リウヴィル関数

Arithmetic function

数論において、リウヴィル関数はフランスの数学者ジョゼフ・リウヴィルにちなんで名付けられ、と表記される重要な算術関数である。その値は、が偶数個の素数の積である場合に、が奇数個の素数の積である場合に である。 ${\displaystyle \lambda (n)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle -1}$

意味

算術の基本定理によれば、任意の正の整数は 素数の累乗として一意に表すことができます。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$、

ここで、は素数、指数は正の整数です。prime omega関数は、重複度を持つ因数分解における素数の個数を数えます。 ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Omega (n)=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}}$。

したがって、リウヴィル関数は次のように定義される。

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}$

（ OEISの配列A008836）。

プロパティ

は完全に加法的であるため、つまりは完全に乗法的であるためです。 には素因数がないため、 となります。 ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (ab)=\Omega (a)+\Omega (b)}$ ${\displaystyle \lambda (n)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \Omega (1)=0}$ ${\displaystyle \lambda (1)=1}$

${\displaystyle \lambda (n)}$はメビウス関数 にも関連している。 と書くと、は平方自由度であり、 ${\displaystyle \mu (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=a^{2}b}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \lambda (n)=\mu (b).}$

リウヴィル関数の約数全体にわたる和は平方の特性関数である。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is a perfect square,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

この式のメビウス反転は

${\displaystyle \lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right).}$

リウヴィル関数のディリクレ逆関数は、平方整数の特性関数であるメビウス関数の絶対値です。 ${\displaystyle \lambda ^{-1}(n)=|\mu (n)|=\mu ^{2}(n)}$

シリーズ

リウヴィル関数のディリクレ級数はリーマンゼータ関数と次の関係がある。

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}$

また：

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)\ln n}{n}}=-\zeta (2)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

リウヴィル関数のランバート級数は

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right),}$

ここで、ヤコビのシータ関数は です。 ${\displaystyle \vartheta _{3}(q)}$

重み付き総和関数に関する予想

n  = 10 ⁴までのリウヴィル関数L ( n ) の要約。容易に観察できる振動は、リーマンゼータ関数の最初の非自明な零点によるものである。

n  = 10 ⁷までのリウヴィル関数L ( n )の要約。振動の見かけのスケール不変性に注目。

n  = 2 × 10 ⁹までのリウヴィル関数L ( n ) の負の対数グラフ。緑のスパイクは、ポリア予想が成り立たない狭い領域における関数そのもの（負の値ではない）を示している 。青い曲線は、第一リーマン零点の振動寄与を示している。

調和総括リウヴィル関数T ( n )、 n  = 10 ³まで

ポリア問題は、 1919年にジョージ・ポリアによって提起された問題である。

${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)}$（ OEISの配列A002819）、

問題は、あるn  > 1に対してであるかどうかを問うものである。答えは「はい」である。最小の反例はn  = 906150257で、1980年に田中実によって発見された。その後、無限個の正の整数nに対してL ( n ) > 0.0618672 √ n^{が成り立つことが示されている[1]。}また、同じ方法で、無限個の正の整数nに対してL ( n ) < −1.3892783 √ n が成り立つことも示される^[2]。 ${\displaystyle L(n)\leq 0}$

任意の に対して、リーマン予想を仮定すると、総和関数は次のように有界となる。 ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle L(x)\equiv L_{0}(x)}$

${\displaystyle L(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left(C\cdot \log ^{1/2}(x)\left(\log \log x\right)^{5/2+\varepsilon }\right)\right),}$

ここで は絶対的な限界定数である。^[2] ${\displaystyle C>0}$

関連する合計を定義する

${\displaystyle T(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}.}$

十分に大きなn ≥ n _{0に対して}T ( n ) ≥ 0が成り立つかどうかは、しばらくの間未解決であった（この予想は、時折（ただし誤って）パル・トゥランに帰せられる）。これは後にヘイゼルグローブ（1958）によって反証され、T ( n ) は負の値を無限に多く取ることが示された。この正値性予想の確認は、パル・トゥランによって示されたように、リーマン予想の証明につながるはずであった。

一般化

より一般的には、任意の正の整数xに対して定義されるリウヴィル関数上の重み付き総和関数を次のように考えることができる。ここで（上記のように）特別な場合があり、^[2] ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L(x):=L_{0}(x)}$ ${\displaystyle T(x)=L_{1}(x)}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x):=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n^{\alpha }}}.}$

これらの重み付き総和関数は、メルテンス関数、あるいはメビウス関数の重み付き総和関数と関連している。実際、いわゆる重みなし関数、あるいは通常の関数は、まさに以下の総和に対応する。 ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$ ${\displaystyle L(x)}$

${\displaystyle L(x)=\sum _{d^{2}\leq x}M\left({\frac {x}{d^{2}}}\right)=\sum _{d^{2}\leq x}\sum _{n\leq {\frac {x}{d^{2}}}}\mu (n).}$

さらに、これらの関数は同様の境界漸近関係を満たす。^[2]例えば、 のときはいつでも、次のような 絶対定数が存在することがわかる。 ${\displaystyle 0\leq \alpha \leq {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle C_{\alpha }>0}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)=O\left(x^{1-\alpha }\exp \left(-C_{\alpha }{\frac {(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}}\right)\right).}$

ペロンの公式を適用するか、あるいはメリン変換のキー（逆）を適用すると、次の式が得られる。

${\displaystyle {\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {L_{\alpha }(x)}{x^{s+1}}}dx,}$

これを逆変換すると、に対してとなり、 ${\displaystyle x>1}$ ${\displaystyle T\geq 1}$ ${\displaystyle 0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi \imath }}\int _{\sigma _{0}-\imath T}^{\sigma _{0}+\imath T}{\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{s}}ds+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T),}$

ここで を取ることができ、残りの項は および と定義されます。 ${\displaystyle \sigma _{0}:=1-\alpha +1/\log(x)}$ ${\displaystyle E_{\alpha }(x)=O(x^{-\alpha })}$ ${\displaystyle R_{\alpha }(x,T)\rightarrow 0}$ ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$

特に、リーマン予想（RH）が真であり、リーマンゼータ関数ので表されるすべての非自明な零点が単純であると仮定すると、任意の と に対して、任意のvに対してを満たすの無限列が存在し、 ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}+\imath \gamma }$ ${\displaystyle 0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle x\geq 1}$ ${\displaystyle \{T_{v}\}_{v\geq 1}}$ ${\displaystyle v\leq T_{v}\leq v+1}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)={\frac {x^{1/2-\alpha }}{(1-2\alpha )\zeta (1/2)}}+\sum _{|\gamma |<T_{v}}{\frac {\zeta (2\rho )}{\zeta ^{\prime }(\rho )}}\cdot {\frac {x^{\rho -\alpha }}{(\rho -\alpha )}}+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T_{v})+I_{\alpha }(x),}$

ここで、任意の小さくなるごとに定義する ${\displaystyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{2}}-\alpha }$

${\displaystyle I_{\alpha }(x):={\frac {1}{2\pi \imath \cdot x^{\alpha }}}\int _{\varepsilon +\alpha -\imath \infty }^{\varepsilon +\alpha +\imath \infty }{\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{(s-\alpha )}}ds,}$

そして剰余項

${\displaystyle R_{\alpha }(x,T)\ll x^{-\alpha }+{\frac {x^{1-\alpha }\log(x)}{T}}+{\frac {x^{1-\alpha }}{T^{1-\varepsilon }\log(x)}},}$

これは当然ながら のにつれて 0 に近づきます。これらの厳密な解析的公式展開は、重み付きメルテンス関数の場合に対応するものと類似した性質を再び共有します。さらに、から への形で別の類似性があり、前述の公式の主要な項 は、これらの関数の値が正の自然数xに対して負に偏ることを予測します。 ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \zeta (1/2)<0}$ ${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle M(x)}$

参考文献

1. Borwein, P.; Ferguson, R.; Mossinghoff, MJ (2008). 「リウヴィル関数の和における符号変化」.計算数学. 77 (263): 1681– 1694. doi : 10.1090/S0025-5718-08-02036-X .
2. Humphries, Peter (2013). 「リウヴィル関数の加重和の分布とポリア予想」. Journal of Number Theory . 133 (2): 545– 582. arXiv : 1108.1524 . doi : 10.1016/j.jnt.2012.08.011 .

• ポーリャ、G. (1919)。 「Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie」。Jahresbericht der Deutschen Mathematikar-Vereinigung。28：31～ 40。
• ヘイゼルグローブ, C. ブライアン(1958). 「ポリア予想の反証」. Mathematika . 5 (2): 141– 145. doi :10.1112/S0025579300001480. ISSN  0025-5793. MR  0104638. Zbl  0085.27102.
• レーマン, R. (1960). 「リウヴィル関数について」.計算数学. 14 (72): 311– 320. doi : 10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5 . MR  0120198.
• 田中実 (1980). 「リウヴィル関数の累積和に関する数値的考察」東京数学ジャーナル. 3 (1): 187–189 . doi : 10.3836/tjm/1270216093 . MR  0584557.
• ワイスタイン、エリック・W.「リウヴィル関数」。マスワールド。
• AF Lavrik (2001) [1994]、「リウヴィル関数」、数学百科事典、EMS Press

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