黄金比

Number, approximately 1.618

黄金比（φ）

表現
小数点	1.618 033 988 749 894  . . .  [1]
代数形式	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$
連分数	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}$

長辺がa + b、短辺がaの黄金長方形は、2つの部分に分けることができます。長辺がa、短辺がbの黄金長方形（右の赤色の網掛け部分）と、辺の長さがaの正方形（左の青色の網掛け部分）です。これは、関係性を示しています。a + b/1つの⁠ = ⁠1つの/b⁠ = φ。

数学において、2つの量の比が、それらの和と2つの量のうち大きい方の量の比に等しい場合、それらの量は黄金比である。代数的に表すと、量⁠ ⁠と⁠ ⁠で⁠ ⁠が⁠ ⁠に対して黄金比である場合、ギリシャ文字のファイ（⁠ ⁠または⁠ ⁠ ）は黄金比を表す。^[a]定数⁠ ⁠は二次方程式⁠ ⁠を満たし、 ^[1]の値を持つ無理数である。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a>b>0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi ,}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \textstyle \varphi ^{2}=\varphi +1}$ ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}={}}$1.618 033 988 749 ....黄金比はユークリッドによって極限比と中庸比と称され^[2]、ルカ・パチョーリによって神聖な比率^[3]と称された。また、他の呼び方もある^{[b] 。}

数学者は古代から黄金比の特性を研究してきました。黄金比は正五角形の対角線と辺の比であり、正十二面体と正二十面体の構築に現れます。^[7]黄金長方形、つまりアスペクト比が⁠ ⁠の長方形は、正方形と、同じアスペクト比を持つ小さな長方形に切り分けることができます。黄金比は、自然物や金融市場などの人工システムの比率を分析するために使用されており、場合によってはデータへの疑わしい適合に基づいています。^[8]黄金比は、葉やその他の植物の螺旋状の配置など、自然界のいくつかのパターンに現れます。 ${\displaystyle \varphi }$

ル・コルビュジエやサルバドール・ダリを含む20世紀の芸術家や建築家の中には、黄金比が美的感覚に優れていると考え、作品の比率を黄金比に近づけた者がいます。こうした作品は、しばしば黄金長方形の形で現れます。

計算

2つの量⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$と⁠ ⁠が ${\displaystyle b}$黄金比 である場合、[ ${\displaystyle \varphi }$^9] $${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi .}$$

したがって、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$を求めるには、上記の定義が任意の⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$に対して成り立つことを利用できます。つまり、⁠ ⁠ ${\displaystyle b=1}$を設定するだけで、その場合⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi =a}$となり、方程式⁠ ⁠が得られます。これは ${\displaystyle (\varphi +1)/\varphi =\varphi }$⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$を掛けると二次方程式になります。これは次のように変形できます 。 $${\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}$$ $${\displaystyle {\varphi }^{2}-\varphi -1=0.}$$

二次方程式の公式からは 2 つの解が得られます。

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618033\dots \ }$そして ${\displaystyle \ {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.618033\dots .}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$は正の数の比なので、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$は必然的に正の根になります。^[10]負の根は実は負の逆数であり、黄金 ${\displaystyle -1/\varphi }$比と多くの性質を共有しています。

歴史

マリオ・リヴィオによれば、

古代ギリシャのピタゴラスやユークリッド、中世イタリアの数学者レオナルド・ディ・ピサ、ルネサンスの天文学者ヨハネス・ケプラー、そしてオックスフォード大学の物理学者ロジャー・ペンローズといった現代の科学者に至るまで、あらゆる時代の偉大な数学者たちが、この単純な比率とその性質について膨大な時間を費やしてきました。…生物学者、芸術家、音楽家、歴史家、建築家、心理学者、そして神秘主義者でさえ、黄金比の普遍性と魅力の根拠について熟考し、議論してきました。実際、黄金比は数学の歴史において他のどの数字よりも、あらゆる分野の思想家にインスピレーションを与えてきたと言っても過言ではないでしょう。^[11]

— 黄金比：世界で最も驚くべき数字、ファイの物語

古代ギリシャの数学者は、黄金比が幾何学に頻繁に登場するため、最初に黄金比を研究しました。^[12]直線を「極小比と中小比」（黄金分割）に分割することは、正五芒星や五角形の幾何学において重要です。^[13]ある伝説によると、紀元前5世紀の数学者ヒッパソスは、黄金比が整数でも分数でもない（無理数である）ことを発見し、ピタゴラス学派を驚かせました。^[14] ユークリッドの『原論』（紀元前300年頃）には、黄金比を用いたいくつかの命題とその証明が示されており、 ^{[15] [c]}黄金比の最初の定義は次のように示されています。^[16]

直線は、全体の長さが大きな線分の長さに対して等しいとき、また、大きな線分が小さな線分の長さに対して等しいとき、極中比で切られていると言われる。^{[17] [d]}

比率の小数近似値を初めて書いたマイケル・マエストリン

黄金比はその後千年にわたって周縁的に研究された。アブ・カミル（850年頃-930年）は、五角形と十角形の幾何学的計算に黄金比を用いた。彼の著作はフィボナッチ（ピサのレオナルド）（1170年頃-1250年）の著作に影響を与えた。フィボナッチは黄金比を関連する幾何学の問題に用いたが、それがフィボナッチ数と関連していることに気づいていなかった。^[19]

ルカ・パチョーリは、その著書『神の比例』 ( 1509年)をこの比にちなんで名付けた。ピエロ・デラ・フランチェスカから大部分を盗用したこの本は、プラトン立体の一部に現れることを含め、この比の特性を研究した。^{[20] [21]パチョーリの本の挿絵を描いた} レオナルド・ダ・ヴィンチは、この比をセクシオ・アウレア(黄金比)と呼んだ。^[22]パチョーリは、美しく調和のとれた比率を生み出すために黄金比の適用を主張したとよく言われるが、リヴィオは、この解釈は1799年の誤りに遡り、パチョーリは実際にはウィトルウィウス的有理比率の体系を主張していたと指摘している。^{[23]パチョーリはまた、この比にカトリックの宗教的重要性を見出しており、それが彼の著書のタイトルにつながった。}ラファエル・ボンベッリなどの16世紀の数学者は、この比を使って幾何学の問題を解いた。^[24]

ドイツの数学者シモン・ヤコブ（1564年没）は、連続するフィボナッチ数は黄金比に収束することを指摘した。^[25]これは1608年にヨハネス・ケプラーによって再発見された。^[26]黄金比（逆数）の最初の小数近似値は、 1597年にテュービンゲン大学のミヒャエル・メーストリンがかつての教え子であるケプラーに宛てた手紙の中で「およそ⁠ ⁠ 」と述べられた。 ${\displaystyle 0.6180340}$^[27]同年、ケプラーはメーストリンに、黄金比とピタゴラスの定理を組み合わせたケプラーの三角形について書いた。ケプラーはこれについて次のように述べている。

幾何学には二つの偉大な宝がある。一つはピタゴラスの定理、もう一つは直線を極比と中比に分割することである。前者は金塊に例えられ、後者は貴重な宝石と呼ぶことができる。^[28]

18世紀の数学者アブラハム・ド・モアブル、ニコラウス・ベルヌーイ、レオンハルト・オイラーは、黄金比に基づく公式を用いて、フィボナッチ数列における位置に基づいてその値を求めました。1843年、ジャック・フィリップ・マリー・ビネーによってこの公式が再発見され、「ビネーの公式」と名付けられました。^[29] マルティン・オームは1835年に、この比率を表すためにドイツ語の「 goldener Schnitt」（黄金分割）を初めて使用しました。 ^[30] ジェームズ・サリーは1875年に、これに相当する英語の用語を使用しました。^[31]

1910年までに、発明家のマーク・バーはギリシャ文字の ファイ（⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$）を黄金比の記号として使い始めました。 ^{[32] [e]また、}古代ギリシャ語のτομή（「切断」または「セクション」）の最初の文字であるタウ（⁠ ⁠ ${\displaystyle \tau }$ ）でも表されてきました。 ^[35]

ダン・シェヒトマンは1985 年にNISTでゾメトイモデルを使用して準結晶を実演しました。

1960年代後半にスティーブ・ベアによって開発されたゾム構築システムは、正20面体/正12面体の対称性システムに基づいており、黄金比を至る所で用いています。1973年から1974年にかけて、ロジャー・ペンローズはペンローズ・タイリングを考案しました。これは、2つの菱形タイルの面積比とパターン内の相対頻度の両方において黄金比と関連したパターンです。^{[36]これは}、ダン・シェヒトマンが1982年にノーベル賞を受賞した正20面体対称性を持つ準結晶を発見した後、注目を集めました。この準結晶はその後すぐにペンローズ・タイリングとの類推によって説明されました。^[37]

数学

非合理性

黄金比は無理数です。以下に、無理数であることの簡単な証明を2つ示します。

最も低い表現からの矛盾

もしφが有理数ならば、整数辺を持つ長方形（図全体を構成する長方形）の辺の比となる。しかし、それは正方形を1つ削除することで得られる小さい長方形（図の右端部分）の整数辺の比でもある。正方形を削除することで形成される整数辺の長さの減少の列は、正の整数には下限があるため、無限に続けることはできない。したがって、φは有理数にはならない。

これは無限降下法による証明です。次の点を思い出してください。

全体は長い部分と短い部分の合計であり、
全体は長い部分に対して、長い部分は短い部分に対してある。

全体を⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$、長い方を⁠ ⁠ ${\displaystyle m}$と呼ぶと、上記の2番目の文は次のようになります。

⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$は⁠ ⁠に対して、 ${\displaystyle m}$⁠ ⁠ ${\displaystyle m}$は⁠ ⁠ ${\displaystyle n-m}$に対しても同様です。

黄金比が有理数であると言うことは、が ${\displaystyle \varphi }$分数であり、 と が整数であることを意味します。を最小 ${\displaystyle \varphi }$の分数 ${\displaystyle n/m}$、とを正 ${\displaystyle n}$の数 ${\displaystyle m}$と見なすことができます。しかし、が最小の分数であるならば、等しい値を持つ は、さらに小さい分数になります。これは、 ${\displaystyle n/m}$が有理数であるという仮定から生じる矛盾です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n/m}$ ${\displaystyle m/(n-m)}$ ${\displaystyle \varphi }$

5の平方根の無理数により

黄金比の無理数性を証明するもう一つの簡潔な証明（おそらくこちらの方がよく知られている）は、有理数の加法と乗法における閉包性を利用するものです。⁠ ⁠が有理数であると仮定すると、⁠ ⁠の平方根である⁠ ⁠も有理数でなければなりません。これは矛盾です。なぜなら、平方数でない自然数はすべて無理数だからです。^[f] ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$ ${\displaystyle 2\varphi -1={\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle 5}$

最小多項式

黄金比φとその負の逆数− φ ⁻¹は、二次多項式 x ² − x − 1の2つの根です。黄金比の負の− φと逆数φ ⁻¹は、二次多項式x ² + x − 1の2つの根です。

黄金比は有理数係数の多項式の根であるため、代数的数です。その最小多項式、つまり黄金比を根とする整数係数の最低次多項式は、です。この二次多項式には、 2つの根、⁠ ⁠と⁠ ⁠があります。この多項式の主係数は1であるため、どちらの根も代数的整数です。黄金比は、 ⁠ ⁠と⁠ ⁠を根とする多項式⁠ ⁠とも密接に関連しています。 $${\displaystyle x^{2}-x-1.}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \textstyle -\varphi ^{-1}}$ ${\displaystyle \textstyle x^{2}+x-1}$ ${\displaystyle -\varphi }$ ${\displaystyle \textstyle \varphi ^{-1}}$

黄金比は、黄金 ${\displaystyle \varphi }$体と呼ばれることもある二次体の基本単位である。この体では、任意の元を有理係数 と を持つ形で⁠ ⁠と書くことができ、そのような数はノルム ⁠ ⁠ を持つ。ノルム⁠ ⁠を持つ他の単位は⁠ ⁠の正と負のべき乗である。この体における二次整数は環を形成し、すべて⁠ ⁠の形式を持つ数であり、⁠ ⁠と⁠ ⁠は整数である。^[38] ${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$ ${\displaystyle r+s\varphi }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \textstyle r^{2}+rs-s^{2}}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a+b\varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

黄金比は二次多項式の根として構成可能な数である。^[39]

黄金比の共役と累乗

最小多項式⁠ ⁠の共役根は ${\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1}$

$${\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.618033\dots .}$$

この量の絶対値 ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle 0.618\ldots }$ ) は、長さの比を逆順に取った値 (短いセグメントの長さ / 長いセグメントの長さ、⁠ ⁠ ${\displaystyle b/a}$ ) に対応します。

これは正の数における黄金比のユニークな性質を示しています。 $${\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1,}$$

またはその逆 $${\displaystyle {\frac {1}{1/\varphi }}={\frac {1}{\varphi }}+1.}$$

共役と定義的な二次多項式の関係により、小数値が得られ、その小数値の小数部は⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$と共通になります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{2}&=\varphi +1=2.618033\dots ,\\[5mu]{\frac {1}{\varphi }}&=\varphi -1=0.618033\dots .\end{aligned}}}$$

⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$の累乗のシーケンスには、⁠ ⁠ ${\displaystyle 0.618033\ldots }$、⁠ ⁠ ${\displaystyle 1.0}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle 1.618033\ldots }$、⁠ ⁠ ${\displaystyle 2.618033\ldots }$が含まれます。より一般的には、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$の任意の累乗は、直前の 2 つの累乗の合計に等しくなります。 $${\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}=\varphi \cdot \operatorname {F} _{n}+\operatorname {F} _{n-1}.}$$

その結果、任意の⁠ ⁠のべき乗は、 ${\displaystyle \varphi }$⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$の倍数と定数に簡単に分解できます。倍数と定数は常に隣接するフィボナッチ数です。このことから、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$の正のべき乗には、次のような別の性質が生まれます。

⁠ ⁠ ${\displaystyle {\bigl \lfloor }{\tfrac {1}{2}}n-1{\bigr \rfloor }=m}$の場合、次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-3}+\cdots +\varphi ^{n-1-2m}+\varphi ^{n-2-2m}\\[5mu]\varphi ^{n}-\varphi ^{n-1}&=\varphi ^{n-2}.\end{aligned}}}$$

連分数と平方根

有限連分数、またはフィボナッチ数の比による逆黄金比の近似

式⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi =1+1/\varphi }$は再帰的に展開して黄金比の単純な連分数を得ることができる： ^[40] $${\displaystyle \varphi =[1;1,1,1,\dots ]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}$$

これは、実のところ、逆数形式と並んで、連分数の最も単純な形式です。 $${\displaystyle \varphi ^{-1}=[0;1,1,1,\dots ]=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}$$

これらの連分数の収束式、⁠ ⁠ , ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}$ ⁠ , ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {2}{1}}}$ ⁠ , ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$ ⁠ , ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {5}{3}}}$ ⁠ , ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}$ ⁠ , ... ${\displaystyle {\tfrac {13}{8}}}$または⁠ ⁠ , ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}$ ⁠ ⁠ , ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {5}{8}}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {8}{13}}}$ , ... は、連続するフィボナッチ数列の比です。連分数の項が常に小さいため、近似値がゆっくりと収束します。このため、黄金比は、ディオファントス近似のフルヴィッツ不等式の極端な例になります。フルヴィッツ不等式は、すべての無理数⁠ ⁠に対して、次の式を満たす無限個の異なる分数⁠ ⁠が存在すると述べています。 ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle p/q}$ $${\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}.}$$

これは、定数⁠ ⁠は黄金比を除外しなければ改善できないことを意味します。実際、黄金比は、そのような ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ラグランジュ数に近似値を生成するために除外しなければならない最小の数です。^[41]

⁠ ⁠の継続平方根形は⁠ ⁠から得られ、次の式が得られる: ^[42] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \textstyle \varphi ^{2}=1+\varphi }$ $${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {\textstyle 1+{\sqrt {1+\cdots {\vphantom {)}}}}}}}}.}$$

フィボナッチ数とルーカス数との関係

フィボナッチ数列の正方形を用いて黄金螺旋を近似したフィボナッチ螺旋（上） 。21 までのフィボナッチ数列の正方形を用いて黄金螺旋を近似したフィボナッチ螺旋。ルーカス数列に属する数値（ここでは最大76）を辺の長さとする正方形を積み重ねることで、黄金螺旋の別の近似値（下）が生成されます。

フィボナッチ数列とルーカス数は黄金比と複雑な関係にあります。フィボナッチ数列では、各項は前の2項と の和に等しく、0番目と1番目の項を と として、基本数列⁠ ⁠から始まります。 ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n-1}}$ ${\displaystyle F_{n-2}}$ ${\displaystyle 0,1}$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle 0,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 5,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 8,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 13,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 21,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 34,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 55,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 89,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \ldots }$ ( OEIS : A000045 )。

ルーカス数列（これは一般化ルーカス数列の一部ですが、それと混同しないでください）は、各項が前の 2 つの項と の和である点でフィボナッチ数列に似ていますが、代わりに⁠ ⁠ が0 番目と 1 番目の項として始まり、 となります。 ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle L_{n-1}}$ ${\displaystyle L_{n-2}}$ ${\displaystyle 2,1}$ ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle L_{1}}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle 2,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 4,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 7,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 11,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 18,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 29,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 47,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 76,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 123,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 199,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \ldots }$ ( OEIS : A000032 )。

例外的に、黄金比はフィボナッチ数列とルーカス数列の連続項の比の極限に等しい： ^[43] $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n+1}}{L_{n}}}=\varphi .}$$

言い換えれば、フィボナッチ数列とルーカス数をその直前の数列で割ると、商は⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$に近似します。例えば、

${\displaystyle {\frac {F_{16}}{F_{15}}}={\frac {987}{610}}=1.6180327\ldots \ }$そして ${\displaystyle \ {\frac {L_{16}}{L_{15}}}={\frac {2207}{1364}}=1.6180351\ldots .}$

これらの近似値は⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$よりも低くなったり高くなったりしますが、フィボナッチ数とルーカス数が増加するにつれて⁠ ⁠に収束します。 ${\displaystyle \varphi }$

黄金比を含むフィボナッチ数列とルーカス数列の閉じた形式の表現は次のとおりです。

$${\displaystyle F\left(n\right)={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}-\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\right],}$$ $${\displaystyle L\left(n\right)=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}.}$$

上記の両方の式を組み合わせると、フィボナッチ数とルーカス数の両方を含む⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \varphi ^{n}}$の式が得られます。 $${\displaystyle \varphi ^{n}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}.}$$

フィボナッチ数とルーカス数の間では、⁠ ⁠ を ${\displaystyle \textstyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$推測することができ、これは、ルーカス数をフィボナッチ数で割った商の極限が5 の平方根に等しいと表現することを簡略化します。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}.}$$

実際、もっと強い主張が真実です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl \vert }L_{n}-{\sqrt {5}}F_{n}{\bigr \vert }={\frac {2}{\varphi ^{n}}}\to 0,\\[5mu]&{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}L_{3n}{\bigr )}^{2}=5{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}F_{3n}{\bigr )}^{2}+(-1)^{n}.\end{aligned}}}$$

黄金比の累乗はフィボナッチ再帰法則に従います。 ${\displaystyle \textstyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}}$

次を使用すると、1 ステップで線形表現への簡約を実現できます。 $${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}.}$$

この恒等式により、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$内の任意の多項式を次のように線形表現に簡約することができます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}3\varphi ^{3}-5\varphi ^{2}+4&=3(\varphi ^{2}+\varphi )-5\varphi ^{2}+4\\[5mu]&=3{\bigl (}(\varphi +1)+\varphi {\bigr )}-5(\varphi +1)+4\\[5mu]&=\varphi +2\approx 3.618033.\end{aligned}}}$$

連続するフィボナッチ数列を使用して、黄金比の同様の式を得ることもできます。ここでは無限加算によって得られます。 $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl |}F_{n}\varphi -F_{n+1}{\bigr |}=\varphi .}$$

特に、⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$のべき乗自体をルーカス数に丸めると（順序どおり、最初の2つのべき乗⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \varphi ^{0}}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$は逆の順序になります^[44]）：

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{0}&=1,\\[5mu]\varphi ^{1}&=1.618033989\ldots \approx 2,\\[5mu]\varphi ^{2}&=2.618033989\ldots \approx 3,\\[5mu]\varphi ^{3}&=4.236067978\ldots \approx 4,\\[5mu]\varphi ^{4}&=6.854101967\ldots \approx 7,\end{aligned}}}$$

などである。^[45]ルーカス数は黄金比のべき乗を直接生成する。例えば、 ${\displaystyle n\geq 2}$ $${\displaystyle \varphi ^{n}=L_{n}-(-\varphi )^{-n}.}$$

黄金比との相互関係に根ざしているのは、連続する3 つのフィボナッチ数列の合計がルーカス数、つまり⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}\!}$に等しいという概念です。そして重要なのは、⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle L_{n}F_{n}=F_{2n}\!}$です。

フィボナッチ数列とルーカス数列はどちらも、これらの数列の半径を持つ四分円を用いて、黄金螺旋（対数螺旋の特殊な形）の近似形を生成するために使用できます。これらの数列は、真の黄金対数螺旋とわずかに異なるだけです。フィボナッチ螺旋とは、一般的に、フィボナッチ数列の正方形と四分円を用いて黄金螺旋を近似する螺旋を指す用語です。

幾何学

黄金比は幾何学において重要な役割を果たします。例えば、五角形の内部対称性に本質的に関与しており、正十二面体や正二十面体の頂点座標の一部を形成するほどに広がります。^[46]ケプラーの三角形やペンローズのタイリング、そして他の様々な多面体にも黄金比が見られます。

工事

黄金比に従って線分を内割（上）と外割（下）で分割します。

内割による分割

1. 線分⁠ ⁠ ${\displaystyle AB}$から、点⁠ ⁠に⁠ ⁠の長さの半分の垂線⁠ ⁠を描きます ${\displaystyle BC}$。斜辺⁠ ⁠を描きます。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AC}$
2. 中心⁠ ⁠ ${\displaystyle C}$、半径⁠ ⁠ ${\displaystyle BC}$の円弧を描きます。この円弧は斜辺⁠ ⁠ ${\displaystyle AC}$と点⁠ ⁠ ${\displaystyle D}$で交差します。
3. 中心⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$、半径⁠ ⁠ ${\displaystyle AD}$の円弧を描きます。この円弧は元の線分⁠ ⁠ ${\displaystyle AB}$と点⁠ ⁠ ${\displaystyle S}$で交差します。点⁠ ⁠ は ${\displaystyle S}$元の線分⁠ ⁠ を、 ${\displaystyle AB}$黄金比の長さを持つ線分⁠ ⁠ ${\displaystyle AS}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle SB}$に分割します。

外割による分割

1. 線分⁠ ⁠ ${\displaystyle AS}$を描き、点⁠ ⁠から ${\displaystyle S}$⁠ ⁠に垂直で⁠ ⁠と同じ長さの線分⁠ ${\displaystyle SC}$⁠を構築します。 ${\displaystyle AS}$ ${\displaystyle AS}$
2. 線分⁠ ⁠を ${\displaystyle AS}$⁠ ⁠ ${\displaystyle M}$で二等分します。
3. 半径⁠ ⁠ ${\displaystyle M}$の円弧は、点 ⁠ ⁠と ${\displaystyle MC}$⁠ ⁠を通る直線（ ⁠ ⁠の延長とも呼ばれます）と点⁠ ⁠で交差します。 ${\displaystyle B}$⁠ ⁠と構築された線分⁠ ⁠の比は黄金比です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle AS}$ ${\displaystyle AS}$ ${\displaystyle SB}$

応用例は、「指定された辺の長さを持つ五角形」 、 「指定された外接円を持つ十角形」、および「指定された辺の長さを持つ十角形」の記事で参照できます。

上記の 2 つの異なるアルゴリズムは、長い線分と短い線分の比率が黄金比となる 2 つの直線上の線分を決定する幾何学的構成を生成します。

黄金角

g ≈ 137.508°

完全な円を形成する 2 つの角度の大きさが黄金比である場合、小さい方の角度は黄金角と呼ばれ、大きさは⁠ ⁠ ${\displaystyle g}$です。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2\pi -g}{g}}&={\frac {2\pi }{2\pi -g}}=\varphi ,\\[8mu]2\pi -g&={\frac {2\pi }{\varphi }}\approx 222.5^{\circ }\!,\\[8mu]g&={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}\approx 137.5^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

この角度は、植物の成長パターンにおいて、後続の葉が下の葉からの日光を遮らないように、植物の茎の周りの葉の芽の最適な間隔として現れます。^[47]

五角形対称システム

五角形と五芒星

異なる長さの線分を区別するために色分けされた五芒星。4つの線分の長さは互いに黄金比を成しています。

正五角形において、対角線と辺の比は黄金比であり、交差する対角線は互いに黄金比で交わります。正五角形の黄金比の性質は、頂点を一つ取り除いた四角形にプトレマイオスの定理を適用することで確認できます。四角形の長辺と対角線が⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$、短辺が⁠ ⁠とすると、プトレマイオスの定理は ${\displaystyle b}$⁠ ⁠となります。両辺を ${\displaystyle \textstyle a^{2}=b^{2}+ab}$⁠ ⁠ ${\displaystyle ab}$で割ると、次の式が得られます（上記の§ 計算を参照）。 $${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}=\varphi .}$$

五角形の対角線は五芒星、つまり五芒星型の多角形を形成し、その幾何学的形状は本質的に⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$で表されます。基本的に、各辺の交点は他の辺を黄金比で切断します。4色の図に示すように、短い方の線分の長さと、交差する2辺で囲まれた線分（つまり、五芒星の中心にある逆五角形の1辺）の長さの比は⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$です。

五角形と五芒星の幾何学により、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$の次の値を計算できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &={\tfrac {1}{2}}\csc(\pi /10)={\tfrac {1}{2}}\csc 18^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &=2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &=2\sin(3\pi /10)=2\sin 54^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

黄金の三角形と黄金のグノモン

黄金三角形 ABC は、角の二等分線によって、より小さな黄金三角形CXBと黄金のグノモンXACに分割できます。

正五角形の2つの対角線と1辺で形成される三角形は、黄金三角形または崇高三角形と呼ばれます。これは、頂角が⁠ ⁠、底角が⁠ ⁠である鋭角二等辺三角形です。^[48]その2つの等しい辺は、底辺に対して黄金比です。^[49]正五角形の2辺と対角線で形成される三角形は、黄金グノモンと呼ばれます。これは、頂角が⁠ ⁠、底角が⁠ ⁠である鈍角二等辺三角形です。その底辺は、2つの等しい辺に対して黄金比です。^[49]したがって、五角形は2つの黄金グノモンと中央の黄金三角形に分割できます。正五角形の5つの頂点は黄金三角形であり、 ^[49]正十角形の頂点をその中心点に結んで形成される10個の三角形も黄金三角形です。^[50] ${\displaystyle 36^{\circ }}$ ${\displaystyle 72^{\circ }\!}$ ${\displaystyle 108^{\circ }}$ ${\displaystyle 36^{\circ }\!}$

黄金三角形の底角の一つを二等分すると、小さな黄金三角形と黄金のグノモンに分割されます。同様に、鋭角二等辺三角形は相似三角形と鈍角二等辺三角形に分割できますが、黄金三角形は唯一、底角が頂角の2倍となる二等辺三角形であるため、角の二等分線によってこの分割が行われる唯一の三角形です。黄金三角形の角の二等分線は、接する辺を黄金比で分割し、分割された二つの部分の面積も黄金比となります。^[49]

黄金グノモンの頂角を三等分すると、三等分線によってさらに小さな黄金グノモンと黄金三角形に細分されます。三等分線は底辺を黄金比で細分し、二つの部分の面積は黄金比になります。同様に、任意の鈍角三角形は相似三角形と鋭角二等辺三角形に細分できますが、黄金グノモンは、頂角が底角の3倍になる唯一の二等辺三角形であるため、この細分が角の三等分線によって行われる唯一の三角形です。^[49]

ペンローズタイル

ペンローズ・タイリングの凧型タイルとダーツ型タイル。色付きの弧は各辺を黄金比で分割します。2つのタイルが1つの辺を共有する場合、それらの弧は必ず一致します。

黄金比は、ロジャー・ペンローズが開発した平面の非周期的なタイリングの一種であるペンローズ・タイリングに顕著に現れています。このタイリングは、ヨハネス・ケプラーの「五角形や十角形などの形状は、五角形だけでは埋められない隙間を埋めることができる」という発言に触発されて考案されました。^[51]このタイリングにはいくつかのバリエーションが研究されており、そのプロトタイプはすべて黄金比を示しています。

• ペンローズのこのタイルのオリジナル版では、正五角形と五芒星、五芒星の3つの頂点を持つ「ボート」図形、および「ダイヤモンド」形の菱形の4つの形状が使用されていました。^[52]
• 凧とダーツのペンローズタイル張りでは、3つの内角が⁠ ⁠で1つの内角が⁠ ⁠である凧と、2つの内角が⁠ ⁠で1つの内角が ⁠ ⁠ で1つの非凸角が⁠ ⁠である凹四角形であるダーツを使用します。特別な組み合わせルールにより、タイルがどの辺でもどのように出会うかが制限されるため、任意の頂点で7通りのタイルの組み合わせができます。凧とダーツはどちらも2つの長さの辺を持ち、互いに黄金比になっています。これら2つのタイルの面積も互いに黄金比になっています。^[51] ${\displaystyle 72^{\circ }}$ ${\displaystyle 144^{\circ }\!}$ ${\displaystyle 36^{\circ }\!}$ ${\displaystyle 72^{\circ }\!}$ ${\displaystyle 216^{\circ }\!}$
• 凧とダーツは、それぞれ対称軸に沿って黄金三角形と黄金グノモンのペアに切断できます。適切な対応規則を適用すれば、これらの三角形（この文脈ではロビンソン三角形と呼ばれます）は、ペンローズタイリングの一種の原型として使用できます。^{[51] [53]}
• 菱形ペンローズタイルには、2種類の菱形が含まれます。1つは角度が⁠ ⁠ ${\displaystyle 36^{\circ }}$と⁠ ⁠ の ${\displaystyle 144^{\circ }\!}$細い菱形、もう1つは角度が⁠ ⁠ ${\displaystyle 72^{\circ }}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle 108^{\circ }\!}$の太い菱形です。すべての辺の長さは等しいですが、細い菱形の辺の長さと短い対角線の比は⁠ ⁠ ${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$に等しく、太い菱形の辺の長さと長い対角線の比も ⁠ ⁠ に等しくなります。凧形とダーツ形のタイルと同様に、2つの菱形の面積は互いに黄金比になっています。また、これらの菱形はロビンソン三角形のペアに分解できます。^[51]

三角形と四角形

オドムの建設

オドムの構築：AB : BC = AC : AB = φ  : 1

ジョージ・オダムは、正三角形を含む⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$の構成を発見しました。2辺の中点を結ぶ線分を延長して外接円と交差させると、2つの中点と円との交点は黄金比になります。^[54]

ケプラーの三角形

ヨハネス・ケプラーにちなんで名付けられたケプラー三角形は、等比数列に従う辺を持つ唯一の直角三角形です。 これらの辺の長さは、2つの数⁠ ⁠の 3つのピタゴラス平均です。その辺にある3つの正方形の面積は、黄金比等比数列⁠ ⁠に従います。 $${\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {\varphi {\vphantom {+}}}}\mathbin {:} \varphi .}$$ ${\displaystyle \varphi \pm 1}$ ${\displaystyle \textstyle 1\mathbin {:} \varphi \mathbin {:} \varphi ^{2}}$

二等辺三角形の中で、内接円の半径と辺の長さの比が最大になるのは、ケプラーの三角形を鏡映して長い方の辺を共有する三角形です。 ^[55]同じ二等辺三角形は、底辺の半円の半径と周長の比が最大になります。^[56]

最小の辺の長さを持つケプラーの三角形の場合、 ${\displaystyle s}$面積と鋭角は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}s^{2}{\sqrt {\varphi {\vphantom {+}}}},\\[5mu]\theta &=\sin ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 38.1727^{\circ }\!,\\[5mu]\theta &=\cos ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 51.8273^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

黄金比

定規とコンパスだけを使って、 4 つの簡単な手順で黄金比長方形を作成します。

正方形を描きます。

正方形の一辺の中点から反対側の角まで線を引きます。

その線を半径として使用し、長方形の高さを定義する円弧を描きます。

黄金比長方形を完成させましょう。

黄金比は、黄金長方形の隣接する辺の長さを⁠ ⁠ の ${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$比率で比例させます。 ^[57]黄金長方形から正方形を削除したり追加したりしても、長方形の比率は⁠ ⁠ の比率のままです。黄金比は、フィボナッチ数とルーカス数の大きさの正方形と四分の一円を連続して配置した ${\displaystyle \varphi }$黄金螺旋によって生成できます。黄金比は、正十二面体だけでなく、正二十面体にも顕著に見られます（詳細は以下のセクションを参照）。^[46]

黄金菱形

黄金比菱形とは、対角線が黄金比に比例する菱形のことで、最も一般的には⁠ ⁠ で ${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$ある。^[58]このような比率の菱形の鋭角と鈍角は次のようになる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=2\arctan {1 \over \varphi }\approx 63.43495^{\circ }\!,\\[5mu]\beta &=2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2=\arctan 1+\arctan 3\approx 116.56505^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

短い対角線と ${\displaystyle d}$長い対角線 ${\displaystyle D}$の長さは、辺の長さで表すと次のようになり ${\displaystyle a}$ます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}d&={\frac {2a}{\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {\frac {3-\varphi }{5}}}a\approx 1.05146a,\\[5mu]D&=2{\sqrt {\frac {2+\varphi }{5}}}a\approx 1.70130a.\end{aligned}}}$$

その面積は、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle d}$の観点から見ると、次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\sin(\arctan 2)\cdot a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0.89443a^{2},\\[5mu]A&={{\varphi } \over 2}d^{2}\approx 0.80902d^{2}.\end{aligned}}}$$

辺に関してのその内接円の半径は⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ :

$${\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {5}}}.}$$

黄金菱形は、菱形三十面体、二黄金菱形、ビリンスキー十二面体^[59]、菱形六十面体^[58]の面を形成します。

ヴェシカ・ピシス

${\displaystyle D}$黄金比で分割します。 ${\displaystyle CX}$

魚の膀胱を定義する2つの円が、それぞれ半径の2倍の同心円で囲まれている場合、外側の2つの円は内側の2つの円に接する（図の点と）。外側の円は交差してレンズを形成するが、その角度は魚の膀胱とは異なる。これらの円において、内側の円の交点の1つから外側の円の反対側の交点までの線分は、2つの内側の円の2番目の交点である点によって黄金比で分割される。 ^{[60] [61]} ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\overline {XC}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$

黄金螺旋

黄金螺旋（赤）とそれを四分の一円で近似したもの（緑）、重なり合う部分は黄色で表示

108°回転するごとに半径が黄金比で増加する対数螺旋で、黄金比二等辺三角形が入れ子状に重なり合う。これは、90°回転するごとに半径が黄金比で増加する黄金螺旋とは異なる螺旋である。^[62]

対数螺旋は自己相似螺旋であり、一回転あたりの距離は等比数列になっています。半径が四分の一回転ごとに黄金比の倍数で増加する対数螺旋を黄金螺旋と呼びます。これらの螺旋は黄金比で増加する四分の一円で近似できます。^[63]またはフィボナッチ数列から生成されるその近似値^[64]は、同じ比率で増加する正方形の螺旋パターン内に内接して描かれることがよくあります。黄金螺旋の正確な対数螺旋形式は、⁠ ⁠を含む極方程式で記述できます。 ${\displaystyle (r,\theta )}$ $${\displaystyle r=\varphi ^{2\theta /\pi }.}$$

すべての対数螺旋が黄金比に結びついているわけではなく、黄金比に結びついている螺旋がすべて黄金螺旋と同じ形状をしているわけでもありません。例えば、黄金二等辺三角形の入れ子構造を内包する別の対数螺旋は、黄金螺旋の回転角度ではなく、回転するごとに黄金比で成長します。[ 62 ] 「 ${\displaystyle 108^{\circ }}$^{より良い黄金螺旋」と呼ばれる別のバリ​​エーションでは、1} / 4回転ではなく、半回転ごとに黄金比で成長します。^[63] ${\displaystyle 90^{\circ }}$

十二面体と二十面体

正十二面体の直交座標 ：
（±1、±1、±1）
(0, ± φ , ± ⁠1/φ⁠ )
（± ⁠1/φ⁠ , 0, ± φ )
(± φ、± ⁠1/φ⁠、0)
正十二面体の内部に入れ子になった立方体は点線で表されます。

正十二面体とその双対多面体である二十面体は、黄金比に関連する次元を持つプラトン立体です。十二面体は正五角形 ${\displaystyle 12}$の面を持ち、二十面体は正三角形を持ちます。どちら ${\displaystyle 20}$ も辺を ${\displaystyle 30}$ 持ちます。 [ ^65]

辺が⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$の正十二面体の場合、外接球と内接球の半径、および中半径はそれぞれ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle r_{u}}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle r_{i}}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle r_{m}}$ ) です。

${\displaystyle r_{u}=a\,{\frac {{\sqrt {3}}\varphi }{2}},}$ ${\displaystyle r_{i}=a\,{\frac {\varphi ^{2}}{2{\sqrt {3-\varphi }}}},}$そして ${\displaystyle r_{m}=a\,{\frac {\varphi ^{2}}{2}}.}$

一方、辺が⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$の二十面体の場合、外接球と内接球の半径、および中半径は次のようになります。

${\displaystyle r_{u}=a{\frac {\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}{2}},}$ ${\displaystyle r_{i}=a{\frac {\varphi ^{2}}{2{\sqrt {3}}}},}$そして ${\displaystyle r_{m}=a{\frac {\varphi }{2}}.}$

正十二面体の体積と表面積は、次のように表すことができます。 ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle A_{d}={\frac {15\varphi }{\sqrt {3-\varphi }}}}$そして ${\displaystyle V_{d}={\frac {5\varphi ^{3}}{6-2\varphi }}.}$

二十面体の場合も同様です。

${\displaystyle A_{i}=20{\frac {\varphi ^{2}}{2}}}$そして ${\displaystyle V_{i}={\frac {5}{6}}(1+\varphi ).}$

3 つの黄金長方形は、正 20 面体の12 個の頂点すべてに接します。

これらの幾何学的値は、直交座標から計算できます。直交座標は、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$を含む式を用いて求めることもできます。正十二面体の座標は右の図に示されており、正二十面体の座標は次のとおりです。

$${\displaystyle (0,\pm 1,\pm \varphi ),\ (\pm 1,\pm \varphi ,0),\ (\pm \varphi ,0,\pm 1).}$$

3つの黄金長方形の組は、正十二面体と正二十面体の内部で垂直に交差し、ボロミアン環を形成する。^{[66] [46]}正十二面体では、黄金長方形の対向する頂点の組は正五角形の面の中心と交わり、正二十面体では正二十面体の頂点で交わる。3つの黄金長方形を合わせると、正二 ${\displaystyle 12}$十 ${\displaystyle 12}$面体のすべての頂点が含まれ、正二十面体のすべての面の中心と交差する。 [ ^65]

立方体は正十二面体に内接することができ、正十二面体の五角形の面の対角線のいくつかが立方体の辺となるため、辺の長さは黄金比になる。立方体の体積は正十二面体の体積の⁠ ⁠ ${\displaystyle 2/(2+\varphi )}$倍である。^[67]実際、正十二面体の内部にある黄金長方形は、内接する立方体と黄金比をなしており、立方体の辺と黄金長方形の長辺自体も⁠ ⁠ の ${\displaystyle \textstyle \varphi \mathbin {:} \varphi ^{2}}$比率になっている。一方、立方体の双対多面体である八面体は正二十面体に内接することができ、正二十面体の頂点は ${\displaystyle 12}$八面体の辺を黄金比で分割する点で八 ${\displaystyle 12}$面体の辺に接する。^[68]

その他の特性

黄金比の小数展開は、ニュートン法やハレー法などの求根法によって、方程式⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1=0}$または⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle x^{2}-5=0}$ (最初に⁠ ⁠を計算する) に基づいて計算できます。ニュートン法を使用して ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$黄金比 ${\displaystyle n}$の桁を計算するために必要な時間は基本的に⁠ ⁠ ${\displaystyle O(M(n))}$であり、⁠ ⁠ ${\displaystyle M(n)}$は2 つの⁠ ⁠桁の数を乗算する時間計算量です。^{[69]これは、} πおよびeの既知のアルゴリズムよりもかなり高速です。整数演算のみを使用して簡単にプログラムできる代替方法は、2 つの大きな連続するフィボナッチ数を計算し、それらを除算することです。フィボナッチ数⁠ ⁠と⁠ ⁠の比は、それぞれ⁠ ⁠桁で、黄金比の⁠ ⁠有効桁数を超えます。黄金比の小数展開⁠ ⁠ ^{[1]は、20 兆 (} ⁠ ⁠ ) 桁の精度で計算されています。^[70] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{25001}}$ ${\displaystyle F_{25000}}$ ${\displaystyle 5000}$ ${\displaystyle 10{,}000}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \textstyle 2\times 10^{13}=20{,}000{,}000{,}000{,}000}$

複素平面において、 ⁠ ⁠を満たす整数⁠ ⁠の5乗根は 五角形の頂点です。これらは二次整数の環を形成しませんが、任意の⁠ ⁠の 5 乗根とその複素共役⁠ ⁠の和は二次整数、つまり⁠ ⁠の元になります。具体的には、 ${\displaystyle \textstyle z=e^{2\pi ki/5}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \textstyle z^{5}=1}$ ${\displaystyle z+{\bar {z}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{0}+e^{-0}&=2,\\[5mu]e^{2\pi i/5}+e^{-2\pi i/5}&=\varphi ^{-1}=-1+\varphi ,\\[5mu]e^{4\pi i/5}+e^{-4\pi i/5}&=-\varphi .\end{aligned}}}$$

これは、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle z^{10}=1}$を満たす残りの10乗根にも当てはまります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi i}+e^{-\pi i}&=-2,\\[5mu]e^{\pi i/5}+e^{-\pi i/5}&=\varphi ,\\[5mu]e^{3\pi i/5}+e^{-3\pi i/5}&=-\varphi ^{-1}=1-\varphi .\end{aligned}}}$$

ガンマ関数 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Gamma }$の場合、方程式⁠ ⁠の唯一の解は ${\displaystyle \Gamma (z-1)=\Gamma (z+1)}$⁠ ⁠ ${\displaystyle z=\varphi }$と⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle z=-\varphi ^{-1}}$です。

黄金比が記数法の基数として使用される場合(黄金比基数、五進法または-n進 ${\displaystyle \varphi }$法と呼ばれることもある)、環⁠ ⁠内の二次整数、つまり⁠ ⁠と⁠ ⁠内の⁠ ⁠の形式の数は終端表現を持ちますが、有理数には終端表現がありません。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$ ${\displaystyle a+b\varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

黄金比は双曲幾何学においても、理想的な三角形の一辺の点から他の二辺のうち近い方までの最大距離として現れます。この距離、すなわち理想的な三角形に内接する円の接点によって形成される正三角形の辺の長さは⁠ ⁠ ${\displaystyle 4\log(\varphi )}$です。^[71]

黄金比はモジュラー関数の理論にも現れる。をとすると、 および となる。ここで、連分数の⁠ ⁠と⁠ ⁠は⁠ ⁠と評価される。この関数⁠ ⁠は、モジュラー群の合同部分群である⁠ ⁠のもとで不変である。また、⁠ ⁠ ^[72]を満たす正の実数⁠ ⁠と⁠ ⁠についても不変である。 ${\displaystyle |q|<1,}$ $${\displaystyle R(q)={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}}.}$$ $${\displaystyle R(e^{-2\pi })={\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi ,\quad R(-e^{-\pi })=\varphi ^{-1}-{\sqrt {2-\varphi ^{-1}}}}$$ $${\displaystyle R(e^{-2\pi i/\tau })={\frac {1-\varphi R(e^{2\pi i\tau })}{\varphi +R(e^{2\pi i\tau })}}}$$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$ ${\displaystyle \textstyle (e^{z})^{1/5}}$ ${\displaystyle \textstyle e^{z/5}}$ ${\displaystyle \textstyle \tau \mapsto R(e^{2\pi i\tau })}$ ${\displaystyle \Gamma (5)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \textstyle ab=\pi ^{2},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\Bigl (}\varphi +R{{\bigl (}e^{-2a}{\bigr )}}{\Bigr )}{\Bigl (}\varphi +R{{\bigl (}e^{-2b}{\bigr )}}{\Bigr )}&=\varphi {\sqrt {5}},\\[5mu]{\Bigl (}\varphi ^{-1}-R{{\bigl (}{-e^{-a}}{\bigr )}}{\Bigr )}{\Bigl (}\varphi ^{-1}-R{{\bigl (}{-e^{-b}}{\bigr )}}{\Bigr )}&=\varphi ^{-1}{\sqrt {5}}.\end{aligned}}}$$

⁠ ⁠は ${\displaystyle \varphi }$ピソット・ヴィジャヤラガヴァン数です。^[73]

応用と観察

目に見えてわかるリズム: アスペクト比φ (左、中央) とφ ² (右側) の長方形が正方形を敷き詰めています。

建築

スイスの建築家 ル・コルビュジエは、モダン・ インターナショナル・スタイルへの貢献で知られ、調和と比例の体系を設計哲学の中心に置いていました。ル・コルビュジエの宇宙の数学的秩序への信仰は、黄金比とフィボナッチ数列と密接に結びついており、彼はこれらを「目に見え、互いの関係が明確なリズム」と表現しました。そして、これらのリズムは人間の活動の根源そのものです。それらは、子供、老人、未開人、そして知識人によって黄金比が描き出されるのと同じ、有機的な必然性によって人間の中に響き渡ります。^{[74] [75]}

ル・コルビュジエは、建築のプロポーションの尺度として、モデュロール・システムにおいて黄金比を明確に用いました。彼はこのシステムを、ウィトルウィウス、レオナルド・ダ・ヴィンチの「ウィトルウィウス的人体図」、レオン・バッティスタ・アルベルティの作品、そして建築の外観と機能を向上させるために人体のプロポーションを用いた他の人々の長い伝統の継承と捉えていました。

ル・コルビュジエは黄金比に加えて、人体寸法、フィボナッチ数列、そして倍数単位に基づいたシステムを構築した。彼は人体比率における黄金比の示唆を極限まで推し進めた。彼は人体模型の高さをへそで黄金比の2つの部分に分け、さらに膝と喉で黄金比の2つの部分に分割した。そして、これらの黄金比の比率をモデュロール・システムに用いた。ル・コルビュジエが1927年にガルシュに建てたヴィラ・スタインは、モデュロール・システムの適用例である。このヴィラの長方形の平面図、立面図、そして内部構造は、黄金長方形に近似している。^[76]

もう一人のスイス人建築家、マリオ・ボッタは、多くのデザインを幾何学図形に基づいている。彼がスイスで設計したいくつかの個人住宅は、正方形、円、立方体、円柱で構成されている。オリリオで設計した住宅では、中央部分と側面部分の比率が黄金比となっている。^[77]

美術

パチョーリの『ディヴィナ プロポーネ』に登場するダ ヴィンチの十二面体の図(1509 年)

レオナルド・ダ・ヴィンチがパチョーリの『神の比例』に描いた多面体の図像から、彼が絵画に黄金比を取り入れたのではないかと推測する人もいます。しかし、例えば彼の『モナ・リザ』が黄金比の比率を採用しているという説は、レオナルド自身の著作によって裏付けられていません。^[78]同様に、レオナルドの『ウィトルウィウス的人体図』はしばしば黄金比と関連付けて描かれますが、実際には黄金比と一致しておらず、テキストでは整数比についてのみ言及されています。^{[79] [80]}

サルバドール・ダリは、マティラ・ギカ[ ^81]の作品に影響を受け、傑作『最後の晩餐の秘跡』において黄金比を明確に用いている。キャンバスの寸法は黄金比の長方形である。巨大な正十二面体は、遠近法によって互いに黄金比を成すように描かれ、イエスの上方と背後に吊り下げられ、構図を支配している。^{[78] [82]}

1999年に行われた、様々な偉大な画家による565点の作品に関する統計的研究によると、これらの画家はキャンバスのサイズに黄金比を用いていなかったことが判明しました。この研究では、研究対象の絵画の2辺の平均比率は⁠ ⁠ ${\displaystyle 1.34}$であり、個々の画家の平均は⁠ ⁠ ${\displaystyle 1.04}$ (ゴヤ)から⁠ ⁠ ${\displaystyle 1.46}$ (ベリーニ) までの範囲であると結論付けられました。^[83]一方、パブロ・トストは、有名な画家による350点以上の作品を挙げており、その中には黄金長方形と ⁠ ⁠ 比率のキャンバスを持つ作品が100点以上含まれており、⁠ ⁠ ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$、 ⁠ ⁠ 、 ${\displaystyle 3}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 4}$など ${\displaystyle 6}$の比率の作品もありました。^[84]

中世写本における比率の描写。ヤン・チヒョルトによれば、「ページの比率は2:3。余白の比率は1:1:2:3。本文の領域は黄金比で構成されている。」^[85]

本とデザイン

ヤン・チヒョルドによれば、

かつては、真に美しいページの比率、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2\mathbin {:} 3}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {3}}}$、黄金比からの逸脱は稀でした。1550年から1770年の間に出版された多くの本は、これらの比率を0.5ミリメートル以内の精度で正確に示しています。^[86]

いくつかの情報源によると、黄金比はトランプ、ポストカード、ポスター、電灯のスイッチプレート、ワイドスクリーンテレビなどの日常的なデザインに使用されているとのことです。^[87]

旗

トーゴの国旗は、縦横比が黄金比を採用している。

トーゴの国旗の縦横比（幅と高さの比）は、設計者によれば黄金比となるように意図されていた。^[88]

音楽

エルノー・レンヴァイは、ベーラ・バルトークの作品は黄金比と音響音階という二つの対立する体系に基づいていると分析しているが^[89]、他の音楽学者はこの分析を否定している^{[90] 。}フランスの作曲家エリック・サティは、 『薔薇十字のソナタ』を含むいくつかの作品で黄金比を用いている。黄金比は、ドビュッシーの『イメージ』（第1集、1905年）に収録されている『水面の反射』の楽曲構成にも顕著に表れており、「調の順序は34、21、13、8の音程で示され、主要なクライマックスはファイの位置にある」^{[91] 。}

音楽学者ロイ・ハウアットは、ドビュッシーの「海」の形式的な境界が黄金比と正確に一致していると指摘している。^[92]トレジーズは、この内在的証拠を「注目すべき」と評価しているが、ドビュッシーが意識的にそのような比率を追求したことを示す文献や報告された証拠は存在しないと警告している。^[93]

ハンス・ツェンダーやハインツ・ボーレンといった音楽理論家たちは、黄金比を基本音程とする音階である833セント音階の実験を行いました。音程の対数尺度であるセントで測ると、黄金比は約833.09セントとなります。^[94]

自然

受け皿植物、Aeonium tabuliformeの詳細。多重螺旋配置 ( parasticky )を示しています。

ヨハネス・ケプラーは、「男と女のイメージは神の比率から生まれた。私の考えでは、植物の繁殖と動物の生殖行為は同じ比率である」と記している。^[95]

心理学者アドルフ・ツァイジンは、黄金比が葉序に現れることに注目し、自然界におけるこれらのパターンから黄金比は普遍的な法則であると主張した。^[96]ツァイジンは1854年に、「自然と芸術の両方の領域において美と完全性を求める」という普遍的な正統法則について書いた。 ^[97]

しかし、自然界、特に動物の寸法における黄金比の多くの明らかな現れは架空のものであると主張する人もいます。^[98]

物理

準一次元イジング 強磁性体 （ニオブ酸コバルト）は、中性子散乱による測定で、励起状態（対称性を持つ）が予測されており、その最低2つの状態は黄金比にあることが示された。具体的には、スピン励起中のこれらの量子相転移は絶対零度付近で発生し、秩序相ではキンク対が、常磁性相ではスピン反転を示す。これは、臨界磁場のすぐ下において、低エネルギー領域で黄金比に近づく鋭いモードを持つスピンダイナミクスを示している。 ^[99] ${\textstyle {\ce {CoNb2O6}}}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle E_{8}}$

最適化

球面上に与えられた数のノードを均等に配置するための一般的なアルゴリズムは知られていない。均等配置の定義はいくつかある（例えば、トムソン問題やタムズ問題を参照）。しかし、球面を等しい表面積の平行な帯に分割し、各帯に円の黄金分割間隔、すなわち⁠ ⁠ ${\displaystyle 360^{\circ }~\!/\varphi \approx 222.5^{\circ }\!}$の経度に1つのノードを配置することで、有用な近似が得られる。この方法は、学生参加型衛星Starshine-3の鏡を配置するために使用された。^[100] ${\displaystyle 1500}$

黄金比は黄金分割検索にとっても重要な要素です。

議論の余地のある観察

黄金比に関する議論の例として、次のものが挙げられます。

オウムガイの殻は黄金比であると誤って主張されることがよくあります。

• 脊椎動物（ヒトを含む）の体における特定の比率は、しばしば黄金比であると主張される。例えば、指骨と中手骨（指の骨）の連続する比率は、黄金比に近いとされている。しかしながら、これらの要素の実際の値は個体差が大きく、問題となる比率は黄金比から大きく異なる場合が多い。^{[101] [102]}
• オウムガイなどの軟体動物の殻は黄金比であるとよく主張される。^[103]オウムガイの殻の成長は対数螺旋に従うため、あらゆる対数螺旋が黄金比と関係しているという誤った主張がなされることがある。^[104]また、新しい殻はそれぞれ前の殻に対して黄金比になっているという誤った主張がなされることもある。^[105]しかし、オウムガイの殻の測定値はこの主張を裏付けていない。^[106]
• 歴史家ジョン・マンは、グーテンベルク聖書のページと本文部分はどちらも「黄金比に基づいている」と述べています。しかし、彼自身の測定によると、ページの高さと幅の比率は⁠ ⁠ ${\displaystyle 1.45}$です。^[107]
•  1876年頃のグスタフ・フェヒナー [ ^108]に始まる心理学者による研究は、黄金比が人間の美の知覚に影響を与えるという考えを検証するために考案されてきた。フェヒナーは黄金比を中心とした長方形の比率が好まれることを発見したが、その後、この仮説を慎重に検証する試みは、せいぜい結論に至らなかった。^{[109] [78]}
• 投資において、テクニカル分析の専門家の中には、黄金比を用いて株式や商品の価格水準のサポート、あるいは価格上昇に対する抵抗を示す人もいます。価格が大きく変動した後、黄金比に基づいて、開始価格に関連する価格またはその付近に新たなサポートレベルと抵抗レベルが見つかると考えられています。^[110]投資における黄金比の使用は、フィボナッチ数列で表されるより複雑なパターン（例えば、エリオット波動原理やフィボナッチ・リトレースメント）にも関連しています。しかしながら、他の市場アナリストは、これらのパーセンテージやパターンはデータによって裏付けられていないことを示唆する分析を発表しています。^[111]

エジプトのピラミッド

ギザの大ピラミッド

ギザの大ピラミッド（クフ王のピラミッドとも呼ばれる）は、ピラミッド学者によって、その断面が二重のケプラー三角形であると分析されている。もしこの理論が正しいとすれば、黄金比はピラミッドの片側の中心点から頂点までの距離、そして同じ中心点からピラミッドの基底中心までの距離の比を表すことになる。しかし、ピラミッドの外面が除去されていることなどにより測定精度が劣るため、この理論を円周率や整数比に基づく他のピラミッドの比率に関する数値理論と区別することは不可能である。現代の学者の間では、このピラミッドの比率は黄金比に基づいていないという見解が一致している。なぜなら、そのような基準は、ピラミッド建造当時のエジプト数学に関する知識、そして彼らの他の著作で用いられたエジプトの建築理論や比率理論の両方と矛盾するからである。^[112]

パルテノン神殿

パルテノン神殿の多くの比率は黄金比を示していると言われていますが、これはほとんど信用されていません。^[113]

パルテノン神殿のファサード（紀元前432年頃）とそのファサードの要素、そしてその他の部分は、黄金比長方形で囲まれていると考える学者もいる。^[114]一方、ギリシャ人が黄金比と美的関連性を持っていたことを否定する学者もいる。例えば、キース・デブリンは、「確かに、アテネのパルテノン神殿が黄金比に基づいているというよく言われる主張は、実際の測定値によって裏付けられていない。実際、ギリシャ人と黄金比に関する話全体に根拠がないようだ」と述べている。^[115] ミドハト・J・ガザレは、「黄金比の数学的特性が研究されたのはユークリッドまで待たなければならなかった」と断言している。^[116]

ある研究者は、紀元前5世紀から紀元後2世紀にかけての15の寺院、18の記念碑的な墓、8つの石棺、58の墓石の測定から、黄金比は紀元前5世紀の古典期のギリシャ建築にはまったく存在せず、その後の6世紀にもほとんど存在しなかったという結論を下しました。^[117]ウィトルウィウス（紀元前1世紀）などの後の資料では、整数で表すことができる比率、つまり無理数ではなく比例する比率についてのみ議論されています。

現代美術

アルベール・グレーズ、レ・ベニューズ(1912)

セクショ・ドール（黄金分割）は、キュビズムやオルペウス主義に関連する画家、彫刻家、詩人、批評家らの集団であった。^[118] 1911年から1914年頃まで活動した彼らは、キュビズムが孤立した運動ではなく、偉大な伝統の継続であることを強調するため、またジョルジュ・スーラに関連する数学的調和に敬意を表すために、この名称を採用した。^[119]（スーラが絵画に黄金比を用いたと主張する著者もいるが、スーラの著作や絵画は、彼が単純な整数比を用いており、黄金比への近似値は偶然であることを示唆している。）^[120]キュビズムの主義者たちは、その調和、動きと形態の幾何学的構造に、「自然に対する理念の優位性」、「概念の絶対的な科学的明晰さ」を見出していた。^[121]しかし、数学的調和へのこうした一般的な関心にもかかわらず、1912年に開催された有名なサロン・ド・ラ・セクション・ドール展に出品された絵画の作品構成に黄金比が用いられていたかどうかを判断するのはより困難である。例えば、リヴィオは黄金比は用いられていないと主張しており、^{[ 122 ]}マルセル・デュシャンもインタビューで同様の発言をしている。 [123]一方、ある分析によれば、フアン・グリスは黄金比を用いて作品を構成しており、その作品は展覧会に出品された可能性が高いものの、決定的な証拠はない。^{[123] [124]}美術史家ダニエル・ロビンズは、この展覧会の名称は数学用語への言及に加えて、アルベール・グレーズやクレテイユ修道院の元メンバーが関わっていたバンドー・ドール・グループにも言及していると主張している。^[125]

ピエト・モンドリアンは幾何学的な絵画の中で黄金比を多用したと言われているが^{[126] 、他の専門家（批評家の}イヴ＝アラン・ボワを含む）はこれらの主張を否定している。^{[78] [127]}

参照

• 黄金比でデザインされた作品一覧
• 金属の意味
• 塑性比
• 神聖幾何学
• スーパー黄金比
• 白銀比

参考文献

説明脚注

1. ⁠ ⁠と⁠ ⁠がそれぞれゼロより大きいという制約が取り除かれると、この方程式には実際には正と負の2つの解が存在します。 ⁠ ⁠は正の解として定義されます。負の解は⁠ ⁠です。2つの解の和は⁠ ⁠であり、2つの解の積は⁠ ⁠です。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \textstyle -\varphi ^{-1}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1-{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$
2. 他の名称には、黄金比、黄金分割、^[4] 黄金カット、^[5] 黄金比、黄金数、^[6] 中心断面、神聖断面などがあります。
3. ユークリッド『原論』第2巻、命題11; 第4巻、命題10–11; 第6巻、命題30; 第13巻、命題1–6、8–11、16–18。
4. "῎Ακρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς ἡ ὅλη πρὸς 』^[18]
5. 古代ギリシャの彫刻家ペイディアス（紀元前490-430年頃）にちなむ。^[33]バーは後に、ペイディアスが実際に黄金比を使用した可能性は低いと記している。^[34]
6. 非平方の自然数は無理平方根を持つという定理は、ユークリッドの『原論』第10巻、命題9に記載されています。

引用

1. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A001622 (黄金比ファイ（またはタウ）= (1 + sqrt(5))/2 の10進展開)」.オンライン整数数列百科事典. OEIS財団.
2. ユークリッド「第6巻、定義3」『原論』 。
3. パチョーリ、ルカ (1509)。デ・ディヴィナ・プロポーネ。ヴェネツィア：ルカ・パガニネム・デ・パガニヌス・デ・ブレシア（アントニオ・カペラ）。
4. リヴィオ 2002、3、81頁。
5. サマーソン、ジョン (1963). Heavenly Mansions and Other Essays on Architecture. ニューヨーク: WW Norton. p. 37.建築においても、同様のことが当てはまります。これらの比率やその他の比率（例えば「ゴールデンカット」）を表す長方形です。これらの比率の唯一の価値は、知的に豊かであり、モジュラーデザインのリズムを示唆している点にあります。
6. ヘルツ・フィッシュラー 1998.
7. ヘルツ・フィシュラー、1998 年、20–25 ページ。
8. ストロガッツ、スティーブン(2012年9月24日). 「私、私自身、そして数学：比例制御」.ニューヨーク・タイムズ.
9. シーラック, ヴィンセント・P. (1987). 「フィボナッチ数列と黄金比」.数学教師. 80 (5): 357– 358. doi :10.5951/MT.80.5.0357. JSTOR  27965402.この情報源には黄金比の値の基本的な導出が含まれています。
10. Peters, JMH (1978). 「πと黄金比の近似関係」. The Mathematical Gazette . 62 (421): 197– 198. doi :10.2307/3616690. JSTOR  3616690. S2CID  125919525.
11. リヴィオ 2002、6ページ。
12. ユークリッドが純粋に幾何学的な目的で定義した直線分割...」
13. リヴィオ 2002、7～8頁。
14. リヴィオ 2002、4～5頁。
15. リヴィオ 2002、78ページ。
16. ヘメンウェイ、プリヤ（2005年）『神聖なる比率：芸術、自然、科学におけるファイ』ニューヨーク：スターリング社、  20～ 21頁。ISBN 9781402735226。
17. リヴィオ 2002、3ページ。
18. ユークリッド (2007). 『ユークリッド幾何学原論』 . リチャード・フィッツパトリック訳. Lulu.com. p. 156. ISBN 978-0615179841。
19. リヴィオ 2002年、88～96頁。
20. マッキノン、ニック (1993). 「フラ・ルカ・パチョーリの肖像」.数学雑誌. 77 (479): 130– 219. doi :10.2307/3619717. JSTOR  3619717. S2CID  195006163.
21. リヴィオ 2002、131–132ページ。
22. バラヴァッレ, HV (1948). 「五角形の幾何学と黄金比」.数学教師. 41 : 22–31 . doi :10.5951/MT.41.1.0022.
23. リヴィオ 2002、134～135頁。
24. リヴィオ 2002、141ページ。
25. シュライバー、ピーター (1995). 「J. シャリットの論文『ユークリッド互除法の解析の起源』への補遺」. Historia Mathematica . 22 (4): 422– 424. doi : 10.1006/hmat.1995.1033 .
26. リヴィオ 2002、151–152ページ。
27. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2001). 「黄金比」. MacTutor 数学史アーカイブ. 2007年9月18日閲覧。
28. フィンク、カール（1903年）『数学小史』、ビーマン、ウースター・ウッドラフ訳、スミス、デイヴィッド・ユージン（第2版）、シカゴ：オープンコート、223頁。(当初はGeschichte der Elementar-Mathematikとして出版されました。)
29. ボイテルスパッハー、アルブレヒト;ペトリ、ベルンハルト (1996)。 「フィボナッチ・ザーレン」。ゴールデン・シュニットさん。アインブリック・イン・ディ・ヴィッセンシャフト（ドイツ語）。 Vieweg+Teubner Verlag。 pp.  87–98 .土井:10.1007/978-3-322-85165-9_6。ISBN 978-3-8154-2511-4。
30. ヘルツ・フィッシュラー、1998 年、167–170 ページ。
31. ポザマンティエとリーマン、2011、p. 8.
32. ポザマンティエとリーマン、2011、p. 285.
33. クック、セオドア・アンドレア（1914年）『人生の曲線』ロンドン：コンスタブル、420頁。
34. バー、マーク (1929). 「美のパラメータ」. Architecture (NY) . 第60巻. 325ページ.再版：「美のパラメータ」『Think 』第10～ 11巻、  IBM、1944年。
35. リヴィオ 2002、5ページ。
36. ガードナー、マーティン(2001). 「7. ペンローズタイル」. 『コロッサルブック・オブ・マスマティクス』 . ノートン. pp.  73– 93.
37. Livio 2002, pp. 203–209 Gratias, Denis ; Quiquandon, Marianne (2019). 「準結晶の発見：初期の頃」Comptes Rendus Physique . 20 ( 7– 8): 803– 816. Bibcode :2019CRPhy..20..803G. doi : 10.1016/j.crhy.2019.05.009 . S2CID  182005594.
    
    ジャリック、マルコ・V. (1989).準結晶の数学入門. アカデミック・プレス. p. x. ISBN 9780120406029準結晶が発見された当時、準周期関数の理論は60年近く知られていましたが、この新しい分野に大きな影響を与えたのは、ニコラス・デ・ブリュインによって主に開発された非周期ペンローズ・タイリングの数学でした。
    Goldman, Alan I.; Anderegg, James W.; Besser, Matthew F.; Chang, Sheng-Liang; Delaney, Drew W.; Jenks, Cynthia J .; Kramer, Matthew J.; Lograsso, Thomas A.; Lynch, David W.; McCallum, R. William; Shield, Jeffrey E.; Sordelet, Daniel J.; Thiel, Patricia A. (1996). 「準結晶材料」. American Scientist . 84 (3): 230– 241. Bibcode :1996AmSci..84..230G. JSTOR  29775669.
38. スポーン、ハワード (2021). 「黄金三重項上の群構造」.数学ガゼット. 105 (562): 87– 97. doi :10.1017/mag.2021.11.
39. Martin, George E. (1998).幾何学的構成. 数学学部テキスト. Springer. pp.  13– 14. doi :10.1007/978-1-4612-0629-3. ISBN 978-1-4612-6845-1。
40. Hailperin, Max; Kaiser, Barbara K.; Knight, Karl W. (1999). 『具体的な抽象化：Schemeを用いたコンピュータサイエンス入門』Brooks/Cole. p. 63.
41. ハーディ, GH ;ライト, EM (1960) [1938]. 「§11.8. 任意の無理数への最も近い近似値の測度」 .数論入門（第4版）. オックスフォード大学出版局. pp.  163– 164. ISBN 978-0-19-853310-8。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
42. Sizer, Walter S. (1986). 「Continued roots」. Mathematics Magazine . 59 (1): 23– 27. doi :10.1080/0025570X.1986.11977215. JSTOR  2690013. MR  0828417.
43. タッターソール、ジェームズ・ジョセフ（1999年）『9章からなる初等数論』ケンブリッジ大学出版局、28頁。
44. Sloane, N. J. A. (編). 「数列A169985 (phi^nを最も近い整数に丸める)」.オンライン整数数列百科事典. OEIS財団.
45. パーカー、マット（2014年）『第四次元で作るもの、やるべきこと』ファラー・ストラウス・アンド・ジルー社、284ページ。ISBN 9780374275655。
46. バーガー, エドワード B.; スターバード, マイケル P. (2005) [2000]. 『数学の心：効果的な思考への招待』（第2版）. シュプリンガー. p. 382. ISBN 9781931914413。
47. King, S.; Beck, F.; Lüttge, U. (2004). 「葉序における黄金角の謎について」.植物・細胞・環境. 27 (6): 685– 695. Bibcode :2004PCEnv..27..685K. doi :10.1111/j.1365-3040.2004.01185.x.
48. フレッチャー、レイチェル (2006). 「黄金比」. Nexus Network Journal . 8 (1): 67– 89. doi : 10.1007/s00004-006-0004-z . S2CID  120991151.
49. Loeb, Arthur (1992). 「黄金の三角形」. Concepts & Images: Visual Mathematics . Birkhäuser. pp.  179– 192. doi :10.1007/978-1-4612-0343-8_20. ISBN 978-1-4612-6716-4。
50. ウィリアム・ミラー (1996). 「五角形と黄金三角形」.学校における数学. 25 (4): 2–4 . JSTOR  30216571.
51. グリュンバウム、ブランコ、シェパード、GC (1987). 『タイルとパターン』ニューヨーク：WHフリーマン、pp.  537– 547. ISBN 9780716711933。
52. ペンローズ、ロジャー(1978). 「ペンタプレキシティ」. Eureka . 第39巻. p. 32.（オリジナルPDF）
53. Frettlöh, D.; Harriss, E.; Gähler, F. 「ロビンソン三角形」。タイル百科事典。

    Clason, Robert G (1994). 「黄金三角形のタイルパターン群」. The Mathematical Gazette . 78 (482): 130– 148. doi :10.2307/3618569. JSTOR  3618569. S2CID  126206189.

54. オドム、ジョージ；ファン・デ・クラーツ、ヤン (1986). 「E3007: 正三角形とその外接円から得られる黄金比」問題と解答.アメリカ数学月刊誌. 93 (7): 572. doi :10.2307/2323047. JSTOR  2323047.
55. ビュサード、ヒューバート LL (1968)。 「L'algèbre au Moyen Âge : le "Liber mensurationum" d'Abû Bekr」。Journal des Savants (フランス語とラテン語)。1968 (2): 65–124。土井:10.3406/jds.1968.1175。問題51を参照（98ページに転載）
56. ブルース、イアン (1994). 「黄金直角三角形のもう一つの例」(PDF) .フィボナッチ・クォータリー. 32 (3): 232– 233. doi :10.1080/00150517.1994.12429219.
57. ポザマンティエとリーマン、2011、p. 11.
58. Grünbaum, Branko (1996). 「新しい菱形六十面体」(PDF) .ジオビナトリクス. 6 (1): 15– 18.
59. セネシャル、マージョリー(2006). 「ドナルドと黄金の菱面体」. チャンドラー・デイビス、エリック・W. エラーズ編. 『コクセターの遺産』 . アメリカ数学会. pp.  159– 177. ISBN 0-8218-3722-2。
60. Claudi Alsina、Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen。 Springer、2015、ISBN 978-3-662-45461-9、136 および 137 ページ ( Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images のドイツ語翻訳、MAA Press)
61. Kurt Hofstetter: A Simple Construction from: the Golden Section Forum Geometricorum , Volume 2 (2002), pages 65–66 (PDF)
62. Loeb, Arthur L.; Varney, William (1992年3月). 「黄金螺旋は存在するのか？もし存在しないなら、その中心はどこにあるか？」 Hargittai, István; Pickover, Clifford A. (編). Spiral Symmetry . World Scientific. pp.  47– 61. doi :10.1142/9789814343084_0002. ISBN 978-981-02-0615-4。
63. Reitebuch, Ulrich; Skrodzki, Martin; Polthier, Konrad (2021). 「四分の一円による対数螺旋の近似」. Swart, David; Farris, Frank; Torrence, Eve (編). Proceedings of Bridges 2021: Mathematics, Art, Music, Architecture, Culture . Phoenix, Arizona: Tessellations Publishing. pp.  95– 102. ISBN 978-1-938664-39-7。
64. Diedrichs, Danilo R. (2019年2月). 「アルキメデス螺旋、対数螺旋、オイラー螺旋 ― 自然界に見られる興味深く普遍的なパターン」. The Mathematical Gazette . 103 (556): 52– 64. doi :10.1017/mag.2019.7. S2CID  127189159.
65. リビオ (2002、pp. 70–72)
66. チャールズ・ガン;ジョン M. サリバン(2008)。 「ボロメアン リング: 新しい IMU ロゴに関するビデオ」。レザのサルハンギにて。セカン、カルロ H. (編)。2008 年の橋の議事録。レーワルデン、オランダ。ターキン出版。63～ 70ページ 。; 「ボロメオ環：IMUの新しいロゴ」のビデオ。国際数学連合。2021年3月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。
67. ヒューム、アルフレッド (1900). 「正十二面体に関するいくつかの命題」.アメリカ数学月刊誌. 7 (12): 293– 295. doi :10.2307/2969130. JSTOR  2969130.
68. Coxeter, HSM ; du Val, Patrick ; Flather, HT ; Petrie, JF (1938). The Fifty-Nine Icosahedra . 第6巻. University of Toronto Studies. p. 4.正四面体が立方体に内接するのと同様に、立方体は正十二面体に内接します。この逆の作用により、正二十面体に外接する正八面体が得られます。実際、正二十面体の12個の頂点はそれぞれ、黄金分割に従って正八面体の辺を分割します。
69. Muller, JM (2006).初等関数：アルゴリズムと実装（第2版）. ボストン：ビルクハウザー. p. 93. ISBN 978-0817643720。
70. Yee, Alexander J. (2021年3月13日). 「y-cruncherが樹立した記録」. numberword.org .Clifford Spielman による 2 つの独立した計算。
71. Horocycles exinscrits : une propriété hyperbolique remarquable、cabri.net、2009 年 7 月 21 日取得。
72. Berndt, Bruce C.; Chan, Heng Huat; Huang, Sen-Shan; Kang, Soon-Yi; Sohn, Jaebum; Son, Seung Hwan (1999). 「ロジャース・ラマヌジャン連分数」(PDF) . Journal of Computational and Applied Mathematics . 105 ( 1–2 ): 9– 24. doi :10.1016/S0377-0427(99)00033-3. 2022年10月6日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2022年11月29日閲覧。
73. ダフィン、リチャード・J. (1978). 「多項式の根の局所化アルゴリズムとピソット・ヴィジャヤラガヴァン数」.パシフィック・ジャーナル・オブ・マスマティクス. 74 (1): 47– 56. doi : 10.2140/pjm.1978.74.47 .
74. ・コルビュジエ『モデュロール』p. 25 、パドヴァン、リチャード（1999）『プロポーション：科学、哲学、建築』Taylor & Francis、p. 316より引用。doi :10.4324/9780203477465。ISBN 9781135811112。
75. フリングス、マーカス (2002). 「建築理論における黄金比」. Nexus Network Journal . 4 (1): 9– 32. doi : 10.1007/s00004-001-0002-0 . S2CID  123500957.
76. ・コルビュジエ『モデュロール』p. 35 、リチャード・パドヴァン（1999）『プロポーション：科学、哲学、建築』Taylor & Francis、p. 320より引用。doi :10.4324/9780203477465。ISBN 9781135811112絵画と建築デザインの両方で黄金比が利用されている
77. アーウィン、サイモン（2003年）『Analysing Architecture』（第2版）ラウトレッジ、  154～ 155頁。
78. Livio, Mario (2002). 「黄金比と美学」. Plus Magazine . 2018年11月26日閲覧。
79. Devlin, Keith (2007). 「消えない神話」. 2020年11月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2013年9月26日閲覧。数学ライターになる過程の一つは、黄金比について言及する際には、まず「古代ギリシャ人などは黄金比に神聖で神秘的な性質があると信じていた」といったフレーズを付け加えなければならないことを学ぶことのようだ。「レオナルド・ダ・ヴィンチは人間の形が黄金比であると信じていた」といった二つ目の事実を付け加えたいという衝動も、ほとんど強迫観念にかられる。どちらの主張も裏付ける証拠は微塵もなく、どちらも誤りであると仮定するだけの理由がある。しかし、どちらの主張も、同様の主張とともに、今も生き続けている。
80. シマネク、ドナルド・E.「フィボナッチ・フリム・フラム」。2010年1月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2013年4月9日閲覧。
81. サルバドール・ダリ (2008). 『ダリ・ディメンション：天才の心を解読する』（DVD） . Media 3.14-TVC-FGSD-IRL-AVRO.
82. ハント、カーラ・ハーンドン、ギルキー、スーザン・ニコデムス (1998). 『ブロック体を使った数学の教え方』Eye On Education. pp. 44, 47. ISBN 1-883001-51-X。
83. Olariu, Agata (1999). 「黄金比と絵画芸術」. arXiv : physics/9908036 .
84. トスト、パブロ (1969)。La composición áurea en las artes plásticas [造形芸術における黄金の構成] (スペイン語)。アシェット。134～ 144ページ 。
85. Tschichold, Jan (1991). The Form of the Book. Hartley & Marks. p. 43 図4. ISBN 0-88179-116-4中世写本における、複数の段のない理想的な比率の枠組み。ヤン・チヒョルト（1953年）によって決定。ページ比率は2:3。余白比率は1:1:2:3。本文領域は黄金比で構成されている。本文領域の下端外側の角も対角線で固定されている。
86. Tschichold, Jan (1991). The Form of the Book. Hartley & Marks. pp.  27– 28. ISBN 0-88179-116-4。
87. ジョーンズ、ロナルド (1971). 「黄金比：最も注目すべき尺度」.ストラクチャリスト. 11 : 44– 52.例えば、照明スイッチのスイッチプレートが黄金長方形に基づいて標準化されていると誰が思うでしょうか？

    ジョンソン、アート（1999年）『有名な問題とその数学者たち』ティーチャー・アイディアズ・プレス、p.45、ISBN 9781563084461黄金比は、ポストカードやクレジットカードからポスターや電灯のスイッチプレートまで、多くの現代デザインの標準的な特徴です。

    アレクセイ・P・スタホフ、スコット・オルセン (2009). 「§1.4.1 辺比τの黄金長方形」『調和の数学：ユークリッドから現代数学・コンピュータサイエンスまで』ワールド・サイエンティフィック、pp.  20– 21.クレジットカードは黄金長方形の形状をしている。

    コックス、サイモン（2004年）『ダ・ヴィンチ・コードの解読』バーンズ・アンド・ノーブル、62頁。ISBN 978-1-84317-103-4黄金比は、思いもよらないところでも現れます。ワイドスクリーンテレビ、ポストカード、クレジットカード、写真などはすべて、黄金比の比率に従っています。

88. Posamentier & Lehmann 2011、第4章、脚注12：「トーゴの国旗は芸術家ポール・アヒ（1930-2010）によってデザインされたが、彼は国旗を黄金比の長方形にしようとしたと主張している」。
89. エルンヴァイ、レンドヴァイ (1971)。ベーラ・バルトーク：彼の音楽の分析。ロンドン：カーンとアヴェリル。
90. リヴィオ 2002、190ページ。
91. スミス、ピーター・F. (2003). 『喜びのダイナミクス：建築と美学』ラウトレッジ、p.83. ISBN 9780415300100。
92. Howat, Roy (1983). 「1. 比例構造と黄金比」. Debussy in Proportion: A Musical Analysis . Cambridge University Press. pp.  1– 10.
93. トレジーズ、サイモン（1994年）『ドビュッシー：海』ケンブリッジ大学出版局、p.53、ISBN 9780521446563。
94. モンゴベン、ケイシー (2010). 「フィボナッチと黄金比を特徴とする音楽スタイル」(PDF) . Congressus Numerantium . 201 : 127– 138.

    長谷川, ロバート (2011). 「ハンス・ツェンダーの音楽における多元的ハーモニーク」. 『新しい音楽の展望』49 (1). プロジェクト・ミューズ: 207–234 . doi :10.1353/pnm.2011.0000. JSTOR  10.7757/persnewmusi.49.1.0207.

    スメサースト、ライリー (2016). 「ハインツ・ボーレンによる2つの非オクターブ調律：実践的提案」. イヴ・トーレンス他編. Bridges 2016 Proceedings of Bridges . ユヴァスキュラ（フィンランド）. Tessellations Publishing. pp.  519– 522.

95. リヴィオ 2002、154ページ。
96. パドヴァン、リチャード (1999).プロポーション：科学、哲学、建築. テイラー＆フランシス. pp.  305– 306. doi :10.4324/9780203477465. ISBN 9781135811112。

    パドヴァン、リチャード (2002). 「プロポーション：科学、哲学、建築」.ネクサス・ネットワーク・ジャーナル. 4 (1): 113– 122. doi : 10.1007/s00004-001-0008-7 .

97. ツァイジング、アドルフ(1854)。 「Einleitung [序文]」。Neue Lehre von den Proportionen des menchlichen Körpers [人体のプロポーションに関する新しい教義] (ドイツ語)。ヴァイゲル。1～ 10ページ 。
98. ポマーシャイム, ジェームズ・E.、マークス, ティム・K.、フラパン, エリカ・L.編 (2010). 『数論：証明、応用、そして物語による生き生きとした入門』 ワイリー. p. 82.
99. Coldea, R.; Tennant, DA; Wheeler, EM; Wawrzynksa, E.; Prabhakaran, D.; Telling, M.; Habicht, K.; Smeibidl, P.; Keifer, K. (2010). 「イジング鎖における量子臨界性：E8対称性の出現に関する実験的証拠」. Science . 327 (5962): 177– 180. arXiv : 1103.3694 . Bibcode :2010Sci...327..177C. doi :10.1126/science.11​​80085. PMID  20056884. S2CID  206522808.
100. “A Disco Ball in Space”. NASA. 2001年10月9日. 2020年12月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2007年4月16日閲覧。
101. フェザント、スティーブン（1986年）『ボディスペース』テイラー＆フランシス、ISBN 9780850663402。
102. ヴァン・ラーク、ウォルター (2001)。私たちの世界のより良い歴史: 第 1 巻 宇宙。アーヘン：ファン・ラーハ。
103. ダンラップ、リチャード・A. (1997).黄金比とフィボナッチ数列. ワールドサイエンティフィック. p. 130.
104. ファルボ、クレメント（2005年3月）「黄金比―反対の視点」カレッジ数学ジャーナル36 ( 2): 123–134 . doi :10.1080/07468342.2005.11922119. S2CID  14816926.
105. モスコヴィッチ、イヴァン（2004年）『ヒンジド・スクエアとその他のパズル』ニューヨーク：スターリング社、122頁。ISBN 9781402716669。
106. Peterson, Ivars (2005年4月1日). 「貝殻の螺旋」. Science News . 2012年10月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。2008年11月10日閲覧。
107. マン、ジョン（2002年）『グーテンベルク：一人の男が言葉で世界を作り変えた方法』ワイリー、pp.  166– 167. ISBN 9780471218234ハーフフォリオページ（30.7×44.5cm）は、いわゆる「黄金分割」に基づいて、ページ全体とテキスト領域の2つの長方形で構成されていました。黄金分割は、短辺と長辺の間の重要な関係を規定し、円周率のように無理数を生成しますが、その比率は約5:8です。
108. フェヒナー、グスタフ (1876)。 Vorschule der Ästhetik [美学の幼稚園] (ドイツ語)。ライプツィヒ：ブライトコプフ＆ヘルテル。190–202ページ 。
109. リヴィオ 2002、7ページ。
110. オスラー、キャロル (2000). 「抵抗線のサポート：テクニカル分析と日中為替レート」(PDF) .ニューヨーク連邦準備銀行経済政策レビュー. 6 (2): 53– 68. 2007年5月12日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) .直近の上昇または下落の38.2%および61.8%のリトレースメントは一般的である。
111. Batchelor, Roy ; Ramyar, Richard (2005). 「ダウ平均株価のマジックナンバー（レポート）」Cass Business School. pp. 13, 31.人気のある新聞記事の要約は、以下のサイトに掲載されています：スティーブンソン、トム (2006年4月10日). 「『大きいことは美しい』時代以来、巨人がこれほどまでに輝いたことはない」デイリー​​・テレグラフ。「技術的故障」。エコノミスト誌、2006年9月23日。
112. ヘルツ・フィッシュラー、ロジャー（2000年）『大ピラミッドの形』ウィルフリッド・ローリエ大学出版局、ISBN 0-88920-324-5。本書全体を通して、このピラミッドの形状に関する様々な異説が概説されています。ケプラー三角形に関する具体的な内容については、第11章「ケプラー三角形理論」（80～91ページ）を、また「理論は古代エジプト人が知っていたものと一致する数学のレベルに対応していなければならない」という原則によってケプラー三角形理論が排除されるという結論については、166ページを参照してください。ケプラーによるこの三角形に関する研究の歴史については、229ページの注3を参照してください。

     ロッシ、コリーナ（2004年）。『古代エジプトの建築と数学』ケンブリッジ大学出版局、pp.  67– 68。古代エジプトの書かれた数学資料には、黄金比に分類できる算術計算や幾何学的構成の直接的な証拠は見当たらない。… ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$への収束、そして⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$自体が数として存在するという証拠は、現存する中王国時代の数学資料とは一致しない。ピラミッドやその他のエジプト建築の形状に関する複数の代替理論の詳細な議論も参照のこと（7～56ページ）

     ロッシ, コリーナ; トウト, クリストファー A. (2002). 「フィボナッチ数列と黄金比は古代エジプトで知られていたか？」. Historia Mathematica . 29 (2): 101– 113. doi :10.1006/hmat.2001.2334. hdl : 11311/997099 .

     Markowsky, George (1992). 「黄金比に関する誤解」(PDF) . The College Mathematics Journal . 23 (1). Mathematical Association of America: 2– 19. doi :10.2307/2686193. JSTOR  2686193. 2012年6月29日閲覧. エジプト人は黄金比の存在すら知らなかったようで、ましてや建築物に取り入れていたとは考えにくい。 ${\displaystyle \varphi }$

113. リヴィオ 2002、74～75頁。
114. ヴァン・メルスベルゲン、オードリー・M. (1998). 「建築における修辞的プロトタイプ：哲学的論争によるアクロポリスの測定」.コミュニケーション・クォータリー. 46 (2): 194– 213. doi :10.1080/01463379809370095.
115. デブリン、キース・J. (2005). 『数学の本能』 ニューヨーク：サンダーズ・マウス・プレス. p. 108.
116. ガザレ、ミッドハット J. (1999)。グノモン: ファラオからフラクタルまで。プリンストン。 p. 125.ISBN​ 9780691005140。
117. フータキス、パトリス (2014). 「ギリシャ人は黄金比に従って建築したのか？」ケンブリッジ考古学ジャーナル. 24 (1): 71– 86. doi :10.1017/S0959774314000201. S2CID  162767334.
118. Le Sa​​lon de la Section d'Or、1912年10月、ポンピドゥー調停センター
119. Jeunes Peintres ne vous frappez pas !, La Section d'Or: Numéro spécial consacré à l'Exposition de la "Section d'Or", première année, no. 1、9 octobre 1912、pp. 1–7 アーカイブ 2020-10-30 at the Wayback Machine、 Bibliothèque Kandinsky
120. ヘルツ＝フィッシュラー、ロジャー (1983). 「スーラと黄金数に関する主張の検証」(PDF) .ガゼット・デ・ボザール. 101 : 109–112 .
121. ハーバート、ロバート（1968年）『新印象派』グッゲンハイム財団、24頁。
122. リヴィオ 2002、169ページ。
123. ウィリアム・A. カムフィールド (1965年3月). 「フアン・グリスと黄金比」.アート・ブレティン. 47 (1): 128– 134. doi :10.1080/00043079.1965.10788819.
124. グリーン、クリストファー（1992年）『フアン・グリス』イェール大学、  pp.37-38、ISBN 9780300053746。

     コッティントン、デイヴィッド（2004年）『キュビスムとその歴史』マンチェスター大学出版局、112、142頁。

125. ロジャー、アラード (1911 年 6 月)。 「シュル・ケルケス・ペイントル」。Les Marches du Sud-Ouest : 57–64 .マーク・アントリフ、パトリシア・レイトン編（2008年）『キュビズム読本 1906–1914年の文書と批評』シカゴ大学出版局、178–191頁 に再録。
126. ブーロー、チャールズ（1963年）『画家の秘密の幾何学：美術における構成の研究』ハーコート・ブレース・アンド・ワールド社、  247-248頁。
127. リヴィオ 2002、177–178ページ。

引用文献

• ヘルツ・フィッシュラー、ロジャー（1998）[1987] 『黄金数の数学史』ドーバー、ISBN 9780486400075。(元のタイトルは「極値比と平均比における除算の数学的歴史」でした。)
• リヴィオ、マリオ（2002年）『黄金比：世界で最も驚くべき数、ファイの物語』ニューヨーク：ブロードウェイ・ブックス、ISBN 9780767908153。
• ポサマンティエ、アルフレッド・S. ; レーマン、イングマール (2011). 『栄光の黄金比』プロメテウス・ブックス. ISBN 9-781-61614-424-1。

さらに読む

• ドチ、ジェルジ（1981年）『限界の力：自然、芸術、建築における比例的調和』ボストン：シャンバラ。
• ハルギッタイ、イシュトヴァーン編。 （1992年）。五重対称。世界科学。ISBN 9789810206000。
• ハントリー、HE（1970）『神聖な比率：数学的美の研究』ニューヨーク：ドーバー、ISBN 978-0-486-22254-7。
• シャーフ、ウィリアム・L.編 (1967). 『黄金の尺度』（PDF） . カリフォルニア学校数学研究グループ復刻シリーズ. スタンフォード大学. 2015年4月25日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） .
• シモーネ、アルド (1997)。ラ・セツィオーネ・アウレア。マテマティカの教育的文化の歴史。パレルモ：シグマ・エディツィオーニ。ISBN 978-88-7231-025-0。
• Walser、Hans (2001) [ Der Goldene Schnitt 1993]。黄金分割。ピーター・ヒルトントランス。ワシントン DC: アメリカ数学協会。ISBN 978-0-88385-534-8。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「黄金比」。マスワールド。
• ボゴモーリニー、アレクサンダー(2018). 「幾何学における黄金比」Cut-the-Knot .
• ノット、ロン.「黄金比：ファイ」数学教授による情報と活動。
• 消えることのない神話は、Wayback Machineに 2020 年 11 月 12 日にアーカイブされています。著者はKeith Devlinで、文化における黄金比の使用に関する複数の疑惑を取り上げています。
• ランドール・マンローが収集した偽の黄金螺旋
• ゼノンのネズミ問題と対数螺旋に関するYouTube講義

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