強双対空間

Continuous dual space endowed with the topology of uniform convergence on bounded sets

関数解析および数学の関連分野において、位相ベクトル空間（TVS）の強双対空間とは、強（双対）位相、またはの有界部分集合上の一様収束の位相を備えたの連続双対空間です。ここで、この位相はまたはで表されます。最も粗い極位相は弱位相と呼ばれます。強双対空間は現代の関数解析において非常に重要な役割を果たすため、連続双対空間は通常、特に明記されない限り、強双対位相を持つと仮定されます。連続双対空間が強双対位相を持つことを強調するために、 は 、または と表記される場合があります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right).}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$

強双対位相

全体を通して、すべてのベクトル空間は実数体または複素数体のいずれかの上にあると仮定されます。 ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

双対系からの定義

を実数体または複素数体上のベクトル空間の双対ペアとします。任意のおよび任意の に対して、を定義します ${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ $${\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |.}$$

も も位相を持たないので、すべての に対しての部分集合がの部分集合によって有界であるとは、次の場合に限られます。したがって 、 の部分集合が有界であるとは、次の場合のみです 。これは、 によって誘導される弱位相が与えられた場合の、通常の有界部分集合 の概念と同等です。 これは、ハウスドルフの局所凸位相です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle C\subseteq Y}$ ${\displaystyle |y|_{B}<\infty }$ ${\displaystyle y\in C.}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ $${\displaystyle \sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$

の元によって有界となるすべての部分集合の族をとします。つまり、はすべての に対して となるすべての部分集合の集合です。すると、上の強位相はとも表記され、単に とも表記されます。あるいは、のペアリングが理解されている場合、 は、の形式の半ノルムによって生成される 上の局所凸位相として定義されます ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ $${\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty .}$$ ${\displaystyle \beta (Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b(Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \beta (Y,X)}$ ${\displaystyle b(Y,X)}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |,\qquad y\in Y,\qquad B\in {\mathcal {B}}.}$$

強双対位相の定義は、TVSの場合と同様に進めます。がTVSであり、その連続双対空間が上の点を分離する場合、は標準双対系の一部であり、となることに注意してください。 が局所凸空間である特別な場合、（連続）双対空間（つまり、すべての連続線型汎関数の空間）上の強位相は強位相として定義され、これはの有界集合上の一様収束の位相、すなわち、がのすべての有界集合の族上で実行される形式の半ノルムによって生成される上の位相と一致します。この位相を持つ 空間は、空間の強双対空間と呼ばれ、次のように表されます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime },\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$ ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right),}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ $${\displaystyle |f|_{B}=\sup _{x\in B}|f(x)|,\qquad {\text{ where }}f\in X^{\prime },}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }.}$

TVS上の定義

が体上の位相ベクトル空間（TVS）であると仮定する。が の有界集合の任意の基本系とする と、 はの有界部分集合の族であり、のすべての有界部分集合が の部分集合である。 のすべての有界部分集合の集合は、の有界集合の基本系を形成する。 における原点の閉近傍の基底は、 の極座標によって与えられる。 はの上の範囲である。これは、上の半ノルムの集合によって与えられる局所凸位相である。 はの上の範囲である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ $${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left|x^{\prime }\right|_{B}:=\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }(x)\right|}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

がノルム可能である場合、 はバナッハ空間であり、実際にはバナッハ空間となる。がノルムを持つノルム空間である場合、 はで与えられる標準ノルム（作用素ノルム）を持つ。このノルムが に誘導する位相は、強双対位相と同一である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left\|x^{\prime }\right\|:=\sup _{\|x\|\leq 1}\left|x^{\prime }(x)\right|}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

双対

TVS の双双対または第2双対は、しばしば と表記され、の強双対の強双対です。ここで は強双対位相を持つことを示します。 特に明記されない限り、ベクトル空間は通常、 によって誘導される強双対位相を持つと仮定されます。その場合、ベクトル空間はの強双対と呼ばれます。つまり、 ベクトル空間はの強双対位相を持つことになります。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X^{\prime \prime }\,:=\,\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right).}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X^{\prime \prime }\,:=\,\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime \prime },X_{b}^{\prime }\right).}$

特性

を局所凸TVSとする。 ${\displaystyle X}$

• の凸均衡弱コンパクト部分集合は^[1]において有界である。 ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$
• のすべての弱有界部分集合は強有界である。^[2] ${\displaystyle X^{\prime }}$
• がバレル空間である場合、の位相は強双対位相および上のMackey位相と同一である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b\left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X.}$
• が距離化可能な局所凸空間である場合、の強双対がボルノロジー空間であることと、それがインフラバレル空間であることと、それがバレル空間であることとが同値である。^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• がハウスドルフ局所凸TVSである場合、が距離化可能であることと、の有界部分集合の可算集合が存在し、そのすべての有界部分集合がのいずれかの元に含まれることとが同値である^。[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
• が局所凸である場合、集合がの部分集合であるのみを考慮したとき、この位相は上の他のすべての-位相よりも細かい ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$
• がボルノロジー空間（例えば、距離化可能またはLF空間）である場合、は完全である ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b(X^{\prime },X)}^{\prime }}$

が樽型空間である場合、その位相は上の強位相と一致し、ペアリングによって生成される 上のマッキー位相とも一致する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime }\right).}$

例

がノルムベクトル空間である場合、その強位相を持つ（連続）双対空間はバナッハ双対空間、つまり作用素ノルムによって誘導される位相を持つ空間と一致する。逆に、上の -位相は上のノルムによって誘導される位相と同一である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime }\right).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

参照

• 双対位相
• 双対系 – ベクトル空間の双対
• 位相の一覧 – 具体的な位相と位相空間の一覧
• 極位相 – 有界部分集合のある部分集合上で一様収束する双対空間位相
• 反射空間 – 局所的に凸な位相ベクトル空間
• 半反射的空間
• 強位相
• 線型写像の空間上の位相

参考文献

1. Schaefer & Wolff 1999, p. 141.
2. Schaefer & Wolff 1999, p. 142.
3. Schaefer & Wolff 1999, p. 153.
4. Narici & Beckenstein 2011, pp. 225–273.

参考文献

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces . Pure and applied math (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• ルーディン、ウォルター(1991). 関数解析．純粋・応用数学国際シリーズ第8巻（第2版）．ニューヨーク州ニューヨーク：マグロウヒル・サイエンス／エンジニアリング／数学．ISBN  978-0-07-054236-5. OCLC  21163277
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . 第8巻（第2版）. ニューヨーク州ニューヨーク：Springer New York Imprint Springer. ISBN   978-1-4612-7155-0 OCLC  840278135
• Trèves, François (2006) [1967].位相ベクトル空間、超関数、核.ミネオラ、ニューヨーク：Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 OCLC  853623322
• Wong (1979 ) .シュワルツ空間、核空間、テンソル積. ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6 OCLC  5126158

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