完璧な指輪

環論として知られる抽象代数学の分野において、左完全環とは、すべての左加群が射影被覆を持つような環の一種である。右の場合は類推によって定義され、条件は左右対称ではない。つまり、片側が完全だがもう一方が完全ではない環が存在する。完全環はバスの著書で導入された。^{[ 1 ]}

半完全環とは、その環上のすべての有限生成左加群が射影被覆を持つ環である。この性質は左右対称である。

完璧な指輪

定義

左完全環Rの次の同値な定義はアンダーソンとフラーによるものである: ^{[ 2 ]}

• すべての左Rモジュールには射影カバーがあります。
• R /J( R ) は半単純であり、 J( R ) は左 T 冪零です(つまり、 J( R ) の元の無限列ごとに、最初のn項の積が0 になるnが存在します)。ここで、 J( R ) はRのヤコブソン根号です。
• （バスの定理P）Rは主右イデアル上の下降連鎖条件を満たす。（間違いではない。この右主イデアル上の条件は、環が左完全であることと同値である。）
• すべての平坦左R加群は射影的である。
• R /J( R ) は半単純であり、すべての非ゼロ左Rモジュールには最大サブモジュールが含まれます。
• R には無限直交べき等集合は含まれず、すべての非ゼロ右Rモジュールには最小サブモジュールが含まれます。

例

• 右または左のアルティン環、および半一次環は、左右完全であることが知られています。
• 以下は、右完全だが左完全ではない局所環の例（Bassによる）である。F を体とし、 F上の無限行列からなる環を考える。

で添え字が付けられ、対角線より上に位置する非零要素が有限個しか存在しない無限行列の集合を と記す。また、対角線上の要素がすべて 1 である 行列を と記すと、集合 ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I\,}$

${\displaystyle R=\{f\cdot I+j\mid f\in F,j\in J\}\,}$

Rは単位元を持つ環であり、そのヤコブソン根号はJであることが示される。さらにR / Jは体であるため、Rは局所的であり、Rは右完全だが左完全ではない。^{[ 3 ]}

プロパティ

左完全環Rの場合:

• 上記の同値性から、すべての左R加群には最大サブ加群と射影被覆があり、平坦な左R加群は射影左加群と一致します。
• Baer の基準と同様のものが射影モジュールにも当てはまります。

半完全リン​​グ

意味

Rを環とする。Rが半完全環であるのは、以下の同値な条件のいずれかが成立する場合である。

• R /J( R ) は半単純であり、べき等性 は J( R ) を法として持ち上がります。ここで、 J( R ) はRのヤコブソン根号です。
• R には、各e _i Re i_が局所環であるような冪等性の完全な直交集合e ₁ , ..., e _nがあります。
• すべての単純な左 (右) Rモジュールには射影被覆があります。
• すべての有限生成左（右）Rモジュールには射影カバーがあります。
• 有限生成射影- 加群のカテゴリはKrull-Schmidtです。 ${\displaystyle R}$

例

半完全環の例としては次のようなものがあります。

• 左（右）完璧なリング。
• ローカルリング。
• 射影加群に関するカプランスキーの定理
• 左（右）アルティニアン環。
• 有限次元k代数。

プロパティ

環Rが半完全である場合と、すべての単純左R加群が射影被覆を持つ場合とでは、半完全環に 同値なすべての森田環も半完全である。

引用

1. ベース 1960 .
2. アンダーソン＆フラー 1992、315ページ。
3. ラム 2001、345–346頁。

参考文献

• アンダーソン、フランク W; フラー、ケント R (1992)、『環と加群のカテゴリー』（第 2 版）、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-97845-1
• バス、ハイマン（1960）、「有限次元と半一次環のホモロジー的一般化」、ア​​メリカ数学会誌、95（3）：466–488、doi：10.2307/1993568、ISSN  0002-9947、JSTOR  1993568、MR  0157984
• ラム、TY（2001）、非可換環入門、Graduate Texts in Mathematics、第131巻（第2版）、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007 / 978-1-4419-8616-0、ISBN 0-387-95183-0、MR  1838439

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