Concept in algebraic geometry
代数幾何学 において 、 エタール射 （ 仏: [etal] ）とは、形式的にエタール であり局所的に有限表示である スキーム の射である。エタール射は エタール被覆 の概念と関連している 。これは、複素解析的位相における局所同型の概念の代数的類似である。
これらは暗黙関数定理 の仮定を満たす が、 ザリスキー位相における開集合が非常に大きいため、必ずしも局所同型とは限らない。それにもかかわらず、エタール写像は局所解析同型の性質の多くを保持しており、 代数的基本群 や エタール位相 を定義する際に有用である 。
étaleという 単語 はフランス語の 形容詞 で、「緩い」という意味で、「緩い潮」のように、または比喩的に、穏やかで、動かず、落ち着くままになっているものを意味します。 [1]
意味 を環準同型 と する 。これは -代数を作る 。の 単項多項式 と の 多項式 を選び、 の 導関数 が で単位となる ようにする。 が -代数 として に同型であり 、 が標準写像 となるように選ぶことができる とき、 は 標準エタール である という 。 ϕ : R → S {\displaystyle \phi :R\to S} S {\displaystyle S} R {\displaystyle R} f {\displaystyle f} R [ x ] {\displaystyle R[x]} g {\displaystyle g} R [ x ] {\displaystyle R[x]} f ′ {\displaystyle f'} f {\displaystyle f} ( R [ x ] / f R [ x ] ) g {\displaystyle (R[x]/fR[x])_{g}} ϕ {\displaystyle \phi } f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} S {\displaystyle S} R {\displaystyle R} ( R [ x ] / f R [ x ] ) g {\displaystyle (R[x]/fR[x])_{g}} ϕ {\displaystyle \phi }
をスキームの射 とする 。 それ が以下の同値な性質のいずれかを持つとき、
それは エタールで あるという。 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} f {\displaystyle f}
f {\displaystyle f} 平ら で 分岐していない 。 [ 2] f {\displaystyle f} は 滑らかな射影 であり非分岐である。 [2] f {\displaystyle f} は平坦で、 局所的には有限の表示で あり、 の任意の 点に対して 、ファイバーは 、それぞれが剰余体 の有限可分体拡大のスペクトルである点の互いに素な和集合である 。 [2] y {\displaystyle y} Y {\displaystyle Y} f − 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}(y)} κ ( y ) {\displaystyle \kappa (y)} f {\displaystyle f} は平坦で、局所的に有限表示であり、 の 任意のと 留数体 の 任意の代数閉包に対して 、幾何学的ファイバー は に同型な点の互いに素な和集合である 。 [2] y {\displaystyle y} Y {\displaystyle Y} k ′ {\displaystyle k'} κ ( y ) {\displaystyle \kappa (y)} f − 1 ( y ) ⊗ κ ( y ) k ′ {\displaystyle f^{-1}(y)\otimes _{\kappa (y)}k'} Spec k ′ {\displaystyle {\mbox{Spec }}k'} f {\displaystyle f} は相対次元ゼロの 滑らかな射影 である。 [3] f {\displaystyle f} は滑らかな射影であり、局所的に 準有限な射影で ある。 [4] f {\displaystyle f} は局所的に有限表示であり、局所的に標準的なエタール射である。つまり、 の任意 の に対して 、 とする 。すると、 の開アフィン近傍と の開アフィン近傍が存在し 、 は に 含ま れ、 によって誘導される 環準同型 は標準エタールとなる。 [5] x {\displaystyle x} X {\displaystyle X} y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} Spec R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} y {\displaystyle y} Spec S {\displaystyle \operatorname {Spec} S} x {\displaystyle x} f ( Spec S ) {\displaystyle f(\operatorname {Spec} S)} Spec R {\displaystyle \operatorname {Spec} R} R → S {\displaystyle R\rightarrow S} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} は局所的に有限の表示であり、 形式的にはエタールで ある。 [2] f {\displaystyle f} は局所的に有限表示であり、局所環からの写像に対して形式的にエタールである。つまり、 を 局所環 とし 、 を の イデアルとして とします 。 と を設定し 、 を 標準的な 閉浸漬 とします。 を の閉点とします 。 を となる 射 とします。すると、 となる唯一の -射が 存在することになります 。 [6] A {\displaystyle A} J {\displaystyle J} A {\displaystyle A} J 2 = 0 {\displaystyle J^{2}=0} Z = Spec A {\displaystyle Z=\operatorname {Spec} A} Z 0 = Spec A / J {\displaystyle Z_{0}=\operatorname {Spec} A/J} i : Z 0 → Z {\displaystyle i\colon Z_{0}\rightarrow Z} z {\displaystyle z} Z 0 {\displaystyle Z_{0}} h : Z → Y {\displaystyle h\colon Z\rightarrow Y} g 0 : Z 0 → X {\displaystyle g_{0}\colon Z_{0}\rightarrow X} f ( g 0 ( z ) ) = h ( i ( z ) ) {\displaystyle f(g_{0}(z))=h(i(z))} Y {\displaystyle Y} g : Z → X {\displaystyle g\colon Z\rightarrow X} g i = g 0 {\displaystyle gi=g_{0}} が局所的にネーターであり、 f が 局所的に有限型である と仮定する。 において 、 と を 完備 局所環上の誘導写像とする 。このとき、以下は同値である。 Y {\displaystyle Y} x {\displaystyle x} X {\displaystyle X} y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} O ^ Y , y → O ^ X , x {\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}\to {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}
f {\displaystyle f} étaleです。 の任意 のに対して 、完備局所環上の誘導写像は進位相に対して形式的にエタールである。 [7] x {\displaystyle x} X {\displaystyle X} の任意 のに対して 、 は自由 加群であり、ファイバーは 留数体 の有限可分体拡大である体である 。 [7] （ここでは の最大イデアルである 。） x {\displaystyle x} X {\displaystyle X} O ^ X , x {\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}} O ^ Y , y {\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}} O ^ X , x / m y O ^ X , x {\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}/m_{y}{\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}} κ ( y ) {\displaystyle \kappa (y)} m y {\displaystyle m_{y}} O ^ Y , y {\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}} f {\displaystyle f} は、以下の追加の性質を持つ局所環の写像に対して形式的にエタールである。局所環は アルティン写像であると仮定できる。 が の最大イデアルであるならば 、 は を満たすと仮定できる 。最後に、剰余体上の射は 同型であると仮定できる。 [8] A {\displaystyle A} m {\displaystyle m} A {\displaystyle A} J {\displaystyle J} m J = 0 {\displaystyle mJ=0} κ ( y ) → A / m {\displaystyle \kappa (y)\rightarrow A/m} さらに剰余体上の写像がすべて 同型であるか、または が分離的に閉じている場合、 がエタールで あるための必要十分条件は、 の 任意の に対して 、完備局所環上の誘導写像が同型である場合である。 [7] κ ( y ) → κ ( x ) {\displaystyle \kappa (y)\to \kappa (x)} κ ( y ) {\displaystyle \kappa (y)} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} X {\displaystyle X}
例 任意 の開浸は 局所的に同型なのでエタールです。
被覆空間はエタール射の例となる。例えば、 環において逆整数が可逆であれ ば
、 d ≥ 1 {\displaystyle d\geq 1} R {\displaystyle R}
Spec ( R [ t , t − 1 , y ] / ( y d − t ) ) → Spec ( R [ t , t − 1 ] ) {\displaystyle {\text{Spec}}(R[t,t^{-1},y]/(y^{d}-t))\to {\text{Spec}}(R[t,t^{-1}])} は次数 エタール射です。 d {\displaystyle d}
分岐した被覆に は 分岐していない部位がある π : X → Y {\displaystyle \pi :X\to Y}
π : X u n → Y u n {\displaystyle \pi :X_{un}\to Y_{un}} それはエタールです。
モルフィズム
Spec ( L ) → Spec ( K ) {\displaystyle {\text{Spec}}(L)\to {\text{Spec}}(K)} 有限可分体拡大によって誘導される はエタールであり、 によって与えられるデッキ変換の群を持つ 算術被覆空間 を形成します。 Gal ( L / K ) {\displaystyle {\text{Gal}}(L/K)}
の形 の任意の環準同型（ただし 、 はすべて 多項式であり、 ヤコビ 行列式 は の単位である ）はエタールである。例えば、 射はエタールであり、デッキ変換 群の の 次数 被覆空間に対応する 。 R → S = R [ x 1 , … , x n ] g / ( f 1 , … , f n ) {\displaystyle R\to S=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{g}/(f_{1},\ldots ,f_{n})} f i {\displaystyle f_{i}} det ( ∂ f i / ∂ x j ) {\displaystyle \det(\partial f_{i}/\partial x_{j})} S {\displaystyle S} C [ t , t − 1 ] → C [ x , t , t − 1 ] / ( x n − t ) {\displaystyle \mathbb {C} [t,t^{-1}]\to \mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{n}-t)} n {\displaystyle n} G m ∈ S c h / C {\displaystyle \mathbb {G} _{m}\in Sch/\mathbb {C} } Z / n {\displaystyle \mathbb {Z} /n}
前の例を拡張して、滑らかな複素代数多様体の 射があると仮定します。 は方程式で与えられるので、これを複素多様体の写像として解釈できます。 のヤコビアンが 非零であるときはいつでも、 暗黙関数定理 により、 は複素多様体の局所同型となります 。前の例によれば、ヤコビアンが非零であることはエタールであることと同じです。 f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f}
を有限型の優勢射とし、 X 、 Y は 局所ノイザン、既約、 Y は 正規とする。f が非分岐ならば 、 エタール で ある。 [9] f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y}
体 K に対して、任意の K 代数 A は必ず平坦となる。したがって、 A がエタール代数となるための必要十分条件は、それが非分岐であることである。これはまた、次式と同値である。
A ⊗ K K ¯ ≅ K ¯ ⊕ . . . ⊕ K ¯ , {\displaystyle A\otimes _{K}{\bar {K}}\cong {\bar {K}}\oplus ...\oplus {\bar {K}},} ここで は 体 Kの 可分閉包 であり 、右辺は有限直和であり、そのすべての被加数は である。エタール K 代数のこの特徴付けは、古典 ガロア理論を 再解釈するための足がかりとなる（ グロタンディークのガロア理論 を 参照 ）。 K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}}
プロパティ エタール射は、合成および基底変化の下で保存されます。 エタール射はソースとベースの両方において局所的である。言い換えれば、 が エタールであるための必要十分条件は、 の開部分スキームによる各被覆に対して、 の被覆の各開部分スキームへ の制約がエタールであることであり、また の 開部分スキームによる各被覆に対して、誘導された射が被覆の 各部分スキームに対してエタールであることである 。特に、開アフィン においてエタールであるという性質をテストすることができる 。 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} Y {\displaystyle Y} f ( U ) : X × Y U → U {\displaystyle f_{(U)}:X\times _{Y}U\to U} U {\displaystyle U} V = Spec ( B ) → U = Spec ( A ) {\displaystyle V=\operatorname {Spec} (B)\to U=\operatorname {Spec} (A)} エタール射の有限族の積はエタールである。 有限の射の族が与えられたとき、 各々がエタールである場合に限り、 分離和はエタールである 。 { f α : X α → Y } {\displaystyle \{f_{\alpha }:X_{\alpha }\to Y\}} ∐ f α : ∐ X α → Y {\displaystyle \coprod f_{\alpha }:\coprod X_{\alpha }\to Y} f α {\displaystyle f_{\alpha }} と とし、 が 非分岐でエタールであると 仮定する 。すると は エタールとなる。特に、 と が 上エタールであるなら ば、 と の間の任意の -写像 はエタールとなる。 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} g : Y → Z {\displaystyle g:Y\to Z} g {\displaystyle g} g f {\displaystyle gf} f {\displaystyle f} X {\displaystyle X} X ′ {\displaystyle X'} Y {\displaystyle Y} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X} X ′ {\displaystyle X'} 準コンパクトな エタール射は 準有限 です。 射が 開浸漬となるのは、それがエタールかつ 根基的 である場合に限ります。 [10] f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} がエタールかつ射影的である 場合 、 （有限またはそうでない）です。 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} dim X = dim Y {\displaystyle \dim X=\dim Y}
逆関数定理 エタール射
f : X → Y は局所微分同相写像 の代数的対応物である 。より正確には、滑らかな多様体間の射が点においてエタールとなるためには、対応する 接空間間の微分が同型となる必要がある。これは、 多様体 間の写像が 局所微分同相写像となるために必要な条件と全く同じである。すなわち、任意の点 y ∈ Yに対して、 xの 開 近傍 U が存在し、 f の U への 制限が微分同相写像となる。この結論は代数幾何学では成立しない。なぜなら、位相が粗すぎるからである。例えば、 放物線 の 射影 fを考える。
y = x 2 y 軸に 。この射は原点(0, 0)を除くすべての点でエタールである。なぜなら、微分は2 x で与えられ、これらの点ではゼロにならないからである。
しかし、平方根が 代数写像 ではなく 、多項式で与えられない ため、 fの ( ザリスキー ) 局所逆は 存在しません。 ただし、エタール位相を使用することで、この状況に対処することができます。 正確な記述は次のとおりです。 がエタールかつ有限である場合、 Y にある 任意の点 y に対して、その像に y を 含む エタール射 V → Yが存在し ( V は y のエタール開近傍と考えることができます)、 f を V に 基底変換すると 、 (最初の要素は、 V が ザリスキー開近傍である場合に f による V の逆像になります) は、 V と同型の開部分集合の有限な分離和になります 。 言い換えると、 Y で エタール局所的に 、射 f は位相有限被覆です。 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} X × Y V → V {\displaystyle X\times _{Y}V\to V}
相対次元 n の滑らかな射に対して 、 X と Y において エタール局所的である f は 、 アフィン空間への開浸漬である。これは、 浸漬 に関する構造定理のエタール類似版である 。 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} A Y n {\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{n}}
参照
参考文献 ^ fr: Trésor de la langue française informationisé 、「étale」記事 ^ abcde EGA IV 4 、コロレア 17.6.2。 ^ EGA IV 4 、コロレア 17.10.2。 ^ EGA IV 4 、コロレア 17.6.2 およびコロレア 17.10.2。 ^ ミルン、 エタールのコホモロジー 、定理 3.14。 ^ EGA IV 4 、コロレール 17.14.1。 ^ abc EGA IV 4 、提案 17.6.3 ^ EGA IV 4 、命題17.14.2 ^ SGA1、エクスポゼI、9.11 ^ EGA IV 4 、テオレム 17.9.1。
参考文献 ハーツホーン、ロビン （1977）、 代数幾何学 、ベルリン、ニューヨーク： シュプリンガー・フェアラーク 、 ISBN 978-0-387-90244-9 、 MR 0463157 アレクサンドル・グロタンディーク ; Jean Dieudonné (1964)、 「Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la Collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première party」 、 Publications Mathématiques de l'IHÉS 、 20 : 5– 259、 土井 ：10.1007/bf02684747、 S2CID 118147570 アレクサンドル・グロタンディーク ; Jean Dieudonné (1964)、 「Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la Collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première party」 、 Publications Mathématiques de l'IHÉS 、 20 : 5– 259、 土井 ：10.1007/bf02684747、 S2CID 118147570 グロタンディーク、アレクサンドル。 Jean Dieudonné (1967)、 「Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la Collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième party」 、 Publications Mathématiques de l'IHÉS 、 32 : 5– 333、 土井 ：10.1007/BF02732123、 S2CID 189794756 アレクサンドル・グロタンディーク ; Raynaud, Michele (2003) [1971]、 Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe Fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 ) 、パリ: Société Mathématique de France、xviii+327、 arXiv : math.AG/0206203 、 ISBN 978-2-85629-141-2 JS ミルン (1980)、 エタール コホモロジー 、ニュージャージー州プリンストン: Princeton University Press、 ISBN 0-691-08238-3 JSミルン（2008） エタールコホモロジー講義 
![{\displaystyle R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce54622cb380383ab3a42441b056626ea0d2440)
![{\displaystyle (R[x]/fR[x])_{g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3326d1920fbae6f9f8f623d986092836bf0cf90)
![{\displaystyle {\text{Spec}}(R[t,t^{-1},y]/(y^{d}-t))\to {\text{Spec}}(R[t,t^{-1}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df2e38c18edfd62091b44d0c7bc0e3ea345522af)
![{\displaystyle R\to S=R[x_{1},\ldots,x_{n}]_{g}/(f_{1},\ldots,f_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac5c4080c55ec37ff67abf41bb90f836466814b)
![{\displaystyle \mathbb {C} [t,t^{-1}]\to \mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{n}-t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78fae04e769a9ffc2026bd303d53af586b12495c)
