定積分の多変数関数への一般化
2 つの曲線間の面積としての積分。 面下の体積としての二重積分 z = 10 − ( x 2 − y 2 / 8 ) 。体の底部の長方形領域は 積分 領域 であり、表面は 積分される2変数関数のグラフです。 数学 （特に 多変数微積分 ） において、 多重積分とは、 複数の実変数の関数 の 定積分 （たとえば、 f ( x , y ) または f ( x , y , z ) ） です 。
（ 実数 平面）の領域にわたる2変数関数の積分は 二重積分 と呼ばれ、 （実数3次元空間） の領域にわたる3変数関数の積分は 三重積分 と呼ばれる。 [1] R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
導入 1変数の正関数の定積分が 関数のグラフと x 軸の間の領域の 面積 を表すのと同様に、 2変数の正関数の 二重積分は、関数によって定義される面（ z = f ( x , y ) の3次元 直交平面 上 ）とその定義域を含む 平面の間の領域の 体積を 表します。 [1] 変数がさらに多い場合、多重積分によって 多次元関数の 超体積が得られます。
n 変数 関数 f ( x 1 , x 2 , ..., x n ) の領域 D における多重積分は、一般的には、実行順序の逆順にネストされた積分符号（左端の積分符号が最後に計算される）と、それに続く関数と被積分関数の引数（右端の引数に関する積分が最後に計算される）で表される。積分領域は、各積分符号上のすべての引数について記号的に表されるか、右端の積分符号に変数を付して略記される。 [2]
∫ ⋯ ∫ D f ( x 1 , x 2 , … , x n ) d x 1 ⋯ d x n {\displaystyle \int \cdots \int _{\mathbf {D} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}} 不定積分 の概念は 単一の実変数の関数に対してのみ定義されているため、 不定積分 の通常の定義は多重積分に直接拡張されません。
数学的な定義 n > 1 の場合 、いわゆる「半開」 n 次元 超矩形 領域 T を考える。これは次のように定義される。
T = [ a 1 , b 1 ) × [ a 2 , b 2 ) × ⋯ × [ a n , b n ) ⊆ R n {\displaystyle T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 。 各区間 [ a j 、 b j ) を重複しない部分区間 i j α の有限ファミリI j に 分割します 。各部分区間は左端が閉じられ、右端が開きます。
すると、部分長方形C の有限族は 、
C = I 1 × I 2 × ⋯ × I n {\displaystyle C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}} はT の 分割 です 。つまり、部分長方形 C k は重複せず、それらの和集合が T です。
f : T → R をT 上で定義された関数とする 。上で定義した T の 分割 C を考え、 Cは m 個の部分長方形 C m の族であり 、
T = C 1 ∪ C 2 ∪ ⋯ ∪ C m {\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}} 下はn 次元超長方形 T で囲まれ、上は f の n 次元グラフで囲まれた全 ( n + 1) 次元体積を、 次の リーマン和 で近似することができます。
∑ k = 1 m f ( P k ) m ( C k ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})} ここで、 P k はC k 内の点であり 、 m( C k )は、その直積が C k となる区間の長さの積であり、 C k の測度とも呼ばれます 。
部分長方形 C k の直径 は 、その 直積が C k となる 区間の長さのうち最大のものである 。T の与えられた分割の直径は、その分割に含まれる部分長方形の直径のうち最大のものとして定義される。直感的に、分割 C の直径が 小さく制限されるにつれて、部分長方形の数 m は大きくなり、各部分長方形の測度 m( C k ) は小さくなる。関数 fは、 次の極限が成り立つ とき、 リーマン積分可能 という。
S = lim δ → 0 ∑ k = 1 m f ( P k ) m ( C k ) {\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})} が存在し、その極限は直径が最大 δである T のすべての可能な分割にわたって取られる 。 [3]
f がリーマン積分可能である場合 、 Sは T 上の f の リーマン積分 と呼ばれ 、
∫ ⋯ ∫ T f ( x 1 , x 2 , … , x n ) d x 1 ⋯ d x n {\displaystyle \int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}} 。 この表記はしばしば次のように略される。
∫ T f ( x ) d n x {\displaystyle \int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} } 。 ここで、 x はn 組 （ x 1 、...、 x n ） を表し 、 d n x はn 次元の体積 微分 です 。
任意の有界n 次元集合上で定義された関数のリーマン積分は、 その関数を、元の関数の定義域外で値が 0 となる半開長方形上で定義された関数に拡張することによって定義できます。この場合、元の関数の元の定義域での積分は、拡張された関数の長方形定義域（もし存在するならば）での積分として定義されます。
以下では、 n 次元におけるリーマン積分を 多重積分 と呼びます 。
プロパティ 多重積分は、一変数関数の積分と共通する多くの性質（線型性、可換性、単調性など）を持つ。多重積分の重要な性質の一つは、ある条件下では積分の値が被積分関数の順序に依存しないことである。この性質は、一般に フビニの定理 として知られている。 [4]
特定のケース の場合 、 積分 T ⊆ R 2 {\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{2}}
l = ∬ T f ( x , y ) d x d y {\displaystyle l=\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy} は T 上の f の 二重積分 であり、 積分 T ⊆ R 3 {\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{3}}
l = ∭ T f ( x , y , z ) d x d y d z {\displaystyle l=\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz} はT 上の f の 三重積分 です 。
慣例により、二重積分には積分符号が 2 つあり、三重積分には 3 つあることに注意してください。これは、この記事の後半で示すように、多重積分を反復積分として計算するときに便利な表記規則です。
統合の方法 多重積分の問題の解決は、ほとんどの場合、多重積分を 反復積分、つまりそれぞれ直接解ける一変数積分の級数に簡約する方法を見つけることです。連続関数の場合、これは フビニの定理 によって正当化されます。 場合によっては、計算を一切行わずに直接調べることで積分の結果を得ることができます。
以下に統合の簡単な方法をいくつか挙げる: [1]
定数関数の積分 積分対象が 定数関数 cの場合、積分値は c と積分領域の測度の 積に等しい。 c = 1 で領域が R 2の部分領域である場合、積分値は領域の面積を与え、領域が R 3 の部分領域である場合 、積分値は領域の体積を与える。
例: f ( x , y ) = 2 とし 、
D = { ( x , y ) ∈ R 2 : 2 ≤ x ≤ 4 ; 3 ≤ y ≤ 6 } {\displaystyle D=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\right\}} 、 その場合
∫ 3 6 ∫ 2 4 2 d x d y = 2 ∫ 3 6 ∫ 2 4 1 d x d y = 2 ⋅ area ( D ) = 2 ⋅ ( 2 ⋅ 3 ) = 12 {\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot \operatorname {area} (D)=2\cdot (2\cdot 3)=12} 、 定義により次のようになります。
∫ 3 6 ∫ 2 4 1 d x d y = area ( D ) {\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=\operatorname {area} (D)} 。
対称性の利用 積分領域が積分変数の少なくとも1つに関して原点対称であり、かつ被積分関数が この変数に関して 奇数である場合、積分値は0となる。これは、領域の両半分における積分値は絶対値が同じで符号が逆であるためである。被積分関数がこの変数に関して 偶数で ある場合、積分値は領域の一方の半分における積分の2倍となる。これは、領域の両半分における積分値が等しいためである。
例1. 関数 f ( x , y ) = 2 sin( x ) − 3 y 3 + 5 を領域上で積分したもの
を考える。
T = { ( x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1 } {\displaystyle T=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}} 、 境界を含む、原点を中心とした 半径 1の円盤。
線形性の特性を利用すると、積分は次の 3 つの部分に分解できます。
∬ T ( 2 sin x − 3 y 3 + 5 ) d x d y = ∬ T 2 sin x d x d y − ∬ T 3 y 3 d x d y + ∬ T 5 d x d y {\displaystyle \iint _{T}\left(2\sin x-3y^{3}+5\right)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy} 。
関数 2 sin( x ) は変数 x の奇関数であり、円板 Tは y 軸に関して対称である ため、最初の積分の値は 0 です。同様に、関数 3 y 3 はy の奇関数であり 、円板 Tは x 軸に関して対称である ため、最終結果に寄与するのは 3 番目の積分のみです。したがって、元の積分は円板の面積の 5 倍、つまり 5 π に等しくなります。
例2. 関数 f ( x , y , z ) = x exp( y 2 + z 2 ) を考え、積分領域として 原点を中心とする半径2の 球を考える。
T = { ( x , y , z ) ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 } {\displaystyle T=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right\}} 。 「ボール」は 3 つの軸すべてについて対称ですが、関数はその変数の奇関数であるため、積分が 0 であることを示すには x 軸
に関して積分するだけで十分です。
通常のドメイン R2
この方法は、次の条件を満たす任意のドメイン D に適用できます。
D の x 軸または y 軸への 投影 は、 a と b の2つの値によって制限される。 この軸に垂直で、これら2つの値の間を通る任意の直線は、2つの関数α と β のグラフによって端点が与えられる区間で定義域と交差する。 このような領域をここでは 正規領域 と呼ぶ。文献によっては、正規領域は、その領域がどの軸にファイバーされているかによって、タイプI領域またはタイプII領域と呼ばれることがある。いずれの場合も、積分される関数は領域上でリーマン積分可能でなければならない。これは、例えば関数が連続である場合に当てはまる。
× -軸 定義域 Dが x 軸に関して正規であり 、 f : D → R が連続関数 である場合 、 α ( x ) と β ( x ) （どちらも区間 [ a , b ]で定義される）は Dを 決定する2つの関数である 。そして、フビニの定理により [5]が成り立つ。
∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ a b d x ∫ α ( x ) β ( x ) f ( x , y ) d y {\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy} 。
y -軸 Dが y 軸 に対して正規分布し、 f : D → R が連続関数である 場合、 α ( y ) と β ( y ) （どちらも区間 [ a , b ]で定義される）が D を 決定する2つの関数となる 。ここでも、フビニの定理により、
∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ a b d y ∫ α ( y ) β ( y ) f ( x , y ) d x {\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx} 。
通常のドメイン R3 Tが xy 平面に対して垂直な領域であり 、関数 α ( x , y ) と β ( x , y ) によって決定される場合 、
∭ T f ( x , y , z ) d x d y d z = ∬ D ∫ α ( x , y ) β ( x , y ) f ( x , y , z ) d z d x d y {\displaystyle \iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iint _{D}\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy} 。 この定義はR 3 上の他の5つの正規性の場合にも当てはまります。R n 上 の領域にも直接的に一般化できます 。
変数の変更 積分の極限は、しばしば容易には交換できません（正規性がない場合や、複雑な積分式を用いる場合など）。 変数を変更する ことで、より「快適な」領域で積分を書き直すことができ、より単純な式で記述できるようになります。そのためには、関数を新しい座標系に適合させる必要があります。
例 1a. 関数は f ( x , y ) = ( x − 1) 2 + √ y です。 u = x − 1 , v = y と置き換えて x = u + 1 , y = v とすると 、新しい関数 f 2 ( u , v ) = ( u ) 2 + √ v が得られます。
同様にドメインについても、前に変換された元の変数（ 例では x と y ）によって区切られるため、 微分 dx と dyは、新しい変数に関する変換の偏微分を含む ヤコビ行列の行列式 の絶対値を介して変換されます （例として、極座標における微分変換を考えてみましょう） 変数の変更には主に 3 つの「種類」があります ( R 2 に 1 つ、 R 3 に 2 つ)。ただし、同じ原理を使用して、より一般的な置換を行うこともできます。
極座標 デカルト座標から極座標への変換。 R 2 では 、定義域が円対称性を持ち、関数が特定の特性を持つ場合、 極座標への変換を 適用できます（図の例を参照）。これは、直交座標における一般的な点 P ( x , y ) が極座標における対応する点に置き換わることを意味します。これにより、定義域の形状を変更し、演算を簡素化できます。
変換を行うための基本的な関係は次のとおりです。
f ( x , y ) → f ( ρ cos φ , ρ sin φ ) {\displaystyle f(x,y)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )} 。 例2a. 関数は f ( x , y ) = x + y であり、変換を適用すると次の式が得られる。
f ( x , y ) = f ( ρ cos φ , ρ sin φ ) = ρ cos φ + ρ sin φ = ρ ( cos φ + sin φ ) {\displaystyle f(x,y)=f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )=\rho \cos \varphi +\rho \sin \varphi =\rho (\cos \varphi +\sin \varphi )} 。 例2b. 関数は f ( x , y ) = x 2 + y 2 であり、この場合、次の式が成り立ちます。
f ( x , y ) = ρ 2 ( cos 2 φ + sin 2 φ ) = ρ 2 {\displaystyle f(x,y)=\rho ^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \right)=\rho ^{2}} ピタゴラスの三角関数の恒等式 を使用する （この演算を簡略化するのに役立ちます）。
領域の変換は、半径のクラウン長さと記述された角度の振幅を定義して、 x 、 y から始まる ρ 、 φ 間隔を定義することによって行われます。
直交座標から極座標へのドメイン変換の例。 例 2c。 定義域は D = { x 2 + y 2 ≤ 4} で、これは半径 2 の円周です。覆われた角度が円の角度であることは明らかなので、 φ は 0 から 2 π まで変化し、冠の半径は 0 から 2 まで変化します（内側の半径がヌルの冠は単なる円です）。
例2d. 定義域は D = { x 2 + y 2 ≤ 9, x 2 + y 2 ≥ 4, y ≥ 0}で、これは正の y 半平面内の円形の冠です （例の図を参照）。φ は 平面角を表し、 ρは 2から3まで変化します。したがって、変換された定義域は次の 長方形 になります。
T = { 2 ≤ ρ ≤ 3 , 0 ≤ φ ≤ π } {\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq \pi \}} 。 この変換のヤコビ行列式は次のとおり です 。
∂ ( x , y ) ∂ ( ρ , φ ) = | cos φ − ρ sin φ sin φ ρ cos φ | = ρ {\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi \\\sin \varphi &\rho \cos \varphi \end{vmatrix}}=\rho } 、 これは、 x = ρ cos( φ ) 、 y = ρ sin( φ ) の偏微分を ρ に関して第 1 列に、 φ に関して第 2 列に挿入することによって得られます 。したがって、この変換の dx dy 微分は ρ dρ dφ になります。
関数を変換し、ドメインを評価すると、極座標での変数の変更の式を定義できます。
∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ T f ( ρ cos φ , ρ sin φ ) ρ d ρ d φ {\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )\rho \,d\rho \,d\varphi } 。 φ は [0, 2π] の 区間 で有効ですが 、長さの尺度である ρ は正の値しか取れません。
例2e. 関数は f ( x , y ) = x であり、定義域は例2dと同じです。Dの以前の解析から、 ρ （ 2から3）と φ （0から π ）の区間が分かっています 。ここで関数を次のように変形します。
f ( x , y ) = x ⟶ f ( ρ , φ ) = ρ cos φ {\displaystyle f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi } 。 最後に積分式を適用してみましょう。
∬ D x d x d y = ∬ T ρ cos φ ρ d ρ d φ {\displaystyle \iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \varphi \rho \,d\rho \,d\varphi } 。 間隔がわかれば、
∫ 0 π ∫ 2 3 ρ 2 cos φ d ρ d φ = ∫ 0 π cos φ d φ [ ρ 3 3 ] 2 3 = [ sin φ ] 0 π ( 9 − 8 3 ) = 0 {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \varphi \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\cos \varphi \ d\varphi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}={\Big [}\sin \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0} 。
円筒座標 円筒座標。 R 3 では、円周 座標 への移行 によって円形の基底を持つ領域での積分を行うことができます 。関数の変換は次の関係によって行われます。
f ( x , y , z ) → f ( ρ cos φ , ρ sin φ , z ) {\displaystyle f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)} 高さは開始領域の形状に従い、底面の形状のみ変化するため、領域変換はグラフィカルに実現できます。
例3a. 領域は D = { x 2 + y 2 ≤ 9, x 2 + y 2 ≥ 4, 0 ≤ z ≤ 5} （これは例2dの円形の冠を底辺とし、高さが5である「管」）である。変換を適用すると、次の領域が得られる。
T = { 2 ≤ ρ ≤ 3 , 0 ≤ φ ≤ 2 π , 0 ≤ z ≤ 5 } {\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq z\leq 5\}} (つまり、例 2d の長方形と相似の底辺を持ち、高さが 5 である平行六面体)。
変換中、 z 成分は変化しないため、 dx dy dz 微分は極座標への移行時と同様に変化します。したがって、 ρ dρ dφ dz となります。
最後に、最終的な式を円筒座標に適用することができます。
∭ D f ( x , y , z ) d x d y d z = ∭ T f ( ρ cos φ , ρ sin φ , z ) ρ d ρ d φ d z {\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz} 。
この方法は、円筒形または円錐形の領域の場合、または z 間隔を個別化しやすく、円の底と関数を変換しやすい領域の場合に便利です。
例3b. 関数は f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z であり、積分領域はこの 円筒座標 系： D = { x 2 + y 2 ≤ 9, −5 ≤ z ≤ 5}である。円筒座標系における D の変換は 以下の通りである。
T = { 0 ≤ ρ ≤ 3 , 0 ≤ φ ≤ 2 π , − 5 ≤ z ≤ 5 } {\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}} 。 関数は
f ( ρ cos φ , ρ sin φ , z ) = ρ 2 + z {\displaystyle f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)=\rho ^{2}+z} 。 最後に積分式を適用します。
∭ D ( x 2 + y 2 + z ) d x d y d z = ∭ T ( ρ 2 + z ) ρ d ρ d φ d z {\displaystyle \iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\left(\rho ^{2}+z\right)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz} ; あなたが持っている式を開発する
∫ − 5 5 d z ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 3 ( ρ 3 + ρ z ) d ρ = 2 π ∫ − 5 5 [ ρ 4 4 + ρ 2 z 2 ] 0 3 d z = 2 π ∫ − 5 5 ( 81 4 + 9 2 z ) d z = ⋯ = 405 π {\displaystyle \int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}\left(\rho ^{3}+\rho z\right)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi } 。
球座標 球座標。 R 3 では、 一部の領域が球対称性を持つため、積分領域の各点の座標を2つの角度と1つの距離で指定できます。したがって、 球座標 への変換 が可能です。関数は次の関係式によって変換されます。
f ( x , y , z ) ⟶ f ( ρ cos θ sin φ , ρ sin θ sin φ , ρ cos φ ) {\displaystyle f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi )} 。 z 軸上の点は 球面座標では正確な特性を持たないため、 θ は 0 から 2 π の間で変化します。
この文章のより適切な統合領域は球面です。
例4a. 定義域は D = x 2 + y 2 + z 2 ≤ 16 （半径4、原点を中心とする球面）であり、変換を適用すると領域は次のようになる。
T = { 0 ≤ ρ ≤ 4 , 0 ≤ φ ≤ π , 0 ≤ θ ≤ 2 π } {\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}} 。 この変換のヤコビ行列式は次のとおりです。
∂ ( x , y , z ) ∂ ( ρ , φ , θ ) = | cos θ sin φ ρ cos θ cos φ − ρ sin θ sin φ sin θ sin φ ρ sin θ cos φ ρ cos θ sin φ cos φ − ρ sin φ 0 | = ρ 2 sin φ {\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\varphi ,\theta )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \varphi } 。 したがって、dx dy dz微分は ρ 2 sin ( φ ) dρ dθ dφ に 変換されます。
これにより、最終的な積分式が得られます。
∭ D f ( x , y , z ) d x d y d z = ∭ T f ( ρ sin φ cos θ , ρ sin φ sin θ , ρ cos φ ) ρ 2 sin φ d ρ d θ d φ {\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi } 。 この方法は、球面領域の場合 や、三角法の最初の基本関係を R 3 に拡張することで簡単に簡略化できる関数の場合に使用するのが適切です (例 4b を参照)。それ以外の場合には、円筒座標を使用する方が適切です (例 4c を参照)。
∭ T f ( a , b , c ) ρ 2 sin φ d ρ d θ d φ {\displaystyle \iiint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi } 。 追加の ρ 2 と sin φ はヤコビアンから来ます。
次の例では、 φ と θ の役割が 逆になっています。
例4b. D は例4aと同じ領域であり、 積分する関数は f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2です。この変換は非常に簡単です。
f ( ρ sin φ cos θ , ρ sin φ sin θ , ρ cos φ ) = ρ 2 {\displaystyle f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )=\rho ^{2}} 、 一方、変換された領域T の間隔は D から分かります 。
T = { 0 ≤ ρ ≤ 4 , 0 ≤ φ ≤ π , 0 ≤ θ ≤ 2 π } {\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}} 。 したがって、積分式を適用します。
∭ D ( x 2 + y 2 + z 2 ) d x d y d z = ∭ T ρ 2 ρ 2 sin θ d ρ d θ d φ {\displaystyle \iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\,\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi } 、 そして、発展していくと
∭ T ρ 4 sin θ d ρ d θ d φ = ∫ 0 π sin φ d φ ∫ 0 4 ρ 4 d ρ ∫ 0 2 π d θ = 2 π ∫ 0 π sin φ [ ρ 5 5 ] 0 4 d φ = 2 π [ ρ 5 5 ] 0 4 [ − cos φ ] 0 π = 4096 π 5 {\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\varphi =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4096\pi }{5}}} 。 例4c. 領域 Dは原点を中心とし半径 3a の 球体である 。
D = { x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 a 2 } {\displaystyle D=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\right\}} 、 そして、 f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 が積分する関数です。
ドメインを見ると、球座標への移行を採用するのが便利であるように見えますが、実際、新しい T 領域を区切る変数の間隔は次のとおりです。
T = { 0 ≤ ρ ≤ 3 a , 0 ≤ φ ≤ 2 π , 0 ≤ θ ≤ π } {\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi \}} 。 しかし、変換を適用すると、
f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 ⟶ ρ 2 sin 2 θ cos 2 φ + ρ 2 sin 2 θ sin 2 φ = ρ 2 sin 2 θ {\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta } 。 積分の公式を適用すると次のようになります。
∭ T ρ 2 sin 2 θ ρ 2 sin θ d ρ d θ d φ = ∭ T ρ 4 sin 3 θ d ρ d θ d φ {\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi } 、 これを反復積分に変換することで解くことができます 。 ∭ T ρ 4 sin 3 θ d ρ d θ d φ = ∫ 0 3 a ρ 4 d ρ ⏟ I ∫ 0 π sin 3 θ d θ ⏟ I I ∫ 0 2 π d φ ⏟ I I I {\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\underbrace {\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho } _{I}\,\underbrace {\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta } _{II}\,\underbrace {\int _{0}^{2\pi }d\varphi } _{III}}
I = ∫ 0 3 a ρ 4 d ρ = ρ 5 5 | 0 3 a = 243 5 a 5 {\displaystyle I=\left.\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho ={\frac {\rho ^{5}}{5}}\right\vert _{0}^{3a}={\frac {243}{5}}a^{5}} 、
I I = ∫ 0 π sin 3 θ d θ = − ∫ 0 π sin 2 θ d ( cos θ ) = ∫ 0 π ( cos 2 θ − 1 ) d ( cos θ ) = cos 3 θ 3 | 0 π − cos θ | 0 π = 4 3 {\displaystyle II=\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta =-\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta \,d(\cos \theta )=\int _{0}^{\pi }(\cos ^{2}\theta -1)\,d(\cos \theta )=\left.{\frac {\cos ^{3}\theta }{3}}\right|_{0}^{\pi }-\left.\cos \theta \right|_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}} 、
I I I = ∫ 0 2 π d φ = 2 π {\displaystyle III=\int _{0}^{2\pi }d\varphi =2\pi } 。
すべての部品を集めて、
∭ T ρ 4 sin 3 θ d ρ d θ d φ = I ⋅ I I ⋅ I I I = 243 5 a 5 ⋅ 4 3 ⋅ 2 π = 648 5 π a 5 {\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =I\cdot II\cdot III={\frac {243}{5}}a^{5}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot 2\pi ={\frac {648}{5}}\pi a^{5}} 。
あるいは、この問題は円筒座標への変換を用いて解決できる。新しい T 間隔は
T = { 0 ≤ ρ ≤ 3 a , 0 ≤ φ ≤ 2 π , − 9 a 2 − ρ 2 ≤ z ≤ 9 a 2 − ρ 2 } {\displaystyle T=\left\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\right\}} ; z 間隔 は、球を2つの 半球に分割することで得られます。これは、 D の公式から 不等式 を解くことで簡単に得られます （そして x 2 + y 2を直接 ρ 2 に変換します ）。新しい関数は単に ρ 2 です。積分公式を適用すると、
∭ T ρ 2 ρ d ρ d φ d z {\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz} 。 すると次のようになります:
∫ 0 2 π d φ ∫ 0 3 a ρ 3 d ρ ∫ − 9 a 2 − ρ 2 9 a 2 − ρ 2 d z = 2 π ∫ 0 3 a 2 ρ 3 9 a 2 − ρ 2 d ρ = − 2 π ∫ 9 a 2 0 ( 9 a 2 − t ) t d t t = 9 a 2 − ρ 2 = 2 π ∫ 0 9 a 2 ( 9 a 2 t − t t ) d t = 2 π ( ∫ 0 9 a 2 9 a 2 t d t − ∫ 0 9 a 2 t t d t ) = 2 π [ 9 a 2 2 3 t 3 2 − 2 5 t 5 2 ] 0 9 a 2 = 2 ⋅ 27 π a 5 ( 6 − 18 5 ) = 648 π 5 a 5 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz&=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho \\&=-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt&&t=9a^{2}-\rho ^{2}\\&=2\pi \int _{0}^{9a^{2}}\left(9a^{2}{\sqrt {t}}-t{\sqrt {t}}\right)\,dt\\&=2\pi \left(\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right)\\&=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}\\&=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {18}{5}}\right)\\&={\frac {648\pi }{5}}a^{5}\end{aligned}}} 円筒座標への移行により、三重積分をより簡単な一変数積分に簡略化することが可能になりました。
円筒座標と球座標におけるナブラ の微分体積の項目も参照してください 。
例
長方形上の二重積分 多変数関数f を領域 A 上で積分したいとします 。
A = { ( x , y ) ∈ R 2 : 11 ≤ x ≤ 14 ; 7 ≤ y ≤ 10 } and f ( x , y ) = x 2 + 4 y {\displaystyle A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{\mbox{ and }}f(x,y)=x^{2}+4y\,} 。 これから反復積分を定式化する。
∫ 7 10 ∫ 11 14 ( x 2 + 4 y ) d x d y {\displaystyle \int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy} 。 まず内部積分が実行され、 x について積分し 、 y は 積分の変数 ではないため定数として扱われます 。この積分の結果は yのみに依存する関数であり、次に y について積分されます 。
∫ 11 14 ( x 2 + 4 y ) d x = [ 1 3 x 3 + 4 y x ] x = 11 x = 14 = 1 3 ( 14 ) 3 + 4 y ( 14 ) − 1 3 ( 11 ) 3 − 4 y ( 11 ) = 471 + 12 y {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}} 次に、結果をy に関して積分します 。
∫ 7 10 ( 471 + 12 y ) d y = [ 471 y + 6 y 2 ] y = 7 y = 10 = 471 ( 10 ) + 6 ( 10 ) 2 − 471 ( 7 ) − 6 ( 7 ) 2 = 1719 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}} 関数の絶対値の二重積分が有限である場合、積分の順序は交換可能であり、つまり、最初に xについて積分しても、最初に y について積分しても 同じ結果が得られます。これが フビニの定理 です。例えば、前の計算を順序を逆にして行っても同じ結果が得られます。
∫ 11 14 ∫ 7 10 ( x 2 + 4 y ) d y d x = ∫ 11 14 [ x 2 y + 2 y 2 ] y = 7 y = 10 d x = ∫ 11 14 ( 3 x 2 + 102 ) d x = [ x 3 + 102 x ] x = 11 x = 14 = 1719. {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}}
正規領域上の二重積分 例: 通常の領域 D上の二重積分 次の地域を考えてみましょう (例の図を参照してください)。
D = { ( x , y ) ∈ R 2 : x ≥ 0 , y ≤ 1 , y ≥ x 2 } {\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}} 。 計算する
∬ D ( x + y ) d x d y {\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy} 。 この定義域はx 軸と y 軸の両方に関して正規である。公式を適用するには、 D を決定する関数 と、それらの関数が定義される区間を見つける必要がある。この場合、2つの関数は以下のとおりである。
α ( x ) = x 2 and β ( x ) = 1 {\displaystyle \alpha (x)=x^{2}{\text{ and }}\beta (x)=1} 一方、区間はx = 0の関数の交点によって与えられるため 、区間は [ a , b ] = [0, 1] となります (視覚的に分かりやすくするために、 x 軸に対して正規性が選択されています )。
次の式を適用できるようになりました。
∬ D ( x + y ) d x d y = ∫ 0 1 d x ∫ x 2 1 ( x + y ) d y = ∫ 0 1 d x [ x y + y 2 2 ] x 2 1 {\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}} （まず、 xを 定数として2番目の積分を計算します。）残りの操作は、積分の基本手法を適用することです。
∫ 0 1 [ x y + y 2 2 ] x 2 1 d x = ∫ 0 1 ( x + 1 2 − x 3 − x 4 2 ) d x = ⋯ = 13 20 {\displaystyle \int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}} 。 y 軸に関して正規分布を選択した場合、次のように 計算できる。
∫ 0 1 d y ∫ 0 y ( x + y ) d x {\displaystyle \int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx} 。 同じ値が得られます。
R 3内の xy 平面に対して垂直な ドメインの例 。
体積の計算 前述の方法を使用すると、いくつかの一般的な固体の体積を計算することができます。
円柱 : 高さh と半径 R の円底を持つ円柱の体積は 、極座標を使用して、 定数関数 h を円底にわたって積分することによって計算できます。 V o l u m e = ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 R h ρ d ρ = 2 π h [ ρ 2 2 ] 0 R = π R 2 h {\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h} これはプリズム の体積の公式と一致する。
V o l u m e = base area × height {\displaystyle \mathrm {Volume} ={\text{base area}}\times {\text{height}}} 。 球 : 半径R の球の体積は、 球座標を使用して、定数関数 1 を球上で積分することによって計算できます。 Volume = ∭ D f ( x , y , z ) d x d y d z = ∭ D 1 d V = ∭ S ρ 2 sin φ d ρ d θ d φ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π sin φ d φ ∫ 0 R ρ 2 d ρ = 2 π ∫ 0 π sin φ d φ ∫ 0 R ρ 2 d ρ = 2 π ∫ 0 π sin φ R 3 3 d φ = 2 3 π R 3 [ − cos φ ] 0 π = 4 3 π R 3 {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\end{aligned}}} 四面体 （三角錐 または 3 単体 ）：頂点が原点にあり、 x 軸、 y 軸、 z 軸に沿った 長さℓ の辺を持つ四面体の体積は、定数関数 1 を四面体にわたって積分することで計算できます。 Volume = ∫ 0 ℓ d x ∫ 0 ℓ − x d y ∫ 0 ℓ − x − y d z = ∫ 0 ℓ d x ∫ 0 ℓ − x ( ℓ − x − y ) d y = ∫ 0 ℓ ( l 2 − 2 ℓ x + x 2 − ( ℓ − x ) 2 2 ) d x = ℓ 3 − ℓ ℓ 2 + ℓ 3 3 − [ ℓ 2 x 2 − ℓ x 2 2 + x 3 6 ] 0 ℓ = ℓ 3 3 − ℓ 3 6 = ℓ 3 6 {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz\\&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy\\&=\int _{0}^{\ell }\left(l^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}x}{2}}-{\frac {\ell x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{0}^{\ell }\\&={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}\end{aligned}}} これはピラミッド の体積を求める公式と一致しています 。 V o l u m e = 1 3 × base area × height = 1 3 × ℓ 2 2 × ℓ = ℓ 3 6 {\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{3}}\times {\text{base area}}\times {\text{height}}={\frac {1}{3}}\times {\frac {\ell ^{2}}{2}}\times \ell ={\frac {\ell ^{3}}{6}}} 。 不適切なドメインの例。
多重不定積分 非有界領域または領域の境界付近で有界でない関数の場合は、 二重 不定積分 または 三重不定積分 を導入する必要があります。
多重積分と反復積分 フビニの定理 によれば、 [4]
∬ A × B | f ( x , y ) | d ( x , y ) < ∞ {\displaystyle \iint _{A\times B}\left|f(x,y)\right|\,d(x,y)<\infty } 、 つまり、積分が絶対収束する場合、多重積分は2つの反復積分のいずれかと同じ結果になります。
∬ A × B f ( x , y ) d ( x , y ) = ∫ A ( ∫ B f ( x , y ) d y ) d x = ∫ B ( ∫ A f ( x , y ) d x ) d y {\displaystyle \iint _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy} 。 特に 、| f ( x , y ) |が 有界関数 であり 、 A と Bが 有界集合 である場合にこれが発生します 。
積分が絶対収束しない場合は、多重積分 と 反復積分 の概念を混同しないように注意する必要がある 。特に、どちらの概念でも同じ表記法が使われることが多いためである。
∫ 0 1 ∫ 0 1 f ( x , y ) d y d x {\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx} は、場合によっては、真の二重積分ではなく、反復積分を意味する。反復積分では、外側の積分は
∫ 0 1 ⋯ d x {\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \,dx} は、次の xの関数の x に関する積分です 。
g ( x ) = ∫ 0 1 f ( x , y ) d y {\displaystyle g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy} 。 一方、二重積分は xy 平面の面積に関して定義されます。二重積分が存在する場合、それは2つの反復積分（「 dy dx 」または「 dx dy 」）のそれぞれに等しく、多くの場合、どちらかの反復積分を計算することで計算されます。しかし、2つの反復積分が存在するにもかかわらず、二重積分が存在しない場合もあります。そのような場合、2つの反復積分は異なる値になります。つまり、
∫ 0 1 ∫ 0 1 f ( x , y ) d y d x ≠ ∫ 0 1 ∫ 0 1 f ( x , y ) d x d y {\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy} 。 これは条件収束 積分の並べ替えの例です 。
一方、二重積分が必ずしも存在する必要がない場合でも、2つの反復積分が等しくなることがいくつかの条件によって保証される。 フィヒテンホルツ ・ リヒテン シュタインの定理によれば、 fが [0, 1] × [0, 1] で有界であり 、両方の反復積分が存在する場合、それらは等しい。さらに、内側の積分の存在は外側の積分の存在を保証する。 [6] [7] [8] シェルピンスキ によれば、 この場合、 ルベーグ積分 として二重積分が存在する必要はない。 [9]
表記
∫ [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] f ( x , y ) d x d y {\displaystyle \int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy} 反復積分ではなく二重積分を意図していることを強調したい場合に使用できます。
三重積分 三重積分はフビニの定理によって証明された。 [10] 三重積分に関するドリクレの定理とリウヴィルの拡張定理。
いくつかの実用的な応用 一般に、一変数の場合と同様に、重積分を用いて与えられた集合上の関数の平均を求めることができる。集合 D ⊆ R n とD 上の 積分可能な関数 fが与えられたとき、その定義域における f の平均値は 次のように与えられる。
f ¯ = 1 m ( D ) ∫ D f ( x ) d x {\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx} 、 ここで、 m ( D )は D の 尺度 である 。
さらに、多重積分は 物理学 の多くの応用分野で用いられています。以下の例では、表記法のいくつかのバリエーションも示しています。
運動学 では 、時間に関する位置( )は時間に関する加速度( )の二重積分です。 x ( t ) {\displaystyle x(t)} a ( t ) {\displaystyle a(t)}
x ( t ) = ∬ a ( t ) d 2 t {\displaystyle x(t)=\iint a(t)\,d^{2}t} 。 力学 では 、 慣性モーメントは 、軸からの距離の2乗で重み付けされた 密度 の体積積分（三重積分）として計算されます。
I z = ∭ V ρ r 2 d V {\displaystyle I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,dV} 。 ３次元 ユークリッド空間 R 3 上の質量測度 dm によって与えられる 質量分布 に関連する 重力 ポテンシャルは [11] である。
V ( x ) = − ∭ R 3 G | x − y | d m ( y ) {\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,dm(\mathbf {y} )} 。 分布の密度を xで表す連続関数 ρ ( x ) があり 、 dm ( x ) = ρ ( x ) d 3 x （ d 3 x はユークリッド 体積要素） とすると 、重力ポテンシャルは
V ( x ) = − ∭ R 3 G | x − y | ρ ( y ) d 3 y {\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\rho (\mathbf {y} )\,d^{3}\mathbf {y} } 。 電磁気学 では 、 マクスウェル方程式は 多重積分を用いて全磁場と電場を計算するために記述することができる。 [12] 次の例では、 体積 電荷密度 ρ ( r → )によって与えられた 電荷 分布によって生成される 電場は 、ベクトル関数の 三重積分 によって得られる。
E → = 1 4 π ε 0 ∭ r → − r → ′ ‖ r → − r → ′ ‖ 3 ρ ( r → ′ ) d 3 r ′ {\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,d^{3}r'} 。 これは、電荷分布を表す 符号付き測度 に関する積分として表すこともできます。
参照
参考文献
さらに読む
外部リンク
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \varphi \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\cos \varphi \ d\varphi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}={\Big [}\sin \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/488232a8d128256d4d7e6ae51b1d88aacd784a79)
![{\displaystyle \int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}\left(\rho ^{3}+\rho z\right)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2500dfd50534740e5d38e2fa2c45093e78874b94)
.svg/1280px-Spherical_Coordinates_(Colatitude,_Longitude).svg.png)
![{\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\varphi =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4096\pi }{5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5531a5587dfd81d00a1af111b24d7e7f21af9828)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz&=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho \\&=-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt&&t=9a^{2}-\rho ^{2}\\&=2\pi \int _{0}^{9a^{2}}\left(9a^{2}{\sqrt {t}}-t{\sqrt {t}}\right)\,dt\\&=2\pi \left(\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right)\\&=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}\\&=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {18}{5}}\right)\\&={\frac {648\pi }{5}}a^{5}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969914314ca85fdc1e693bb73443647fdad09f04)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e379a90e5e09f77929215570fd91403ed6369fc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0be5e82a2ea1d74e5c4855cda9e3cc1a983a64c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6902d512bb9ffd641e8f845affaa6a7cfdf34b58)
![{\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb7167bdf5af04201ecc485005f1a4d2d3a1be0f)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c9a4ac52c216974ac759890205b915c698d20e7)
![{\displaystyle \mathrm {体積} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175b2407b091e6319ed5f8d9b7b3165d611f2114)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c16461e99854efe8bac837727e3d7deafef419)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -xy}\,dz\\&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -xy)\,dy\\&=\int _{0}^{\ell }\left(l^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}x}{2}}-{\frac {\ell x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{0}^{\ell }\\&={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27d9273e17f4a9be07068ddd2c1e782008c3f0dc)
![{\displaystyle \int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0951af4caeac621f11d9b15d72e9b4c6c866d88c)
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