6キューブ

6キューブのヘキセラクト
ペトリー多角形内の直交投影オレンジ色の頂点は2倍になり、中央の黄色は4つの頂点を持つ
タイプ	正6次元多面体
家族	ハイパーキューブ
シュレーフリ記号	{4,3 ⁴ }
コクセター図
5面	12 {4,3,3,3}
4面	60 {4,3,3}
細胞	160 {4,3}
顔	240 {4}
エッジ	192
頂点	64
頂点図形	5単体
ペトリー多角形	十二角形
コクセターグループ	B ₆、[3 ⁴ ,4]
デュアル	6-オルソプレックス
プロパティ	凸面、ハンナー多面体

幾何学において、6 次元立方体は、 64 個の頂点、 192 個の辺、240 個の正方形面、160 個の立方体セル、60 個の4 次元四次元方形、および 12 個の5 次元立方体の5 面を持つ 6 次元超立方体です。

シュレーフリ記号{4,3 ⁴ }で表され、4面体の周りに3つの5次元立方体を配置して構成されます。これはヘキセラクト（Tesseract 、 4次元立方体）とギリシャ語で6次元を表すヘックス（hex ）を組み合わせた造語で、ヘキセラクトと呼ばれます。また、正十二面体、またはドデカペトン（dodecapeton ）とも呼ばれ、 12個の正六面体から構成される6次元多面体です。

構成として

この配置行列は6次元立方体を表しています。行と列は、頂点、辺、面、セル、4面体、5面体に対応しています。対角線上の数字は、6次元立方体全体に各要素がいくつ出現するかを示します。非対角線上の数字は、列の要素が行の要素内またはその位置にいくつ出現するかを示します。^[3]^[4]

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}64&6&15&20&15&6\\2&192&5&10&10&5\\4&4&240&4&6&4\\8&12&6&160&3&3\\16&32&24&8&60&2\\32&80&80&40&10&12\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

直交座標

原点を中心とし、辺の長さが2である6面体立方体の頂点の直交座標は、

(±1、±1、±1、±1、±1、±1)

一方、その内部は、−1 < x _i < 1 を満たすすべての点 (x ₀、 x ₁、 x ₂、 x ₃、 x ₄、 x _{5 ) から構成されます。}

工事

6次元立方体には3つのコクセター群が関連しており、1つは正則コクセター群、もう1つはC ₆または[4,3,3,3,3]コクセター群、もう1つは半対称コクセター群（D ₆）または[3 ^{3,1,1 ]コクセター群である。最も低い対称性の構築は、低次元超立方体の}直積である超直方体またはプロプリズムに基づく。

名前	シュレーフリ	対称	注文
レギュラー6キューブ	{4,3,3,3,3}	[4,3,3,3,3]	46080
準正6立方体		[3,3,3,3 ^1,1 ]	23040
超長方形	{4,3,3,3}×{}	[4,3,3,3,2]	7680
	{4,3,3}×{4}	[4,3,3,2,4]	3072
	{4,3} ²	[4,3,2,4,3]	2304
	{4,3,3}×{} ²	[4,3,3,2,2]	1536
	{4,3}×{4}×{}	[4,3,2,4,2]	768
	{4} ³	[4、2、4、2、4]	512
	{4,3}×{} ³	[4,3,2,2,2]	384
	{4} ² ×{} ²	[4,2,4,2,2]	256
	{4}×{} ⁴	[4,2,2,2,2]	128
	{} ⁶	[2、2、2、2、2]	64

予測

正投影図
コクセター飛行機	B6	B5	B4
グラフ
二面対称性	[12]	[10]	[8]
コクセター飛行機	他の	B3	B2
グラフ
二面対称性	[2]	[6]	[4]
コクセター飛行機		A5	A3
グラフ
二面対称性		[6]	[4]

3D投影
6D 透視投影による 2Pi を介した 6 キューブの 6D 単純回転を 3D に投影します。	黄金比を使用して 3D に正投影された6 立方体準結晶構造。
X-W1、Y-W2、Z-W3直交平面を中心に 3 度回転するヘキセラクトの3D透視投影。

関連する多面体

6次元立方体の64頂点は、正則な歪んだ4次元多面体{4,3,4 | 4}を表します。その網目は、64個の立方体からなる4×4×4行列と見ることができ、これは3次元における立方体ハニカム{4,3,4}の周期的な部分集合です。6次元立方体は192の辺と192の正方形面を持ちます。向かい合う面は4次元閉路を形成します。折り畳む方向ごとに1次元ずつ増え、6次元空間となります。

6キューブはハイパーキューブシリーズの 6 番目です。

ペトリー多角形正投影

線分	四角	キューブ	4キューブ	5キューブ	6キューブ	7キューブ	8キューブ	9キューブ	10キューブ

この多面体は、正則 6 次元立方体や6 次元正多面体など、 B ₆コクセター平面から生成される 63 個の均一な 6 次元多面体のうちの 1 つです。

B6多面体
β6	t ₁ β ₆	t ₂ β ₆	t ₂ γ ₆	t ₁ γ ₆	γ6	t _0,1 β ₆	t _0,2 β ₆
t _1,2 β ₆	t _0,3 β ₆	t _1,3 β ₆	t _2,3 γ ₆	t _0,4 β ₆	t _1,4 γ ₆	t _1,3 γ ₆	t _1,2 γ ₆
t _0,5 γ ₆	t _0,4 γ ₆	t _0,3 γ ₆	t _0,2 γ ₆	t _0,1 γ ₆	t _0,1,2 β ₆	t _0,1,3 β ₆	t _0,2,3 β ₆
t _1,2,3 β ₆	t _0,1,4 β ₆	t _0,2,4 β ₆	t _1,2,4 β ₆	t _0,3,4 β ₆	t _1,2,4 γ ₆	t _1,2,3 γ ₆	t _0,1,5 β ₆
t _0,2,5 β ₆	t _0,3,4 γ ₆	t _0,2,5 γ ₆	t _0,2,4 γ ₆	t _0,2,3 γ ₆	t _0,1,5 γ ₆	t _0,1,4 γ ₆	t _0,1,3 γ ₆
t _0,1,2 γ ₆	t _0,1,2,3 β ₆	t _0,1,2,4 β ₆	t _0,1,3,4 β ₆	t _0,2,3,4 β ₆	t _1,2,3,4 γ ₆	t _0,1,2,5 β ₆	t _0,1,3,5 β ₆
t _0,2,3,5 γ ₆	t _0,2,3,4 γ ₆	t _0,1,4,5 γ ₆	t _0,1,3,5 γ ₆	t _0,1,3,4 γ ₆	t _0,1,2,5 γ ₆	t _0,1,2,4 γ ₆	t _0,1,2,3 γ ₆
t _0,1,2,3,4 β ₆	t _0,1,2,3,5 β ₆	t _0,1,2,4,5 β ₆	t _0,1,2,4,5 γ ₆	t _0,1,2,3,5 γ ₆	t _0,1,2,3,4 γ ₆	t _0,1,2,3,4,5 γ ₆

参考文献

^ Mehdi, Sadiq A.; Ali, Zaydon L. (2019). 「新しい6次元ハイパーカオスシステム」. 2019 International Engineering Conference (IEC) . pp. 211– 215. doi :10.1109/IEC47844.2019.8950634. ISBN 978-1-7281-4377-4。
^ McCallum, Scott (1988年2月). 「3次元空間の円筒代数分解のための改良された射影演算」. Journal of Symbolic Computation . 5 ( 1–2 ): 141–161 . doi :10.1016/S0747-7171(88)80010-5.
^ Coxeter, Regular Polytopes, sec 1.8 配置
^ コクセター『複素正多面体』p.117

コクセター『HSM 正多面体』（第3版、1973年）、ドーバー版、ISBN 0-486-61480-8p. 296、表I (iii): 正多面体、n次元の3つの正多面体（n>=5）
Klitzing, Richard. 「6D 均一多面体 (ポリペタ) o3o3o3o3o4x - ax」。

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「ハイパーキューブ」。MathWorld。
オルシェフスキー、ジョージ. 「測度多面体」.ハイパースペース用語集. 2007年2月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。
多次元用語集: ハイパーキューブギャレット・ジョーンズ

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	$アン $	$B n$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 ₂₂ • 2 ₂₁
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

[1] Mehdi, Sadiq A.; Ali, Zaydon L. (2019). 「新しい6次元ハイパーカオスシステム」. 2019 International Engineering Conference (IEC) . pp. 211– 215. doi :10.1109/IEC47844.2019.8950634. ISBN 978-1-7281-4377-4。

[2] McCallum, Scott (1988年2月). 「3次元空間の円筒代数分解のための改良された射影演算」. Journal of Symbolic Computation . 5 ( 1–2 ): 141–161 . doi :10.1016/S0747-7171(88)80010-5.

[3] Coxeter, Regular Polytopes, sec 1.8 配置

[4] コクセター『複素正多面体』p.117