ピッチフォーク分岐

1つの固定点を持つシステムから3つの固定点を持つシステムへの分岐

数学の一分野である分岐理論において、ピッチフォーク分岐とは、系が1つの固定点から3つの固定点へと遷移する局所分岐の一種です。ピッチフォーク分岐はホップ分岐と同様に、超臨界分岐と亜臨界分岐の2種類があります。

ODEによって記述される連続的な動的システム (つまりフロー) では、一般的に、対称性を持つシステムでピッチフォーク分岐が発生します。

超臨界ケース

超臨界の場合: 実線は安定点を表し、点線は不安定点を表します。

超臨界フォーク分岐の通常の形は

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx-x^{3}.}$

の場合、 に 1 つの安定平衡が存在します。 の場合、 に 1 つの不安定平衡が、 に 2 つの安定平衡が存在します。 ${\displaystyle r<0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {r}}}$

臨界未満の場合

亜臨界ケース: 実線は安定点を表し、点線は不安定点を表します。

臨界未満のケースの正規形は

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx+x^{3}.}$

この場合、 における平衡は安定であり、 には2つの不安定な平衡が存在します。 における平衡は不安定です。 ${\displaystyle r<0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {-r}}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x=0}$

正式な定義

ODE

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,r)\,}$

次の条件を満たす1パラメータ関数で記述されます。 ${\displaystyle f(x,r)}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle -f(x,r)=f(-x,r)\,\,}$  （fは奇関数）

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial x}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{0})&\neq 0,\\[5pt]{\frac {\partial f}{\partial r}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial r}}(0,r_{0})&\neq 0.\end{aligned}}}$

はでピッチフォーク分岐を持つ。ピッチフォークの形は三次導関数の符号で与えられる。 ${\displaystyle (x,r)=(0,r_{0})}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{0}){\begin{cases}<0,&{\text{supercritical}}\\>0,&{\text{subcritical}}\end{cases}}\,\,}$

臨界未満と臨界超は、それぞれ点線と実線で示されたピッチフォークの外側の線の安定性を表すものであり、ピッチフォークの向きには依存しないことに注意してください。例えば、上記の最初の常微分方程式の負の値 は、最初の図と同じ方向を向いていますが、安定性は反転しています。 ${\displaystyle {\dot {x}}=x^{3}-rx}$

参照

• 分岐理論
• 分岐図

参考文献

• Steven Strogatz、「非線形ダイナミクスとカオス：物理学、生物学、化学、工学への応用」、Perseus Books、2000 年。
• S. Wiggins、「応用非線形動的システムとカオス入門」、Springer-Verlag、1990 年。

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