Coordinate transformation that preserves the form of Hamilton's equations
ハミルトン力学 において 、 正準変換とは、 ハミルトン方程式 の形を保存する 正準座標 ( q , p ) → ( Q , P ) の変更です 。これは 形式不変性 と呼ばれることもあります。 ハミルトン方程式は保存されますが、 ハミルトニアン 自体の明示的な形を保存する必要はありません 。正準変換はそれ自体有用であり、 ハミルトン・ヤコビ方程式（ 保存量の 計算に有用な方法 ）や リウヴィルの定理（それ自体が古典 統計力学 の基礎 ）の基礎にもなります。
ラグランジュ力学は 一般化座標 に基づいている ため 、座標 q → Q の変換はラグランジュ方程式 の形に影響を与えず、したがって、 運動量が同時に ルジャンドル変換 によってに
変更される場合、 ハミルトン方程式 の形にも影響を与えません。 ここで 、 は新しい座標であり、 に対する運動量と対応する位置の標準共役ペアにグループ 化 されます。 は 両方の座標系の 自由度 の数です。 P i = ∂ L ∂ Q ˙ i , {\displaystyle P_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}\ ,} { ( P 1 , Q 1 ) , ( P 2 , Q 2 ) , ( P 3 , Q 3 ) , … } {\displaystyle \left\{\ (P_{1},Q_{1}),\ (P_{2},Q_{2}),\ (P_{3},Q_{3}),\ \ldots \ \right\}} P i {\displaystyle P_{i}} Q i , {\displaystyle Q_{i},} i = 1 , 2 , … N , {\displaystyle i=1,2,\ldots \ N,} N {\displaystyle N}
したがって、座標変換（ 点変換 とも呼ばれる）は正準変換の 一種 です。しかし、正準変換の範疇ははるかに広く、従来の一般化座標、運動量、さらには時間さえも組み合わせて、新しい一般化座標と運動量を形成することができます。時間を明示的に含まない正準変換は、 制限正準変換 と呼ばれます（多くの教科書では、このタイプの変換のみを扱っています）。
標準変換の現代的な数学的記述は、 余接束 、 外微分 、 シンプレクティック多様体 などの高度な数学的前提条件を伴う主題をカバーする、より広範な シンプレクティック同相 写像のトピックの下で考察されます。
表記 q のような太字の変数は、 回転 の下で ベクトル のように変換する必要のない N個 の一般化座標 のリストを表し 、同様に pは 対応する一般化運動量 を表す 。 q ≡ ( q 1 , q 2 , … , q N − 1 , q N ) p ≡ ( p 1 , p 2 , … , p N − 1 , p N ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q} &\equiv \left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N}\right)\\\mathbf {p} &\equiv \left(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N-1},p_{N}\right).\end{aligned}}}
変数またはリスト上のドットは 時間微分 を表します。例: また、 等式はすべての座標に対して満たされると解釈されます。例: q ˙ ≡ d q d t {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}\equiv {\frac {d\mathbf {q} }{dt}}} p ˙ = − ∂ f ∂ q ⟺ p i ˙ = − ∂ f ∂ q i ( i = 1 , … , N ) . {\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {q} }}\quad \Longleftrightarrow \quad {\dot {p_{i}}}=-{\frac {\partial f}{\partial {q_{i}}}}\quad (i=1,\dots ,N).}
同じ数の座標を持つ2つのリスト間のドット積表記は、対応する成分の積の合計を表す略記法である。 例えば 、 p ⋅ q ≡ ∑ k = 1 N p k q k . {\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} \equiv \sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.}
ドット積（「内積」とも呼ばれる）は、2つの座標リストを単一の数値を表す1つの変数に写像します。変換後の座標も同様に、 変換された一般化座標には Q 、変換された一般化運動量には P でラベル付けされます。
制限付き正準変換とは、変換された座標 Q と Pが 明示的な時間依存性を持たない座標変換、すなわち、 およびである座標変換である。 ハミルトン方程式 の関数形 は Q = Q ( q , p ) {\textstyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )} P = P ( q , p ) {\textstyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}
p ˙ = − ∂ H ∂ q , q ˙ = ∂ H ∂ p {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {p} }}&=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\,,&{\dot {\mathbf {q} }}&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\end{aligned}}}
一般に、変換 ( q , p ) → ( Q , P )は ハミルトン方程式 の形を保存しない が、変換に時間依存性がない場合には、いくつかの簡略化が可能である。正準変換の正式な定義に従うと、この種の変換に対して、新しいハミルトニアン（カミルトニアン [1] と呼ばれることもある）は次のように表される。
K ( Q , P , t ) = H ( q ( Q , P ) , p ( Q , P ) , t ) + ∂ G ∂ t ( t ) {\displaystyle K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(q(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ),p(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ),t)+{\frac {\partial G}{\partial t}}(t)}
ここで、それはジェネレーターと呼ばれる関数の部分時間微分によって異なり、これは制限された標準変換に対する時間の関数のみに還元されます。
ハミルトニアンの形を変更せずに残すことに加えて、上記の形式により、ハミルトンの運動方程式で変更されていないハミルトニアンを使用することもできます。
P ˙ = − ∂ K ∂ Q = − ( ∂ H ∂ Q ) Q , P , t Q ˙ = ∂ K ∂ P = ( ∂ H ∂ P ) Q , P , t {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\dot {\mathbf {P} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}&&=-\left({\frac {\partial H}{\partial \mathbf {Q} }}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&=\,\,\,\,{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}&&=\,\,\,\,\,\left({\frac {\partial H}{\partial \mathbf {P} }}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\end{alignedat}}}
正準変換は、ハミルトニアンのより許容度の低い変換に対応する、より一般的な位相空間の変換の集合を指しますが、より一般化可能な結果を得るためのより単純な条件を提供します。双線型不変性条件を除く以下の条件はすべて、時間依存性を含め、正準変換に対して一般化できます。
間接的な条件 制限された変換は（定義により）明示的な時間依存性を持たないため、新しい一般化座標Q m の時間微分 は
Q ˙ m = ∂ Q m ∂ q ⋅ q ˙ + ∂ Q m ∂ p ⋅ p ˙ = ∂ Q m ∂ q ⋅ ∂ H ∂ p − ∂ Q m ∂ p ⋅ ∂ H ∂ q = { Q m , H } {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {Q}}_{m}&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}\\&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}-{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\\&=\lbrace Q_{m},H\rbrace \end{aligned}}} ここで {⋅, ⋅}は ポアソン括弧 です 。
同様に共役運動量P m の 恒等式については、 「カミルトニアン」の形式を使用して次のようになります。
∂ K ( Q , P , t ) ∂ P m = ∂ K ( Q ( q , p ) , P ( q , p ) , t ) ∂ q ⋅ ∂ q ∂ P m + ∂ K ( Q ( q , p ) , P ( q , p ) , t ) ∂ p ⋅ ∂ p ∂ P m = ∂ H ( q , p , t ) ∂ q ⋅ ∂ q ∂ P m + ∂ H ( q , p , t ) ∂ p ⋅ ∂ p ∂ P m = ∂ H ∂ q ⋅ ∂ q ∂ P m + ∂ H ∂ p ⋅ ∂ p ∂ P m {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)}{\partial P_{m}}}&={\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\[1ex]&={\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\[1ex]&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\end{aligned}}}
ハミルトンの運動方程式の形により、
P ˙ = − ∂ K ∂ Q Q ˙ = ∂ K ∂ P {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {P} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&=\,\,\,\,{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}\end{aligned}}}
変換が標準的であれば、導出された 2 つの結果は等しくなるはずであり、次の式が成り立ちます。
( ∂ Q m ∂ p n ) q , p = − ( ∂ q n ∂ P m ) Q , P ( ∂ Q m ∂ q n ) q , p = ( ∂ p n ∂ P m ) Q , P {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}}
一般化運動量P m に対する同様の議論から、 他の2つの方程式が導かれます。
( ∂ P m ∂ p n ) q , p = ( ∂ q n ∂ Q m ) Q , P ( ∂ P m ∂ q n ) q , p = − ( ∂ p n ∂ Q m ) Q , P {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}}
これらは、 特定の変換が標準的であるかどうかを確認するための 間接的な条件です。
シンプレクティック条件 ハミルトン関係は次のように表されることもあります。
η ˙ = J ∇ η H {\displaystyle {\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H}
どこ J := ( 0 I n − I n 0 ) , {\textstyle J:={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},}
および とする 。同様に とする 。 η = [ q 1 ⋮ q n p 1 ⋮ p n ] {\textstyle \mathbf {\eta } ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{n}\\p_{1}\\\vdots \\p_{n}\\\end{bmatrix}}} ε = [ Q 1 ⋮ Q n P 1 ⋮ P n ] {\textstyle \mathbf {\varepsilon } ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{n}\\P_{1}\\\vdots \\P_{n}\\\end{bmatrix}}}
偏微分の関係から、 関係を新しい変数を含む偏微分で変換すると、 が得られます 。 についても同様に 、 η ˙ = J ∇ η H {\displaystyle {\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H} η ˙ = J ( M T ∇ ε H ) {\displaystyle {\dot {\eta }}=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)} M := ∂ ( Q , P ) ∂ ( q , p ) {\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}} ε ˙ {\textstyle {\dot {\varepsilon }}}
ε ˙ = M η ˙ = M J M T ∇ ε H {\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H}
のハミルトン方程式の形により 、 ε ˙ {\textstyle {\dot {\varepsilon }}}
ε ˙ = J ∇ ε K = J ∇ ε H {\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=J\nabla _{\varepsilon }H}
ここで、 カミルトニアンの形式により、 が使用できる。2つの式を等しくすると、シンプレクティック条件は次のようになる。 [2] ∇ ε K = ∇ ε H {\textstyle \nabla _{\varepsilon }K=\nabla _{\varepsilon }H}
M J M T = J {\displaystyle MJM^{T}=J}
上記の左辺は のポアソン行列と呼ばれ 、 と表記されます 。同様に、 のラグランジュ行列は と構成できます 。 [3] シンプレクティック条件は の性質を用いて と も等価であることが示せます。 シンプレクティック条件を満たす すべての行列の集合は、 シンプレクティック群 を形成します。シンプレクティック条件は間接条件と等価であり、どちらも という式につながり 、この式は両方の導出で使用されます。 ε {\displaystyle \varepsilon } P ( ε ) = M J M T {\textstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T}} η {\displaystyle \eta } L ( η ) = M T J M {\textstyle {\mathcal {L}}(\eta )=M^{T}JM} M T J M = J {\textstyle M^{T}JM=J} J − 1 = − J {\textstyle J^{-1}=-J} M {\textstyle M} ε ˙ = J ∇ ε H {\textstyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }H}
ポアソン括弧の不変性 次のように定義されるポアソン括弧は、 行列 形式 では次のように表すことができます。 { u , v } η := ∑ i = 1 n ( ∂ u ∂ q i ∂ v ∂ p i − ∂ u ∂ p i ∂ v ∂ q i ) {\displaystyle \{u,v\}_{\eta }:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial q_{i}}}\right)}
{ u , v } η := ( ∇ η u ) T J ( ∇ η v ) {\displaystyle \{u,v\}_{\eta }:=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)}
したがって 偏微分 関係とシンプレクティック条件を用いると次の式が得られる: [4] { u , v } η = ( ∇ η u ) T J ( ∇ η v ) = ( M T ∇ ε u ) T J ( M T ∇ ε v ) = ( ∇ ε u ) T M J M T ( ∇ ε v ) = ( ∇ ε u ) T J ( ∇ ε v ) = { u , v } ε {\displaystyle \{u,v\}_{\eta }=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)=(M^{T}\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}MJM^{T}(\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(\nabla _{\varepsilon }v)=\{u,v\}_{\varepsilon }}
シンプレクティック条件は、 と をとることでも再現でき、 となる 。したがって、これらの条件はシンプレクティック条件と同値である。さらに、 となることが分かる。 これは、行列要素を展開して明示的に計算した結果でもある。 [3] u = ε i {\textstyle u=\varepsilon _{i}} v = ε j {\textstyle v=\varepsilon _{j}} ( M J M T ) i j = J i j {\textstyle (MJM^{T})_{ij}=J_{ij}} P i j ( ε ) = { ε i , ε j } η = ( M J M T ) i j {\textstyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=(MJM^{T})_{ij}}
ラグランジュ括弧の不変性 ラグランジュ 括弧 は次のように定義されます。
[ u , v ] η := ∑ i = 1 n ( ∂ q i ∂ u ∂ p i ∂ v − ∂ p i ∂ u ∂ q i ∂ v ) {\displaystyle [u,v]_{\eta }:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right)}
行列形式では次のように表すことができます。
[ u , v ] η := ( ∂ η ∂ u ) T J ( ∂ η ∂ v ) {\displaystyle [u,v]_{\eta }:=\left({\frac {\partial \eta }{\partial u}}\right)^{T}J\left({\frac {\partial \eta }{\partial v}}\right)}
同様の導出を用いると次のようになります。
[ u , v ] ε = ( ∂ u ε ) T J ( ∂ v ε ) = ( M ∂ u η ) T J ( M ∂ v η ) = ( ∂ u η ) T M T J M ( ∂ v η ) = ( ∂ u η ) T J ( ∂ v η ) = [ u , v ] η {\displaystyle [u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=[u,v]_{\eta }}
シンプレクティック条件は、 と をとることでも再現でき、 となる 。したがって、これらの条件はシンプレクティック条件と同値である。さらに、 となることが分かる。 これは、行列要素を展開して明示的に計算した結果でもある。 [3] u = η i {\textstyle u=\eta _{i}} v = η j {\textstyle v=\eta _{j}} ( M T J M ) i j = J i j {\textstyle (M^{T}JM)_{ij}=J_{ij}} L i j ( η ) = [ η i , η j ] ε = ( M T J M ) i j {\textstyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=(M^{T}JM)_{ij}}
双線形不変性条件 これらの条件セットは、制限された標準変換または時間変数に依存しない標準変換にのみ適用されます。
一般化座標とそれに対応する運動量の1組における2種類の任意の変化を考える: [5]
d ε = ( d q 1 , d p 1 , 0 , 0 , … ) , δ ε = ( δ q 1 , δ p 1 , 0 , 0 , … ) . {\textstyle d\varepsilon =(dq_{1},dp_{1},0,0,\ldots ),\quad \delta \varepsilon =(\delta q_{1},\delta p_{1},0,0,\ldots ).}
無限小平行四辺形 の面積は 次のように与えられます。
δ a ( 12 ) = d q 1 δ p 1 − δ q 1 d p 1 = ( δ ε ) T J d ε . {\textstyle \delta a(12)=dq_{1}\delta p_{1}-\delta q_{1}dp_{1}={(\delta \varepsilon )}^{T}\,J\,d\varepsilon .}
シンプレクティック条件から、無限小領域は標準変換の下で保存されること がわかります。 M T J M = J {\textstyle M^{T}JM=J}
δ a ( 12 ) = ( δ ε ) T J d ε = ( M δ η ) T J M d η = ( δ η ) T M T J M d η = ( δ η ) T J d η = δ A ( 12 ) . {\textstyle \delta a(12)={(\delta \varepsilon )}^{T}\,J\,d\varepsilon ={(M\delta \eta )}^{T}\,J\,Md\eta ={(\delta \eta )}^{T}\,M^{T}JM\,d\eta ={(\delta \eta )}^{T}\,J\,d\eta =\delta A(12).}
新しい座標は、1 つの座標運動量平面に完全に向けられる必要はないことに注意してください。
したがって、条件はより一般的には、 標準変換の下での形式の不変性として述べられ、次のように拡張されます。 ( d ε ) T J δ ε {\textstyle {(d\varepsilon )}^{T}\,J\,\delta \varepsilon }
∑ δ q ⋅ d p − δ p ⋅ d q = ∑ δ Q ⋅ d P − δ P ⋅ d Q {\displaystyle \sum \delta q\cdot dp-\delta p\cdot dq=\sum \delta Q\cdot dP-\delta P\cdot dQ}
上記が任意の変化に対して守られるならば、間接条件が満たされた場合にのみ可能となる。 [6] [7]
方程式の形は ベクトルのシンプレクティック積としても知られており 、 双線形不変性条件はシンプレクティック積の局所的保存として述べることができる。 [8] v T J w {\textstyle {v}^{T}\,J\,w} v {\textstyle {v}} w {\textstyle w}
リウヴィルの定理 間接条件により、 リウヴィルの定理 を証明することができる。これは、 位相空間の 体積が標準変換の下で保存されることを示している。
∫ d q d p = ∫ d Q d P {\displaystyle \int \mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p} =\int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P} }
微積分 によれば 、後者の積分は前者の積分に ヤコビ行列式 Mを掛けたものに等しくなければならない。
∫ d Q d P = ∫ det ( M ) d q d p {\displaystyle \int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P} =\int \det(M)\,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p} } どこ M := ∂ ( Q , P ) ∂ ( q , p ) {\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}
ヤコビアン の「除算」の性質を利用すると 、 M ≡ ∂ ( Q , P ) ∂ ( q , P ) / ∂ ( q , p ) ∂ ( q , P ) {\displaystyle M\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\right.}
重複する変数を消去すると、 M ≡ ∂ ( Q ) ∂ ( q ) / ∂ ( p ) ∂ ( P ) {\displaystyle M\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} )}{\partial (\mathbf {q} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {P} )}}\right.}
上記の 間接条件 を適用すると次の式が得られる 。 [9] det ( M ) = 1 {\displaystyle \operatorname {det} (M)=1}
母関数アプローチ ( q , p , H ) と ( Q , P , K ) 間の有効な変換を 保証する ために、直接的な 生成関数 アプローチに頼ることができます 。両方の変数セットは ハミルトンの原理 に従わなければなりません。つまり 、それぞれのハミルトニアンから「逆」 ルジャンドル変換を介して得られる ラグランジアン および 上の 作用積分 は、どちらの場合も定常でなければなりません（そのため、 オイラー–ラグランジュ方程式 を使用して、指定された形式のハミルトン運動方程式に到達できます。これは、例えば ここで 示されています）。 L q p = p ⋅ q ˙ − H ( q , p , t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{qp}=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)} L Q P = P ⋅ Q ˙ − K ( Q , P , t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{QP}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)}
δ ∫ t 1 t 2 [ p ⋅ q ˙ − H ( q , p , t ) ] d t = 0 δ ∫ t 1 t 2 [ P ⋅ Q ˙ − K ( Q , P , t ) ] d t = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]dt&=0\\\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt&=0\end{aligned}}}
両方の変分積分 等式を満たす 一つの方法は、
λ [ p ⋅ q ˙ − H ( q , p , t ) ] = P ⋅ Q ˙ − K ( Q , P , t ) + d G d t {\displaystyle \lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}}
ラグランジアンは一意ではない。常に定数 λ を掛けて全時間微分を加えることができる 。 dG / dt とすると、同じ運動方程式が得られます（Wikibooksで議論されているように）。一般に、スケーリング係数 λは1に設定されます。λ ≠ 1 と なる正準変換は、 拡張 正準変換 と呼ばれます 。 dG / dt が保持されないと、問題は些細なものとなり、新しい標準変数が古いものと異なる自由度があまりなくなります。
ここで G は、 1つの古い 標準座標 （ q または p ）、1つの新しい 標準座標 （ Q または P ）、そして（おそらく）時間 tの 生成関数 です。したがって、変数の選択に応じて、4つの基本的な生成関数の種類（ただし、これら4種類の混合が存在する場合もあります）が存在します。以下に示すように、生成関数は古い標準座標から新しい 標準座標 への変換を定義し、そのような変換 ( q , p ) → ( Q , P ) はすべて標準であることが保証されます。
以下に表に示すさまざまな生成関数とその特性について詳しく説明します。
4つの基本的な正準変換の性質 [10] 母関数 母関数の微分 変換されたハミルトニアン 些細なケース G = G 1 ( q , Q , t ) {\displaystyle G=G_{1}(q,Q,t)} p = ∂ G 1 ∂ q {\displaystyle p={\frac {\partial G_{1}}{\partial q}}} P = − ∂ G 1 ∂ Q {\displaystyle P=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial Q}}} K = H + ∂ G ∂ t {\textstyle K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}} G 1 = q Q {\displaystyle G_{1}=qQ} Q = p {\displaystyle Q=p} P = − q {\displaystyle P=-q} G = G 2 ( q , P , t ) − Q P {\displaystyle G=G_{2}(q,P,t)-QP} p = ∂ G 2 ∂ q {\displaystyle p={\frac {\partial G_{2}}{\partial q}}} Q = ∂ G 2 ∂ P {\displaystyle Q={\frac {\partial G_{2}}{\partial P}}} G 2 = q P {\displaystyle G_{2}=qP} Q = q {\displaystyle Q=q} P = p {\displaystyle P=p} G = G 3 ( p , Q , t ) + q p {\displaystyle G=G_{3}(p,Q,t)+qp} q = − ∂ G 3 ∂ p {\displaystyle q=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial p}}} P = − ∂ G 3 ∂ Q {\displaystyle P=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial Q}}} G 3 = p Q {\displaystyle G_{3}=pQ} Q = − q {\displaystyle Q=-q} P = − p {\displaystyle P=-p} G = G 4 ( p , P , t ) + q p − Q P {\displaystyle G=G_{4}(p,P,t)+qp-QP} q = − ∂ G 4 ∂ p {\displaystyle q=-{\frac {\partial G_{4}}{\partial p}}} Q = ∂ G 4 ∂ P {\displaystyle Q={\frac {\partial G_{4}}{\partial P}}} G 4 = p P {\displaystyle G_{4}=pP} Q = p {\displaystyle Q=p} P = − q {\displaystyle P=-q}
タイプ1生成関数 タイプ1生成関数 G 1 は 、新旧の一般化座標のみに依存する 。暗黙の変換を導くために、上記の定義式を展開する。 G ≡ G 1 ( q , Q , t ) {\textstyle G\equiv G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)} p ⋅ q ˙ − H ( q , p , t ) = P ⋅ Q ˙ − K ( Q , P , t ) + ∂ G 1 ∂ t + ∂ G 1 ∂ q ⋅ q ˙ + ∂ G 1 ∂ Q ⋅ Q ˙ {\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}}
新しい座標と古い座標はそれぞれ独立しているので、次の 2N +1 式が成り立つ 。
p = ∂ G 1 ∂ q P = − ∂ G 1 ∂ Q K = H + ∂ G 1 ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}\end{aligned}}}
これらの方程式は、変換 ( q 、 p ) → ( Q 、 P ) を次のように定義します。 最初の N 方程式 セットは、 新しい 一般化座標 Q と古い 標準座標 ( q 、 p ) との関係を定義します。理想的には、これらの関係を逆転させて、 古い標準座標の関数として各 Q k の式を取得できます。 Q 座標のこれらの式をN 方程式 の 2 番目 のセットに代入すると、古い 標準座標 ( q 、 p ) の観点から 新しい一般化運動量 P の類似の式が得られます。次に、両方のセットの式を逆転させて、 新しい 標準座標 ( Q 、 P ) の関数として 古い 標準座標 ( q 、 p ) を取得します。逆転した式を最後の方程式に代入すると、 新しい 標準座標 ( Q 、 P )の関数として K の式が得られます 。 p = ∂ G 1 ∂ q {\textstyle \ \mathbf {p} ={\frac {\ \partial G_{1}\ }{\partial \mathbf {q} }}\ } P = − ∂ G 1 ∂ Q {\textstyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}} K = H + ∂ G 1 ∂ t {\textstyle K=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}}
実際には、この手順は思ったより簡単です。なぜなら、生成関数は通常単純だからです。例えば、 とします 。これは、一般化座標と運動量を入れ替え、その逆も同様に行います。 G 1 ≡ q ⋅ Q {\textstyle G_{1}\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {Q} }
p = ∂ G 1 ∂ q = Q P = − ∂ G 1 ∂ Q = − q {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q} \\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q} \end{aligned}}}
そして K = H です。この例は、ハミルトン定式化において座標と運動量がいかに独立しているかを示しています。これらは同値な変数です。
タイプ2生成関数 タイプ2の生成関数は、 古い 一般化座標 と新しい一般化運動量のみに依存します 。ここで、項は ルジャンドル変換 を表し 、以下の式の右辺を変更します。暗黙の変換を導くために、上記の定義式を展開します。 G 2 ( q , P , t ) {\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)} G ≡ G 2 ( q , P , t ) − Q ⋅ P {\textstyle G\equiv G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} } − Q ⋅ P {\displaystyle -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }
p ⋅ q ˙ − H ( q , p , t ) = − Q ⋅ P ˙ − K ( Q , P , t ) + ∂ G 2 ∂ t + ∂ G 2 ∂ q ⋅ q ˙ + ∂ G 2 ∂ P ⋅ P ˙ {\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}}
古い座標と新しい運動量はそれぞれ独立なので、次の 2N +1 式が成り立つ 。
p = ∂ G 2 ∂ q Q = ∂ G 2 ∂ P K = H + ∂ G 2 ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\end{aligned}}}
これらの方程式は、変換 ( q 、 p ) → ( Q 、 P ) を次のように定義します。 最初の N 方程式 セットは、 新しい一般化運動量 P と古い 標準座標 ( q 、 p ) との関係を定義します。理想的には、これらの関係を逆転させて、 古い標準座標の関数として各 P k の式を取得できます。 P 座標のこれらの式をN 方程式 の 2 番目 のセットに代入すると、古い 標準座標 ( q 、 p ) に関して 新しい一般化座標 Q の類似の式が生成されます。次に、両方のセットの式を逆転させて、新しい 標準座標 ( Q 、 P ) の関数として 古い 標準座標 ( q 、 p ) を取得します 。逆転した式を最後の方程式に代入すると、 新しい 標準座標 ( Q 、 P )の関数として K の式が生成されます 。 p = ∂ G 2 ∂ q {\textstyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}} Q = ∂ G 2 ∂ P {\textstyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}} K = H + ∂ G 2 ∂ t {\textstyle K=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}}
実際には、この手順は思ったより簡単です。なぜなら、生成関数は通常単純だからです。例えば、 g がN 個の関数の集合である とします 。これは、一般化座標の点変換となります 。 G 2 ≡ g ( q ; t ) ⋅ P {\textstyle G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)\cdot \mathbf {P} } Q = ∂ G 2 ∂ P = g ( q ; t ) {\textstyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)}
タイプ3生成関数 タイプ3の生成関数は、 古い一般化運動量と新しい一般化座標のみに依存します。 ここで、項は ルジャンドル変換 を表し 、以下の式の左辺を変更します。暗黙の変換を導くために、上記の定義式を展開します。 G 3 ( p , Q , t ) {\displaystyle G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)} G ≡ G 3 ( p , Q , t ) + q ⋅ p {\textstyle G\equiv G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)+\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} } q ⋅ p {\displaystyle \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} } − q ⋅ p ˙ − H ( q , p , t ) = P ⋅ Q ˙ − K ( Q , P , t ) + ∂ G 3 ∂ t + ∂ G 3 ∂ p ⋅ p ˙ + ∂ G 3 ∂ Q ⋅ Q ˙ {\displaystyle -\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}}
新しい座標と古い座標はそれぞれ独立しているので、次の 2N +1 式が成り立つ 。
q = − ∂ G 3 ∂ p P = − ∂ G 3 ∂ Q K = H + ∂ G 3 ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}\end{aligned}}}
これらの方程式は、変換 ( q 、 p ) → ( Q 、 P ) を次のように定義します。 最初の N 方程式 セットは、 新しい 一般化座標 Q と古い 標準座標 ( q 、 p ) との関係を定義します。理想的には、これらの関係を逆転させて、 古い標準座標の関数として各 Q k の式を取得できます。 Q 座標のこれらの式をN 方程式 の 2 番目 のセットに代入すると、古い 標準座標 ( q 、 p ) の観点から 新しい一般化運動量 P の類似の式が得られます。次に、両方のセットの式を逆転させて、 新しい 標準座標 ( Q 、 P ) の関数として 古い 標準座標 ( q 、 p ) を取得します。逆転した式を最後の方程式に代入すると、 新しい 標準座標 ( Q 、 P )の関数として K の式が得られます 。 q = − ∂ G 3 ∂ p {\textstyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}} P = − ∂ G 3 ∂ Q {\textstyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}} K = H + ∂ G 3 ∂ t {\textstyle K=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}}
実際には、生成関数は通常単純であるため、この手順は思ったより簡単です。
タイプ4生成関数 タイプ4の生成関数は、 新旧の一般化運動量のみに依存します。 ここで、項は ルジャンドル変換 を表し 、以下の式の両辺を変化させます。暗黙の変換を導くために、上記の定義式を展開します。 G 4 ( p , P , t ) {\displaystyle G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)} G ≡ G 4 ( p , P , t ) + q ⋅ p − Q ⋅ P {\textstyle G\equiv G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)+\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} } q ⋅ p − Q ⋅ P {\displaystyle \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }
− q ⋅ p ˙ − H ( q , p , t ) = − Q ⋅ P ˙ − K ( Q , P , t ) + ∂ G 4 ∂ t + ∂ G 4 ∂ p ⋅ p ˙ + ∂ G 4 ∂ P ⋅ P ˙ {\displaystyle -\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}}
新しい座標と古い座標はそれぞれ独立しているので、次の 2N +1 式が成り立つ 。
q = − ∂ G 4 ∂ p Q = ∂ G 4 ∂ P K = H + ∂ G 4 ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}\end{aligned}}}
これらの方程式は、変換 ( q 、 p ) → ( Q 、 P ) を次のように定義します。 最初の N 方程式 セットは、 新しい一般化運動量 P と古い 標準座標 ( q 、 p ) との関係を定義します。理想的には、これらの関係を逆転させて、 古い標準座標の関数として各 P k の式を取得できます。 P 座標のこれらの式をN 方程式 の 2 番目 のセットに代入すると、古い 標準座標 ( q 、 p ) に関して 新しい一般化座標 Q の類似の式が生成されます。次に、両方のセットの式を逆転させて、新しい 標準座標 ( Q 、 P ) の関数として 古い 標準座標 ( q 、 p ) を取得します 。逆転した式を最後の方程式に代入すると、 新しい 標準座標 ( Q 、 P )の関数として K の式が生成されます 。 q = − ∂ G 4 ∂ p {\textstyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}} Q = ∂ G 4 ∂ P {\textstyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}} K = H + ∂ G 4 ∂ t {\textstyle K=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}}
4種類の生成関数の制限 第二種生成関数および を例に 挙げると、変数 、 、 からなる最初の方程式群 を 逆変換して を得る必要があります 。この処理は、 で定義される行列が 非特異な場合に 逆関数定理 を用いて可能となり、以下の関係式として言い換えることができます。 [11] G 2 ( q , P , t ) {\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)} p i = ∂ G 2 ∂ q i {\textstyle {p}_{i}={\frac {\partial G_{2}}{\partial {q}_{i}}}} Q i = ∂ G 2 ∂ P i {\textstyle {Q}_{i}={\frac {\partial G_{2}}{\partial {P}_{i}}}} p {\textstyle \mathbf {p} } q {\textstyle \mathbf {q} } P {\textstyle \mathbf {P} } P ( q , p ) {\textstyle \mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )} a i j = ∂ p i ( q , P ) ∂ P j {\textstyle a_{ij}={\frac {\partial {p}_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}{\partial P_{j}}}}
| ∂ 2 G 2 ∂ P 1 ∂ q 1 ⋯ ∂ 2 G 2 ∂ P 1 ∂ q n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ 2 G 2 ∂ P n ∂ q 1 ⋯ ∂ 2 G 2 ∂ P n ∂ q n | ≠ 0 {\displaystyle \left|{\begin{array}{l l l}{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{1}\partial q_{1}}}}&{\cdots }&{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{1}\partial q_{n}}}}\\{\quad \vdots }&{\ddots }&{\quad \vdots }\\{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{n}\partial q_{1}}}}&{\cdots }&{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{n}\partial q_{n}}}}\end{array}}\right|{\neq 0}}
したがって、生成関数には、行列 、 、 が 非特異行列であるという制約が課される。 [12] [13] これらの条件は、座標の局所可逆性にも対応する。これらの制約から、タイプ1とタイプ4の生成関数は常に非特異 行列を持ち、タイプ2とタイプ3の生成関数は常に非特異 行列を持つと言える。したがって、これら4つの生成関数のみから得られる正準変換は、完全に一般化されているわけではない。 [14] [ ∂ 2 G 1 ∂ Q j ∂ q i ] {\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{1}}{\partial Q_{j}\partial q_{i}}}\right]} [ ∂ 2 G 2 ∂ P j ∂ q i ] {\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{j}\partial q_{i}}}\right]} [ ∂ 2 G 3 ∂ p j ∂ Q i ] {\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{3}}{\partial p_{j}\partial Q_{i}}}\right]} [ ∂ 2 G 4 ∂ p j ∂ P i ] {\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{4}}{\partial p_{j}\partial P_{i}}}\right]} [ ∂ Q i ( q , p ) ∂ p j ] {\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]} [ ∂ P i ( q , p ) ∂ p j ] {\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}
生成関数の一般化 言い換えれば、 ( Q , P ) と ( q , p ) はそれぞれ 2 N 個の 独立関数であるため、および または および の 形式の生成関数を持つためには 、対応するヤコビ行列 およびが 非特異に制限され、生成関数が 2 N + 1 個 の独立変数の関数であることが保証される。しかし、正準変換の特徴として、集合 ( q , p ) または ( Q , P )から 2 N 個のそのような独立関数を選択して 、時間変数を含む正準変換の生成関数表現を形成することが常に可能である。したがって、すべての有限正準変換は、与えられた 4 つの単純形式の変形である閉じた暗黙の形式として与えることができることが証明できる。 [15] G 1 ( q , Q , t ) {\textstyle G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)} G 4 ( p , P , t ) {\displaystyle G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)} G 2 ( q , P , t ) {\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)} G 3 ( p , Q , t ) {\displaystyle G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)} [ ∂ Q i ∂ p j ] {\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}}{\partial p_{j}}}\right]} [ ∂ P i ∂ p j ] {\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}}{\partial p_{j}}}\right]}
証拠 一般化座標の完全なセットを取得し 、セット内の座標のローカル可逆性を維持しながら、一般性を失うことなくラベル付けされた、可能な限り多くの変換された座標をセットに追加することを検討してください 。 { q 1 , q 2 , … , q N − 1 , q N } {\textstyle \{q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N}\}} { Q 1 , Q 2 , … , Q k } {\textstyle \{Q_{1},Q_{2},\ldots ,Q_{k}\}}
集合 は局所的に独立な座標の集合であることが示されます。 座標 の集合の局所的可逆性の証明は、 の非特異性、 または となる非自明なヌル固有ベクトルが存在しないことを証明することによって与えられます。ここで 、 とです 。 { q 1 , … , q N , Q 1 , … , Q k , P k + 1 , … , P N } {\textstyle \{q_{1},\ldots ,q_{N},Q_{1},\ldots ,Q_{k},P_{k+1},\ldots ,P_{N}\}} ∂ ( Q 1 , … , Q k , P k + 1 , … , P N ) ∂ ( p 1 , … , p N ) {\textstyle {\frac {\partial (Q_{1},\ldots ,Q_{k},P_{k+1},\ldots ,P_{N})}{\partial (p_{1},\ldots ,p_{N})}}} ∑ a ϵ a ∂ Q a ∂ p s + ∑ b η b ∂ P b ∂ p s = 0 , ∀ s {\textstyle \sum _{a}\epsilon _{a}{\frac {\partial Q_{a}}{\partial p_{s}}}+\sum _{b}\eta _{b}{\frac {\partial P_{b}}{\partial p_{s}}}=0,\,\forall s} a = 1 , … , k {\textstyle a=1,\ldots ,k} b = k + 1 , … , N {\textstyle b=k+1,\ldots ,N}
次の導出では、ヌル固有ベクトルの存在を仮定します 。 Q b = f b ( q s , Q a ) {\textstyle Q_{b}=f_{b}(q_{s},Q_{a})}
η b ′ = ∑ a ϵ a { Q b ′ , Q a } + ∑ b η b { Q b ′ , P b } = ∑ s ∂ f b ′ ∂ q s ( ∑ a ϵ a ∂ Q a ∂ p s + ∑ b η b ∂ P b ∂ p s ) = 0 {\textstyle \eta _{b'}=\sum _{a}\epsilon _{a}\{Q_{b'},Q_{a}\}+\sum _{b}\eta _{b}\{Q_{b'},P_{b}\}=\sum _{s}{\frac {\partial f_{b'}}{\partial q_{s}}}(\sum _{a}\epsilon _{a}{\frac {\partial Q_{a}}{\partial p_{s}}}+\sum _{b}\eta _{b}{\frac {\partial P_{b}}{\partial p_{s}}})=0}
したがって、すべて である 。局所可逆性の条件により、方程式の残りの部分に対して が成り立ち、 これにより、唯一のヌル固有ベクトル は自明なベクトルであり、これは非特異行列であることを意味する。したがって、 のような集合をとることが可能であることが示され、これは 2 N 個の 独立変数の性質を保持する新しい座標と古い座標の組み合わせであり、 この性質を用いて、任意の座標変換をこれらの座標集合上の生成関数から生じるものとして解釈することができる。 η b = 0 {\textstyle \eta _{b}=0} ∑ ∂ Q a ∂ p i ϵ i = δ Q a ( p 1 , … , p N ) = 0 ⟹ ϵ i = 0 ∀ a = 1 , … , k {\textstyle \sum {\frac {\partial Q_{a}}{\partial p_{i}}}\epsilon _{i}=\delta Q_{a}(p_{1},\ldots ,p_{N})=0\implies \epsilon _{i}=0\quad \forall \,a=1,\ldots ,k} ∂ ( Q 1 , … , Q k , P k + 1 , … , P N ) ∂ ( p 1 , … , p N ) {\textstyle {\frac {\partial (Q_{1},\ldots ,Q_{k},P_{k+1},\ldots ,P_{N})}{\partial (p_{1},\ldots ,p_{N})}}} { q 1 , … , q N , Q 1 , … , Q k , P k + 1 , … , P N } {\textstyle \{q_{1},\ldots ,q_{N},Q_{1},\ldots ,Q_{k},P_{k+1},\ldots ,P_{N}\}}
から： を計算します ： K = H + ∂ G ∂ t {\displaystyle K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}} ∂ ( K − H ) ∂ P {\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}}
( ∂ ( K − H ) ∂ P ) Q , P , t = ∂ K ∂ P − ∂ H ∂ p ∂ p ∂ P − ∂ H ∂ q ∂ q ∂ P − ∂ H ∂ t ( ∂ t ∂ P ) Q , P , t = Q ˙ + p ˙ ∂ q ∂ P − q ˙ ∂ p ∂ P = ∂ Q ∂ t + ∂ Q ∂ q ⋅ q ˙ + ∂ Q ∂ p ⋅ p ˙ + p ˙ ∂ q ∂ P − q ˙ ∂ p ∂ P = q ˙ ( ∂ Q ∂ q − ∂ p ∂ P ) + p ˙ ( ∂ q ∂ P + ∂ Q ∂ p ) + ∂ Q ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}\right)_{Q,P,t}&={\frac {\partial K}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\left({\frac {\partial t}{\partial P}}\right)_{Q,P,t}\\&={\dot {Q}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial P}}\\&={\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {\partial Q}{\partial q}}\cdot {\dot {q}}+{\frac {\partial Q}{\partial p}}\cdot {\dot {p}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial P}}\\&={\dot {q}}\left({\frac {\partial Q}{\partial q}}-{\frac {\partial p}{\partial P}}\right)+{\dot {p}}\left({\frac {\partial q}{\partial P}}+{\frac {\partial Q}{\partial p}}\right)+{\frac {\partial Q}{\partial t}}\end{aligned}}} 左辺は 粒子の力学とは独立であり、 と の係数をゼロとすること で 、標準変換則が得られます。このステップは、左辺を と等しくすることと等価です 。 ∂ ( K − H ) ∂ P = ∂ ∂ P ( ∂ G ∂ t ) | Q , P , t {\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial }{\partial P}}\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right){\bigg |}_{Q,P,t}} q ˙ {\textstyle {\dot {q}}} p ˙ {\textstyle {\dot {p}}} ∂ ( K − H ) ∂ P = ∂ Q ∂ t {\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}}
左辺は 粒子の力学とは独立であり、 と の係数をゼロとすること で 、標準変換則が得られます。このステップは、左辺を と等しくすることと等価です 。 ∂ ( K − H ) ∂ P = ∂ ∂ P ( ∂ G ∂ t ) | Q , P , t {\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial }{\partial P}}\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right){\bigg |}_{Q,P,t}} q ˙ {\textstyle {\dot {q}}} p ˙ {\textstyle {\dot {p}}} ∂ ( K − H ) ∂ P = ∂ Q ∂ t {\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}}
同様に:
( ∂ ( K − H ) ∂ Q ) Q , P , t = ∂ K ∂ Q − ∂ H ∂ p ∂ p ∂ Q − ∂ H ∂ q ∂ q ∂ Q − ∂ H ∂ t ( ∂ t ∂ Q ) Q , P , t = − P ˙ + p ˙ ∂ q ∂ Q − q ˙ ∂ p ∂ Q = − ∂ P ∂ t − ∂ P ∂ q ⋅ q ˙ − ∂ P ∂ p ⋅ p ˙ + p ˙ ∂ q ∂ Q − q ˙ ∂ p ∂ Q = − ( q ˙ ( ∂ P ∂ q + ∂ p ∂ Q ) + p ˙ ( ∂ P ∂ p − ∂ q ∂ Q ) + ∂ P ∂ t ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}\right)_{Q,P,t}&={\frac {\partial K}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\left({\frac {\partial t}{\partial Q}}\right)_{Q,P,t}\\&=-{\dot {P}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}\\&=-{\frac {\partial P}{\partial t}}-{\frac {\partial P}{\partial q}}\cdot {\dot {q}}-{\frac {\partial P}{\partial p}}\cdot {\dot {p}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}\\&=-\left({\dot {q}}\left({\frac {\partial P}{\partial q}}+{\frac {\partial p}{\partial Q}}\right)+{\dot {p}}\left({\frac {\partial P}{\partial p}}-{\frac {\partial q}{\partial Q}}\right)+{\frac {\partial P}{\partial t}}\right)\end{aligned}}}
同様に、左辺を と等しくすることで標準変換規則が得られます 。 ∂ ( K − H ) ∂ Q = − ∂ P ∂ t {\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}=-{\frac {\partial P}{\partial t}}}
上記の2つの関係は、行列形式で次のように結合できます （拡張正準変換でも同じ形式が保持されます）。ここで、結果が使用されています。したがって、 この文脈では、 正準変換関係は と同等であると言えます。 J ( ∇ ε ∂ G ∂ t ) = ∂ ε ∂ t {\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}} ∂ G ∂ t = K − H {\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-H} J ( ∇ ε ∂ G ∂ t ) = ∂ ε ∂ t {\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}
標準的な変換関係は、時間依存性を含めるように言い換えることができます。
( ∂ Q m ∂ p n ) q , p , t = − ( ∂ q n ∂ P m ) Q , P , t ( ∂ Q m ∂ q n ) q , p , t = ( ∂ p n ∂ P m ) Q , P , t {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}}
( ∂ P m ∂ p n ) q , p , t = ( ∂ q n ∂ Q m ) Q , P , t ( ∂ P m ∂ q n ) q , p , t = − ( ∂ p n ∂ Q m ) Q , P , t {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}}
および なので 、 Q と P が時間に明示的に依存しない場合 、 を 取る こと ができる。したがって、制限された標準変換の解析はこの一般化と整合する。 ∂ ( K − H ) ∂ P = ∂ Q ∂ t {\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}} ∂ ( K − H ) ∂ Q = − ∂ P ∂ t {\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}=-{\frac {\partial P}{\partial t}}} K = H + ∂ G ∂ t ( t ) {\textstyle K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}(t)}
シンプレクティック条件 ハミルトニアン方程式に 座標変換の公式を適用すると、次のようになります。 ∇ η H = M T ∇ ε H {\displaystyle \nabla _{\eta }H=M^{T}\nabla _{\varepsilon }H}
η ˙ = J ∇ η H = J ( M T ∇ ε H ) {\displaystyle {\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)}
同様に : ε ˙ {\textstyle {\dot {\varepsilon }}}
ε ˙ = M η ˙ + ∂ ε ∂ t = M J M T ∇ ε H + ∂ ε ∂ t {\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}
または：
ε ˙ = J ∇ ε K = J ∇ ε H + J ∇ ε ( ∂ G ∂ t ) {\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=J\nabla _{\varepsilon }H+J\nabla _{\varepsilon }\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right)}
ここで、各方程式の最後の項は、 正準変換の条件により打ち消されます。したがって、シンプレクティック関係式が残ります。 これは条件 とも等価です 。上記の2つの方程式から、シンプレクティック条件は方程式 を意味し 、そこから間接条件を復元できます。したがって、生成関数を用いる文脈において、シンプレクティック条件と間接条件は等価であると言えます。 J ( ∇ ε ∂ G ∂ t ) = ∂ ε ∂ t {\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}} M J M T = J {\textstyle MJM^{T}=J} M T J M = J {\textstyle M^{T}JM=J} J ( ∇ ε ∂ G ∂ t ) = ∂ ε ∂ t {\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}
ポアソン括弧とラグランジュ括弧の不変性 と であり 、 最後の等式ではシンプレクティック条件が用いられている。 を用いると 、ポアソン括弧とラグランジュ括弧の不変性を示す等式 と が得られる。 P i j ( ε ) = { ε i , ε j } η = ( M J M T ) i j = J i j {\textstyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=(MJM^{T})_{ij}=J_{ij}} L i j ( η ) = [ η i , η j ] ε = ( M T J M ) i j = J i j {\textstyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=(M^{T}JM)_{ij}=J_{ij}} { ε i , ε j } ε = [ η i , η j ] η = J i j {\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }=J_{ij}} { ε i , ε j } η = { ε i , ε j } ε {\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }} [ η i , η j ] ε = [ η i , η j ] η {\textstyle [\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }}
以下を解くと:
λ [ p ⋅ q ˙ − H ( q , p , t ) ] = P ⋅ Q ˙ − K ( Q , P , t ) + d G d t {\displaystyle \lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}}
さまざまな形式の生成関数では、K と H の関係は 次のようになり、これは ケースにも適用されます。 ∂ G ∂ t = K − λ H {\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H} λ = 1 {\textstyle \lambda =1}
以下に示すすべての結果は、既知の解から、 および を置き換えることによっても得ることができます。これは 、ハミルトン方程式 の形を保持しているためです 。したがって、拡張された正準変換は、正準変換（ ）と、 （与えられた例では、 条件を満たす）を満たす 自明な正準変換（ ）の結果であると言えます。 [16] q → λ q {\textstyle q\rightarrow {\sqrt {\lambda }}q} p → λ p {\textstyle p\rightarrow {\sqrt {\lambda }}p} H → λ H {\textstyle H\rightarrow {\lambda }H} λ = 1 {\textstyle \lambda =1} λ ≠ 1 {\textstyle \lambda \neq 1} M J M T = λ J {\textstyle MJM^{T}=\lambda J} M = λ I {\textstyle M={\sqrt {\lambda }}I}
一般的なケースでは、以前の一般化で使用したのと同じ手順を使用し 、方程式を保持すると 、拡張された標準変換偏微分関係は次のように得られます。 ∂ G ∂ t = K − λ H {\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H} J ( ∇ ε ∂ g ∂ t ) = ∂ ε ∂ t {\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial g}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}
( ∂ Q m ∂ p n ) q , p , t = − λ ( ∂ q n ∂ P m ) Q , P , t ( ∂ Q m ∂ q n ) q , p , t = λ ( ∂ p n ∂ P m ) Q , P , t {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\lambda \left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\lambda \left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}}
( ∂ P m ∂ p n ) q , p , t = λ ( ∂ q n ∂ Q m ) Q , P , t ( ∂ P m ∂ q n ) q , p , t = − λ ( ∂ p n ∂ Q m ) Q , P , t {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\lambda \left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\lambda \left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}}
シンプレクティック条件 同じ手順に従ってシンプレクティック条件を導出します。
η ˙ = J ∇ η H = J ( M T ∇ ε H ) {\displaystyle {\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)}
そして
ε ˙ = M η ˙ + ∂ ε ∂ t = M J M T ∇ ε H + ∂ ε ∂ t {\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}} 代わりにを使用すると次のように なります。 ∂ G ∂ t = K − λ H {\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}
ε ˙ = J ∇ ε K = λ J ∇ ε H + J ∇ ε ( ∂ G ∂ t ) {\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=\lambda J\nabla _{\varepsilon }H+J\nabla _{\varepsilon }\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right)}
各式の2番目の部分は打ち消される。したがって、拡張正準変換の条件は次のようになる 。 [17] M J M T = λ J {\textstyle MJM^{T}=\lambda J}
ポアソン括弧とラグランジュ括弧 ポアソン括弧は次のように変更されます。
{ u , v } η = ( ∇ η u ) T J ( ∇ η v ) = ( M T ∇ ε u ) T J ( M T ∇ ε v ) = ( ∇ ε u ) T M J M T ( ∇ ε v ) = λ ( ∇ ε u ) T J ( ∇ ε v ) = λ { u , v } ε {\displaystyle \{u,v\}_{\eta }=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)=(M^{T}\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}MJM^{T}(\nabla _{\varepsilon }v)=\lambda (\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(\nabla _{\varepsilon }v)=\lambda \{u,v\}_{\varepsilon }}
一方、ラグランジュ括弧は次のように変更されます。
[ u , v ] ε = ( ∂ u ε ) T J ( ∂ v ε ) = ( M ∂ u η ) T J ( M ∂ v η ) = ( ∂ u η ) T M T J M ( ∂ v η ) = λ ( ∂ u η ) T J ( ∂ v η ) = λ [ u , v ] η {\displaystyle [u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=\lambda (\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=\lambda [u,v]_{\eta }}
したがって、ポアソン括弧は の逆数でスケーリングされる のに対し、ラグランジュ括弧は の係数でスケーリングされる 。 [18] λ {\textstyle \lambda } λ {\textstyle \lambda }
次のように、 連続パラメータに依存する標準変換を考えます。 α {\displaystyle \alpha }
Q ( q , p , t ; α ) Q ( q , p , t ; 0 ) = q P ( q , p , t ; α ) with P ( q , p , t ; 0 ) = p {\displaystyle {\begin{aligned}&Q(q,p,t;\alpha )\quad \quad \quad &Q(q,p,t;0)=q\\&P(q,p,t;\alpha )\quad \quad {\text{with}}\quad &P(q,p,t;0)=p\\\end{aligned}}}
の無限小値の場合 、対応する変換は 無限小正準変換 と呼ばれ、微分正準変換とも呼ばれます。 α {\displaystyle \alpha }
明示的な構築 次の生成関数を考えてみましょう。
G 2 ( q , P , t ) = q P + α G ( q , P , t ) {\displaystyle G_{2}(q,P,t)=qP+\alpha G(q,P,t)}
の場合、 結果として得られる正準変換が となり、 と なるため 、このタイプの生成関数は、 を無限小値に制限することによって無限小正準変換に使用できます 。 α = 0 {\displaystyle \alpha =0} G 2 = q P {\displaystyle G_{2}=qP} Q = q {\displaystyle Q=q} P = p {\displaystyle P=p} α {\displaystyle \alpha }
第2タイプの発電機の条件から：
p = ∂ G 2 ∂ q = P + α ∂ G ∂ q ( q , P , t ) Q = ∂ G 2 ∂ P = q + α ∂ G ∂ P ( q , P , t ) {\displaystyle {\begin{aligned}{p}&={\frac {\partial G_{2}}{\partial {q}}}=P+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {q}}}(q,P,t)\\{Q}&={\frac {\partial G_{2}}{\partial {P}}}=q+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {P}}}(q,P,t)\\\end{aligned}}}
なので 、関数の変数 を に変え 、 の高次の項を無視すると 、次式が得られます。 [19] P = P ( q , p , t ; α ) {\displaystyle P=P(q,p,t;\alpha )} G {\displaystyle G} G ( q , p , t ) {\displaystyle G(q,p,t)} α {\displaystyle \alpha }
p = P + α ∂ G ∂ q ( q , p , t ) Q = q + α ∂ G ∂ p ( q , p , t ) {\displaystyle {\begin{aligned}{p}&=P+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {q}}}(q,p,t)\\{Q}&=q+\alpha {\frac {\partial G}{\partial p}}(q,p,t)\\\end{aligned}}}
無限小正準変換は、シンプレクティック条件の行列形式を用いて導くこともできる。 [20] この関数は 無限小正準変換において非常に重要であり、無限小正準変換の生成子と呼ばれる。 G ( q , p , t ) {\displaystyle G(q,p,t)}
変換の能動的な見方では、物理システムは変化せずに座標系が変更されますが、変換の受動的な見方では、座標系は保持され、物理システムは変換を受けると言われます。
したがって、無限小の正準変換の関係を使用すると、正準変換のアクティブなビューでのシステムの状態の変化は次のようになります。
δ q = α ∂ G ∂ p ( q , p , t ) and δ p = − α ∂ G ∂ q ( q , p , t ) , {\displaystyle {\begin{aligned}&\delta q=\alpha {\frac {\partial G}{\partial p}}(q,p,t)\quad {\text{and}}\quad \delta p=-\alpha {\frac {\partial G}{\partial q}}(q,p,t),\\\end{aligned}}}
または マトリックス形式として。 δ η = α J ∇ η G {\displaystyle \delta \eta =\alpha J\nabla _{\eta }G}
任意の関数は 、変換のアクティブビューに応じて次のように変化します。 u ( η ) {\displaystyle u(\eta )}
δ u = u ( η + δ η ) − u ( η ) = ( ∇ η u ) T δ η = α ( ∇ η u ) T J ( ∇ η G ) = α { u , G } . {\displaystyle \delta u=u(\eta +\delta \eta )-u(\eta )=(\nabla _{\eta }u)^{T}\delta \eta =\alpha (\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }G)=\alpha \{u,G\}.}
受動的な視点 、すなわち固定点 におけるハミルトニアンの変化を考えると、 K ( Q = q 0 , P = p 0 , t ) − H ( q = q 0 , p = p 0 , t ) = ( H ( q 0 ′ , p 0 ′ , t ) + ∂ G 2 ∂ t ) − H ( q 0 , p 0 , t ) = − δ H + α ∂ G ∂ t = α ( { G , H } + ∂ G ∂ t ) = α d G d t {\displaystyle K(Q=q_{0},P=p_{0},t)-H(q=q_{0},p=p_{0},t)=\left(H(q_{0}',p_{0}',t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\right)-H(q_{0},p_{0},t)=-\delta H+\alpha {\frac {\partial G}{\partial t}}=\alpha \left(\{G,H\}+{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)=\alpha {\frac {dG}{dt}}}
ここで、は 無限小正準変換によって 点 に写像され、 から への同様の変数変換は の一次までとみなされる 。したがって、ハミルトニアンが無限小正準変換に対して不変であれば、その生成元は運動定数となる。 ( q = q 0 ′ , p = p 0 ′ ) {\textstyle (q=q_{0}',p=p_{0}')} ( Q = q 0 , P = p 0 ) {\textstyle (Q=q_{0},P=p_{0})} G ( q , P , t ) {\displaystyle G(q,P,t)} G ( q , p , t ) {\displaystyle G(q,p,t)} α {\displaystyle \alpha }
座標の変化が一般化速度にも依存する変換を考えてみましょう。
q r → q r + δ q r δ q r = ϵ ϕ r ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle {\begin{aligned}q^{r}\to q^{r}+\delta q^{r}\\\delta q^{r}=\epsilon \phi ^{r}(q,{\dot {q}},t)\\\end{aligned}}}
上記が動的対称性である場合、ラグランジアンは次のように変化します。
δ L = ϵ d d t F ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle \delta L=\epsilon {\frac {d}{dt}}F(q,{\dot {q}},t)}
そして、新しいラグランジアンは、結果として得られる運動方程式が同じであることを保証するため、古いラグランジアンと力学的に等価であると言われます。一般化された速度項と運動量項の変化は次のように導出されます。
p = ∂ L ∂ q ˙ , q ˙ = d q d t δ p r = ∂ 2 L ∂ q s ∂ q ˙ r δ q s + ∂ 2 L ∂ q ˙ s ∂ q ˙ r δ q ˙ s , δ q ˙ r = ϵ ∂ ϕ r ∂ q s q ˙ s + ϵ ∂ ϕ r ∂ q ˙ s q ¨ s + ϵ ∂ ϕ r ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}},\quad &{\dot {q}}={\frac {dq}{dt}}\\\delta p_{r}={\frac {\partial ^{2}L}{\partial q^{s}\partial {\dot {q}}^{r}}}\delta q^{s}+{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}^{s}\partial {\dot {q}}^{r}}}\delta {\dot {q}}^{s},\quad &\delta {\dot {q}}^{r}=\epsilon {\frac {\partial \phi ^{r}}{\partial q^{s}}}{\dot {q}}^{s}+\epsilon {\frac {\partial \phi ^{r}}{\partial {\dot {q}}^{s}}}{\ddot {q}}^{s}+\epsilon {\frac {\partial \phi ^{r}}{\partial t}}\\\end{aligned}}}
動的対称性のラグランジアン特性の変化を利用すると、
d d t F = ∂ F ∂ q r q ˙ r + ∂ F ∂ q ˙ r q ¨ r + ∂ F ∂ t = δ L ϵ = ( ∂ L ∂ q r ϕ r + ∂ L ∂ q ˙ r ∂ ϕ r ∂ t ) + p s ∂ ϕ s ∂ q r q ˙ r + p s ∂ ϕ s ∂ q ˙ r q ¨ r {\displaystyle {\frac {d}{dt}}F={\frac {\partial F}{\partial q^{r}}}{\dot {q}}^{r}+{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\ddot {q}}^{r}+{\frac {\partial F}{\partial t}}={\frac {\delta L}{\epsilon }}=\left({\frac {\partial L}{\partial q^{r}}}\phi ^{r}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\frac {\partial \phi ^{r}}{\partial t}}\right)+p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial q^{r}}}{\dot {q}}^{r}+p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\ddot {q}}^{r}}
項は両辺に一度しか現れず、方程式は に関連する力学や運動方程式とは独立して成立する必要がある ため 、これが真であるためには係数が等しくなければならない。関係は 次のようになる。これを用いて、次の関係が示される
。 q ¨ {\displaystyle {\ddot {q}}} q ¨ {\displaystyle {\ddot {q}}} ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle (q,{\dot {q}},t)} p s ∂ ϕ s ∂ q ˙ r = ∂ F ∂ q ˙ r {\textstyle p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}={\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}^{r}}}}
{ q r , ϵ ( p s ϕ s − F ) } = δ q r , { p r , ϵ ( p s ϕ s − F ) } = δ p r + ϵ ( ∂ L ∂ q s − d d t ∂ L ∂ q ˙ s ) ∂ ϕ s ∂ q ˙ r {\displaystyle \{q^{r},\epsilon (p_{s}\phi ^{s}-F)\}=\delta q^{r},\quad \{p_{r},\epsilon (p_{s}\phi ^{s}-F)\}=\delta p_{r}+\epsilon \left({\frac {\partial L}{\partial q^{s}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{s}}}\right){\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}}
したがって、この項は、 オイラー・ラグランジュ関係がゼロを与えるか、または 無限小点変換であるならば、標準的な動的対称変換を生成する。点変換条件においては、オイラー・ラグランジュ方程式が満たされるかどうかに関わらず、この量は変換を生成することに注意すべきである。また、この変換は問題の力学に依存しないため、純粋に運動学的関係であると言える。 [21] p ϕ − F {\displaystyle p\phi -F} ∂ ϕ s ∂ q ˙ r = 0 ∀ s , r {\displaystyle {\frac {\partial \phi _{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}=0\,\forall s,r}
証拠 まず、運動量の変化は次のようにより便利な形で表現できます。 δ p r = ∂ 2 L ∂ q s ∂ q ˙ r δ q s + ∂ 2 L ∂ q ˙ s ∂ q ˙ r δ q ˙ s = ∂ ∂ q ˙ r ( ∂ L ∂ q s δ q s + ∂ L ∂ q ˙ s δ q ˙ s ) − ∂ L ∂ q s ∂ ∂ q ˙ r ( δ q s ) − ∂ L ∂ q ˙ s ∂ ∂ q ˙ r ( δ q ˙ s ) = ∂ ∂ q ˙ r ( δ L ) − p s ∂ ∂ q ˙ r ( δ q ˙ s ) − ∂ L ∂ q s ∂ ∂ q ˙ r ( δ q s ) {\displaystyle \delta p_{r}={\frac {\partial ^{2}L}{\partial q^{s}\partial {\dot {q}}^{r}}}\delta q^{s}+{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}^{s}\partial {\dot {q}}^{r}}}\delta {\dot {q}}^{s}={\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}\left({\frac {\partial L}{\partial q^{s}}}\delta q^{s}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{s}}}\delta {\dot {q}}^{s}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q^{s}}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta q^{s})-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{s}}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta {\dot {q}}^{s})={\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta L)-p_{s}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta {\dot {q}}^{s})-{\frac {\partial L}{\partial q^{s}}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta q^{s})}
必要なポアソン括弧を簡素化すると、
{ q r , ϵ ( p s ϕ s − F ) } = ϵ ( ϕ r + ∂ q ˙ m ∂ p r ( p s ∂ ϕ s ∂ q ˙ m − ∂ F ∂ q ˙ m ) = 0 ) = δ q r { p r , ϵ ( p s ϕ s − F ) } = ϵ ( − p s ∂ ϕ s ∂ q r + ∂ F ∂ q r + ( ∂ F ∂ q ˙ m − p s ∂ ϕ s ∂ q ˙ m ) = 0 ( ∂ q ˙ m ∂ q r ) q , p , t ) = ϵ ( − p s ∂ ϕ s ∂ q r + ∂ F ∂ q r ) {\displaystyle {\begin{aligned}\{q^{r},\epsilon (p_{s}\phi ^{s}-F)\}=\epsilon \left(\phi _{r}+{\frac {\partial {\dot {q}}^{m}}{\partial p_{r}}}{\cancelto {=0}{\left(p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{m}}}-{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}^{m}}}\right)}}\right)&=\delta q^{r}\\\{p_{r},\epsilon (p_{s}\phi ^{s}-F)\}=\epsilon \left(-p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial q^{r}}}+{\frac {\partial F}{\partial q^{r}}}+{\cancelto {=0}{\left({\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}^{m}}}-p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{m}}}\right)}}\left({\frac {\partial {\dot {q}}^{m}}{\partial q^{r}}}\right)_{q,p,t}\right)&=\epsilon \left(-p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial q^{r}}}+{\frac {\partial F}{\partial q^{r}}}\right)\\\end{aligned}}}
予備的な結果として、 の任意の関数に対して 、 の動的動作を考慮すると、次の式が成り立ちます 。 ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle (q,{\dot {q}},t)} q ¨ {\displaystyle {\ddot {q}}}
∂ ∂ q ˙ r d d t − d d t ∂ ∂ q ˙ r = ∂ ∂ q r + ∂ q ¨ s ∂ q ˙ r ∂ ∂ q ˙ s {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\frac {d}{dt}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}={\frac {\partial }{\partial q^{r}}}+{\frac {\partial {\ddot {q}}^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{s}}}}
これを使って数量を計算することができます:
∂ ∂ q ˙ r ( d F d t ) − p s ( ∂ ∂ q ˙ r ( d d t ϕ s ) ) − p ˙ s ∂ ∂ q ˙ r ( ϕ s ) = d d t ( ∂ ∂ q ˙ r F − p s ∂ ∂ q ˙ r ϕ s ) + ∂ q ¨ s ∂ q ˙ r ( ∂ ∂ q ˙ s F − p m ∂ ∂ q ˙ s ϕ m ) − p s ∂ ϕ s ∂ q r + ∂ F ∂ q r = { p r , ( p ϕ − F ) } {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}\left({\frac {dF}{dt}}\right)-p_{s}\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}\left({\frac {d}{dt}}\phi ^{s}\right)\right)-{\dot {p}}_{s}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\phi ^{s})={\frac {d}{dt}}{\cancel {\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}F-p_{s}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}\phi ^{s}\right)}}+{\frac {\partial {\ddot {q}}^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\cancel {\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{s}}}F-p_{m}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{s}}}\phi ^{m}\right)}}-p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial q^{r}}}+{\frac {\partial F}{\partial q^{r}}}=\{p_{r},(p\phi -F)\}}
この関係は言い換えることができ、の式と組み合わせて、 運動量に必要な関係を与えることができます。 δ p r {\displaystyle \delta p_{r}}
{ p r , ϵ ( p s ϕ s − F ) } = ∂ ∂ q ˙ r ( δ L ) − p s ∂ ∂ q ˙ r ( δ q ˙ s ) − p ˙ s ∂ ∂ q ˙ r ( δ q s ) = δ p r + ϵ ( ∂ L ∂ q s − d d t ∂ L ∂ q ˙ s ) ∂ ϕ s ∂ q ˙ r {\displaystyle \{p_{r},\epsilon (p_{s}\phi ^{s}-F)\}={\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta L)-p_{s}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta {\dot {q}}^{s})-{\dot {p}}_{s}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta q^{s})=\delta p_{r}+\epsilon \left({\frac {\partial L}{\partial q^{s}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{s}}}\right){\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}}
ネーター不変量 提供されたラグランジアンに対してオイラー-ラグランジュ関係式を使用すると、運動の不変量は次のように導出できます。 δ L − ϵ d d t F ( q , q ˙ , t ) = ϵ ϕ ( ∂ ∂ q − d d t ∂ ∂ q ˙ ) L = 0 + ϵ d d t ( ϕ ∂ ∂ q ˙ L − F ) = ϵ d d t ( ϕ ∂ ∂ q ˙ L − F ) = 0 {\displaystyle \delta L-\epsilon {\frac {d}{dt}}F(q,{\dot {q}},t)=\epsilon \phi {\cancelto {=0}{\left({\frac {\partial }{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}}}\right)L}}+\epsilon {\frac {d}{dt}}\left(\phi {\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}}}L-F\right)=\epsilon {\frac {d}{dt}}\left(\phi {\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}}}L-F\right)=0}
したがって、 は運動定数である。したがって、導出されたノイマン不変量は、前に示したものと同じ対称変換も生成する。 ( ϕ ∂ ∂ q ˙ L − F ) = p ϕ − F {\displaystyle \left(\phi {\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}}}L-F\right)=p\phi -F}
ICTの例
時間発展 と をとる と となる 。したがって、このような変換を連続的に適用すると、座標 は に写像される 。したがって、ハミルトニアンが時間変換不変、すなわち明示的な時間依存性を持たない場合、その値は運動に対して保存される。 G ( q , p , t ) = H ( q , p , t ) {\displaystyle G(q,p,t)=H(q,p,t)} α = d t {\displaystyle \alpha =dt} δ η = ( J ∇ η H ) d t = η ˙ d t = d η {\displaystyle \delta \eta =(J\nabla _{\eta }H)dt={\dot {\eta }}dt=d\eta } η ( τ ) {\displaystyle \eta (\tau )} η ( τ + t ) {\displaystyle \eta (\tau +t)}
翻訳 、 および をとる 。したがって、正準運動量は対応する一般化座標にシフトを生成し、ハミルトニアンが並進不変であれば、運動量は運動定数となる。 G ( q , p , t ) = p k {\displaystyle G(q,p,t)=p_{k}} δ p i = 0 {\displaystyle \delta p_{i}=0} δ q i = α δ i k {\displaystyle \delta q_{i}=\alpha \delta _{ik}}
回転 N粒子系の直交系を考えてみましょう。
q = ( x 1 , y 1 , z 1 , … , x n , y n , z n ) , p = ( p 1 x , p 1 y , p 1 z , … , p n x , p n y , p n z ) . {\displaystyle {\begin{array}{l}{\mathbf {q} =\left(x_{1},y_{1},z_{1},\ldots ,x_{n},y_{n},z_{n}\right),}\\{\mathbf {p} =\left(p_{1x},p_{1y},p_{1z},\ldots ,p_{nx},p_{ny},p_{nz}\right).}\end{array}}}
生成子 を と無限小値 と選択すると 、 x の座標の変化は次のように表されます。 G = L z = ∑ i = 1 n ( x i p i y − y i p i x ) {\displaystyle G=L_{z}=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}p_{iy}-y_{i}p_{ix}\right)} α = δ ϕ {\displaystyle \alpha =\delta \phi }
δ x i = { x i , G } δ ϕ = ∑ j { x i , x j p j y − y j p j x } δ ϕ = ∑ j ( { x i , x j p j y } ⏟ = 0 − { x i , y j p j x } ) δ ϕ = − ∑ j y j { x i , p j x } ⏟ = δ i j δ ϕ = − y i δ ϕ {\displaystyle {\begin{array}{c}{\delta x_{i}=\{x_{i},G\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}\{x_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}(\underbrace {\{x_{i},x_{j}p_{jy}\}} _{=0}-{\{x_{i},y_{j}p_{jx}\}}})\delta \phi \\{=\displaystyle -\sum _{j}y_{j}\underbrace {\{x_{i},p_{jx}\}} _{=\delta _{ij}}\delta \phi =-y_{i}\delta \phi }\end{array}}}
yについても同様です。
δ y i = { y i , G } δ ϕ = ∑ j { y i , x j p j y − y j p j x } δ ϕ = ∑ j ( { y i , x j p j y } − { y i , y j p j x } ⏟ = 0 ) δ ϕ = ∑ j x j { y i , p j y } ⏟ = δ i j δ ϕ = x i δ ϕ , {\displaystyle {\begin{array}{c}\delta y_{i}=\{y_{i},G\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}\{y_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}(\{y_{i},x_{j}p_{jy}\}-\underbrace {\{y_{i},y_{j}p_{jx}\}} _{=0})\delta \phi \\{=\displaystyle \sum _{j}x_{j}\underbrace {\{y_{i},p_{jy}\}} _{=\delta _{ij}}\delta \phi =x_{i}\delta \phi \,,}\end{array}}}
一方、すべての粒子のZ成分は変化しません 。 δ z i = { z i , G } δ ϕ = ∑ j { z i , x j p j y − y j p j x } δ ϕ = 0 {\textstyle \delta z_{i}=\left\{z_{i},G\right\}\delta \phi =\sum _{j}\left\{z_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\right\}\delta \phi =0}
これらの変換は、一次近似において、Z軸を中心とした角度の回転に対応する 。したがって、無限小正準変換を繰り返し適用すると、粒子系はZ軸を中心に回転する。ハミルトニアンがZ軸を中心とした回転に対して不変であれば、回転軸に沿った角運動量の成分である生成元は運動の不変量となる。 [20] δ ϕ {\displaystyle \delta \phi }
の値が 次の範囲の連続した値を取ることを許可する: α {\displaystyle \alpha }
Q ( q , p , t ; α ) Q ( q , p , t ; 0 ) = q P ( q , p , t ; α ) with P ( q , p , t ; 0 ) = p {\displaystyle {\begin{aligned}&Q(q,p,t;\alpha )\quad \quad \quad &Q(q,p,t;0)=q\\&P(q,p,t;\alpha )\quad \quad {\text{with}}\quad &P(q,p,t;0)=p\\\end{aligned}}}
これ は と表現できます 。 ϵ μ ( η , t ; α ) {\displaystyle \epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha )} ϵ μ ( η , t ; 0 ) = η μ {\displaystyle \epsilon ^{\mu }(\eta ,t;0)=\eta ^{\mu }}
正準変換の 1 つのパラメータ サブグループは、変換の生成子を使用して が 満たされる座標を生成できるものです。つまり、パラメータ および の 2 つの正準変換の合成は 、 パラメータ の単一の正準変換の合成と同じです 。 ϵ μ ( ϵ ( η , t ; α 1 ) ; α 2 ) = ϵ μ ( η , t ; α 1 + α 2 ) {\displaystyle \epsilon ^{\mu }(\epsilon (\eta ,t;\alpha _{1});\alpha _{2})=\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha _{1}+\alpha _{2})} α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} α 2 {\displaystyle \alpha _{2}} α 1 + α 2 {\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}}
1パラメータ部分群の種類の変換に関する条件は、次のように微分方程式として等価に表現できます。
δ ϵ μ ( η , t ; α ) = δ α { ϵ ν , G } = δ α J μ ν ∂ G ∂ ϵ ν ( ϵ ( η , t ; α ) , t ) ⟹ d ϵ μ ( η , t ; α ) d α = J μ ν ∂ G ∂ ϵ ν ( ϵ ( η , t ; α ) , t ) {\displaystyle \delta \epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha )=\delta \alpha \{\epsilon ^{\nu },G\}=\delta \alpha J^{\mu \nu }{\frac {\partial G}{\partial \epsilon ^{\nu }}}(\epsilon (\eta ,t;\alpha ),t)\implies {\frac {d\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha )}{d\alpha }}=J^{\mu \nu }{\frac {\partial G}{\partial \epsilon ^{\nu }}}(\epsilon (\eta ,t;\alpha ),t)}
生成器が に明示的に依存しないことを前提として、 すべての に対して が成り立つ 。この式は が初期値とみなされるときに自明に満たされ、両辺の微分方程式は同じ形であり、与えられた初期値を持つ解の一意性により の関係が成り立つことを意味するため、条件を復元できる。したがって、正準変換の1パラメータ部分群は、 パラメータ に依存しない生成器の同じ関数形を用いて、無限小正準変換を の有限値に拡張したものである 。 [22] η {\displaystyle \eta } α {\displaystyle \alpha } ϵ μ ( ϵ ( η , t ; α 1 ) ; α 2 ) = ϵ μ ( η , t ; α 1 + α 2 ) {\displaystyle \epsilon ^{\mu }(\epsilon (\eta ,t;\alpha _{1});\alpha _{2})=\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha _{1}+\alpha _{2})} α 2 = 0 {\displaystyle \alpha _{2}=0} α {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha }
ジェネレータは に明示的に依存しないため 、ジェネレータは からも暗黙的に独立しています 。 α {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha }
d G ( ϵ ( η ; α ) , t ) d α = { G , G } = 0 , ∀ α ⟹ G ( ϵ ( η ; α ) , t ) = G ( η , t ) {\displaystyle {\frac {dG(\epsilon (\eta ;\alpha ),t)}{d\alpha }}=\{G,G\}=0,\,\forall \alpha \implies G(\epsilon (\eta ;\alpha ),t)=G(\eta ,t)}
これを使って微分方程式を次のように表すことができます。
d ϵ μ ( η , t ; α ) d α = { ϵ μ ( η , t ; α ) , G ( η , t ) } η =: − G ~ ϵ μ {\displaystyle {\frac {d\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha )}{d\alpha }}=\{\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha ),G(\eta ,t)\}_{\eta }=:-{\tilde {G}}\epsilon ^{\mu }}
ここで線形微分演算子は と定義されます 。 G ~ := ( ∇ η G ) T J ∇ η {\displaystyle {\tilde {G}}:=(\nabla _{\eta }G)^{T}J\nabla _{\eta }}
微分方程式を反復的に解くと、微分方程式の解は次のようになる。 [22]
ϵ ( η , t ; α ) = η + α { η , G ( η , t ) } + 1 2 ! α 2 { { η , G ( η , t ) } , G ( η , t ) } + ⋯ = e − α G ~ η {\displaystyle \epsilon (\eta ,t;\alpha )=\eta +\alpha \{\eta ,G(\eta ,t)\}+{\frac {1}{2!}}\alpha ^{2}\{\{\eta ,G(\eta ,t)\},G(\eta ,t)\}+\cdots =e^{-\alpha {\tilde {G}}}\eta }
関数値の変化を 段階的に繰り返して使用することで、 同様に得られる。 d f ( ϵ ( η ; α ) , t ) d α = { f ( ϵ ( η ; α ) , t ) , G ( η , t ) } η =: − G ~ f ( ϵ ( η ; α ) , t ) {\displaystyle {\frac {df(\epsilon (\eta ;\alpha ),t)}{d\alpha }}=\{f(\epsilon (\eta ;\alpha ),t),G(\eta ,t)\}_{\eta }=:-{\tilde {G}}f(\epsilon (\eta ;\alpha ),t)} ϵ ( η , t ; 0 ) = η {\displaystyle \epsilon (\eta ,t;0)=\eta }
f ( e − α G ~ η , t ) = f ( ϵ ( η ; α ) , t ) = f ( η , t ) + α { f ( η , t ) , G ( η , t ) } + 1 2 ! α 2 { { f ( η , t ) , G ( η , t ) } , G ( η , t ) } + ⋯ = e − α G ~ f ( η , t ) {\displaystyle f(e^{-\alpha {\tilde {G}}}\eta ,t)=f(\epsilon (\eta ;\alpha ),t)=f(\eta ,t)+\alpha \{f(\eta ,t),G(\eta ,t)\}+{\frac {1}{2!}}\alpha ^{2}\{\{f(\eta ,t),G(\eta ,t)\},G(\eta ,t)\}+\cdots =e^{-\alpha {\tilde {G}}}f(\eta ,t)}
関数の変化は、 次のように一次まで表現できる位相空間内の同じ物理状態でその値を保存することによって呼び出すことができます。 f ( ϵ , t ) = f ( ϵ ( η ; α ) , t ) = f ′ ( ϵ ( η ; α + δ α ) , t ) = f ′ ( ϵ ′ , t ) {\displaystyle f(\epsilon ,t)=f(\epsilon (\eta ;\alpha ),t)=f'(\epsilon (\eta ;\alpha +\delta \alpha ),t)=f'(\epsilon ',t)}
δ ′ f = f ′ ( ϵ ) − f ( ϵ ) = f ′ ( ϵ ) − f ′ ( ϵ ′ ) ≈ f ( ϵ ( η ; α − δ α ) ) − f ( ϵ ( η ; α ) ) = − δ α { f , G } {\displaystyle \delta 'f=f'(\epsilon )-f(\epsilon )=f'(\epsilon )-f'(\epsilon ')\approx f(\epsilon (\eta ;\alpha -\delta \alpha ))-f(\epsilon (\eta ;\alpha ))=-\delta \alpha \{f,G\}}
関数の変化を変換パラメータへの明示的な依存性として含めると、 次の ように表すことができます。 ここで、関数は に明示的に依存しており、 これは関数が座標による変換とは逆の変換を行うことを示し、位相空間内の物理点からそのスカラー値への明確な写像を保存します。また、関数が位相空間内の同じ物理状態における値を保存する必要なく変換することも可能です。例えば、ハミルトニアンのように、正準変換への明示的な依存性が上記の形式と異なる場合、前述の導出から次のように言い換えることができます。 α {\displaystyle \alpha } f ( ϵ , t ; α ) {\displaystyle f(\epsilon ,t;\alpha )} α {\displaystyle \alpha } ∂ f ( ϵ , t ; α ) ∂ α = − { f , G } {\displaystyle {\frac {\partial f(\epsilon ,t;\alpha )}{\partial \alpha }}=-\{f,G\}}
∂ H ( ϵ , t ; α ) ∂ α = d G d t {\displaystyle {\frac {\partial H(\epsilon ,t;\alpha )}{\partial \alpha }}={\frac {dG}{dt}}}
これは前述の関係式と類似しているが、生成子の明示的な時間依存性も考慮している。したがって、ハミルトニアンが受動的な視点において無限小の正準変換に対して不変であるならば、その生成子は運動定数となる。 [22]
運動自体（あるいは、等価的に、時間原点のシフト）は標準変換である。 かつ ならば 、 有効 な軌道は 終点に関わらず 常にハミルトン 原理 を満たすはずなので、 ハミルトン原理 は自動的に満たされる。 Q ( t ) ≡ q ( t + τ ) {\displaystyle \mathbf {Q} (t)\equiv \mathbf {q} (t+\tau )} P ( t ) ≡ p ( t + τ ) {\displaystyle \mathbf {P} (t)\equiv \mathbf {p} (t+\tau )} δ ∫ t 1 t 2 [ P ⋅ Q ˙ − K ( Q , P , t ) ] d t = δ ∫ t 1 + τ t 2 + τ [ p ⋅ q ˙ − H ( q , p , t + τ ) ] d t = 0 {\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt=\delta \int _{t_{1}+\tau }^{t_{2}+\tau }\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t+\tau )\right]dt=0} ( q ( t ) , p ( t ) ) {\displaystyle (\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t))}
例 2つの定数ベクトルを平行移動させる 変換 は、正準変換です。実際、ヤコビ行列は恒等変換であり、シンプレクティックです 。 Q ( q , p ) = q + a , P ( q , p ) = p + b {\displaystyle \mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {q} +\mathbf {a} ,\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {b} } a , b {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} } I T J I = J {\displaystyle I^{\text{T}}JI=J} と を設定する と、 が2次の回転行列 である 変換は正準です。特殊直交行列が に従うことを念頭に置くと 、ヤコビ行列がシンプレクティックであることは容易にわかります。ただし、この例は次元2でのみ有効です。 は、 すべての行列がシンプレクティックとなる唯一の特殊直交群です。ここでの回転は と に作用します が、 と に は 独立に作用しないことに注意してください。したがって、これらは直交空間座標系の物理的な回転とは異なります。 x = ( q , p ) {\displaystyle \mathbf {x} =(q,p)} X = ( Q , P ) {\displaystyle \mathbf {X} =(Q,P)} X ( x ) = R x {\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {x} )=R\mathbf {x} } R ∈ S O ( 2 ) {\displaystyle R\in SO(2)} R T R = I {\displaystyle R^{\text{T}}R=I} S O ( 2 ) {\displaystyle SO(2)} ( q , p ) {\displaystyle (q,p)} q {\displaystyle q} p {\displaystyle p} 変換 （ は の任意関数） は標準的です。ヤコビ行列は によって与えられ、 これはシンプレクティックです。 ( Q ( q , p ) , P ( q , p ) ) = ( q + f ( p ) , p ) {\displaystyle (Q(q,p),P(q,p))=(q+f(p),p)} f ( p ) {\displaystyle f(p)} p {\displaystyle p} ∂ X ∂ x = [ 1 f ′ ( p ) 0 1 ] {\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial x}}={\begin{bmatrix}1&f'(p)\\0&1\end{bmatrix}}}
現代数学的記述 数学用語では、 正準座標 とは、系の 位相空間（ 余接束 ）上の任意の座標で
、全微分（ 厳密な形式）まで 正準一形式 を記述
できる座標のことである 。ある正準座標系と別の正準座標系との間の変数変換は、 正準変換である。 一般化座標 の添え字 q は、ここでは上付き文字 （ ） で記述され 、 上記のように下付き 文字（ ）で記述される ことはない。上付き文字は、一般化座標の 反変変換特性 を表すものであり、 座標がべき乗されることを意味するものでは ない。詳細は、 シンプレクトモフ ィズムに関する記事を参照のこと。 ∑ i p i d q i {\displaystyle \sum _{i}p_{i}\,dq^{i}} q i {\displaystyle q^{i}} q i {\displaystyle q_{i}}
歴史 正準変換の最初の主要な応用は、1846年に シャルル・ドローネーによって 地球・月・太陽系 の研究において行われた。この研究は 、フランス科学アカデミー によって1860年と1867年に 『Mémoires』 として2冊の大著として出版された 。
参照
注記 ^ ゴールドスタイン、プール、サフコ 2007、370ページ ^ ゴールドスタイン、プール、サフコ 2007、381-384ページ ^ abc Giacaglia 1972、p. 8-9 ^ レモス 2018、255ページ ^ ハンド＆フィンチ 1999年、250-251ページ ^ ランチョス 2012、121ページ ^ グプタ＆グプタ 2008、304ページ ^ ルリー 2002, p. 337 ^ ルリー 2002, p. 548-550 ^ ゴールドスタイン、プール、サフコ 2007、373ページ ^ ジョンズ 2005, p. 438 ^ ルリー 2002, 547ページ ^ スダルシャン & ムクンダ 2010、p. 58 ^ ジョンズ 2005、437-439ページ ^ スダルシャン & ムクンダ 2010、58–60 ページ ^ ジャカリア 1972年、18-19ページ ^ ゴールドスタイン、プール、サフコ 2007、383ページ ^ ジャカリア 1972年、16-17ページ ^ ジョンズ 2005、452-454ページ ^ ab Hergert, Heiko (2021年12月10日). “PHY422/820: Classical Mechanics” (PDF) . 2023年12月22日時点のオリジナルより アーカイブ (PDF) . 2023年 12月22日 閲覧 。 ^ Mallesh, KS; Chaturvedi, Subhash; Balakrishnan, V.; Simon, R.; Mukunda, N. (2011-02-01). 「古典力学と量子力学における対称性と保存則」 . Resonance . 16 (2): 129– 151. doi :10.1007/s12045-011-0020-5. ISSN 0973-712X. ^ abc スダルシャン & ムクンダ 2010、p. 50-57
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![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)}{\partial P_{m}}}&={\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\[1ex]&={\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\[1ex]&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736e9334dc551bd9e6e62a02c9d3d6f78ae59369)
![{\displaystyle [u,v]_{\eta }:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8322c27d4087c67d2c85988ee3ba6c4151d5373a)
![{\displaystyle [u,v]_{\eta }:=\left({\frac {\partial \eta }{\partial u}}\right)^{T}J\left({\frac {\partial \eta }{\partial v}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/177ce02c6e24ebb879aa80d5e510aa0cbcb27b12)
![{\displaystyle [u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=[u,v]_{\eta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e297135ea666b9a22c58c9ada4f5932bd34a4688)
![{\textstyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=(M^{T}JM)_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eea7ea32e2beedf395857e21c0e3d55474c5608)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]dt&=0\\\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2755ed5c72d386c89794708b87ce1b548b5b43d0)
![{\displaystyle \lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e57cc5f5a07c7cc04cda98e6cea31830bcd6f6)
![{\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{1}}{\partial Q_{j}\partial q_{i}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a42953e15dac12c60b4a266e6d1157e1c55f825)
![{\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{j}\partial q_{i}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/358352e1b260fb1a635ecd2b4d1333be80084a9a)
![{\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{3}}{\partial p_{j}\partial Q_{i}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f05307f3de865eeaa50cac5ef208e1bd3ebb829)
![{\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{4}}{\partial p_{j}\partial P_{i}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea39e0fc2681a4a1dbb166e67d15c4ea203dfbe8)
![{\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd60778757507a406efe763c09122b2d454a3af8)
![{\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16728c27933401ef084e40e3100dfbe116af9ef8)
![{\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}}{\partial p_{j}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988d8dc2221eae53251dc21614ef93cba14f0d43)
![{\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}}{\partial p_{j}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd6250a4b90de87c5c548e9a29cb31fdbd07cdc)
![{\textstyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=(M^{T}JM)_{ij}=J_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6d27a05b1ddb60c404868d78c8cd9e3ffd4457)
![{\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }=J_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89122df31a952d44a9367f0a1bbcbf56a2d46a3f)
![{\textstyle [\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7782b32e376db132335ec5d8b87c4bf7f5fd8d)
![{\displaystyle [u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=\lambda (\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=\lambda [u,v]_{\eta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f3319691c711367bbea85cfc7a116524a8ca26a)
![{\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt=\delta \int _{t_{1}+\tau }^{t_{2}+\tau }\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t+\tau )\right]dt=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0392bb0f77d80d3230c8c9a5de69e016bb5d3f5e)
