立体角

Measure in 3-dimensional geometry

立体角
立体角の視覚的表現
一般的な記号	Ω
SI単位	ステラジアン
その他のユニット	平方度、スパット（角度単位）
SI基本単位では	平方メートル/平方メートル
保存されていますか?	いいえ
他の量からの導出	${\displaystyle \Omega =A/r^{2}}$
寸法	${\displaystyle 1}$

幾何学において、立体角（記号：Ω）とは、ある特定の点からある物体が覆う視野の大きさを表す尺度です。つまり、その点から観察者がその物体をどれだけ大きく見るかを表す尺度です。物体を見る視点は立体角の頂点と呼ばれ、物体はその点において立体角を張っていると言われます。

国際単位系（SI）では、立体角はステラジアン（記号：sr）と呼ばれる無次元 単位で表されます。これは1平方ラジアンに等しく、sr = rad ²です。1ステラジアンは、頂点を囲む単位球面上の（あらゆる形状の）面積の1単位に対応します。したがって、頂点からのすべての光線を遮る物体は、単位球面の全表面積に等しいステラジアン数を覆うことになります。立体角は、度、分、秒などの角度の単位の平方で測定することもできます。 ${\displaystyle 4\pi }$

近くにある小さな物体が、遠くにある大きな物体と同じ立体角を占めることがあります。例えば、月は太陽よりもはるかに小さいですが、地球からははるかに近いです。実際、地球上のどの地点から見ても、両方の物体はほぼ同じ立体角（つまり見かけの大きさ）を持ちます。これは日食の際に顕著です。

定義と特性

物体の立体角の大きさ（ステラジアン）は、頂点を中心とする単位球面の面積に等しい。単位球面の面積をステラジアンで表すことは、単位円の弧の長さをラジアンで表すことに似ている。扇形の頂点における平面角の大きさ（ラジアン）が弧の長さと半径の比であるのと同様に、立体角の大きさ（ステラジアン）は、球面上の物体が覆う面積と球の半径の2乗の比である。立体角の大きさ（ステラジアン）の公式は以下の通りである。

$${\displaystyle \Omega ={\frac {A}{r^{2}}},}$$

ここで、 は球面上の面積（任意の形状）であり、は球面の半径です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$

立体角は天文学、物理学、特に天体物理学においてよく用いられます。非常に遠くにある物体の立体角は、おおよそ面積と距離の二乗の比に比例します。ここで「面積」とは、視線方向に沿って投影された物体の面積を意味します。

球面上の面積がその半径の二乗に等しい領域は、その中心から観察したときに、正確に 1ステラジアンを占めます。

球面内部の任意の点から測った球面の立体角は4πsrです。 立方体の中心でその面の一つによって測られた立体角は、その6分の1、つまり2π / 3srです。立方体（八分円）の角に張られる立体角、または球面八分円によって張られる立体角はπ /2 srであり、球面の立体角の 8 分の 1 です。

立体角は、平方度（1 sr = ( 180/ π ) ²平方度）、平方角分、平方角秒で測定することもできます。^[a]また、球面の分数で表すこともできます（1 sr = ⁠1/4π​⁠分数面積）、スパット（1 sp = 4 π  sr）とも呼ばれます。

球座標では微分公式があり、

$${\displaystyle d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,}$$

ここで、θは緯度（北極からの角度）、φは経度です。

点Pを囲む任意の向きの面 Sの立体角は、面Sを中心Pを持つ単位球に投影した立体角に等しく、面積分として計算できます。

$${\displaystyle \Omega =\iint _{S}{\frac {{\hat {r}}\cdot {\hat {n}}}{r^{2}}}\,dS\ =\iint _{S}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,}$$

ここで、 は点Pに対する微小面dSの位置ベクトルに対応する単位ベクトルであり、 はdSへの単位法線ベクトルを表す。単位球面への投影が と同型でなくても、スカラー積の符号で表される面の向きに従って、多重褶曲は正しく考慮される。 ${\displaystyle {\hat {r}}={\vec {r}}/r}$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {r}}\cdot {\hat {n}}}$

したがって、平面面積dS、方向、および視聴者からの 距離rを持つ小さな面によって囲まれる立体角は次のように近似できます。 ${\displaystyle {\hat {n}}}$

$${\displaystyle d\Omega =4\pi \left({\frac {dS}{A}}\right)\,({\hat {r}}\cdot {\hat {n}}),}$$

ここで球の表面積はA = 4 π r ²です。

実用的な応用

• 光度と輝度、および対応する放射量である放射強度と放射輝度の定義
• 球面三角形の球面過剰 Eの計算
• 境界要素法（BEM）を用いたポテンシャルの計算
• 金属錯体中の配位子の大きさを評価するには、配位子円錐角を参照
• 電荷分布の周囲の電界と磁界の強度を計算する
• ガウスの法則の導出
• 熱伝達における放射パワーと放射量の計算
• ラザフォード散乱における断面積の計算
• ラマン散乱における断面積の計算
• 光ファイバーの受光円錐の立体角
• メッシュ内の節点密度の計算。^[1]

一般的な物体の立体角

円錐、球状キャップ、半球

半径rの球面上に1ステラジアンの立体角を持つ円錐(1)の中心を通る断面と、球状の「キャップ」(2)を示す図。キャップの外面積Aは、円錐の立体角がちょうど1ステラジアンの場合にのみ等しくなる。したがって、この図ではθ = A /2、r = 1となる。 ${\displaystyle r^{2}}$

頂点が立体角の頂点にあり、頂点角が2 θ である円錐の立体角は、単位球面上の球面帽の面積である。

$${\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos \theta \right)\ =4\pi \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}$$

θが小さい場合、cos θ ≈ 1 − ⁠θ ²/2⁠これはπ θ ² ≈ π r ²、つまり円の面積に簡約されます。（ h → 0、θ → rとなるため。）

上記は、球座標の単位表面要素を使用して次の二重積分を計算することによって求められます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\,d\phi &=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\\&=2\pi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\\&=2\pi \left[-\cos \theta '\right]_{0}^{\theta }\\&=2\pi \left(1-\cos \theta \right).\end{aligned}}}$$

この式は微積分を使わずに導くこともできます。

2200年以上前、アルキメデスは球面の表面積は常に、球面の縁から球面の対称軸が球面と交差する点までの距離に等しい半径の円の面積に等しいことを証明しました。^[2]

アルキメデスの定理によれば、与えられた図の水平面 H の下の球面領域の表面積は、半径 t の円の面積に等しいとされています。

上の色付き図では、この半径は次のように表される。

$${\displaystyle 2r\sin {\frac {\theta }{2}}.}$$隣接する白黒の図では、この半径は「t」として示されています。

したがって、単位球面の球面キャップの立体角は次のように与えられる。

$${\displaystyle \Omega =4\pi \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}=2\pi \left(1-\cos \theta \right).}$$

θ = ⁠のときπ/2⁠、球面キャップは立体角2πを持つ半球になります。

円錐の補角は

$${\displaystyle 4\pi -\Omega =2\pi \left(1+\cos \theta \right)=4\pi \cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}$$

これは、緯度θに位置する天文観測者が地球の自転に合わせて見ることができる天球の一部の立体角でもあります。赤道では天球の全体が見えますが、両極では半分しか見えません。

円錐の軸から角度γで切り取られ、円錐の頂点を通る球面キャップの線分によって囲まれる立体角は、式^{[3]で計算できます。}

$${\displaystyle \Omega =2\left[\arccos \left({\frac {\sin \gamma }{\sin \theta }}\right)-\cos \theta \arccos \left({\frac {\tan \gamma }{\tan \theta }}\right)\right].}$$

たとえば、γ = − θの場合、式は上記の球面キャップの式に簡約されます。つまり、最初の項はπ、2 番目の項はπ cos θになります。

四面体

OABCを、Oを原点とし、三角形の面ABCによって囲まれた四面体の頂点とします。頂点A、B、Cのベクトル位置をそれぞれとします。頂点角θ _{a を}角BOCと定義し、 θ _b、θ _cをそれぞれ定義します。四面体OACとOBCを含む平面間の二面角をθと定義し、それぞれをそれぞれ定義します。三角形の面ABCによって囲まれた立体角Ωは、次のように与えられます 。 ${\displaystyle {\vec {a}}\ ,\,{\vec {b}}\ ,\,{\vec {c}}}$ ${\displaystyle \phi _{ab}}$ ${\displaystyle \phi _{ac}}$ ${\displaystyle \phi _{bc}}$

$${\displaystyle \Omega =\left(\phi _{ab}+\phi _{bc}+\phi _{ac}\right)\ -\pi .}$$

これは球面過剰の理論から導かれるものであり、 「平面三角形の内角の合計はπに等しい」という定理に類似した定理が、四面体の 4 つの内部立体角の合計に対して次のように存在するという事実につながります。

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\Omega _{i}=2\sum _{i=1}^{6}\phi _{i}\ -4\pi ,}$$

ここで、四面体OAB、OAC、OBC、ABCを含む任意の2つの平面間の6つの二面角すべてにわたる範囲です。^[4] ${\displaystyle \phi _{i}}$

_{四面体の原点Oにおける立体角を計算するための有用な公式は、}頂点角θa _、 θb _、 θcの関数であり、ルイリエの定理^{[5] [6]}によって次のように与えられる。

$${\displaystyle \tan \left({\frac {1}{4}}\Omega \right)={\sqrt {\tan \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}},}$$

どこ $${\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}.}$$

もう一つの興味深い式は、頂点を3次元空間のベクトルとして表すというものです。頂点A、B、Cのベクトル位置をそれぞれa、b、cとし、各ベクトルの大きさ（原点間の距離）をa、b、cとします。三角形ABCが囲む立体角Ωは、以下の式で表されます。 ^{[7] [8]} ${\displaystyle {\vec {a}}\ ,\,{\vec {b}}\ ,\,{\vec {c}}}$

$${\displaystyle \tan \left({\frac {1}{2}}\Omega \right)={\frac {\left|{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}\right|}{abc+\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right)c+\left({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\right)b+\left({\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\right)a}},}$$

どこ $${\displaystyle \left|{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}\right|={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})}$$

は3つのベクトルのスカラー三重積を表し、はスカラー積を表します。 ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}$

ここでは、負の立体角や不正確な立体角を避けるように注意する必要があります。潜在的なエラーの原因の一つは、a、b、c の巻き方が間違っていると、スカラー三重積が負になる可能性があることです。方程式の他の部分は巻き方に依存しないため、絶対値を計算すれば十分な解決策となります。もう一つの落とし穴は、スカラー三重積が正で除数が負の場合です。この場合、πだけ増加させる必要がある負の値が返されます。

ピラミッド

頂点角aとb（ピラミッドの反対側の面に対して測った二 面角）を持つ4辺を持つ直方体ピラミッドの立体角は $${\displaystyle \Omega =4\arcsin \left(\sin \left({a \over 2}\right)\sin \left({b \over 2}\right)\right).}$$

ピラミッドの底辺の辺の長さ（αとβ ）と底辺の長方形の中心からピラミッドの頂点（球の中心）までの距離（ d）が分かっている場合、上記の式を変形して次の式を得ることができます。

$${\displaystyle \Omega =4\arctan {\frac {\alpha \beta }{2d{\sqrt {4d^{2}+\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}}.}$$

直角錐（底辺が円周半径rの正n角形、高さh ）の立体角は、

$${\displaystyle \Omega =2\pi -2n\arctan \left({\frac {\tan \left({\pi \over n}\right)}{\sqrt {1+{r^{2} \over h^{2}}}}}\right).}$$

n辺の底辺を持つ任意のピラミッドの立体角は、辺を表す単位ベクトルの列{ s ₁ , s ₂ }, ... s _nによって定義され、次のように効率的に計算できます。^[3]

$${\displaystyle \Omega =2\pi -\arg \prod _{j=1}^{n}\left(\left(s_{j-1}s_{j}\right)\left(s_{j}s_{j+1}\right)-\left(s_{j-1}s_{j+1}\right)+i\left[s_{j-1}s_{j}s_{j+1}\right]\right).}$$

ここで、括弧 (* *) はスカラー積、角括弧 [* * *] はスカラー三重積、iは虚数単位です。インデックスは循環的であり、s ₀ = s _nおよびs ₁ = s _{n + 1}となります。複素積は、多角形の各頂点角に関連付けられた位相を加算します。ただし、 の倍数はの分岐切断で失われるため、別途追跡する必要があります。また、複素位相の連続積は、ほぼ平行な線分の極限におけるアンダーフローを回避するために、時折スケーリングする必要があります。 ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \arg }$

緯度経度の長方形

地球儀上の緯度経度長方形の立体角は、φ N_とφ S_が南北緯線（赤道からラジアン単位で測定し、北に向かうにつれて角度が増加）であり、 θ _Eとθ _Wが東西経線（ラジアン単位での角度は東に向かうにつれて増加）である。^{[9]数学的には、これは角度}ϕ _N − ϕ _Sの円弧が球面の周りをθ _E − θ _Wラジアンで旋回することを表す。経度が 2 πラジアン、緯度がπラジアンの場合、立体角は球面の立体角になる。 $${\displaystyle \left(\sin \phi _{\mathrm {N} }-\sin \phi _{\mathrm {S} }\right)\left(\theta _{\mathrm {E} }-\theta _{\mathrm {W} }\,\!\right)\;\mathrm {sr} ,}$$

緯度経度長方形を直方体ピラミッドの立体角と混同しないでください。直方体ピラミッドの4辺はすべて、球面と大円弧を描いて交差します。緯度経度長方形では、経線のみが大円弧となり、緯線は大円弧となりません。

天体

角直径の定義を使用すると、天体の立体角の式を、天体の半径と観測者から天体までの距離で定義できます。 ${\textstyle R}$ ${\displaystyle d}$

$${\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-{\frac {\sqrt {d^{2}-R^{2}}}{d}}\right):d\geq R.}$$

太陽と月（地球に対する）の適切な平均値を入力すると、太陽の平均立体角は6.794 × 10 ⁻⁵ステラジアンであり、月の平均立体角は6.418 × 10 ⁻⁵ステラジアン。天球全体から見ると、太陽と月は平均して0.000 5406 % (5.406  ppm）および0.000 5107 % (それぞれ5.107 ppm）です。これらの立体角はほぼ同じ大きさであるため、月は皆既日食と金環日食の両方を引き起こす可能性があります。これは、日食中の地球と月の距離によって異なります。

任意次元における立体角

d次元ユークリッド空間における単位球面の完全な( d−1 )次元球面が囲む立体角は、任意の次元数dで定義できる。球対称性を持つ計算では、この立体角係数がしばしば必要となる。これは次式で与えられる。Γはガンマ関数である。dが整数のとき、ガンマ関数は明示的に計算できる。^[10]したがって、 $${\displaystyle \Omega _{d}={\frac {2\pi ^{\frac {d}{2}}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}\right)}},}$$ $${\displaystyle \Omega _{d}={\begin{cases}{\frac {1}{\left({\frac {d}{2}}-1\right)!}}2\pi ^{\frac {d}{2}}\ &d{\text{ even}}\\{\frac {\left({\frac {1}{2}}\left(d-1\right)\right)!}{(d-1)!}}2^{d}\pi ^{{\frac {1}{2}}(d-1)}\ &d{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

これにより、面積が4π r ²の表面で囲まれた3次元球面では4 πステラジアン、長さが2π rの円周で囲まれた2次元円では2 πラジアンという期待値が得られます。また、原点を中心とする1次元「球面」が区間[− r , r ]であり、これが2つの極限点で囲まれている場合、1次元の場合はややわかりにくい2という値が得られます。

任意次元のベクトル公式に対応するものは、青本^{[11] [12]}およびリバンド^[13]によって独立に導出されました。これは、無限多変数テイラー級数として表現されます。角度を定義するd個の単位ベクトルが与えられ、 Vでそれらを結合して形成される行列を、i番目の列が、および となるように表します。変数は多変数 を形成します。「合同な」整数多重指数の場合、を定義します。ここで= は負でない整数、つまり で始まる自然数であることに注意してください。 の表記は変数を意味し、指数 についても同様です。したがって、項 は、 l が最初または 2 番目のインデックスとして現れるのすべての項の合計を意味します。この級数が収束するところでは、ベクトルによって定義される立体角に収束します。 $${\displaystyle \Omega =\Omega _{d}{\frac {\left|\det(V)\right|}{(4\pi )^{d/2}}}\sum _{{\vec {a}}\in \mathbb {N} _{0}^{\binom {d}{2}}}\left[{\frac {(-2)^{\sum _{i<j}a_{ij}}}{\prod _{i<j}a_{ij}!}}\prod _{i}\Gamma \left({\frac {1+\sum _{m\neq i}a_{im}}{2}}\right)\right]{\vec {\alpha }}^{\vec {a}}.}$$ ${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}={\vec {v}}_{i}\cdot {\vec {v}}_{j}=\alpha _{ji},\alpha _{ii}=1}$ ${\displaystyle \alpha _{ij},1\leq i<j\leq d}$ ${\displaystyle {\vec {\alpha }}=(\alpha _{12},\dotsc ,\alpha _{1d},\alpha _{23},\dotsc ,\alpha _{d-1,d})\in \mathbb {R} ^{\binom {d}{2}}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{12},\dotsc ,a_{1d},a_{23},\dotsc ,a_{d-1,d})\in \mathbb {N} _{0}^{\binom {d}{2}},}$ ${\textstyle {\vec {\alpha }}^{\vec {a}}=\prod \alpha _{ij}^{a_{ij}}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{ji}}$ ${\displaystyle j>i}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ ${\displaystyle a_{ji}}$ ${\textstyle \sum _{m\neq l}a_{lm}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}}$

注記

1. 球体全体の面積は約1億4,851万平方分角、面積は約5,346億3,800万平方秒角である。^[要出典]

参考文献

1. Falla, Romain (2023). 「粒子有限要素法による2次元境界流れおよび自由表面流れのメッシュ適応」.計算粒子力学. 10 (5): 1049– 1076. doi :10.1007/s40571-022-00541-2. hdl : 2268/302810 .
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3. Mazonka, Oleg (2012). 「円錐面、多面体円錐、および交差する球面キャップの立体角」arXiv : 1205.1396 [math.MG].
4. Hopf, Heinz (1940). "Selected Chapters of Geometry" (PDF) . ETH Zurich : 1– 2. 2018年9月21日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。
5. “ルイリエの定理 – Wolfram MathWorld より”. Mathworld.wolfram.com。 2015-10-19 。2015 年 10 月 19 日に取得。
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8. Van Oosterom, A; Strackee, J (1983). 「平面三角形の立体角」. IEEE Transactions on Biomedical Engineering . BME-30 (2): 125– 126. doi :10.1109/TBME.1983.325207. PMID  6832789.
9. 「緯度経度長方形の面積」ドレクセル大学数学フォーラム、2003年。
10. Jackson, FM (1993). 「ユークリッドn空間における多面体」.数学応用研究所紀要. 29 (11/12): 172–174 .
11. 青本 和彦 (1977). 「シュレーフリ関数の解析構造」名古屋数学誌68 : 1–16 . doi : 10.1017 /s0027763000017839 .
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さらに読む

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外部リンク

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• MGケンドール著『N次元幾何学講座』グリフィン統計学モノグラフ＆コース第8号、MGケンドール編、チャールズ・グリフィン社、ロンドン、1961年
• ワイスタイン、エリック・W.「ソリッド・アングル」。マスワールド。

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