バッキンガムのπ定理

Theorem in dimensional analysis

エドガー・バッキンガム、 1886年頃

工学、応用数学、物理学において、バッキンガムのπ定理は次元解析における重要な定理です。これはレイリーの次元解析法を形式化したものです。簡単に言えば、この定理は、ある数nの物理変数を含む物理的に意味のある方程式がある場合、元の方程式は元の変数から構成されるp  =  n  −  kの無次元パラメータπ ₁、π ₂、 ... 、π _pの集合で書き換えられることを述べています。ここで、kは含まれる物理次元の数であり、特定の行列の階数として得られます。

この定理は、方程式の形式がまだ不明な場合でも、与えられた変数から無次元パラメータのセットを計算する方法、つまり無次元化の方法を提供します。

バッキンガムのπ定理は、物理法則の妥当性は特定の単位系に依存しないことを示しています。この定理の要点は、あらゆる物理法則は、その法則によって結び付けられた変数の無次元の組み合わせ（比または積）のみを含む恒等式として表現できるということです（例えば、圧力と体積はボイルの法則によって結び付けられており、それらは反比例します）。無次元の組み合わせの値が単位系によって変化すると、方程式は恒等式ではなくなり、定理は成立しなくなります。

歴史

エドガー・バッキンガムにちなんで名付けられたπ定理は、1878年にフランスの数学者ジョゼフ・ベルトランによって初めて証明されました。 ^[1]ベルトランは電気力学と熱伝導に関する問題の特殊なケースのみを扱っていましたが、彼の論文は、この定理の現代的な証明の基本的な考え方をすべて明確に示しており、物理現象のモデル化におけるこの定理の有用性を明確に示しています。この定理を用いる手法（「次元法」）は、レイリーの研究によって広く知られるようになりました。一般的な場合^{[注 1]における}π定理の、パイプ内の圧力降下が支配パラメータに依存するという問題への最初の適用は、おそらく1892年に遡り、^[2]級数展開を用いた発見的な証明は1894年に遡ります。^[3]

π定理の任意の個数に対する正式な一般化は、 1892年にA. Vaschy  [fr]によって初めて示され、 ^{[4] [5]、その後1911年にA. Federman [6]}とD. Riabouchinsky [ ^7]の両者によって（明らかに独立して）示され、さらに1914年にBuckingham ^[8]によって示されました。無次元変数（またはパラメータ）を表す記号「」の使用を導入したのはBuckinghamの論文であり、これが定理の名前の由来となっています。 ${\displaystyle \pi _{i}}$

声明

より正式には、形成可能な無次元項の数は次元行列の零度に等しく、階数は である。実験目的においては、これらの無次元数に関して同じ記述を共有する異なるシステムは同等である。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$

数学的に言えば、のような物理的に意味のある方程式があり 、が任意の物理変数で、 のサイズの最大次元独立サブセットがある場合、^{[注 2]}、上記の方程式は と言い換えることができます 。 は、 という形式の無次元方程式、いわゆるPi グループによってから構築された無次元パラメータです。ここで、指数は有理数です。 （をすべての分母をクリアする累乗として再定義することにより、常に整数にすることができます。）基本単位が使用されている場合は、 となります。 $${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0,}$$ ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0,}$$ ${\displaystyle \pi _{1},\ldots ,\pi _{p}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p=n-k}$ $${\displaystyle \pi _{i}=q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}},}$$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle p\geq n-\ell }$

意義

バッキンガムのπ定理は、方程式の形が不明な場合でも、与えられた変数から無次元パラメータの集合を計算する方法を提供します。しかし、無次元パラメータの選択は一意ではありません。バッキンガムの定理は、無次元パラメータの集合を生成する方法を提供するだけで、最も「物理的に意味のある」ものを示すものではありません。

これらのパラメータが一致する2つの系は相似と呼ばれます（相似三角形と同様に、スケールのみが異なる）。これらは方程式の目的において等価であり、方程式の形を決定しようとする実験者は最も都合の良い方を選択できます。最も重要なのは、バッキンガムの定理が変数の数と基本次元の関係を記述していることです。

証拠

簡潔にするために、基本物理単位と導出物理単位の空間は実数上のベクトル空間を形成し、基本単位を基底ベクトルとし、物理単位の乗算を「ベクトル加算」演算、べき乗を「スカラー乗算」演算とすると仮定します。次元変数は、基本単位に必要な指数の集合として表します（特定の基本単位が存在しない場合は、指数は0になります）。例えば、標準的な重力の単位は（長さ÷時間の2乗）であるため、基本単位の基底（長さ、時間）に関するベクトルとして表されます。また、基本単位の指数が有理数であることを要求し、それに応じて証明を修正することもできます。その場合、π群の指数は常に有理数、あるいは整数として取ることができます。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathsf {L}}/{\mathsf {T}}^{2}={\mathsf {L}}^{1}{\mathsf {T}}^{-2}}$ ${\displaystyle (1,-2)}$

単位の再スケーリング

長さの 乗を単位とする量 があるとします。長さをメートルで測り、後にセンチメートルに切り替えた場合、 の数値は倍にスケール変更されます。物理的に意味のある法則は、あらゆる基本単位を任意に変更しても不変であるはずです。これが円周率の定理の根底にある事実です。 ${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle 100^{c_{i}}}$

正式な証明

基本（基底）次元における次元変数の系が与えられた場合、次元行列とは、行が基本次元に対応し、列が変数の次元に対応する行列である。すなわち、 番目の要素（ここで、 および）は、 番目の変数における 番目の基本次元のべき乗である。この行列は、変数量の組み合わせを取り、その組み合わせの次元を基本次元で表現するものと解釈できる。したがって、乗算によって得られる（列）ベクトルは、の単位を基本独立（基底）単位で表したものとなる。[^{注 3]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{n}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell \times n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \ell \times 1}$ $${\displaystyle M{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}}}$$ ${\displaystyle \ell }$

番目の基本単位を 倍してスケール変更すると、 は倍してスケール変更されます。ここで、は次元行列の 番目の要素です。これを線形代数の問題に変換するには、対数（底は無関係）をとって、 となり、これはへの の作用です。が のとき、物理系に許容される値のセットとなるような任意関数を物理法則と定義します。さらに、 がこの作用に対して不変であることを要求します。したがって、 は関数 になります。残っているのは、π 群の（対数）空間であるとの間に同型性を示すことだけです。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle q_{j}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}^{-m_{1j}}\,\alpha _{2}^{-m_{2j}}\cdots \alpha _{\ell }^{-m_{\ell j}}}$ ${\displaystyle m_{ij}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log {q_{1}}\\\vdots \\\log {q_{n}}\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}\log {q_{1}}\\\vdots \\\log {q_{n}}\end{bmatrix}}-M^{\operatorname {T} }{\begin{bmatrix}\log {\alpha _{1}}\\\vdots \\\log {\alpha _{\ell }}\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\ell }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ^{+})^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$ ${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}/\operatorname {im} {M^{\operatorname {T} }}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\operatorname {im} {M^{\operatorname {T} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle (\log {\pi _{1}},\log {\pi _{2}},\dots ,\log {\pi _{p}})}$

列が の基底となる行列を構築する。これはを の核として に埋め込む方法を示している。つまり、正確な列が得られる。 ${\displaystyle n\times p}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ker {M}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {R} ^{p}\xrightarrow {\ K\ } \mathbb {R} ^{n}\xrightarrow {\ M\ } \mathbb {R} ^{\ell }.}$

転置すると別の正確な配列が得られる

${\displaystyle \mathbb {R} ^{\ell }\xrightarrow {\ M^{\operatorname {T} }\ } \mathbb {R} ^{n}\xrightarrow {\ K^{\operatorname {T} }\ } \mathbb {R} ^{p}\to 0.}$

第一同型定理は、望ましい同型性を与え、剰余類 を に送る。これは、組を の列から得られるπ群に書き換えることに対応する。 ${\displaystyle v+M^{\operatorname {T} }\mathbb {R} ^{\ell }}$ ${\displaystyle K^{\operatorname {T} }v}$ ${\displaystyle (\log q_{1},\log q_{2},\dots ,\log q_{n})}$ ${\displaystyle (\log \pi _{1},\log \pi _{2},\dots ,\log \pi _{p})}$ ${\displaystyle K}$

国際単位系では、アンペア、ケルビン、秒、メートル、キログラム、カンデラ、モルの7つの基本単位が定義されています。次元解析技術を洗練させるために、追加の基本単位や手法を導入することが有益な場合があります。（配向解析と参考文献^[9]を参照）

例

スピード

この例は初歩的ですが、手順を説明するのに役立ちます。

車が時速 100 km で走行している場合、200 km 進むのにどのくらいの時間がかかりますか?

この問題は、距離、時間、速度といった次元を持つ変数を扱い、「これらの変数のうち2つは次元的に独立だが、3つを合わせると独立ではない」という形式の法則を求めています。したがって、無次元量が存在することになります。 ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle t=\operatorname {Duration} (v,d).}$ ${\displaystyle p=n-k=3-2=1}$

次元行列は、行が基底次元、列が考慮次元（後者は速度次元を表す）に対応する行列である。行列の要素は、それぞれの次元を何乗するかに対応する。例えば、3列目は、列ベクトルで表されるベクトルが基底次元を用いて次のように表現できることを示している。 $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0&\;\;\;1\\0&1&-1\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle L,T,{\text{ and }}V,}$ ${\displaystyle (1,-1),}$ ${\displaystyle V=L^{0}T^{0}V^{1},}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =[0,0,1],}$ ${\displaystyle V=L^{1}T^{-1}=L/T,}$ ${\displaystyle M\mathbf {v} =[1,-1].}$

無次元定数の場合、行列ベクトル積が零ベクトルに等しいベクトルを求めます。線形代数では、この性質を持つベクトルの集合は、次元行列の核（または零空間）と呼ばれます。この場合、核は1次元です。上記の次元行列は、縮約された行階段形式であるため、乗法定数の範囲内で非零核ベクトルを読み取ることができます。 ${\displaystyle \pi =L^{a_{1}}T^{a_{2}}V^{a_{3}},}$ ${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},a_{3}]}$ ${\displaystyle M\mathbf {a} }$ ${\displaystyle [0,0].}$ $${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}-1\\\;\;\;1\\\;\;\;1\\\end{bmatrix}}.}$$

次元行列が既に縮約されていない場合、次元行列に対してガウス・ジョルダン消去法を実行することで、核をより簡単に決定することができます。したがって、次元を対応する次元付き変数に置き換えた無次元定数は、次のように表すことができます。 $${\displaystyle \pi =d^{-1}t^{1}v^{1}=tv/d.}$$

カーネルは乗法定数内でのみ定義されているため、上記の無次元定数を任意の累乗すると、別の（同等の）無次元定数が生成されます。

次元解析は、このようにして3つの物理変数を関連付ける一般的な方程式を与えた。または、関数の零点を次のように表すと、望ましい形式（ であったことを思い出す）で次のように表すことができる。 $${\displaystyle F(\pi )=0,}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F,}$ $${\displaystyle \pi =C,}$$ ${\displaystyle t=\operatorname {Duration} (v,d)}$ $${\displaystyle t=C{\frac {d}{v}}.}$$

3つの変数間の実際の関係は単純です。言い換えれば、この場合、 は物理的に関連する根を1つ持ち、それは1です。 の値は1つしかなく、それが1に等しいという事実は、次元解析の手法では明らかにされません。 ${\displaystyle d=vt.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C}$

単振り子

単振り子の微小振動の周期を決定したい。周期は、長さ、質量、そして地球表面における重力加速度の関数であると仮定する。重力加速度は、長さ÷時間の2乗で表される。このモデルは以下の式で表される。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle g,}$ $${\displaystyle f(T,M,L,g)=0.}$$

（これは関数ではなく関係として書かれていることに注意してください。ここでは の関数として書かれていません） ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M,L,{\text{ and }}g.}$

周期、質量、長さは次元的に独立ですが、加速度は時間と長さで表すことができるため、これら4つの変数を合わせると次元的に独立ではありません。したがって、必要なのは次元のないパラメータのみで、これは で表され、モデルは と再表現できます。ここで、 は の値に対してで与えられます。 ${\displaystyle p=n-k=4-3=1}$ ${\displaystyle \pi ,}$ $${\displaystyle F(\pi )=0,}$$ ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle \pi =T^{a_{1}}M^{a_{2}}L^{a_{3}}g^{a_{4}}}$$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}.}$

次元量の次元は次のとおりです。 $${\displaystyle T=t,M=m,L=\ell ,g=\ell /t^{2}.}$$

次元行列は次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}1&0&0&-2\\0&1&0&0\\0&0&1&1\end{bmatrix}}.}$$

（行は次元とに対応し、列は次元変数に対応します。たとえば、4番目の列は、変数が の次元を持つことを示しています。） ${\displaystyle t,m,}$ ${\displaystyle \ell ,}$ ${\displaystyle T,M,L,{\text{ and }}g.}$ ${\displaystyle (-2,0,1),}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle t^{-2}m^{0}\ell ^{1}.}$

我々は、の行列積がゼロベクトルを生成するようなカーネルベクトルを探しています。上記の次元行列は縮小された行階段形式であるため、乗法定数内のカーネルベクトルを読み取ることができます。 ${\displaystyle a=\left[a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right]}$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle [0,0,0].}$ $${\displaystyle a={\begin{bmatrix}2\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}.}$$

次元行列が既に縮約されていない場合、ガウス・ジョルダン消去法を用いて、より容易に核を求めることができます。したがって、無次元定数は次のように書き表すことができます。基本的には、これは無次元です。核は乗法定数の範囲内でのみ定義されるため、上記の無次元定数を任意のべき乗で乗じると、それと等価な別の無次元定数が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=T^{2}M^{0}L^{-1}g^{1}\\&=gT^{2}/L\end{aligned}}.}$$ $${\displaystyle \pi =(t)^{2}(m)^{0}(\ell )^{-1}\left(\ell /t^{2}\right)^{1}=1,}$$

この例では、4次元量のうち3つが基本単位であるため、最後の量（）は前の量の組み合わせでなければなりません。（ の係数）がゼロでない場合、値をキャンセルする方法がないため、 はゼロでなければならないことに注意してください。次元解析により、振り子の周期は質量の関数ではないと結論付けることができます（質量、時間、距離の累乗の3次元空間では、質量のベクトルは他の3つの変数のベクトルから線形独立であると言えます。スケーリング係数を除けば、 は無次元パラメータのベクトルを構成する唯一の非自明な方法です）。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle {\vec {g}}+2{\vec {T}}-{\vec {L}}}$

モデルは次のように表現できます。 $${\displaystyle F\left(gT^{2}/L\right)=0.}$$

すると、関数の零点が1つしかない場合、それを と呼ぶ。零点が1つしかないこと、そして定数が実際には次のように与えられることを示すには、より物理的な洞察や実験が必要である。 ${\displaystyle gT^{2}/L=C_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle gT^{2}/L=C.}$ ${\displaystyle C=4\pi ^{2}.}$

振り子の大きな振動の場合、最大振り角という無次元パラメータが加わることで解析は複雑になります。上記の解析は、角度がゼロに近づくにつれて良好な近似値となります。

電力

π定理の適用例を示すために、与えられた形状のスターラーの消費電力を考えてみましょう。寸法[M · L ² /T ³ ]における電力Pは、密度ρ [M/L ³ ]、撹拌される流体の粘度μ [M/(L · T)]、および直径D [L]で与えられるスターラーのサイズ、およびスターラーの角速度n [1/T]の関数です。したがって、この例を表す変数は合計n = 5個あります。これらのn = 5個の変数は、長さ: L ( SI単位: m )、時間: T ( s )、質量: M ( kg )など、 k = 3個の独立した寸法から構成されます。

π定理によれば、n = 5 個の変数はk = 3 個の次元によって縮約され、 p = n − k = 5 − 3 = 2 個の独立した無次元数となる。通常、これらの量は、流体の流れ状態を記述するレイノルズ数と呼ばれる と、スターラーの無次元記述であるべき数として選択される。 ${\textstyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho nD^{2}}{\mu }}}$ ${\textstyle N_{\mathrm {p} }={\frac {P}{\rho n^{3}D^{5}}}}$

2つの無次元量は一意ではなく、n = 5個の変数のどれがk = 3個の次元独立基底変数として選択されるかによって決まることに注意してください。この例では、これらの基底変数は両方の無次元量に現れます。レイノルズ数とべき乗数は、基底変数として、 n、Dを選択した場合、上記の解析から得られます。代わりに、n、Dを選択した場合、レイノルズ数は回復されますが、2番目の無次元量は になります。はレイノルズ数とべき乗数の積であることに注意してください。 ${\textstyle \rho }$ ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }={\frac {P}{\mu D^{3}n^{2}}}}$ ${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }}$

その他の例

次元解析の一例として、薄くて固体で、かつ平行な面を持つ回転円板の力学が挙げられます。この円板には5つの変数が関与しており、これらは2つの無次元グループに帰着します。これらの変数間の関係は、例えば有限要素法を用いた数値実験によって決定することができます。^[10]

この定理は物理学以外の分野でも利用されており、例えばスポーツ科学などでも用いられている。^[11]

参照

• 数学ポータル
• 物理学ポータル

• 爆風
• 無次元量
• 自然単位
• 相似（モデル）
• レイノルズ数

参考文献

注記

1. π定理を適用すると、無次元数の任意の関数が生じます。
2. 次元独立な変数集合とは、無次元量をもたらす指数が のみであるような変数集合のことである。これはまさに線型独立性の概念である。 ${\displaystyle q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{k}^{a_{k}}}$ ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =0}$
3. これらの基本単位が で、 の単位がすべての についてである場合、 となるので、たとえば、これらの基本単位に関する の単位は となる。 具体的な例として、基本単位がメートルと秒で、次元変数があるとする。ベクトルの加算と単位のスカラー乗算の定義により、となる 。 定義により、無次元変数とは、単位が のベクトルとまったく同じである変数 のことである 。これは、直接計算により検証できる。 これは確かに無次元である。したがって、何らかの物理法則が、と何らかの（未知の）関数について の（おそらく未知の）方程式で必然的に関連付けらている場合（つまり、組は必然的に のゼロである）、変数、無次元変数（またはの任意の非ゼロ有理数べき）のみに依存する何らかの（未知の）関数が存在し、 が成り立つ（ の代わりに を使用する場合、はに置き換えることができ、再び成り立つ）。したがって、元の変数に関して、が成り立つ必要がある（あるいは、たとえば を使用する場合、 が成り立つ必要がある）。言い換えると、バッキンガムのπ定理は、がちょうど 1 つの零点を持つ場合、それを と呼ぶと、方程式が必然的に成立することを意味しています (定理は定数の正確な値が何であるかに関する情報は提供せず、 がちょうど 1 つの零点を持つことも保証しません)。 ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{\ell }}$ ${\displaystyle q_{j}=m_{1j}b_{1}+\cdots +m_{\ell j}b_{\ell }}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$ $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}m_{11}&\cdots &m_{1j}&\cdots &m_{1n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\m_{\ell 1}&\cdots &m_{\ell j}&\cdots &m_{\ell n}\\\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle q_{1}}$ $${\displaystyle M\left(\left[1\ 0\ \cdots \ 0\right]^{\operatorname {T} }\right)={\begin{bmatrix}m_{11}\\\vdots \\m_{\ell 1}\\\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle \ell =2}$ ${\displaystyle b_{1}=m}$ ${\displaystyle b_{2}=s,}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle q_{1}=m/s^{2},q_{2}=1/m,q_{3}=s/m.}$ $${\displaystyle q_{1}=ms^{-2}=1m+(-2)s,\quad q_{2}=m^{-1}=(-1)m+0s,\quad {\text{and}}\quad q_{3}=m^{-1}s=(-1)m+1s,}$$ $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}m_{11}&m_{12}&m_{13}\\m_{21}&m_{22}&m_{23}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&-1&-1\\-2&0&1\\\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle m^{0}s^{0},}$ $${\displaystyle \ker M=\operatorname {span} \left\{[1,-1,2]^{\operatorname {T} }\right\}=\left\{\left(q_{1}-q_{2}+2q_{3}\right)^{s}:s\in \mathbb {Q} \right\}.}$$ $${\displaystyle q_{1}-q_{2}+2q_{3}=\left(ms^{-2}\right)^{1}+\left(m^{-1}\right)^{-1}+\left(sm^{-1}\right)^{2}=m^{1}s^{-2}+m^{1}+m^{-2}s^{2}=m^{1+1+(-2)}s^{-2+0+2}=m^{0}s^{0},}$$ ${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}}$ ${\displaystyle f\left(q_{1},q_{2},q_{3}\right)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {domain} (f)\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \left(q_{1},q_{2},q_{3}\right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p=3-2=1}$ ${\displaystyle \pi _{1}:=q_{1}-q_{2}+2q_{3}=q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}_{1}:=\pi _{1}^{s}}$ ${\displaystyle \pi _{1},}$ ${\displaystyle 0\neq s\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle F\left(\pi _{1}\right)=0}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}_{1}:=\pi _{1}^{s}}$ ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\hat {F}}(x):=F\left(x^{1/s}\right)}$ ${\displaystyle {\hat {F}}\left({\hat {\pi }}_{1}\right)=0}$ ${\displaystyle F\left(q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}\right)=0}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}_{1}:=\pi _{1}^{1/2}={\sqrt {\pi _{1}}}}$ ${\displaystyle {\hat {F}}\left({\sqrt {q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}}}\right)=0}$ ${\displaystyle q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}\in F^{-1}(0),}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}=C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F}$

引用

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参考文献

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オリジナルソース

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外部リンク

• 円周率の定理と相似理論の歴史に関するレビューと原典（ロシア語）

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