] : 248

非合理性ベース

無理数基底またはソンドウ無理数測度は、 と設定することで得られる。^{[1] [6]}これは、異なるリウヴィル数がどの程度近似できるかを区別できる弱い無理数測度であるが、他のすべての実数に対しては以下となる。 ${\displaystyle f(q,\beta )=\beta ^{-q}}$ ${\displaystyle \beta (x)=1}$

を無理数とする。任意の に対して、 となるような性質を持つ実数が存在する場合、 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \beta \geq 1}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle q(\varepsilon )}$

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{(\beta +\varepsilon )^{q}}}}$

となるすべての整数 に対して、そのような最小のものはの無理数基数と呼ばれ、 と表されます。 ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle q\geq q(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \beta (x)}$

そのような数が存在しない場合は、 およびは超リウヴィル数と呼ばれます。 ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta (x)=\infty }$ ${\displaystyle x}$

実数が収束する単純な連分数展開で与えられる場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},...]}$ ${\displaystyle p_{i}/q_{i}}$

${\displaystyle \beta (x)=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln q_{n+1}}{q_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln a_{n+1}}{q_{n}}}}$. ^[1]

例

有限の無理数指数を持つ実数は無理数底を持ちますが、無理数底を持つ数は無理数指数を持ち、リウヴィル数です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu (x)<\infty }$ ${\displaystyle \beta (x)=1}$ ${\displaystyle \beta (x)>1}$ ${\displaystyle \mu (x)=\infty }$

この数には無理数指数と無理数底があります。 ${\displaystyle L=[1;2,2^{2},2^{2^{2}},...]}$ ${\displaystyle \mu (L)=\infty }$ ${\displaystyle \beta (L)=1}$

数(はテトレーションを表します)は無理数の底を持ちます。 ${\displaystyle \tau _{a}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{^{n}a}}=1+{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{a^{a}}}+{\frac {1}{a^{a^{a}}}}+{\frac {1}{a^{a^{a^{a}}}}}+...}$ ${\displaystyle {^{n}a}}$ ${\displaystyle a=2,3,4...}$ ${\displaystyle \beta (\tau _{a})=a}$

この数は無理数基数であるため、超リウヴィル数です。 ${\displaystyle S=1+{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {1}{4^{2^{1}}}}+{\frac {1}{8^{4^{2^{1}}}}}+{\frac {1}{16^{8^{4^{2^{1}}}}}}+{\frac {1}{32^{16^{8^{4^{2^{1}}}}}}}+\ldots }$ ${\displaystyle \beta (S)=\infty }$

がリウヴィル数であるかどうかは分かっていないが、 ^{[32] : 20 で}あることが分かっている。^{[5] : 371} ${\displaystyle e^{\pi }}$ ${\displaystyle \beta (e^{\pi })=1}$

その他の非合理性尺度

マルコフ定数

を設定すると、より強い無理性尺度、マルコフ定数が得られる。無理数の場合、これはディリクレの近似定理をに対して改善できる係数である。つまり、が正の実数の場合、不等式 ${\displaystyle f(q,M)=(Mq^{2})^{-1}}$ ${\displaystyle M(x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c<M(x)}$

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{cq^{2}}}}$

には無限個の解が存在します。最大でも有限個の解が存在する場合。 ${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle c>M(x)}$

ディリクレの近似定理は を意味し、フルヴィッツの定理は無理数 に対して両方を与える。^[33] ${\displaystyle M(x)\geq 1}$ ${\displaystyle M(x)\geq {\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle x}$

これは実際、黄金比が を与えるので、一般的な下限としては最も優れています。また、 でもあります。 ${\displaystyle M(\varphi )={\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle M({\sqrt {2}})=2{\sqrt {2}}}$

これを単純な連分数展開すると次の式が得られる。^[34] ${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},...]}$

${\displaystyle M(x)=\limsup _{n\to \infty }{([a_{n+1};a_{n+2},a_{n+3},...]+[0;a_{n},a_{n-1},...,a_{2},a_{1}])}.}$

のマルコフ定数の境界は、 を用いてで与えることもできる。^[35]これは、が有界でない場合、特に が2次無理数である場合に限り、 が成り立つことを意味する。さらに、 という結論が得られる。 ${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},...]}$ ${\displaystyle {\sqrt {p^{2}+4}}\leq M(x)<p+2}$ ${\displaystyle p=\limsup _{n\to \infty }a_{n}}$ ${\displaystyle M(x)=\infty }$ ${\displaystyle (a_{k})}$ ${\displaystyle M(x)<\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M(e)=\infty }$

またはを持つ任意の数は、無限の単純連分数を持つため、 となります。 ${\displaystyle \mu (x)>2}$ ${\displaystyle \beta (x)>1}$ ${\displaystyle M(x)=\infty }$

有理数の場合はと定義されます。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle M(r)=0}$

その他の結果

と の値は、不等式 はすべての に対して無限個の解を持つのに対し、不等式 はすべての に対してせいぜい有限個の解しか持たないことを意味します。このことから、最適な上限は何かという疑問が生じます。その答えは^{[36]で与えられます。} ${\displaystyle M(e)=\infty }$ ${\displaystyle \mu (e)=2}$ ${\displaystyle 0<\left|e-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{cq^{2}}}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 0<\left|e-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2+\varepsilon }}}}$ ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$

${\displaystyle 0<\left|e-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {c\ln \ln q}{q^{2}\ln q}}}$

これは、については無限に満たされますが、 については満たされません。 ${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle c>{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle c<{\tfrac {1}{2}}}$

このことから、有理数や二次無理数と並んで、この数 ${\displaystyle e}$は、ほとんどすべての実数に対して以下の不等式が無限に多くの解を持つという事実の例外となる：^[5]（ヒンチンの定理を参照） ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}\ln q}}}$

マーラーの一般化

クルト・マーラーは無理数測度の概念を拡張し、リウヴィル数の考え方を利用して超越数を3つの異なるクラスに分割し、いわゆる超越測度を定義しました。 ^[3]

マーラーの非合理性尺度

与えられた実数についてとの差をとる代わりに、と の項、およびとの項に注目することができます。次の不等式を考えてみましょう。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x-p/q|}$ ${\displaystyle p/q\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle |qx-p|=|L(x)|}$ ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle L\in \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle \deg L=1}$

${\displaystyle 0<|qx-p|\leq \max(|p|,|q|)^{-\omega }}$およびと。 ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$

を、不等式を満たすような無限個の解が存在する集合として定義する。すると、はマーラーの無理数測度となる。これは、有理数に対して 、代数的無理数に対して 、そして一般にを与える。ここで は無理数指数を表す。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$ ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \omega _{1}(x)=\sup M}$ ${\displaystyle \omega _{1}(p/q)=0}$ ${\displaystyle \omega _{1}(\alpha )=1}$ ${\displaystyle \omega _{1}(x)=\mu (x)-1}$ ${\displaystyle \mu (x)}$

超越の尺度

マーラーの無理数測度は次のように一般化できる：^{[2] [3]}を整数係数の多項式とする。次に高さ関数を定義し、複素数に対して次の不等式を考える： ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \deg P\leq n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H(P)=\max(|a_{0}|,|a_{1}|,...,|a_{n}|)}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle 0<|P(z)|\leq H(P)^{-\omega }}$と。 ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$

を、不等式を満たすような多項式が無限に存在するようなすべての集合と定義する。さらに、すべての に対してを定義し、 は上記の無理数測度、は非二次式測度などとする。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$ ${\displaystyle \omega _{n}(z)=\sup R}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \omega _{1}(z)}$ ${\displaystyle \omega _{2}(z)}$

すると、マーラーの超越尺度は次のように与えられる。

${\displaystyle \omega (z)=\limsup _{n\to \infty }\omega _{n}(z).}$

超越数は現在、次の 3 つのクラスに分類できます。

すべての場合においての値が有限であり、も有限である場合、 はS 数( 型)と呼ばれます。 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \omega _{n}(z)}$ ${\displaystyle \omega (z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \omega (z)}$

すべての場合においての値が有限であるのに が無限である場合、はT 数と呼ばれます。 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \omega _{n}(z)}$ ${\displaystyle \omega (z)}$ ${\displaystyle z}$

すべての に対して が無限大となるような最小の正の整数が存在する場合、はU 数(次数)と呼ばれます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle \omega _{n}(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle N}$

数が代数的 ( A 数と呼ばれる) であるのは、 の場合のみです。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \omega (z)=0}$

ほとんどすべての数は S 数です。実際、ほとんどすべての実数は を与え、ほとんどすべての複素数は を与えます。^{[37] : 86}数eは となる S 数です。数πは S 数か T 数のいずれかです。^{[37] : 86} U 数は測度 0 ですが、やはり不可算な集合です。^[38] U 数には、まさに次数 1 の U 数であるリウヴィル数が含まれます。 ${\displaystyle \omega (x)=1}$ ${\displaystyle \omega (z)={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \omega (e)=1}$

線形独立性尺度

マーラーの無理数測度の別の一般化は線形独立測度を与える。^{[2] [13]}実数の場合、不等式を考える。 ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle 0<|c_{1}x_{1}+...+c_{n}x_{n}|\leq \max(|c_{1}|,...,|c_{n}|)^{-\nu }}$およびと。 ${\displaystyle c_{1},...,c_{n}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \nu \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$

を、不等式を満たすような無限個の解が存在する集合として定義する。そして、は線形独立測度である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \nu \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$ ${\displaystyle c_{1},...c_{n}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \nu (x_{1},...,x_{n})=\sup R}$

がに対して線形従属である場合、 となります。 ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {Q} } }$ ${\displaystyle \nu (x_{1},...,x_{n})=0}$

が上で線型独立な代数的数であるならば となる。^[32] ${\displaystyle 1,x_{1},...,x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {Q} } }$ ${\displaystyle \nu (1,x_{1},...,x_{n})\leq n}$

それはさらに です。 ${\displaystyle \nu (1,x)=\omega _{1}(x)=\mu (x)-1}$

その他の一般化

コクスマの一般化

1939年にユルジェン・コクスマは、代数的数による複素数の近似に基づく、マーラーの一般化に似た別の一般化を提案した。^{[3] [37]}

与えられた複素数 に対して、最大 次数の代数的数を考えます。高さ関数 を定義します。ここで はの特性多項式であり、次の不等式を考えます。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H(\alpha )=H(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle 0<|z-\alpha |\leq H(\alpha )^{-\omega ^{*}-1}}$と。 ${\displaystyle \omega ^{*}\in \mathbb {R} _{0}^{+}}$

を、不等式を満たすような代数的数が無限個存在するようなすべての集合と定義する。さらに、すべてのに対して、無理数測度、非2乗性測度など を定義する。 ^[17] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \omega ^{*}\in \mathbb {R} _{0}^{+}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \omega _{n}^{*}(z)=\sup R}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \omega _{1}^{*}(z)}$ ${\displaystyle \omega _{2}^{*}(z)}$

Koksma の超越度は次のように与えられます。

${\displaystyle \omega ^{*}(z)=\limsup _{n\to \infty }\omega _{n}^{*}(z)}$。

複素数は再びA*、S*、T*、U*の4つのクラスに分割できる。しかし、これらのクラスは、全く同じ分割を生成するという意味で、マーラーが示したクラスと等価であることが判明した。^{[37] : 87}

実数の同時近似

実数 が与えられたとき、 の無理数度は、分母 を持つ有理数によってどれだけ近似できるかを定量化する。を無理数でもある代数的数とすると、不等式 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle q\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle x=\alpha }$

${\displaystyle 0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}}$

には最大でも有限個の解しかありません。これはロスの定理として知られています。 ${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mu >2}$

これは一般化できる。実数の集合が与えられたとき、それらが同じ分母を持つ有理数によって同時にどれだけよく近似できるかを定量化できる。が有理数に対して線形独立であるような代数的数であるとすると、不等式は ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\frac {p_{1}}{q}},...,{\frac {p_{n}}{q}}}$ ${\displaystyle q\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle x_{i}=\alpha _{i}}$ ${\displaystyle 1,\alpha _{1},...,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle 0<\left|\alpha _{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}},\forall i\in \{1,...,n\}}$

に対してはせいぜい有限個の解しか存在しない。この結果はヴォルフガング・M・シュミットによるものである。^{[39] [40]} ${\displaystyle \left({\frac {p_{1}}{q}},...,{\frac {p_{n}}{q}}\right)\in \mathbb {Q} ^{n}}$ ${\displaystyle \mu >1+{\frac {1}{n}}}$

参照

• ディオファントス近似
• 超越数
• 連分数
• ブルジュノ数

参考文献

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