スペクトル理論

Collection of mathematical theories

数学において、スペクトル理論は、単一の正方行列の固有ベクトルと固有値の理論を、様々な数学的空間における演算子の構造に関するより広範な理論に拡張した理論を包括する用語である。^[1]これは、線型代数と線型方程式系の解とそ​​の一般化の研究の結果である。^[2]演算子のスペクトル特性はスペクトルパラメータの解析関数に関連しているため、この理論は解析関数の理論と関連している。^[3]

数学的背景

スペクトル理論という名称は、無限変数の二次形式を用いてヒルベルト空間理論を定式化した際に、デイヴィッド・ヒルベルトによって導入された。したがって、元のスペクトル定理は、楕円体の主軸に関する定理を無限次元の設定で表現したものとして考えられた。後に量子力学においてスペクトル理論が原子スペクトルの特徴を説明できるという発見は、まさに偶然の産物であった。ヒルベルト自身もこの理論の予想外の応用に驚き、「私は純粋に数学的な関心から無限変数理論を展開し、『スペクトル解析』と名付けたが、後にそれが物理学の実際のスペクトルに応用されるとは予期していなかった」と述べている。^[4]

スペクトル理論を定式化する主な方法は3つあり、それぞれ異なる分野で応用されています。ヒルベルトによる最初の定式化の後、抽象ヒルベルト空間とその上の単一正規作用素のスペクトル理論の発展は、フォン・ノイマン^[5]の研究に代表されるように、物理学の要求によく適合しました。この理論は、バナッハ代数一般を扱うために発展しました。この発展は、可換な場合をカバーするゲルファント表現につながり、さらに非可換な調和解析へと発展しました。

違いはフーリエ解析との関連で明らかになる。実数直線上のフーリエ変換は、ある意味では微分作用素としての微分のスペクトル理論である。しかし、この理論で現象を扱うには、一般化された固有関数（例えば、リグド・ヒルベルト空間を用いて）を既に扱う必要がある。一方、フーリエ変換の基本的な性質をスペクトルに捉える群代数を構築するのは容易であり、これはポンチャギン双対性を用いて実現される。

バナッハ空間上の作用素のスペクトル特性を調べることもできます。例えば、バナッハ空間上のコンパクト作用素は、行列のスペクトル特性に類似した多くのスペクトル特性を持ちます。

身体的背景

振動物理学の背景は次のように説明されている。^[6]

スペクトル理論は、化学における原子や分子から音響導波路内の障害物に至るまで、様々な物体の局所振動の研究に関連しています。これらの振動は周波数を持ち、問題はそのような局所振動がいつ発生するか、そしてどのように周波数を計算するかを決定することです。これは非常に複雑な問題です。なぜなら、あらゆる物体は基音だけでなく、複雑な倍音列も持っており、倍音列は物体ごとに大きく異なるからです。

このような物理的な考え方は技術的なレベルでは数学理論とは何の関係もありませんが、間接的に関わっている例はあります（例えば、マーク・カックの質問「太鼓の形が聞こえますか？ 」を参照）。 ヒルベルトが「スペクトル」という用語を採用したのは、1897 年にヴィルヘルム・ヴィルティンガーがヒル微分方程式（ジャン・ディドゥドネ著）について発表した論文に由来するとされており、20 世紀の最初の 10 年間にヴィルティンガーの弟子たち、その中にはエアハルト・シュミットやヘルマン・ワイルもいました。ヒルベルト空間の概念的基礎は、ヒルベルトの考えからエアハルト・シュミットとフリジェシュ・リースによって発展させられました。^{[7] [8]} ほぼ 20 年後、量子力学がシュレーディンガー方程式の観点から定式化され、原子スペクトルとの関連が確立されました。アンリ・ポアンカレが指摘したように、振動の数理物理学との関連は以前から疑われていたが、バルマー級数の説明がないため、単純な定量的な理由から否定された。^[9]後に量子力学においてスペクトル理論が原子スペクトルの特徴を説明できるという発見は、ヒルベルトのスペクトル理論の対象というよりは、偶然の産物であった。

スペクトルの定義

一般バナッハ空間上のあらゆる場所で定義された有界線型変換 Tを考える。以下の変換を立てる。 $${\displaystyle R_{\zeta }=\left(\zeta I-T\right)^{-1}.}$$

ここで、Iは恒等演算子、ζ は複素数です。演算子Tの逆演算子、すなわちT ⁻¹は次のように定義されます。 $${\displaystyle TT^{-1}=T^{-1}T=I.}$$

逆関数が存在する場合、Tは正則関数と呼ばれます。逆関数が存在しない場合、Tは特異関数と呼ばれます。

これらの定義を用いると、Tの解決集合はR _{ζ が}存在しかつ有界であるようなすべての複素数ζの集合となる。この集合はしばしばρ ( T )と表記される。TのスペクトルはR _{ζ が}存在しない、または有界ではないすべての複素数 ζ の集合となる。T のスペクトルはしばしばσ ( T )と表記される。ρ ( T )内のすべての ζ に対する関数R _ζ (つまり、R _{ζ が}有界演算子として存在するところ) はTの解決集合と呼ばれる。したがって、 Tのスペクトルは複素平面におけるTの解決集合の補集合となる。 ^[10] Tのすべての固有値はσ ( T )に属するが、σ ( T ) には固有値以外の値が含まれることもある。^[11]

この定義はバナッハ空間に適用されるが、もちろん他の種類の空間も存在する。例えば、位相ベクトル空間はバナッハ空間を含むが、より一般化され得る。^{[12] [13]}一方、バナッハ空間はヒルベルト空間を含み、これらの空間こそが最も広く応用され、最も豊富な理論的結果が得られている。^{[14]適切な制限を加えると、ヒルベルト空間における}変換のスペクトルの構造について多くのことが言える。特に、自己随伴作用素の場合、スペクトルは実数直線上にあり、（一般に）離散固有値の点スペクトルと連続スペクトルのスペクトル結合となる。^[15]

スペクトル理論の概要

関数解析と線型代数学において、スペクトル定理は、ある作用素をより単純な作用素の和として単純な形で表現できる条件を定めています。本稿では厳密な表現は適切ではないため、専門家以外の人にも理解しやすいように、形式的な扱いに伴う厳密さと満足感の多くを省略したアプローチを採用します。

この話題は、作用素に対するディラックのブラケット記法を導入することで最も簡単に説明できる。^{[16] [17]}例えば、非常に特殊な線型作用素Lは、二項積として表される。^{[18] [19]}

${\displaystyle L=|k_{1}\rangle \langle b_{1}|,}$

ブラ⟨ b ₁ | とケット | k ₁ ⟩ を用いて表される。関数fはケットによって| f ⟩ と表される。座標上で定義された関数f ( x )は次のように表される 。 ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots )}$

${\displaystyle f(x)=\langle x|f\rangle }$

そしてfの大きさは

${\displaystyle \|f\|^{2}=\langle f|f\rangle =\int \langle f|x\rangle \langle x|f\rangle \,dx=\int f^{*}(x)f(x)\,dx}$

ここで、表記（*）は複素共役を表す。この内積の選択は非常に特殊な内積空間を定義し、以降の議論の一般性を制限している。^[14]

Lが関数fに与える影響は次のように記述されます。

${\displaystyle L|f\rangle =|k_{1}\rangle \langle b_{1}|f\rangle }$

Lがfに及ぼす影響は、で表される内積を乗じた新しい関数を生成するという結果を表します。 ${\displaystyle |k_{1}\rangle }$ ${\displaystyle \langle b_{1}|f\rangle }$

より一般的な線形演算子L は次のように表現されます。

${\displaystyle L=\lambda _{1}|e_{1}\rangle \langle f_{1}|+\lambda _{2}|e_{2}\rangle \langle f_{2}|+\lambda _{3}|e_{3}\rangle \langle f_{3}|+\dots ,}$

ここで、はスカラー、は空間の基底、は逆基底です。基底と逆基底の関係は、部分的には次のように記述されます。 ${\displaystyle \{\,\lambda _{i}\,\}}$ ${\displaystyle \{\,|e_{i}\rangle \,\}}$ ${\displaystyle \{\,\langle f_{i}|\,\}}$

${\displaystyle \langle f_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}}$

このような形式主義が適用される場合、 はLの固有値であり、 はLの固有関数である。固有値はLのスペクトルに含まれる。^[20] ${\displaystyle \{\,\lambda _{i}\,\}}$ ${\displaystyle \{\,|e_{i}\rangle \,\}}$

当然次のような疑問が浮かびます。どのような状況下でこの形式論は機能するのか、また、どのような演算子Lに対して、このような他の演算子の級数展開が可能なのか。任意の関数fを固有関数で表現できるのか（Schauder 基底なのか）、また、どのような状況下で点スペクトルや連続スペクトルが生じるのか。無限次元空間と有限次元空間の形式論はどのように異なるのか、あるいは異なるのか。これらの考え方は、より広いクラスの空間に拡張できるのか。このような疑問に答えることはスペクトル理論の領域であり、関数解析と行列代数のかなりの背景知識が必要です。

アイデンティティの解決

この節では、前節の大まかなやり方を踏襲しつつ、ブラケット記法を用いて厳密な扱いに関する多くの重要な詳細は省略する。^[21]厳密な数学的扱いについては、様々な参考文献を参照のこと。^[22]特に、空間の 次元nは有限である。

上のセクションのブラケット記法を使用すると、恒等演算子は次のように記述できます。

${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|}$

ここで、上式は基底であり、空間の逆基底が次の関係を満たすと仮定する。 ${\displaystyle \{|e_{i}\rangle \}}$ ${\displaystyle \{\langle f_{i}|\}}$

${\displaystyle \langle f_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}.}$

この恒等演算の表現は恒等式の表現または解決と呼ばれる。^{[21] [22]}この形式表現は恒等式の基本的な性質を満たす。

${\displaystyle I^{k}=I}$

すべての正の整数kに対して有効です。

空間内の任意の関数に恒等式の解決を適用すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle I|\psi \rangle =|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}|e_{i}\rangle }$

これはψの基底関数{e _i }による一般化フーリエ展開である 。^[23]ここで。 ${\displaystyle c_{i}=\langle f_{i}|\psi \rangle }$

次の形式の演算子方程式が与えられたとします。

${\displaystyle O|\psi \rangle =|h\rangle }$

空間にhがある場合、この方程式は形式的な操作を通じて上記の基底で解くことができます。

${\displaystyle O|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\left(O|e_{i}\rangle \right)=\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|h\rangle ,}$

${\displaystyle \langle f_{j}|O|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\langle f_{j}|O|e_{i}\rangle =\sum _{i=1}^{n}\langle f_{j}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|h\rangle =\langle f_{j}|h\rangle ,\quad \forall j}$

これは、演算子方程式を、hの一般化フーリエ係数と演算子Oの行列要素に基づいて未知の係数c _jを決定する行列方程式に変換します。 ${\displaystyle \langle f_{j}|h\rangle }$ ${\displaystyle O_{ji}=\langle f_{j}|O|e_{i}\rangle }$

スペクトル理論の役割は、基底と逆基底の性質と存在を確立することにある。特に、基底は何らかの線型作用素Lの固有関数から構成される可能性がある。

${\displaystyle L|e_{i}\rangle =\lambda _{i}|e_{i}\rangle \,;}$

{  λ _i } はLのスペクトルから得られるL の固有値である。そして、上記の恒等式の分解により、Lの2元展開が得られる。

${\displaystyle LI=L=\sum _{i=1}^{n}L|e_{i}\rangle \langle f_{i}|=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|.}$

解決演算子

スペクトル理論を用いると、レゾルベント演算子Rは次のようになる。

${\displaystyle R=(\lambda I-L)^{-1},\,}$

はLの固有関数と固有値を用いて評価することができ、 Lに対応するグリーン関数を求めることができます。

Rを空間内の任意の関数に適用すると、 ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle R|\varphi \rangle =(\lambda I-L)^{-1}|\varphi \rangle =\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\lambda -\lambda _{i}}}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\varphi \rangle .}$

この関数は、Lの各固有値において複素λ平面に極を持つ。したがって、留数計算を用いると、

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}R|\varphi \rangle d\lambda =-\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\varphi \rangle =-|\varphi \rangle ,}$

ここで線積分はLのすべての固有値を含む等高線C上で行われます。

関数がいくつかの座標 { x _j } 上で定義されているとします。

${\displaystyle \langle x|\varphi \rangle =\varphi (x_{1},x_{2},...).}$

表記法の導入

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\delta (x-y),}$

ここでδ(x − y) = δ(x ₁ − y ₁ , x ₂ − y ₂ , x ₃ − y ₃ , ...)はディラックのデルタ関数であり、^[24]次のように書くことができる。

${\displaystyle \langle x,\varphi \rangle =\int \langle x,y\rangle \langle y,\varphi \rangle dy.}$

それから：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle x,{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {\varphi }{\lambda I-L}}d\lambda \right\rangle &={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}d\lambda \left\langle x,{\frac {\varphi }{\lambda I-L}}\right\rangle \\&={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}d\lambda \int dy\left\langle x,{\frac {y}{\lambda I-L}}\right\rangle \langle y,\varphi \rangle \end{aligned}}}$

関数G(x, y; λ)は次のように定義されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y;\lambda )&=\left\langle x,{\frac {y}{\lambda I-L}}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle \left\langle f_{i},{\frac {e_{j}}{\lambda I-L}}\right\rangle \langle f_{j},y\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\langle x,e_{i}\rangle \langle f_{i},y\rangle }{\lambda -\lambda _{i}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(y)}{\lambda -\lambda _{i}}},\end{aligned}}}$

は演算子Lのグリーン関数と呼ばれ、次式を満たす: ^[25]

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}G(x,y;\lambda )\,d\lambda =-\sum _{i=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle \langle f_{i},y\rangle =-\langle x,y\rangle =-\delta (x-y).}$

演算子方程式

次の演算子方程式を考えてみましょう。

${\displaystyle (O-\lambda I)|\psi \rangle =|h\rangle ;}$

座標に関して：

${\displaystyle \int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \langle y,\psi \rangle \,dy=h(x).}$

特殊なケースとしてはλ = 0 があります。

前のセクションのグリーン関数は次のとおりです。

${\displaystyle \langle y,G(\lambda )z\rangle =\left\langle y,(O-\lambda I)^{-1}z\right\rangle =G(y,z;\lambda ),}$

そして以下を満たします:

${\displaystyle \int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \langle y,G(\lambda )z\rangle \,dy=\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \left\langle y,(O-\lambda I)^{-1}z\right\rangle \,dy=\langle x,z\rangle =\delta (x-z).}$

このグリーン関数の特性を使用すると:

${\displaystyle \int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle G(y,z;\lambda )\,dy=\delta (x-z).}$

次に、この式の両辺にh ( z )を掛けて積分します。

${\displaystyle \int dz\,h(z)\int dy\,\langle x,(O-\lambda I)y\rangle G(y,z;\lambda )=\int dy\,\langle x,(O-\lambda I)y\rangle \int dz\,h(z)G(y,z;\lambda )=h(x),}$

解決策は次のようになります。

${\displaystyle \psi (x)=\int h(z)G(x,z;\lambda )\,dz.}$

つまり、演算子方程式を満たす関数ψ ( x ) は、 Oのスペクトルを見つけて、たとえば次のようにしてGを構築できれば見つかります。

${\displaystyle G(x,z;\lambda )=\sum _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(z)}{\lambda -\lambda _{i}}}.}$

もちろん、Gを求める方法は他にもたくさんあります。 ^[26]グリーン関数とフレドホルム積分方程式に関する論文を参照してください。上記の数学は純粋に形式的なものであり、厳密な扱いには、関数解析、ヒルベルト空間、超関数などに関する十分な背景知識を含む、かなり高度な数学が必要となることを念頭に置いてください。詳細については、これらの論文と参考文献を参照してください。

スペクトル定理とレイリー商

最適化問題は、対称行列の固有値と固有ベクトルの組み合わせの重要性、特に行列Mに関するレイリー商に関する最も有用な例である可能性があります。

定理 Mを対称行列とし、 x をMに関してレイリー商を最大化する非零ベクトルとする。このとき、xはMの固有ベクトルであり、その固有値はレイリー商に等しい。さらに、この固有値はMの最大固有値である 。

証明 スペクトル定理を仮定する。Mの固有値を とする。は直交基底を形成するので、任意のベクトルxはこの基底で次のように表される。 ${\displaystyle \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots \leq \lambda _{n}}$ ${\displaystyle \{v_{i}\}}$

${\displaystyle x=\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{i}}$

この式を証明する方法は非常に簡単です。つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{j}^{T}\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{i}={}&\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{j}^{T}v_{i}\\[4pt]={}&(v_{j}^{T}x)v_{j}^{T}v_{j}\\[4pt]={}&v_{j}^{T}x\end{aligned}}}$

レイリー商をxに関して評価します。

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{T}Mx={}&\left(\sum _{i}(v_{i}^{T}x)v_{i}\right)^{T}M\left(\sum _{j}(v_{j}^{T}x)v_{j}\right)\\[4pt]={}&\left(\sum _{i}(v_{i}^{T}x)v_{i}^{T}\right)\left(\sum _{j}(v_{j}^{T}x)v_{j}\lambda _{j}\right)\\[4pt]={}&\sum _{i,j}(v_{i}^{T}x)v_{i}^{T}(v_{j}^{T}x)v_{j}\lambda _{j}\\[4pt]={}&\sum _{j}(v_{j}^{T}x)(v_{j}^{T}x)\lambda _{j}\\[4pt]={}&\sum _{j}(v_{j}^{T}x)^{2}\lambda _{j}\leq \lambda _{n}\sum _{j}(v_{j}^{T}x)^{2}\\[4pt]={}&\lambda _{n}x^{T}x,\end{aligned}}}$

最後の行ではパーセヴァルの恒等式を使っています。最終的に次の式が得られます。

${\displaystyle {\frac {x^{T}Mx}{x^{T}x}}\leq \lambda _{n}}$

したがってレイリー商は常に より小さくなる。^[27] ${\displaystyle \lambda _{n}}$

参照

• 数学ポータル

• 作用素の関数、作用素理論
• ラックスペア
• 最小二乗スペクトル解析
• リースプロジェクター
• 自己随伴演算子
• スペクトル（関数解析）、レゾルベント形式論、スペクトルの分解（関数解析）
• スペクトル半径、演算子のスペクトル、スペクトル定理
• コンパクト作用素のスペクトル理論
• 正規C*-代数のスペクトル理論
• シュトゥルム・リウヴィル理論、積分方程式、フレドホルム理論
• コンパクト演算子、等スペクトル演算子、完全性
• スペクトル幾何学
• スペクトルグラフ理論
• 関数解析トピックのリスト

注記

1. ジャン・アレクサンドル・デュドネ (1981)。機能解析の歴史。エルゼビア。ISBN 0-444-86148-3。
2. ウィリアム・アーヴェソン (2002). 「第1章 スペクトル理論とバナッハ代数」. スペクトル理論短期講座. シュプリンガー. ISBN 0-387-95300-0。
3. Viktor Antonovich Sadovnichiĭ (1991). 「第4章 ヒルベルト空間の幾何学：作用素のスペクトル理論」. 『作用素の理論』 . Springer. p. 181 et seq . ISBN 0-306-11028-8。
4. スティーン、リン・アーサー. 「スペクトル理論の歴史におけるハイライト」(PDF) .セント・オラフ大学. 2016年3月4日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2015年12月14日閲覧。
5. ジョン・フォン・ノイマン (1996). 量子力学の数学的基礎; プリンストン数学ランドマークシリーズ第2巻 (1932年初版の翻訳復刻). プリンストン大学出版局. ISBN 0-691-02893-1。
6. E. Brian Davies、キングス・カレッジ・ロンドン分析グループのウェブサイト「分析グループの研究」より引用。
7. ニコラス・ヤング (1988). ヒルベルト空間入門. ケンブリッジ大学出版局. p. 3. ISBN 0-521-33717-8。
8. Jean-Luc Dorier (2000). 線形代数の教授法について; 数学教育ライブラリー第23巻. Springer. ISBN 0-7923-6539-9。
9. Cf. Spectra in math and in physics Archived 2011-07-27 at the Wayback Machine by Jean Mawhin、p.4 および pp. 10-11。
10. エドガー・レイモンド・ローチ (2003). スペクトル理論 (オックスフォード1962年版の再版). 教科書出版社. p. 89. ISBN 0-7581-7156-0。
11. ニコラス・ヤング (1988-07-21). 前掲書. ケンブリッジ大学出版局. p. 81. ISBN 0-521-33717-8。
12. ヘルムート・H・シェーファー、マンフレッド・PH・ウォルフ (1999). 位相ベクトル空間（第2版）. シュプリンガー. p. 36. ISBN 0-387-98726-6。
13. Dmitriĭ Petrovich Zhelobenko (2006). 表現論の基本構造と方法. アメリカ数学会. ISBN 0821837311。
14. エドガー・レイモンド・ローチ (2003). 「第3章 ヒルベルト空間」. スペクトル理論. 教科書出版社. p. 57. ISBN 0-7581-7156-0。
15. エドガー・レイモンド・ローチ (2003). 「第5章 自己随伴変換の構造」. スペクトル理論. 教科書出版社. 106ページ以降. ISBN 0-7581-7156-0。
16. バーナード・フリードマン (1990). 『応用数学の原理と技法』（1956年Wiley版の再版）ドーバー出版. p. 26. ISBN 0-486-66444-9。
17. PAM Dirac (1981). 『量子力学の原理』（第4版）. オックスフォード大学出版局. 29ページ以降. ISBN 0-19-852011-5。
18. Jürgen Audretsch (2007). 「第1章 1.2 ヒルベルト空間上の線型作用素」.エンタングルドシステム：量子物理学の新たな方向性. Wiley-VCH. p. 5. ISBN 978-3-527-40684-5。
19. RA Howland (2006). 中級ダイナミクス：線形代数的アプローチ（第2版）. Birkhäuser. p. 69 ff . ISBN 0-387-28059-6。
20. バーナード・フリードマン (1990). 「第2章 作用素のスペクトル理論」. 前掲書. ドーバー出版. 57ページ. ISBN 0-486-66444-9。
21. 上記のディラックの著書の議論、およびミラン・ヴイチッチ（2008年）『線形代数の徹底解説』Springer、p. 274、ISBNを参照。 978-3-540-74637-9。
22. 例えば、ジョン・フォン・ノイマン（1955）の基本テキストを参照。同書。プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-02893-1。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)Arch W. Naylor 、 George R. Sell (2000)。線形作用素理論：工学と科学、応用数学科学第40巻。Springer、p. 401。ISBN 0-387-95001-X。スティーブン・ローマン著（2008年）『上級線形代数（第3版）』Springer、ISBN 978-0-387-72828-5。I︠U︡riĭ Makarovich Berezanskiĭ (1968). 自己随伴作用素の固有関数の展開; 数学モノグラフ翻訳第17巻. アメリカ数学会. ISBN 0-8218-1567-9。
23. 例えば、Gerald B Folland (2009). 「収束と完全性」.フーリエ解析とその応用(Wadsworth & Brooks/Cole 1992 ed. の再版). アメリカ数学会. pp. 77 ff . ISBN 978-0-8218-4790-9。
24. PAM Dirac (1981). 同上. Clarendon Press. p. 60 ff . ISBN 0-19-852011-5。
25. バーナード・フリードマン (1956). 前掲書. ドーバー出版. p. 214, 式2.14. ISBN 0-486-66444-9。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
26. 例えば、Sadri Hassani (1999)「第20章 1次元グリーン関数」を参照。『数理物理学：基礎への現代的入門』 Springer、553ページ以降。ISBN 0-387-98579-4。およびQing-Hua Qin (2007). グリーン関数と多場材料の境界要素. Elsevier. ISBN 978-0-08-045134-3。
27. スピルマン、ダニエル A.「スペクトルグラフ理論に関する講義ノート」イェール大学 (2012) http://cs.yale.edu/homes/spielman/561/ 。

参考文献

• エドワード・ブライアン・デイヴィス (1996). 『スペクトル理論と微分作用素』; ケンブリッジ大学出版局, ISBN 0-521-58710-7。
• ダンフォード、ネルソン、シュワルツ、ジェイコブ・T (1988). 『線型作用素、スペクトル理論、ヒルベルト空間における自己随伴作用素（第2部）』（1967年版ペーパーバック復刻版）Wiley. ISBN 0-471-60847-5。
• ダンフォード、ネルソン; シュワルツ、ジェイコブ・T (1988). 線形作用素、スペクトル作用素（第3部）（1971年版のペーパーバック復刻版）. Wiley. ISBN 0-471-60846-7。
• サドリ・ハッサニ (1999). 「第4章 スペクトル分解」. 『数理物理学：基礎への現代的入門』 . シュプリンガー. ISBN 0-387-98579-4。
• 「線形作用素のスペクトル理論」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• シュムエル・カントロヴィッツ (1983).バナッハ空間作用素のスペクトル理論. シュプリンガー.
• アーチ・W・ネイラー、ジョージ・R・セル (2000) 「第5章 B：スペクトル」工学と科学における線形作用素理論;応用数学科学第40巻. シュプリンガー. p. 411. ISBN 0-387-95001-X。
• ジェラルド・テシュル(2009). 『量子力学における数学的手法；シュレーディンガー作用素への応用』アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-4660-5。
• ヴァルター・モレッティ (2017). 『スペクトル理論と量子力学；量子理論の数学的基礎、対称性、代数的定式化入門』第2版. シュプリンガー. ISBN 978-3-319-70705-1。

外部リンク

• エヴァンス・M・ハレル著『作用素理論の小史』II
• グレゴリー・H・ムーア (1995). 「線形代数の公理化：1875-1940」. Historia Mathematica . 22 (3): 262– 303. doi : 10.1006/hmat.1995.1025 .
• スティーン, LA (1973年4月). 「スペクトル理論史のハイライト」.アメリカ数学月刊誌. 80 (4): 359– 381. doi :10.2307/2319079. JSTOR  2319079.

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