Equation for the velocity of a body in viscous fluid
流体力学 において 、 ストークスの法則は、 粘性 流体 中を非常に小さな レイノルズ数で運動する 球状 物体 に働く摩擦力（ 抗力 とも呼ばれる）を規定する 。 [1]この法則は、1851年に ジョージ・ガブリエル・ストークスによって 、ナビエ・ストークス方程式 の小さなレイノルズ数における ストークス流れ 限界を解くことで 導かれた 。 [2]
法律の声明 粘性流体中を移動する小さな球にかかる粘性力は次のように表される: [3] [4]
F → d = − 6 π μ R v → {\displaystyle {\vec {F}}_{\rm {d}}=-6\pi \mu R{\vec {v}}} ここで（ SI単位系 ）：
F → d {\displaystyle {\vec {F}}_{\rm {d}}} は、流体と粒子の界面に作用する ストークスの抵抗 として知られる摩擦力です（ ニュートン 、kg ms −2 ）。 μ （一部の著者は記号 η を使用する）は 動粘度 （ パスカル 秒、kg m −1 s −1 ）である。 R は球体の半径（メートル）です。 v → {\displaystyle {\vec {v}}} は物体に対する流れの速度 （メートル/秒）です 。式中のマイナス記号に注意してください。抗力は相対速度とは反対方向、つまり運動に逆らう力です。 ストークスの法則は、流体中の粒子の挙動について次の仮定を立てています。
求められる精度に応じて、これらの仮定を満たせない場合、より複雑なモデルの使用が必要になる場合とそうでない場合があります。例えば、誤差を10%に抑えるには、Re < 1となる速度のみを使用する必要があります。
分子 の場合、 ストークスの法則を使用して ストークスの半径と直径 を定義します。
動粘性の CGS 単位は、彼の研究にちなんで「ストークス」と名付けられまし た 。
アプリケーション ストークスの法則は、流体が垂直のガラス管内で静止している落球 粘度計 の基礎です。サイズと密度が既知の球が液体中を落下します。正しく選択されていれば、球は終端速度に達します。終端速度は、管上の2つの目盛りを通過するのにかかる時間で測定できます。不透明な流体には電子センシングを使用できます。終端速度、球のサイズと密度、液体の密度がわかれば、ストークスの法則を使用して流体の 粘度 を計算できます。計算の精度を向上させるため、古典的な実験では通常、直径の異なる一連の鋼製ボールベアリングが使用されます。学校での実験では、流体として グリセリン または ゴールデンシロップ が使用され、この手法は工業的にプロセスで使用される流体の粘度を確認するために使用されています。多くの学校での実験では、粘度への影響を実証するために、使用する物質の温度や濃度を変えることがよくあります。工業的な方法には、さまざまな 油 や溶液などの ポリマー 液体が含まれます。
ストークスの法則の重要性は、少なくとも3つのノーベル賞につながる研究において重要な役割を果たしたという事実によって示されています。 [5]
ストークスの法則は、微生物 や 精子 の遊泳 、また 重力の影響下で水中に沈む微粒子や生物の 沈降を理解する上で重要です。 [5]
空気中では、小さな水滴（または氷の結晶）が臨界サイズまで成長して雨（または雪や雹）として降り始めるまで、空気中（雲のように）に浮遊したままでいられる理由を説明するために、同じ理論が用いられます。 [6] この式は、水やその他の流体中の微粒子の沈降にも同様に応用できます。 [ 要出典 ]
流体中を落下する球の終端速度 流体中の落下球を過ぎるクリープ流（例：空気中を落下する霧の滴）： 流線 、抗力 F d 、および重力による力 F g 。 終端速度（または沈降速度） において、 球体の 重さ と 浮力（どちらも 重力 [7] による）の差によって生じる 過剰な力 Fe は 次のように表される。
F e = ( ρ p − ρ f ) g 4 3 π R 3 , {\displaystyle F_{e}=(\rho _{p}-\rho _{f})\,g\,{\frac {4}{3}}\pi \,R^{3},} ここで（ SI単位系 ）：
力の釣り合い F d = F e を仮定し、速度 v について解くと、終端速度 v s が得られる。過剰力は R 3 に比例し、ストークスの抗力は R に比例するため、終端速度は R 2 に比例し、以下に示すように粒子サイズによって大きく変化する。粘性流体中を落下する粒子が自重のみを受ける場合、 流体による摩擦力と 浮力の合計が 重力 とちょうど釣り合ったときに終端速度に達する。この速度 v [m/s] は次式で与えられる。 [7]
v = 2 9 ρ p − ρ f μ g R 2 { ρ p > ρ f ⟹ v → vertically downwards ρ p < ρ f ⟹ v → vertically upwards {\displaystyle v={\frac {2}{9}}{\frac {\rho _{p}-\rho _{f}}{\mu }}g\,R^{2}\quad {\begin{cases}\rho _{p}>\rho _{f}&\implies {\vec {v}}{\text{ vertically downwards}}\\\rho _{p}<\rho _{f}&\implies {\vec {v}}{\text{ vertically upwards}}\end{cases}}} ここで（SI単位系）：
g は重力場の強さ[m/s 2 ] R は球状粒子の半径[m]である。 ρ p は粒子の質量密度 [kg/m 3 ]である。 ρ f は流体の質量密度 [kg/m 3 ]である。 μは 動粘度 [kg/(m•s)] です。
導出
安定したストークス流 ストークス流れ において、 レイノルズ数が 極めて低い場合 、 ナビエ・ストークス方程式 の 対流加速項は無視されます。この場合、 非圧縮 定常流 の場合の流れ方程式は次のように表されます 。 [8]
∇ p = μ ∇ 2 u = − μ ∇ × ω , ∇ ⋅ u = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla p=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\mu \,\nabla \times \mathbf {\boldsymbol {\omega }} ,\\[2pt]&\nabla \cdot \mathbf {u} =0,\end{aligned}}} どこ：
pは 流体圧力 （Pa） です。 u は 流速 （m/s）であり、 ω は 渦度 （s −1 ）であり、次のように定義される。 ω = ∇ × u . {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} .} いくつかのベクトル計算の恒等式 を用いることで、これらの方程式は 圧力と渦度ベクトルの各成分に対する ラプラス方程式 となることが示される。 [8]
∇ 2 ω = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}=0} そして ∇ 2 p = 0. {\displaystyle \nabla ^{2}p=0.} 重力や浮力などの追加の力は考慮されていませんが、上記の式は線形であるため簡単に追加でき、解と関連する力の 線形重ね合わせ を適用できます。
球面の周りの横方向の流れ 流体中の球を過ぎるクリープ流の流線。ψ 関数 の 等高線 （等高線ラベルの値）。 均一な遠方場 流れの中にある球の場合、 円筒座標系 ( r , φ , z ) を用いるのが有利です 。 z 軸は球の中心を通り、平均流れの方向と一直線になります。一方、 rは z 軸に垂直に測った半径です 。 原点 は球の中心です。流れは z 軸の周りに 軸対称であるため、 方位角 φ の影響を受けません 。
この円筒座標系では、非圧縮性の流れはストークス流関数 ψ で記述でき 、 r と z に依存している： [9] [10]
u z = 1 r ∂ ψ ∂ r , u r = − 1 r ∂ ψ ∂ z , {\displaystyle u_{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}},\qquad u_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}},} ここで、 u r と u z は それぞれr 方向と z 方向の流速成分である。この軸対称の場合、 φ 方向の流速成分はゼロとなる。ある一定値 ψ の面に囲まれた管を通る体積流束は 2πψ に 等しく 、一定である。 [9]
この軸対称流れの場合、渦度ベクトル ω の唯一の非ゼロ成分は方位角 φ 成分 ωφ で ある[11] [12]
ω φ = ∂ u r ∂ z − ∂ u z ∂ r = − ∂ ∂ r ( 1 r ∂ ψ ∂ r ) − 1 r ∂ 2 ψ ∂ z 2 . {\displaystyle \omega _{\varphi }={\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}=-{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)-{\frac {1}{r}}\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}.} ラプラス 演算子を 渦度ωφに適用すると 、 この軸対称の円筒座標系では次のようになる。 [ 12]
∇ 2 ω φ = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ ω φ ∂ r ) + ∂ 2 ω φ ∂ z 2 − ω φ r 2 = 0. {\displaystyle \nabla ^{2}\omega _{\varphi }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\,{\frac {\partial \omega _{\varphi }}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\omega _{\varphi }}{\partial z^{2}}}-{\frac {\omega _{\varphi }}{r^{2}}}=0.} 前の2つの式と適切な境界条件から、 z 方向の 遠方場一様流速度 u と半径 Rの球に対する解は [13] となる。
ψ ( r , z ) = − 1 2 u r 2 [ 1 − 3 2 R r 2 + z 2 + 1 2 ( R r 2 + z 2 ) 3 ] . {\displaystyle \psi (r,z)=-{\frac {1}{2}}\,u\,r^{2}\,\left[1-{\frac {3}{2}}{\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\right)^{3}\;\right].} 円筒座標 と成分 における速度の解は次のようになります。
u r ( r , z ) = 3 R r z u 4 r 2 + z 2 ( ( R r 2 + z 2 ) 2 − 1 r 2 + z 2 ) u z ( r , z ) = u + 3 R u 4 r 2 + z 2 ( 2 R 2 + 3 r 2 3 ( r 2 + z 2 ) − ( r R r 2 + z 2 ) 2 − 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}(r,z)&={\frac {3Rrzu}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left(\left({\frac {R}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}+z^{2}}}\right)\\[4pt]u_{z}(r,z)&=u+{\frac {3Ru}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left({\frac {2R^{2}+3r^{2}}{3(r^{2}+z^{2})}}-\left({\frac {rR}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-2\right)\end{aligned}}}
遠方場速度 、球の半径 、水の粘度（T = 20°C）をパラメータとする球周りのストークス流 。速度場の磁力線と、速度、圧力、渦度の振幅が擬似カラーで示されている。 u ∞ = ( 6 0 6 ) T m/s {\displaystyle \mathbf {u} _{\infty }={\begin{pmatrix}6&0&6\end{pmatrix}}^{T}{\text{m/s}}} R = 1 m {\displaystyle R=1\;{\text{m}}} μ = 1 mPa ⋅ s {\displaystyle \mu =1\;{\text{mPa}}\cdot {\text{s}}} 円筒座標における渦度の解は次のようになります。
ω φ ( r , z ) = − 3 R u 2 ⋅ r r 2 + z 2 3 {\displaystyle \omega _{\varphi }(r,z)=-{\frac {3Ru}{2}}\cdot {\frac {r}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}} 円筒座標における圧力の解は次のようになります。
p ( r , z ) = − 3 μ R u 2 ⋅ z r 2 + z 2 3 {\displaystyle p(r,z)=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {z}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}} 球座標 における圧力の解は 次のようになります。
p ( r , θ ) = − 3 μ R u 2 ⋅ cos θ r 2 {\displaystyle p(r,\theta )=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {\cos \theta }{r^{2}}}} 圧力の式は、 静電気学の概念に類似した 双極子 ポテンシャルとも呼ばれます。
任意の遠方場速度ベクトル を使用した、より一般的な定式化は、 直交座標 で 次のようになります。 u ∞ {\displaystyle \mathbf {u} _{\infty }} x = ( x , y , z ) T {\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)^{T}} u ( x ) = R 3 4 ⋅ ( 3 ( u ∞ ⋅ x ) ⋅ x ‖ x ‖ 5 − u ∞ ‖ x ‖ 3 ) ⏟ conservative: curl=0, ∇ 2 u = 0 + u ∞ ⏟ far-field ⏟ Terms of Boundary-Condition − 3 R 4 ⋅ ( u ∞ ‖ x ‖ + ( u ∞ ⋅ x ) ⋅ x ‖ x ‖ 3 ) ⏟ non-conservative: curl = ω ( x ) , μ ∇ 2 u = ∇ p = [ 3 R 3 4 x ⊗ x ‖ x ‖ 5 − R 3 4 I ‖ x ‖ 3 − 3 R 4 x ⊗ x ‖ x ‖ 3 − 3 R 4 I ‖ x ‖ + I ] ⋅ u ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=\underbrace {\underbrace {{\frac {R^{3}}{4}}\cdot \left({\frac {3\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{conservative: curl=0,}}\ \nabla ^{2}\mathbf {u} =0}+\underbrace {\mathbf {u} _{\infty }} _{\text{far-field}}} _{\text{Terms of Boundary-Condition}}\;\underbrace {-{\frac {3R}{4}}\cdot \left({\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|}}+{\frac {\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{non-conservative: curl}}={\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} ),\ \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla p}\\[8pt]&=\left[{\frac {3R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {x\otimes \mathbf {x} } }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {x} \otimes \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|}}+\mathbf {I} \right]\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}}
ω ( x ) = − 3 R 2 ⋅ u ∞ × x ‖ x ‖ 3 {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )=-{\frac {3R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}} p ( x ) = − 3 μ R 2 ⋅ u ∞ ⋅ x ‖ x ‖ 3 {\displaystyle p\left(\mathbf {x} \right)=-{\frac {3\mu R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}} この定式化において、 非保存 項はいわゆる ストークスレット 関数の一種を表します。ストークスレット関数は 、ストークス流れ方程式の グリーン関数です。保存項は 双極子勾配場 に等しくなります。渦度の式は、 電磁気学 における ビオ・サバールの法則 に類似しています。
あるいは、より簡潔な方法で、速度場を次のように定式化することもできます。
u ( x ) = [ I + H ( R 3 4 1 ‖ x ‖ ) − S ( 3 R 4 ‖ x ‖ ) ] ⋅ u ∞ , ‖ x ‖ ≥ R {\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )=\left[\mathbf {I} +\mathrm {H} \left({\frac {R^{3}}{4}}{\frac {1}{\|\mathbf {x} \|}}\right)-\mathrm {S} \left({\frac {3R}{4}}\|\mathbf {x} \|\right)\right]\cdot \mathbf {u} _{\infty },\quad \|\mathbf {x} \|\geq R} 、 ここで はヘッセ行列の微分演算子であり、 はラプラシアンとヘッセ行列の差として構成される微分演算子です。このようにして、解が クーロンポテンシャル ( )と重調和ポテンシャル( )の微分から構成されていることが明確に示されます。微分演算子を ベクトルノルムに適用すると、 ストークスレットが生成されます。 H = ∇ ⊗ ∇ {\displaystyle \mathrm {H} =\nabla \otimes \nabla } S = I ∇ 2 − H {\displaystyle \mathrm {S} =\mathbf {I} \nabla ^{2}-\mathrm {H} } 1 / ‖ x ‖ {\displaystyle 1/\|\mathbf {x} \|} ‖ x ‖ {\displaystyle \|\mathbf {x} \|} S {\displaystyle \mathrm {S} } ‖ x ‖ {\displaystyle \|\mathbf {x} \|}
次の式は、ストークス流の特殊なケースにおける 粘性応力テンソル を表します。これは粒子に作用する力の計算に必要です。 直交座標系 では、ベクトル勾配は ヤコビ行列 と一致します 。行列 I は単位行列 を表します 。 ∇ u {\displaystyle \nabla \mathbf {u} }
σ = − p ⋅ I + μ ⋅ ( ( ∇ u ) + ( ∇ u ) T ) {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)} 球に作用する力は、球の表面にわたる応力テンソルの積分によって計算できます。ここで、 e r は 球座標 のラジアル単位ベクトルを表します 。
F = ∬ ∂ V ⊂ ⊃ σ ⋅ d S = ∫ 0 π ∫ 0 2 π σ ⋅ e r ⋅ R 2 sin θ d φ d θ = ∫ 0 π ∫ 0 2 π 3 μ ⋅ u ∞ 2 R ⋅ R 2 sin θ d φ d θ = 6 π μ R ⋅ u ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \;{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}\mathbf {S} \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {3\mu \cdot \mathbf {u} _{\infty }}{2R}}\cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=6\pi \mu R\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}}
球面の周りの回転流 球の周りのストークス流: 、 、 ω R = ( 0 0 2 ) T Hz {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{R}={\begin{pmatrix}0&0&2\end{pmatrix}}^{T}\;{\text{Hz}}} μ = 1 mPa ⋅ s {\displaystyle \mu =1\;{\text{mPa}}\cdot {\text{s}}} R = 1 m {\displaystyle R=1\;{\text{m}}} u ( x ) = − R 3 ⋅ ω R × x ‖ x ‖ 3 ω ( x ) = R 3 ⋅ ω R ‖ x ‖ 3 − 3 R 3 ⋅ ( ω R ⋅ x ) ⋅ x ‖ x ‖ 5 p ( x ) = 0 σ = − p ⋅ I + μ ⋅ ( ( ∇ u ) + ( ∇ u ) T ) T = ∬ ∂ V ⊂ ⊃ x × ( σ ⋅ d S ) = ∫ 0 π ∫ 0 2 π ( R ⋅ e r ) × ( σ ⋅ e r ⋅ R 2 sin θ d φ d θ ) = 8 π μ R 3 ⋅ ω R {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=-\;R^{3}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\omega }}_{R}\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\\[8pt]{\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )&={\frac {R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R^{3}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}_{R}\cdot \mathbf {x} )\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}\\[8pt]p(\mathbf {x} )&=0\\[8pt]{\boldsymbol {\sigma }}&=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)\\[8pt]\mathbf {T} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \mathbf {x} \times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {S}}\right)\\&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }(R\cdot \mathbf {e_{r}} )\times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \right)\\&=8\pi \mu R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}\end{aligned}}}
他の種類のストークス流 液体は静止しており、球体は一定の速度で動いていますが、球体のフレームに対して、球体は静止しており、液体は球体の動きと反対方向に流れています。
参照
出典
参考文献 ^ ストークス, GG (1851). 「流体の内部摩擦が振り子の運動に及ぼす影響について」. ケンブリッジ哲学協会紀要 . 9, パートII: 8–106 . 書誌コード :1851TCaPS...9....8S.
[https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015012112531;view=1up;seq=251 この式はp.51の式(126)に記載されています。 ^ バチェラー（1967年）、233ページ。 ^ レイドラー, キース・J. ; マイザー, ジョン・H. (1982). 物理化学 . ベンジャミン/カミングス. p. 833. ISBN 0-8053-5682-7 。 ^ ロバート・バイロン『バード』、ウォーレン・E・スチュワート『スチュワート』、エドウィン・N・ライトフット『ライトフット』（2001年8月7日） 『交通現象』 （第2版）John Wiley & Sons, Inc. p. 61. ISBN 0-471-41077-2 。 ^ ab デューセンベリー、デイヴィッド (2009). 『ミクロスケールで生きる：小ささの予期せぬ物理法則 』ケンブリッジ、マサチューセッツ州：ハーバード大学出版局. ISBN 978-0-674-03116-6 . OCLC 225874255。 ^ ハドリー、ピーター. 「なぜ雲は落ちないのか？」. グラーツ工科大学固体物理学研究所 . 2017年6月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2015年 5月30日 閲覧 。 ^ ab Lamb（1994）、§337、p.599。 ^ ab Batchelor（1967）、セクション4.9、p.229。 ^ ab Batchelor（1967）、セクション2.2、p.78。 ^ ラム（1994）、§94、126ページ。 ^ Batchelor (1967)、第4.9節、230ページ ^ ab Batchelor（1967）、付録2、602ページ。 ^ ラム（1994）、§337、598ページ。 ^ Dey, S; Ali, SZ; Padhi, E (2019). 「終端落下速度：流水力学の観点から見たストークスの遺産」 Proceedings of the Royal Society A . 475 (2228). Bibcode :2019RSPSA.47590277D. doi : 10.1098/rspa.2019.0277 . PMC 6735480. PMID 31534429. 20190277. 
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla p=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\mu \,\nabla \times \mathbf {\boldsymbol {\omega }} ,\\[2pt]&\nabla \cdot \mathbf {u} =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a18215ffc20e21fed7b6334af912f8aee46051)
![{\displaystyle \psi (r,z)=-{\frac {1}{2}}\,u\,r^{2}\,\left[1-{\frac {3}{2}}{\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\right)^{3}\;\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/218591cdc853f0ae1258027cfbf24dc57bc830d6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}(r,z)&={\frac {3Rrzu}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left(\left({\frac {R}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}+z^{2}}}\right)\\[4pt]u_{z}(r,z)&=u+{\frac {3Ru}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left({\frac {2R^{2}+3r^{2}}{3(r^{2}+z^{2})}}-\left({\frac {rR}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-2\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e559ccdcc7da6c348fa970aa9a1ac707d7cce9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=\underbrace {\underbrace {{\frac {R^{3}}{4}}\cdot \left({\frac {3\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{保守的:curl=0,}}\ \nabla ^{2}\mathbf {u} =0}+\underbrace {\mathbf {u} _{\infty }} _{\text{遠方界}}} _{\text{境界条件の用語}}\;\underbrace {-{\frac {3R}{4}}\cdot \left({\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|}}+{\frac {\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{非保守的:curl}}={\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} ),\ \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla p}\\[8pt]&=\left[{\frac {3R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {x\otimes \mathbf {x} } }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {x} \otimes \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|}}+\mathbf {I} \right]\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39953f26800de1949c5d83a16087656c3451aa9)
![{\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )=\left[\mathbf {I} +\mathrm {H} \left({\frac {R^{3}}{4}}{\frac {1}{\|\mathbf {x} \|}}\right)-\mathrm {S} \left({\frac {3R}{4}}\|\mathbf {x} \|\right)\right]\cdot \mathbf {u} _{\infty },\quad \|\mathbf {x} \|\geq R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c32114803c83ea2ef3f396147e93b452c6b5ba3a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \;{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}\mathbf {S} \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {3\mu \cdot \mathbf {u} _{\infty }}{2R}}\cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=6\pi \mu R\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f26dc3d95019148157b81649af2111f5e0d21524)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=-\;R^{3}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\omega }}_{R}\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\\[8pt]{\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )&={\frac {R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R^{3}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}_{R}\cdot \mathbf {x} )\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}\\[8pt]p(\mathbf {x} )&=0\\[8pt]{\boldsymbol {\sigma }}&=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)\\[8pt]\mathbf {T} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \mathbf {x} \times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {S}}\right)\\&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }(R\cdot \mathbf {e_{r}} )\times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \right)\\&=8\pi \mu R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab11dffe1b5fc786a07793f3254a11355ad569aa)
