Structure defining distance on a manifold
数学の 分野である微分幾何 学 において 、 計量テンソル （または単に 計量 ）は、 ユークリッド空間 上の 内積 によってそこでの 距離と角度を定義できるのと同じように、距離と角度を定義できる多様体 M（面 など） 上 の 追加 構造 です 。より正確には、 M の 点 pにおける計量テンソルは、 p における 接空間 で定義される 双線形形式 （つまり、 接ベクトルのペアを 実数 に マッピングする 双線形関数）であり、 M 上の計量体は、 p とともに滑らかに変化する M の各点 p における計量テンソルで構成されます 。
計量テンソル g は、任意の非零ベクトル vに対して g ( v , v ) > 0 が 成り立つとき、 正定値で ある 。正定値計量テンソルを備えた多様体は、 リーマン多様体 と呼ばれる。このような計量テンソルは、多様体上の 無限小 距離を指定するものと考えることができる。リーマン多様体 M上で、2 点 p と q 間の滑らかな曲線の長さは 積分によって定義でき、 p と q 間の 距離は そのようなすべての曲線の長さの 下限 として定義できる。これにより、 M は 計量空間 になる 。逆に、計量テンソル自体は 距離関数の 導関数である（適切な方法で導出された）。 [ 要出典 ]
計量テンソルの概念は、19世紀初頭から ガウス などの数学者にはある程度知られていましたが、 テンソル としての性質が理解されたのは20世紀初頭、特に グレゴリオ・リッチ＝クルバストロ と トゥリオ・レーヴィ＝チヴィタによってであり、彼らはテンソルの概念を初めて体系化しました。計量テンソルは テンソル体 の一例です 。
座標基底 における計量テンソルの成分は、 座標系の変化に対して 共変的に 変化する要素を持つ 対称行列 の形をとる。したがって、計量テンソルは共変 対称テンソル である。 座標に依存しない 観点から、計量テンソル場は、 各接空間上で点から点へと 滑らかに変化する 非退化 対称双線型形式 として定義される。
導入 カール・フリードリヒ・ガウスは 1827年に著した『 曲面の一般研究 』 （ Disquisitiones generales circa superficies curvas ）の中で、曲面を パラメトリックに 考察した。パラメトリックとは、 曲面上の点の 直交座標 x 、 y 、 zが2つの補助変数 u と v に依存するというものである。したがって、パラメトリック曲面は（今日の用語で言えば） ベクトル値関数である。
r → ( u , v ) = ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) {\displaystyle {\vec {r}}(u,\,v)={\bigl (}x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\,v){\bigr )}} 実変数の 順序付きペア ( u , v ) に依存し 、 uv 平面上の 開集合 D で定義される。ガウスの研究の主な目的の一つは、曲面が空間内で変形（例えば、曲面を伸ばさずに曲げるなど）を受けても、あるいは同じ幾何学的曲面の特定の媒介変数形式が変化しても変化しない関数によって記述できる曲面の特徴を導き出すことであった。
そのような自然な不変量の1つは、 曲面に沿って描かれた 曲線の長さ です。もう1つは、曲面に沿って描かれ、共通点で交わる2本の曲線の間の 角度です。3つ目は、曲面の一部の 面積 です。これらの曲面の不変量の研究は、ガウスが現代の計量テンソルの概念の前身を導入するきっかけとなりました。
計量テンソルについては 以下の説明をご覧ください。行列が正定値である限り、行列内の E、F、G には任意の数値を含めることができます。 [ E F F G ] {\textstyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}
弧の長さ 変数 u と v が、 区間 [ a , b ] 内の値をとる 第3の変数 t に依存するとすると、 r → ( u ( t ), v ( t )) はパラメトリック曲面 M上の パラメトリック曲線 を描く 。その曲線の 弧長は 積分 によって与えられる。
s = ∫ a b ‖ d d t r → ( u ( t ) , v ( t ) ) ‖ d t = ∫ a b u ′ ( t ) 2 r → u ⋅ r → u + 2 u ′ ( t ) v ′ ( t ) r → u ⋅ r → v + v ′ ( t ) 2 r → v ⋅ r → v d t , {\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{a}^{b}\left\|{\frac {d}{dt}}{\vec {r}}(u(t),v(t))\right\|\,dt\\[5pt]&=\int _{a}^{b}{\sqrt {u'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+2u'(t)v'(t)\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+v'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}}}\,dt\,,\end{aligned}}} ここで は ユークリッドノルム を表す 。ここでは 連鎖律 が適用されており、添え字は 偏微分 を表す。 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \left\|\cdot \right\|}
r → u = ∂ r → ∂ u , r → v = ∂ r → ∂ v . {\displaystyle {\vec {r}}_{u}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u}}\,,\quad {\vec {r}}_{v}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial v}}\,.} 積分関数は（二次 ） 微分関数 の平方根の曲線への 制約 [1]である。
( d s ) 2 = E ( d u ) 2 + 2 F d u d v + G ( d v ) 2 , {\displaystyle (ds)^{2}=E\,(du)^{2}+2F\,du\,dv+G\,(dv)^{2},} 1
どこ
E = r → u ⋅ r → u , F = r → u ⋅ r → v , G = r → v ⋅ r → v . {\displaystyle E={\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u},\quad F={\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v},\quad G={\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}.} 2
( 1 )における 量 dsは 線要素 と呼ばれ 、 ds 2 は M の 第一基本形式 と呼ばれる。直感的には、これは u が du 単位増加し 、 vが dv 単位 増加した ときに r → ( u , v ) が受ける変位の二乗の 主成分 を表す。
行列表記法を用いると、最初の基本形は次のようになる。
d s 2 = [ d u d v ] [ E F F G ] [ d u d v ] {\displaystyle ds^{2}={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}}
ここで、 u と v が別の変数 u ′ と v ′ に依存するという異なるパラメータ化が選択されたと仮定する。この場合 、新しい変数に対する
( 2 )式の類似式は次のようになる。
E ′ = r → u ′ ⋅ r → u ′ , F ′ = r → u ′ ⋅ r → v ′ , G ′ = r → v ′ ⋅ r → v ′ . {\displaystyle E'={\vec {r}}_{u'}\cdot {\vec {r}}_{u'},\quad F'={\vec {r}}_{u'}\cdot {\vec {r}}_{v'},\quad G'={\vec {r}}_{v'}\cdot {\vec {r}}_{v'}.} 2フィート
連鎖律 は、 E ′ 、 F ′ 、 G ′ を、 行列 方程式 を介して E 、 F 、 G に 関連付けます。
[ E ′ F ′ F ′ G ′ ] = [ ∂ u ∂ u ′ ∂ u ∂ v ′ ∂ v ∂ u ′ ∂ v ∂ v ′ ] T [ E F F G ] [ ∂ u ∂ u ′ ∂ u ∂ v ′ ∂ v ∂ u ′ ∂ v ∂ v ′ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}} 3
ここで、上付き文字Tは 転置行列 を表す。このように 係数 E 、 F 、 G が配置された行列は、座標変換の ヤコビ行列によって変換される。
J = [ ∂ u ∂ u ′ ∂ u ∂ v ′ ∂ v ∂ u ′ ∂ v ∂ v ′ ] . {\displaystyle J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}\,.} このように変換される行列は、テンソル と呼ばれるものの一種である 。
[ E F F G ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}} 変換則（ ３ ）は曲面の計量テンソルとして知られている。
リッチ＝クルバストロとレヴィ＝チヴィタ（1900）は、ある座標系から別の座標系に移る際にこのように変換される係数 E 、 F 、 G の系の重要性を初めて観察した。結論として、最初の基本形（ 1 ）は座標系の変化に対して 不変であり、これは E 、 F 、 G の変換特性からのみ導かれる 。実際、連鎖律によれば、
[ d u d v ] = [ ∂ u ∂ u ′ ∂ u ∂ v ′ ∂ v ∂ u ′ ∂ v ∂ v ′ ] [ d u ′ d v ′ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}} となることによって
d s 2 = [ d u d v ] [ E F F G ] [ d u d v ] = [ d u ′ d v ′ ] [ ∂ u ∂ u ′ ∂ u ∂ v ′ ∂ v ∂ u ′ ∂ v ∂ v ′ ] T [ E F F G ] [ ∂ u ∂ u ′ ∂ u ∂ v ′ ∂ v ∂ u ′ ∂ v ∂ v ′ ] [ d u ′ d v ′ ] = [ d u ′ d v ′ ] [ E ′ F ′ F ′ G ′ ] [ d u ′ d v ′ ] = ( d s ′ ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&=(ds')^{2}\,.\end{aligned}}}
長さと角度 ガウスも考えた計量テンソルの別の解釈は、曲面への接ベクトル の長さ と、2つの接ベクトル間の角度を計算する方法を提供するというものである。現代の用語で言えば、計量テンソルは、曲面の媒介変数記述に依存しない方法で、接ベクトルの 内積を計算することを可能にする。媒介変数曲面 M の点における任意の接ベクトルは、 次のように表される
。
p = p 1 r → u + p 2 r → v {\displaystyle \mathbf {p} =p_{1}{\vec {r}}_{u}+p_{2}{\vec {r}}_{v}} 適切な実数 p 1 と p 2 に対して、2つの接ベクトルが与えられた場合：
a = a 1 r → u + a 2 r → v b = b 1 r → u + b 2 r → v {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}{\vec {r}}_{u}+a_{2}{\vec {r}}_{v}\\\mathbf {b} &=b_{1}{\vec {r}}_{u}+b_{2}{\vec {r}}_{v}\end{aligned}}} 次に ドット積の 双線性を利用して、
a ⋅ b = a 1 b 1 r → u ⋅ r → u + a 1 b 2 r → u ⋅ r → v + a 2 b 1 r → v ⋅ r → u + a 2 b 2 r → v ⋅ r → v = a 1 b 1 E + a 1 b 2 F + a 2 b 1 F + a 2 b 2 G . = [ a 1 a 2 ] [ E F F G ] [ b 1 b 2 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=a_{1}b_{1}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{1}b_{2}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+a_{2}b_{1}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{2}b_{2}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\\[8pt]&=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+a_{2}b_{1}F+a_{2}b_{2}G.\\[8pt]&={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}\,.\end{aligned}}} これは明らかに4つの変数a 1 、 b 1 、 a 2 、 b 2 の関数です 。しかし、これを uv 平面上のベクトルである a = [ a 1 a 2 ] と b = [ b 1 b 2 ] の2つの引数を取る関数として捉えた方がより分かりやすいでしょう。つまり、
g ( a , b ) = a 1 b 1 E + a 1 b 2 F + a 2 b 1 F + a 2 b 2 G . {\displaystyle g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+a_{2}b_{1}F+a_{2}b_{2}G\,.} これは a と b に関して 対称な関数 であり、
g ( a , b ) = g ( b , a ) . {\displaystyle g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=g(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )\,.} これは 双線型 でもあり、 つまり変数 a と b それぞれについて線型 である。つまり、
g ( λ a + μ a ′ , b ) = λ g ( a , b ) + μ g ( a ′ , b ) , and g ( a , λ b + μ b ′ ) = λ g ( a , b ) + μ g ( a , b ′ ) {\displaystyle {\begin{aligned}g\left(\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {a} ',\mathbf {b} \right)&=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g\left(\mathbf {a} ',\mathbf {b} \right),\quad {\text{and}}\\g\left(\mathbf {a} ,\lambda \mathbf {b} +\mu \mathbf {b} '\right)&=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g\left(\mathbf {a} ,\mathbf {b} '\right)\end{aligned}}} uv 平面内の 任意のベクトル a 、 a ′ 、 b 、 b ′、 および任意の実数 μ および λ に対して。
特に、接ベクトル a の長さは次のように与えられる。
‖ a ‖ = g ( a , a ) {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {g(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}}} そして、 2つのベクトル a と b の間の角度 θ は次のように計算される。
cos ( θ ) = g ( a , b ) ‖ a ‖ ‖ b ‖ . {\displaystyle \cos(\theta )={\frac {g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}\,.}
エリア 表面積 は 、面自体にのみ依存し、どのようにパラメータ化されるかには依存しない数値量である。もし面 Mが uv 平面上の 領域 D 上の関数 r → ( u , v )でパラメータ化されているとすると、 M の表面積は 次の積分で与えられる。
∬ D | r → u × r → v | d u d v {\displaystyle \iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv} ここで、 ×は 外積 を表し 、絶対値はユークリッド空間におけるベクトルの長さを表す。 外積に関する ラグランジュの恒等式により、積分は次のように書ける。
∬ D ( r → u ⋅ r → u ) ( r → v ⋅ r → v ) − ( r → u ⋅ r → v ) 2 d u d v = ∬ D E G − F 2 d u d v = ∬ D det [ E F F G ] d u d v {\displaystyle {\begin{aligned}&\iint _{D}{\sqrt {\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}\right)\left({\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)-\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {\det {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}}\,du\,dv\end{aligned}}} ここで、 detは 行列式 です 。
意味 M を n 次元 の 滑らかな多様体 、例えば 直交座標空間 の 曲面（ n = 2 の場合 ）や 超曲面 とします 。各点 p ∈ M には、点 pにおける多様体のすべての 接 ベクトルから構成される接 空間 T p M があります。 p における計量テンソルは、 p における接ベクトル X p と Y p のペアを入力として取り 、 実数 （ スカラー ）を出力する 関数 g p ( X p , Y p ) であり 、以下の条件が満たされます。 R n + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}
g p は双線型で ある 。2つのベクトル引数を持つ関数が双線型であるとは、それぞれの引数において別々に線型であることを意味する。したがって、 U p 、 V p 、 Y p がそれぞれp における3つの接ベクトルであり 、 a と bが 実数である場合、 g p ( a U p + b V p , Y p ) = a g p ( U p , Y p ) + b g p ( V p , Y p ) , and g p ( Y p , a U p + b V p ) = a g p ( Y p , U p ) + b g p ( Y p , V p ) . {\displaystyle {\begin{aligned}g_{p}(aU_{p}+bV_{p},Y_{p})&=ag_{p}(U_{p},Y_{p})+bg_{p}(V_{p},Y_{p})\,,\quad {\text{and}}\\g_{p}(Y_{p},aU_{p}+bV_{p})&=ag_{p}(Y_{p},U_{p})+bg_{p}(Y_{p},V_{p})\,.\end{aligned}}} g p は 対称で ある。 [2] 2つのベクトル引数の関数は、すべてのベクトル X p と Y p に対して、 g p ( X p , Y p ) = g p ( Y p , X p ) . {\displaystyle g_{p}(X_{p},Y_{p})=g_{p}(Y_{p},X_{p})\,.} g p は非退化で ある 。双線形関数が非退化であるとは、任意の接ベクトル X p ≠ 0に対して、 X p を 一定に 保ち 、 Y p を 変化させる 関数が 、常にゼロに ならないことを意味する。つまり、任意の X p ≠ 0に対して、 g p ( X p , Y p ) ≠ 0 と なるような Y p が存在する 。 Y p ↦ g p ( X p , Y p ) {\displaystyle Y_{p}\mapsto g_{p}(X_{p},Y_{p})} M 上の 計量テンソル場 g は、 M の 各点 pに、 p における接空間上の 計量テンソル g p を、 p とともに 滑らかに 変化する形で割り当てます 。より正確には、多様体 M の任意の 開部分集合 Uと U 上の 任意の（滑らかな） ベクトル場 X および Y が与えられたとき、実関数
は p の滑らかな関数となります 。 g ( X , Y ) ( p ) = g p ( X p , Y p ) {\displaystyle g(X,Y)(p)=g_{p}(X_{p},Y_{p})}
指標の構成要素 任意のベクトル場 の 基底 、または フレーム における計量の成分 、 f = ( X 1 , ..., X n )は [3] で与えられる。
g i j [ f ] = g ( X i , X j ) . {\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} ]=g\left(X_{i},X_{j}\right).} 4
n 2 個の 関数 g ij [ f ] は n × n の対称行列 G [ f ] の 要素となる 。
v = ∑ i = 1 n v i X i , w = ∑ i = 1 n w i X i {\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}X_{i}\,,\quad w=\sum _{i=1}^{n}w^{i}X_{i}} が p∈U における 2つのベクトルである場合、 v と w に適用される計量の値は双線型性によって 係数（ 4 ）によって決定される。
g ( v , w ) = ∑ i , j = 1 n v i w j g ( X i , X j ) = ∑ i , j = 1 n v i w j g i j [ f ] {\displaystyle g(v,w)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g\left(X_{i},X_{j}\right)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g_{ij}[\mathbf {f} ]} 行列 ( g ij [ f ] )を G [ f ] で 表し 、ベクトル v と wの成分を 列ベクトル v [ f ] と w [ f ] に配置すると 、
g ( v , w ) = v [ f ] T G [ f ] w [ f ] = w [ f ] T G [ f ] v [ f ] {\displaystyle g(v,w)=\mathbf {v} [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]\mathbf {w} [\mathbf {f} ]=\mathbf {w} [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]\mathbf {v} [\mathbf {f} ]} ここで、 v [ f ] T と w [ f ] T は それぞれ ベクトル v [ f ] と w [ f ] の 転置を 表す。
f ↦ f ′ = ( ∑ k X k a k 1 , … , ∑ k X k a k n ) = f A {\displaystyle \mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} '=\left(\sum _{k}X_{k}a_{k1},\dots ,\sum _{k}X_{k}a_{kn}\right)=\mathbf {f} A} ある可逆な n × n 行列 A = ( a ij ) に対して 、計量の成分の行列も A に応じて変化する。つまり、
G [ f A ] = A T G [ f ] A {\displaystyle G[\mathbf {f} A]=A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A} あるいは、この行列の要素に関して言えば、
g i j [ f A ] = ∑ k , l = 1 n a k i g k l [ f ] a l j . {\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} A]=\sum _{k,l=1}^{n}a_{ki}g_{kl}[\mathbf {f} ]a_{lj}\,.} このため、量g ij [ f ] のシステムはフレーム f の変化に対して共変的に変換すると言われます 。
座標のメートル法 M の 開集合 U 上の 局所 座標系を与える n 個 の実数値関数 ( x 1 , ..., x n ) の系は、 U 上のベクトル場の基底を決定する。
f = ( X 1 = ∂ ∂ x 1 , … , X n = ∂ ∂ x n ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\left(X_{1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\dots ,X_{n}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)\,.} 計量 g は、このフレームに対する成分を持ち、
g i j [ f ] = g ( ∂ ∂ x i , ∂ ∂ x j ) . {\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} \right]=g\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\,.} 新しい局所座標系を基準にすると、
y i = y i ( x 1 , x 2 , … , x n ) , i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle y^{i}=y^{i}(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}),\quad i=1,2,\dots ,n} 計量テンソルは異なる係数行列を決定する。
g i j [ f ′ ] = g ( ∂ ∂ y i , ∂ ∂ y j ) . {\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=g\left({\frac {\partial }{\partial y^{i}}},{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right).} この新しい関数系は 連鎖律 によって元の g ij ( f )と関連している。
∂ ∂ y i = ∑ k = 1 n ∂ x k ∂ y i ∂ ∂ x k {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y^{i}}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}} となることによって
g i j [ f ′ ] = ∑ k , l = 1 n ∂ x k ∂ y i g k l [ f ] ∂ x l ∂ y j . {\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=\sum _{k,l=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}g_{kl}\left[\mathbf {f} \right]{\frac {\partial x^{l}}{\partial y^{j}}}.} あるいは、行列 G [ f ] = ( g ij [ f ]) と G [ f ′] = ( g ij [ f ′]) を用いて、
G [ f ′ ] = ( ( D y ) − 1 ) T G [ f ] ( D y ) − 1 {\displaystyle G\left[\mathbf {f} '\right]=\left((Dy)^{-1}\right)^{\mathsf {T}}G\left[\mathbf {f} \right](Dy)^{-1}} ここで、 Dy は 座標変更の ヤコビ行列 を表します。
メトリックの署名 任意の計量テンソルには、 各接空間で定義される 二次形式が付随する。
q m ( X m ) = g m ( X m , X m ) , X m ∈ T m M . {\displaystyle q_{m}(X_{m})=g_{m}(X_{m},X_{m})\,,\quad X_{m}\in T_{m}M.} q m が すべての非零 X m に対して正ならば 、計量は m において 正定値 である。計量が任意の m ∈ M において正定値ならば、 gは リーマン計量 と呼ばれる 。より一般的には、二次形式 q m が m に依存しない定数の 符号 を持つならば、 g の符号 はこの符号であり、 gは 擬リーマン計量 と呼ばれる 。 [4] M が 連結 ならば、 q m の符号は m に依存しない 。 [5]
シルベスターの慣性法則 により、接ベクトル X i の基底は、 二次形式が次のように対角化するように局所的に選ぶことができる。
q m ( ∑ i ξ i X i ) = ( ξ 1 ) 2 + ( ξ 2 ) 2 + ⋯ + ( ξ p ) 2 − ( ξ p + 1 ) 2 − ⋯ − ( ξ n ) 2 {\displaystyle q_{m}\left(\sum _{i}\xi ^{i}X_{i}\right)=\left(\xi ^{1}\right)^{2}+\left(\xi ^{2}\right)^{2}+\cdots +\left(\xi ^{p}\right)^{2}-\left(\xi ^{p+1}\right)^{2}-\cdots -\left(\xi ^{n}\right)^{2}} 1から n までのいずれか pについてです。q の そのような式（ M の 同じ点 mにある） は 、いずれも正の符号の数が同じ p になります。gの符号 は整数のペア （ p 、 n − p ）で、そのような式には p個の 正の符号と n − p 個の負の符号が あることを意味します。同様に、計量の行列 g ij にp個 の正の固有値と n − p個 の負の 固有値 がある 場合、計量の符号は （ p 、 n − p ） になります。
アプリケーションで頻繁に発生する特定のメトリック シグネチャは次のとおりです。
g がシグネチャ ( n , 0) を持つ場合 、 g はリーマン計量であり、 Mは リーマン多様体 と呼ばれる 。そうでない場合、 g は擬リーマン計量であり、 Mは 擬リーマン多様 体と呼ばれる （半リーマン多様体という用語も用いられる）。 M が 4 次元で符号が (1, 3) または (3, 1) の場合、その計量は ロレンツ型 と呼ばれます 。より一般的には、符号が (1, n − 1) または ( n − 1, 1) である 4 次元以外の n 次元の計量テンソルもロレンツ型と呼ばれることがあります。 M が 2 n 次元で g のシグネチャが ( n , n ) の場合 、この計量は超双曲的と呼ばれます。
逆メトリック f = ( X 1 , ..., X n ) を ベクトル場の基底とし、上と同様に G [ f ] を係数行列と
する。
g i j [ f ] = g ( X i , X j ) . {\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} ]=g\left(X_{i},X_{j}\right)\,.} 逆行列 G [ f ] −1 を考えることができる。これは 逆計量 （あるいは 共役 計量、 双対計量 ）と同一視される。逆計量は、フレーム f が行列 A によって次のように
変換される ときに、変換則を満たす。
G [ f A ] − 1 = A − 1 G [ f ] − 1 ( A − 1 ) T . {\displaystyle G[\mathbf {f} A]^{-1}=A^{-1}G[\mathbf {f} ]^{-1}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}.} 5
逆計量は 反変的 、つまり基底行列A の変化の逆に関して変換します。計量自体はベクトル場の長さ（またはベクトル場間の角度）を測定する手段を提供しますが、逆計量は共ベクトル 場、つまり線型関数の場 の 長 さ（またはベクトル場間の角度）を測定する手段を提供します 。
これを理解するには、 α が 共ベクトル体であると仮定します。つまり、各点 p に対して、 α は p における接ベクトル上に定義された 関数 α p を決定し、すべての接ベクトルX p と Y p 、およびすべての実数 a と b に対して次の 線形 条件が成り立ちます 。
α p ( a X p + b Y p ) = a α p ( X p ) + b α p ( Y p ) . {\displaystyle \alpha _{p}\left(aX_{p}+bY_{p}\right)=a\alpha _{p}\left(X_{p}\right)+b\alpha _{p}\left(Y_{p}\right)\,.} p が変化すると 、 αは 次の意味で 滑らかな関数 であると仮定される。
p ↦ α p ( X p ) {\displaystyle p\mapsto \alpha _{p}\left(X_{p}\right)} は、任意の滑らかなベクトル場 Xに対して p の滑らかな関数です 。
任意の共ベクトル場 αはベクトル場 f の基底に成分を持つ 。これらは次のように決定される。
α i = α ( X i ) , i = 1 , 2 , … , n . {\displaystyle \alpha _{i}=\alpha \left(X_{i}\right)\,,\quad i=1,2,\dots ,n\,.} これらの成分の 行ベクトル を次のように表す。
α [ f ] = [ α 1 α 2 … α n ] . {\displaystyle \alpha [\mathbf {f} ]={\big \lbrack }{\begin{array}{cccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{n}\end{array}}{\big \rbrack }\,.} 行列 Aによる f の変化のもとで 、 α [ f ]は 次の規則に従って変化する。
α [ f A ] = α [ f ] A . {\displaystyle \alpha [\mathbf {f} A]=\alpha [\mathbf {f} ]A\,.} つまり、成分 α [ f ]の行ベクトルは 共変 ベクトルとして変換されます 。
共ベクトル場のペア α と β に対して、これら2つの共ベクトルに適用される逆計量を次のように定義する。
g ~ ( α , β ) = α [ f ] G [ f ] − 1 β [ f ] T . {\displaystyle {\tilde {g}}(\alpha ,\beta )=\alpha [\mathbf {f} ]G[\mathbf {f} ]^{-1}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}.} 6
結果として得られる定義は、基底f の選択を伴うものの、実際には 本質的には f に依存しない。実際、基底を f A に変更すると、
α [ f A ] G [ f A ] − 1 β [ f A ] T = ( α [ f ] A ) ( A − 1 G [ f ] − 1 ( A − 1 ) T ) ( A T β [ f ] T ) = α [ f ] G [ f ] − 1 β [ f ] T . {\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha [\mathbf {f} A]G[\mathbf {f} A]^{-1}\beta [\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}\\={}&\left(\alpha [\mathbf {f} ]A\right)\left(A^{-1}G[\mathbf {f} ]^{-1}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}\right)\left(A^{\mathsf {T}}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\right)\\={}&\alpha [\mathbf {f} ]G[\mathbf {f} ]^{-1}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}.\end{aligned}}} したがって、式( 6 )の右辺は、 基底 fを 他の基底 f Aに変更しても影響を受けません。したがって、式には基底の選択とは独立に意味を割り当てることができます。行列 G [ f ] の各要素は g ij で表され 、添え字 i と jは変換則( 5 )を示すために増加しています 。
インデックスの上げ下げ ベクトル場f = ( X 1 , ..., X n ) の基底において 、任意の滑らかな接線ベクトル場 Xは 次の形式で表すことができる。
X = v 1 [ f ] X 1 + v 2 [ f ] X 2 + ⋯ + v n [ f ] X n = f [ v 1 [ f ] v 2 [ f ] ⋮ v n [ f ] ] = f v [ f ] {\displaystyle X=v^{1}[\mathbf {f} ]X_{1}+v^{2}[\mathbf {f} ]X_{2}+\dots +v^{n}[\mathbf {f} ]X_{n}=\mathbf {f} {\begin{bmatrix}v^{1}[\mathbf {f} ]\\v^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\v^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}=\mathbf {f} v[\mathbf {f} ]} 7
一意に定まる滑らかな関数 v 1 , ..., v n に対して、基底 fを 非特異行列 A で変化させると、係数 v i は 式( 7 )が成り立つように変化する 。つまり、
X = f A v [ f A ] = f v [ f ] . {\displaystyle X=\mathbf {fA} v[\mathbf {fA} ]=\mathbf {f} v[\mathbf {f} ]\,.} したがって、 v [ f A ] = A −1 v [ f ] となる。言い換えれば、ベクトルの成分は、非特異行列 A による基底変換の下で 反変的（つまり、逆方向、つまり反対方向）に変換される。 v [ f ] の成分の反変性は、表記上、 v i [ f ] の添え字を上に 置くことで示される。
フレームは、共ベクトルをその成分を用いて表現することを可能にする。ベクトル場の基底 f = ( X 1 , ..., X n )に対して、 双対基底 を 線型汎関数 ( θ 1 [ f ], ..., θ n [ f ]) として 定義し、
θ i [ f ] ( X j ) = { 1 i f i = j 0 i f i ≠ j . {\displaystyle \theta ^{i}[\mathbf {f} ](X_{j})={\begin{cases}1&\mathrm {if} \ i=j\\0&\mathrm {if} \ i\not =j.\end{cases}}} つまり、 θ i [ f ]( X j ) = δ j i 、 クロネッカーのデルタ である。
θ [ f ] = [ θ 1 [ f ] θ 2 [ f ] ⋮ θ n [ f ] ] . {\displaystyle \theta [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}\theta ^{1}[\mathbf {f} ]\\\theta ^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\\theta ^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}.} 非特異行列 Aの基底 f ↦ f A の変化のもとで 、 θ [ f ] は次のように変換される。
θ [ f A ] = A − 1 θ [ f ] . {\displaystyle \theta [\mathbf {f} A]=A^{-1}\theta [\mathbf {f} ].} 接ベクトル上の任意の線形関数 αは、双対基底 θ によって展開できる。
α = a 1 [ f ] θ 1 [ f ] + a 2 [ f ] θ 2 [ f ] + ⋯ + a n [ f ] θ n [ f ] = [ a 1 [ f ] a 2 [ f ] … a n [ f ] ] θ [ f ] = a [ f ] θ [ f ] {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=a_{1}[\mathbf {f} ]\theta ^{1}[\mathbf {f} ]+a_{2}[\mathbf {f} ]\theta ^{2}[\mathbf {f} ]+\cdots +a_{n}[\mathbf {f} ]\theta ^{n}[\mathbf {f} ]\\[8pt]&={\big \lbrack }{\begin{array}{cccc}a_{1}[\mathbf {f} ]&a_{2}[\mathbf {f} ]&\dots &a_{n}[\mathbf {f} ]\end{array}}{\big \rbrack }\theta [\mathbf {f} ]\\[8pt]&=a[\mathbf {f} ]\theta [\mathbf {f} ]\end{aligned}}} 8
ここで、 a [ f ] は行ベクトル [ a 1 [ f ] ... a n [ f ] ] を表す 。成分 a i は、基底 fを f A に置き換えた場合でも 、式( 8 )が成り立つように変換される。つまり、
α = a [ f A ] θ [ f A ] = a [ f ] θ [ f ] {\displaystyle \alpha =a[\mathbf {f} A]\theta [\mathbf {f} A]=a[\mathbf {f} ]\theta [\mathbf {f} ]} θ [ f A ] = A −1 θ [ f ] であるので、 a [ f A ] = a [ f ] A となる 。つまり、成分 a は 共 変変換される （逆行列ではなく行列 Aによって）。 a [ f ] の成分の共分散は、 a i [ f ] の添え字を小文字で表記することで表される 。
さて、計量テンソルはベクトルと共ベクトルを次のように識別する手段を与える。X p を 固定して、関数
g p ( X p , − ) : Y p ↦ g p ( X p , Y p ) {\displaystyle g_{p}(X_{p},-):Y_{p}\mapsto g_{p}(X_{p},Y_{p})} 接ベクトル Y p の作用素は、 p における接空間上の 線型汎関数 を定義する。この演算は 、点 p におけるベクトル X p を取り、共ベクトル g p ( X p , −)を生成する。ベクトル場 f の基底において 、ベクトル場 X が成分 v [ f ] を持つ場合、双対基底における共ベクトル場 g ( X , −) の成分は、行ベクトル
a [ f ] = v [ f ] T G [ f ] . {\displaystyle a[\mathbf {f} ]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ].} 基底f ↦ f A を変化させると 、この式の右辺は次のように変形される。
v [ f A ] T G [ f A ] = v [ f ] T ( A − 1 ) T A T G [ f ] A = v [ f ] T G [ f ] A {\displaystyle v[\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} A]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A} となるので、 a [ f A ] = a [ f ] A : a は 共変変換する。ベクトル場 v [ f ] = [ v 1 [ f ] v 2 [ f ] ... v n [ f ] ] T の（反変）成分に共ベクトル場 a [ f ] = [ a 1 [ f ] a 2 [ f ] ... a n [ f ] ] の（共変）成分を 関連付ける操作 は、
a i [ f ] = ∑ k = 1 n v k [ f ] g k i [ f ] {\displaystyle a_{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}v^{k}[\mathbf {f} ]g_{ki}[\mathbf {f} ]} をインデックスを下げる と言います 。
指数を上げる には 、同じ構成を、計量の代わりに逆計量を用いて適用する。a [ f ] = [ a 1 [ f ] a 2 [ f ] ... a n [ f ] ] が双対基底 θ [ f ] における共ベクトルの成分である 場合、列ベクトルは
v [ f ] = G − 1 [ f ] a [ f ] T {\displaystyle v[\mathbf {f} ]=G^{-1}[\mathbf {f} ]a[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}} 9
反変的に変換される成分を持つ:
v [ f A ] = A − 1 v [ f ] . {\displaystyle v[\mathbf {f} A]=A^{-1}v[\mathbf {f} ].} その結果、量 X = f v [ f ] は本質的には基底 f の選択に依存せず、 M上のベクトル場を定義する。共ベクトル a [ f ] の（共変）成分に、与えられたベクトル v [ f ] の（反変）成分を関連付ける 操作（ 9 ）は、指数を乗じる と呼ばれる 。成分において、（ 9 ）は
v i [ f ] = ∑ k = 1 n g i k [ f ] a k [ f ] . {\displaystyle v^{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}g^{ik}[\mathbf {f} ]a_{k}[\mathbf {f} ].}
誘導メトリック U を ℝ n の 開集合 とし 、 φ を U から ユークリッド空間 ℝ m への 連続微分可能 関数とする （ただし m > n ） 。 φ の写像は、 その微分が U の任意の点で 単射であるとき、 はめ込み 写像と呼ばれる。 φ の像は、 はめ込み部分多様体 と呼ばれる 。より具体的には、 m = 3 （つまり周囲のユークリッド空間が ℝ 3 である）のとき、誘導計量テンソルは第一基本形式 と呼ばれる 。
φ が部分多様体 M ⊂ R m への浸漬である とする。ℝ m における 通常のユークリッド 内積は 、 M に接するベクトルに限定された場合 、これらの接ベクトルの内積をとる手段を与える計量である。これは 誘導計量 と呼ばれる。
vが U の点における接ベクトルである と する。
v = v 1 e 1 + ⋯ + v n e n {\displaystyle v=v^{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +v^{n}\mathbf {e} _{n}} ここで e i はℝ n における標準座標ベクトルである 。 φを U に適用すると 、ベクトル vは M に接するベクトル と
なり、
φ ∗ ( v ) = ∑ i = 1 n ∑ a = 1 m v i ∂ φ a ∂ x i e a . {\displaystyle \varphi _{*}(v)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{a=1}^{m}v^{i}{\frac {\partial \varphi ^{a}}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} _{a}\,.} （これはv の φ に沿った プッシュフォワード と呼ばれる 。）このような2つのベクトル v と w が与えられたとき、誘導計量は次のように定義される。
g ( v , w ) = φ ∗ ( v ) ⋅ φ ∗ ( w ) . {\displaystyle g(v,w)=\varphi _{*}(v)\cdot \varphi _{*}(w).} 簡単な計算から、座標ベクトル場e の基底における誘導計量の行列は次 のように与えられること
がわかる。
G ( e ) = ( D φ ) T ( D φ ) {\displaystyle G(\mathbf {e} )=(D\varphi )^{\mathsf {T}}(D\varphi )} ここで Dφ はヤコビ行列である。
D φ = [ ∂ φ 1 ∂ x 1 ∂ φ 1 ∂ x 2 … ∂ φ 1 ∂ x n ∂ φ 2 ∂ x 1 ∂ φ 2 ∂ x 2 … ∂ φ 2 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ φ m ∂ x 1 ∂ φ m ∂ x 2 … ∂ φ m ∂ x n ] . {\displaystyle D\varphi ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{n}}}\\[1ex]{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{n}}}\end{bmatrix}}.}
メトリックの本質的な定義 計量の概念は、 ファイバー束 と ベクトル束 の言語を用いて 本質的に 定義することができる。これらの用語では、 計量テンソル は関数である。
g : T M × M T M → R {\displaystyle g:\mathrm {T} M\times _{M}\mathrm {T} M\to \mathbf {R} } 10
M の 接線束 とそれ自身 の ファイバー積から R への写像で、 g の各ファイバーへの制限 は非退化双線型写像となる。
g p : T p M × T p M → R . {\displaystyle g_{p}:\mathrm {T} _{p}M\times \mathrm {T} _{p}M\to \mathbf {R} .} 写像（ 10 ）は連続で あることが要求され 、 関心のあるケースと Mが そのような構造をサポートできる
かどうかに応じて、 連続的に微分可能 、 滑らか 、または 実解析的であることがしばしば必要となる。
バンドルのセクションとしてのメトリック テンソル積の普遍性 により 、任意の双線型写像( 10 )は、 T M の テンソル 積バンドル とそれ自身との 双対 の g ⊗ 切断を 自然に 生じさせる 。
g ⊗ ∈ Γ ( ( T M ⊗ T M ) ∗ ) . {\displaystyle g_{\otimes }\in \Gamma \left((\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{*}\right).} g ⊗ は T M ⊗ T M の単純元上で 次のよう
に定義される。
g ⊗ ( v ⊗ w ) = g ( v , w ) {\displaystyle g_{\otimes }(v\otimes w)=g(v,w)} はT M ⊗ T M の任意の元に対して、単純な元の線型結合に線型的に拡張することで 定義される。元の双線型形式 g が対称となるのは、
g ⊗ ∘ τ = g ⊗ {\displaystyle g_{\otimes }\circ \tau =g_{\otimes }} どこ
τ : T M ⊗ T M → ≅ T M ⊗ T M {\displaystyle \tau :\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M{\stackrel {\cong }{\to }}TM\otimes TM} 編組マップ です 。
M は有限次元な ので、 自然同型性が存在する。
( T M ⊗ T M ) ∗ ≅ T ∗ M ⊗ T ∗ M , {\displaystyle (\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{*}\cong \mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathrm {T} ^{*}M,} となるので、 g ⊗ は 、それ自身との 余接バンドル T* M のバンドル T* M ⊗ T* M の 切断ともみなされる。g は 双線型写像として対称なので、 g ⊗ は 対称テンソル となる 。
ベクトル束における計量 より一般的には、ベクトル束 における計量について語ることができる 。E が 多様体 M 上のベクトル束であるとき、計量とは写像である。
g : E × M E → R {\displaystyle g:E\times _{M}E\to \mathbf {R} } 各ファイバーにおいて双線形である E から R への ファイバー積 から：
g p : E p × E p → R . {\displaystyle g_{p}:E_{p}\times E_{p}\to \mathbf {R} .} 上記のように双対性を使用すると、メトリックは テンソル積 バンドル E * ⊗ E * の セクション と同一視されることが多いです。
接線-余接同型 計量テンソルは 接線束 から 余接束 への 自然な同型 を与え、これは 音楽同型 とも呼ばれる。 [6]この同型は、各接ベクトル X p ∈ T p M に対して 、
S g X p = def g ( X p , − ) , {\displaystyle S_{g}X_{p}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,g(X_{p},-),} T p M 上の 線型 汎関数で、 p における 接ベクトル Y p を g p ( X p , Y p ) に送る。つまり、 T p M とその 双対空間 T との間の [−, −] の対関係において、 ∗ p M 、
[ S g X p , Y p ] = g p ( X p , Y p ) {\displaystyle [S_{g}X_{p},Y_{p}]=g_{p}(X_{p},Y_{p})} すべての接ベクトル X p と Y p に対して、写像 S g はT p M から T への 線形変換 である。 ∗ p M 。非退化の定義から、 S g の 核は ゼロに縮約され、 階数-零定理 により、 S g は線型同型 となる 。さらに、 S g は次の意味で 対称線型変換 となる
[ S g X p , Y p ] = [ S g Y p , X p ] {\displaystyle [S_{g}X_{p},Y_{p}]=[S_{g}Y_{p},X_{p}]} すべての接ベクトル X p と Y p について。
逆に、任意の線型同型 S : T p M → T ∗ p Mは T p M 上の非退化双線型形式を 次のように
g S ( X p , Y p ) = [ S X p , Y p ] . {\displaystyle g_{S}(X_{p},Y_{p})=[SX_{p},Y_{p}]\,.} この双線型形式が対称であることは、 S が対称であることと同値である。したがって、 T p M 上の対称双線型形式と、 T p M の双対 T への対称線型同型との間には、自然な一対一対応が存在する。 ∗ p M .
p が M 上で変化する とき 、 S g は 接束から余接束へのベクトル束同型写像 Hom(T M , T* M ) の 切断を定義する。この切断は g と同じ滑らかさを持つ 。つまり、 gに応じて連続、微分可能、滑らか、または実解析的である。 M上のすべてのベクトル場に対して M 上の共ベクトル場 を関連付ける 写像 S g は、ベクトル場の「インデックスを下げる」という抽象的な定式化を与える。 S g の逆写像 T* M → T M は、同様に共ベクトル場の「インデックスを上げる」という抽象的な定式化を与える。
逆 S −1 グラム 線形マッピングを定義する
S g − 1 : T ∗ M → T M {\displaystyle S_{g}^{-1}:\mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M} これは、次の意味で非特異かつ対称的である。
[ S g − 1 α , β ] = [ S g − 1 β , α ] {\displaystyle \left[S_{g}^{-1}\alpha ,\beta \right]=\left[S_{g}^{-1}\beta ,\alpha \right]} すべての共ベクトルα 、 β に対して 、このような非特異対称写像は（ テンソル・ホーン随伴 により）写像
T ∗ M ⊗ T ∗ M → R {\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathrm {T} ^{*}M\to \mathbf {R} } あるいは テンソル積の切断に対する 二重双対同型によって
T M ⊗ T M . {\displaystyle \mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M.}
弧長と線要素 gが M 上のリーマン計量である とする 。局所座標系 x i , i = 1, 2, …, n において、計量テンソルは 行列 （ ここでは G と表記）として現れ、その要素は座標ベクトル場に対する計量テンソルの 成分 g ijである。
γ ( t )を M 内の区分 的に 微分可能な 媒介変数曲線 とする （ a ≤ t ≤ b ） 。 曲線の 弧長は次のように定義される。
L = ∫ a b ∑ i , j = 1 n g i j ( γ ( t ) ) ( d d t x i ∘ γ ( t ) ) ( d d t x j ∘ γ ( t ) ) d t . {\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)}}\,dt\,.} この幾何学的応用に関連して、 二次 微分形式
d s 2 = ∑ i , j = 1 n g i j ( p ) d x i d x j {\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(p)dx^{i}dx^{j}} は計量に関連する 第一基本形式 と呼ばれ、 dsは 線分要素 である 。ds 2 をM内の曲線の像に引き戻すと 、 弧 長 に関する 微分 の 2乗を表す。
擬リーマン計量の場合、上記の長さの公式は常に定義されるとは限りません。これは、平方根の下の項が負になる可能性があるためです。一般に、曲線の長さは平方根の下の量が常にどちらかの符号を持つ場合にのみ定義されます。この場合、次のように定義します。
L = ∫ a b | ∑ i , j = 1 n g i j ( γ ( t ) ) ( d d t x i ∘ γ ( t ) ) ( d d t x j ∘ γ ( t ) ) | d t . {\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left|\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)\right|}}\,dt\,.} これらの式は座標表現を使用しますが、実際には選択された座標とは無関係であり、メトリックと、式が積分される曲線のみに依存します。
エネルギー、変分原理、測地線 曲線のセグメントが与えられた場合、よく定義される別の量は 曲線の
（運動） エネルギーです。
E = 1 2 ∫ a b ∑ i , j = 1 n g i j ( γ ( t ) ) ( d d t x i ∘ γ ( t ) ) ( d d t x j ∘ γ ( t ) ) d t . {\displaystyle E={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)\,dt\,.} この用法は物理学 、特に 古典力学 に由来する 。古典力学では、積分 Eは多様体表面上を運動する 点粒子 の 運動エネルギー に直接対応すると考えられる 。例えば、ヤコビによる モーペルテュイの原理 の定式化において、計量テンソルは運動粒子の質量テンソルに対応すると考えられる。
多くの場合、計算で長さを用いる必要がある場合は、エネルギーを用いた同様の計算も行うことができます。これにより、平方根を用いる必要がなくなり、式が簡素化されることがよくあります。例えば、 測地線方程式は 、長さまたはエネルギーのいずれかに 変分原理 を適用することで得られます。後者の場合、測地線方程式は 最小作用原理から生じると考えられます。つまり、測地線方程式は、多様体上での移動に限定されているものの、それ以外は多様体内を一定の運動量で自由に移動する「 自由粒子 」（力を受けない粒子） の運動を記述します。 [7]
曲面の場合と同様に、 n 次元パラコンパクト多様体 M 上の計量テンソルは、多様体の部分集合の n 次元 体積を 測定する自然な方法を生み出す。結果として得られる自然な正の ボレル測度は、関連する ルベーグ積分 を用いて、多様体上の関数の積分理論を展開することを可能にする 。
リースの表現定理により、 M 上の コンパクトに支えられた 連続関数 の 空間 C 0 ( M )上の 正の線型関数 Λ を与えることで 、測度を定義できます 。より正確には、 M が（擬）リーマン計量テンソル gを持つ多様体である場合、任意の 座標チャート ( U 、 φ ) に対して、 U で支えられている すべての f に対して、となる 唯一の正の ボレル測度 μ g が存在します。ここで、 det g は、座標チャートの計量テンソルの成分によって形成される行列の 行列式 です。 Λ が座標近傍で支えられている関数上で明確に定義されていることは、 変数のヤコビ変換によって正当化されます。これは、 1 の分割 によって C 0 ( M ) 上の唯一の正の線型関数に拡張されます 。 Λ f = ∫ U f d μ g = ∫ φ ( U ) f ∘ φ − 1 ( x ) | det g | d x {\displaystyle \Lambda f=\int _{U}f\,d\mu _{g}=\int _{\varphi (U)}f\circ \varphi ^{-1}(x){\sqrt {\left|\det g\right|}}\,dx}
M も 向き が定められている場合、 計量テンソルから自然な 体積形式 を定義することができます。 正の向きに定められた座標系 ( x 1 , ..., x n ) において、体積形式は次のように表されます
。 ここで、 dx i は座標微分、 ∧ は 微分形式 代数における 外積 を表します 。体積形式は多様体上の関数を積分する方法も提供し、この幾何学的積分は標準的なボレル測度によって得られる積分と一致する。 ω = | det g | d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n {\displaystyle \omega ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}
例
ユークリッド計量 最もよく知られている例は、初等 ユークリッド幾何学 における2次元 ユークリッド 計量テンソルである。通常の 直交座標 （ x , y ） では、次のように書ける。
g = [ 1 0 0 1 ] . {\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\,.} 曲線の長さは次の式に簡約されます。
L = ∫ a b ( d x ) 2 + ( d y ) 2 . {\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}}}\,.} 他の一般的な座標系におけるユークリッド計量は次のように記述できます。
極座標 （ r 、 θ ） ：
x = r cos θ y = r sin θ J = [ cos θ − r sin θ sin θ r cos θ ] . {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\J&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}\,.\end{aligned}}} それで
g = J T J = [ cos 2 θ + sin 2 θ − r sin θ cos θ + r sin θ cos θ − r cos θ sin θ + r cos θ sin θ r 2 sin 2 θ + r 2 cos 2 θ ] = [ 1 0 0 r 2 ] {\displaystyle g=J^{\mathsf {T}}J={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &-r\sin \theta \cos \theta +r\sin \theta \cos \theta \\-r\cos \theta \sin \theta +r\cos \theta \sin \theta &r^{2}\sin ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}} 三角関数の恒等式 によって 。
一般に、 ユークリッド空間 上の 直交座標系 x i において、偏微分 ∂ / ∂ x i はユークリッド計量に関して 直交する 。したがって、計量テンソルはこの座標系における クロネッカーのデルタ δ ijである。任意の（曲線的である可能性のある）座標 q i に関する計量テンソルは 次のように与えられる
。
g i j = ∑ k l δ k l ∂ x k ∂ q i ∂ x l ∂ q j = ∑ k ∂ x k ∂ q i ∂ x k ∂ q j . {\displaystyle g_{ij}=\sum _{kl}\delta _{kl}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial x^{l}}{\partial q^{j}}}=\sum _{k}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{j}}}.}
球面上の円形メトリック ℝ 3 の単位球面は、 誘導計量のセクションで説明した手順により、周囲のユークリッド計量から誘導された自然計量を備えている。標準球面座標 ( θ , φ ) において、 θ は余 緯度（ z 軸からの角度） 、 φ は xy 平面における x 軸からの角度であり 、計量は以下の形をとる。
g = [ 1 0 0 sin 2 θ ] . {\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,.} これは通常、次のような形式で書かれます
d s 2 = d θ 2 + sin 2 θ d φ 2 . {\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\,.}
相対性理論によるロレンツ計量 平坦なミンコフスキー空間 （ 特殊相対論 ）では 、座標は
r μ → ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = ( c t , x , y , z ) , {\displaystyle r^{\mu }\rightarrow \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,x,y,z)\,,} メトリックは、 メトリックシグネチャ の選択に応じて、
g = [ 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ] or g = [ − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] . {\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad g={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\,.} 例えば、時間座標が一定である曲線の場合、この計量を用いた長さの公式は通常の長さの公式に簡約されます。 時間的 曲線の場合、長さの公式は曲線に沿った 固有時間 を与えます。
この場合、 時空間隔は 次のように表される。
d s 2 = c 2 d t 2 − d x 2 − d y 2 − d z 2 = d r μ d r μ = g μ ν d r μ d r ν . {\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=dr^{\mu }dr_{\mu }=g_{\mu \nu }dr^{\mu }dr^{\nu }\,.} シュワルツ シルト計量は 、惑星や ブラックホール などの球対称な天体の周りの時空を記述する。座標系では
( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = ( c t , r , θ , φ ) , {\displaystyle \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,r,\theta ,\varphi )\,,} この指標は次のように書ける。
g μ ν = [ ( 1 − 2 G M r c 2 ) 0 0 0 0 − ( 1 − 2 G M r c 2 ) − 1 0 0 0 0 − r 2 0 0 0 0 − r 2 sin 2 θ ] , {\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)&0&0&0\\0&-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,,} ここで、 G (行列内) は 重力定数 であり、 M は 中心物体の 全 質量エネルギー量を表します。
参照
注記 ^ より正確に言うと、積分関数は この微分を曲線に 引き戻したものです。 ^ 古典的な統一場理論 のいくつかの定式化では 、計量テンソルが非対称であることが許されていた。しかし、そのようなテンソルの反対称部分はここで説明する文脈では何の役割も果たさないので、これ以上考慮されない。 ^ 成分の計算に使用する基底を角括弧で示す表記法は普遍的ではない。ここで用いる表記法はWells (1980)の表記法をモデルにしている。通常、このような基底への明示的な依存は完全に抑制される。 ^ ドッドソン＆ポストン 1991、第7章§3.04 ^ ヴォーン 2007、§3.4.3 ^ 「音楽的同型性」という用語については、Gallot, Hulin & Lafontaine (2004, p. 75)を参照。また、Lee (1997, pp. 27–29)も参照。 ^ スターンバーグ 1983
参考文献 Dodson, CTJ; Poston, T. (1991), Tensor geometry , Graduate Texts in Mathematics, vol. 130 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-642-10514-2, ISBN 978-3-540-52018-4 、 MR 1223091 ガロット、シルベストル。 Hulin, ドミニク ; Lafontaine、Jacques (2004)、 リーマン幾何学 (第 3 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、 ISBN 978-3-540-20493-0 。 ガウス、カール・フリードリヒ （1827年）、曲面の一般研究、ニューヨーク：レイヴン・プレス（1965年出版） AM ヒルテバイテルと JC モアヘッドによる翻訳。 「地上権に関する一般的な議論」、 Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. VI (1827)、99–146 ページ。 ホーキング、SW ；エリス、GFR（1973） 『時空の大規模構造』 ケンブリッジ大学出版局 。 ケイ、デイヴィッド（1988）、 シャウムのテンソル計算の理論と問題の概要 、マグロウヒル、 ISBN 978-0-07-033484-7 。 クライン、モリス （1990）、 古代から現代までの数学的思考、第3巻 、オックスフォード大学出版局 。 リー、ジョン（1997）、 リーマン多様体 、シュプリンガー・フェアラーク、 ISBN 978-0-387-98322-6 。 ミコール、ピーター W. (2008)、 「微分幾何学の話題」 、 数学大学院研究 、第93巻、プロビデンス：アメリカ数学会 （ 登場する ）。 ミスナー、チャールズ・W. ; ソーン、キップ・S. ; ウィーラー、ジョン・A. (1973) 『重力』 WHフリーマン、 ISBN 0-7167-0344-0 リッチ・クルバストロ、グレゴリオ ; Levi-Civita、Tullio (1900)、「絶対的な差分計算とルールのアプリケーションの方法」、 Mathematische Annalen 、 54 (1): 125–201 、 doi :10.1007/BF01454201、 ISSN 1432-1807、 S2CID 120009332 スターンバーグ、S. （1983）、 微分幾何学講義 （第2版）、ニューヨーク：チェルシー出版社、 ISBN 0-8218-1385-4 Michael T. Vaughn (2007)、数理物理学入門 (PDF) 、Weinheim: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co.、 doi :10.1002/9783527618859、 ISBN 978-3-527-40627-2 、 MR 2324500 ウェルズ、レイモンド （1980）、複素多様体上の微分解析、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク
基本概念 多様体の種類 主な結果 一般化 アプリケーション
![{\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{a}^{b}\left\|{\frac {d}{dt}}{\vec {r}}(u(t),v(t))\right\|\,dt\\[5pt]&=\int _{a}^{b}{\sqrt {u'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+2u'(t)v'(t)\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+v'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}}}\,dt\,,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d168995bd019ddd3cff4cae208e2c3eba5fa20)
![{\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&=(ds')^{2}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f1798d592d8bbbe0c264b328acfa0b2c40732ca)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=a_{1}b_{1}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{1}b_{2}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+a_{2}b_{1}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{2}b_{2}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\\[8pt]&=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+a_{2}b_{1}F+a_{2}b_{2}G.\\[8pt]&={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12f78f4f87e1bfc95cf4956968d27d85a1f7152a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\iint _{D}{\sqrt {\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}\right)\left({\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)-\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {\det {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}}\,du\,dv\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b34cbb23974d371444580528a3a50f248e81a465)
![\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} ]=g\left(X_{i},X_{j}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e021fa4206f87420117b97d7c0bde695546b1648)
![{\displaystyle g(v,w)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g\left(X_{i},X_{j}\right)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g_{ij}[\mathbf {f} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d53ce6119ad8d32c18b219c20938b4ab35d765)
![{\displaystyle g(v,w)=\mathbf {v} [\mathbf {f}]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f}]\mathbf {w} [\mathbf {f}]=\mathbf {w} [\mathbf {f}]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f}]\mathbf {v} [\mathbf {f}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340c957fc548d8c7c070acef96b04c4dc2c1091c)
![{\displaystyle G[\mathbf {f} A]=A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8dbea5d2b1043ed897dcc673142ce4f7c552bfe)
![{\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} A]=\sum _{k,l=1}^{n}a_{ki}g_{kl}[\mathbf {f} ]a_{lj}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b2280e0f74bb16d3e0034600b6be18d2c83816)
![{\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} \right]=g\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458cf3a55933636ef7a1edad3dfaa1f9bdfd1fe3)
![{\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=g\left({\frac {\partial }{\partial y^{i}}},{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dad803ce1bd3707ee74a7f9a68c04131395db9e)
![{\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=\sum _{k,l=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}g_{kl}\left[\mathbf {f} \right]{\frac {\partial x^{l}}{\partial y^{j}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b50e641d668a34962e436cebba907df795138d60)
![{\displaystyle G\left[\mathbf {f} '\right]=\left((Dy)^{-1}\right)^{\mathsf {T}}G\left[\mathbf {f} \right](Dy)^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d411e1387a12dca321d619cbd7067f8f362656a)
![{\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} ]=g\left(X_{i},X_{j}\right)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea66d23f39676cc200f78396f5f166ca01c6702)
![{\displaystyle G[\mathbf {f} A]^{-1}=A^{-1}G[\mathbf {f} ]^{-1}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bbee35cfdd24498be249b3e2ba53f909b68a046)
![{\displaystyle \alpha [\mathbf {f} ]={\big \lbrack }{\begin{array}{cccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{n}\end{array}}{\big \rbrack }\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72e67146b7dcadd698af3f2fb9a3889d387b0b83)
![{\displaystyle \alpha [\mathbf {f} A]=\alpha [\mathbf {f} ]A\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc599a3838077ab0947ba87e6c7534709c4d943)
![{\displaystyle {\tilde {g}}(\alpha ,\beta )=\alpha [\mathbf {f} ]G[\mathbf {f} ]^{-1}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80b0ff1f3309f4c3f86f85e958bb0ab67eb03fc7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha [\mathbf {f} A]G[\mathbf {f} A]^{-1}\beta [\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}\\={}&\left(\alpha [\mathbf {f} ]A\right)\left(A^{-1}G[\mathbf {f} ]^{-1}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}\right)\left(A^{\mathsf {T}}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\right)\\={}&\alpha [\mathbf {f} ]G[\mathbf {f} ]^{-1}\beta [\mathbf {f} ]^{\数学{T}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f4024acdbbc17496757d087dcb7969494d98402)
![{\displaystyle X=v^{1}[\mathbf {f} ]X_{1}+v^{2}[\mathbf {f} ]X_{2}+\dots +v^{n}[\mathbf {f} ]X_{n}=\mathbf {f} {\begin{bmatrix}v^{1}[\mathbf {f} ]\\v^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\v^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}=\mathbf {f} v[\mathbf {f} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6011b0f9b71dd05a4e3bbc24229e9068628626)
![{\displaystyle X=\mathbf {fA} v[\mathbf {fA} ]=\mathbf {f} v[\mathbf {f} ]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4247986234cf11ac123836479feee91c952ce94d)
={\begin{cases}1&\mathrm {if} \ i=j\\0&\mathrm {if} \ i\not =j.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6abf1f5c2adbb06b78bbcb3f609ee9b34ec6678)
![{\displaystyle \theta [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}\theta ^{1}[\mathbf {f} ]\\\theta ^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\\theta ^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df10e63b489b1dbc606245de69ecd492a99d89a9)
![{\displaystyle \theta [\mathbf {f} A]=A^{-1}\theta [\mathbf {f} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53bf8079b3432079186c533989232090c001a966)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=a_{1}[\mathbf {f} ]\theta ^{1}[\mathbf {f} ]+a_{2}[\mathbf {f} ]\theta ^{2}[\mathbf {f} ]+\cdots +a_{n}[\mathbf {f} ]\theta ^{n}[\mathbf {f} ]\\[8pt]&={\big \lbrack }{\begin{array}{cccc}a_{1}[\mathbf {f} ]&a_{2}[\mathbf {f} ]&\dots &a_{n}[\mathbf {f} ]\end{array}}{\big \rbrack }\theta [\mathbf {f} ]\\[8pt]&=a[\mathbf {f} ]\theta [\mathbf {f} ]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bedbd810ac343e450fe7bedcfd06820252b151b6)
![{\displaystyle \alpha =a[\mathbf {f} A]\theta [\mathbf {f} A]=a[\mathbf {f} ]\theta [\mathbf {f} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cb2b67e8f5ab70e07ba9fd337217561dbdad50d)
![{\displaystyle a[\mathbf {f} ]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c85d2b9f7e5a0e3523318777df407c3fbaf9b83e)
![{\displaystyle v[\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} A]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63cc333889c2446c5bb0ed195668ab153ed944c2)
![{\displaystyle a_{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}v^{k}[\mathbf {f} ]g_{ki}[\mathbf {f} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485097c8b2d99354bc3e11a51fd0f0495ecb5c5a)
![{\displaystyle v[\mathbf {f} ]=G^{-1}[\mathbf {f} ]a[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb87b11dfd4e2502a25182a296809fc1179de3d2)
![{\displaystyle v[\mathbf {f} A]=A^{-1}v[\mathbf {f} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed8abd6307e818cefb57bcdf8f6380254a1e751)
![{\displaystyle v^{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}g^{ik}[\mathbf {f} ]a_{k}[\mathbf {f} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2041fcfabc9678dd33dc76a07dfc2a053fbc01a)
![{\displaystyle D\varphi ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{n}}}\\[1ex]{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{n}}}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/441172cf9ecb9c0138b7d8ff4ce5c354ad3ca061)
![{\displaystyle [S_{g}X_{p},Y_{p}]=g_{p}(X_{p},Y_{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27c69f7bc7ef26c90ff2acd05bf458c7ba2cfe57)
![{\displaystyle [S_{g}X_{p},Y_{p}]=[S_{g}Y_{p},X_{p}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fccfb2d21df819abb0ea61fb211c23a69243dc50)
![{\displaystyle g_{S}(X_{p},Y_{p})=[SX_{p},Y_{p}]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cad5ba8ed58a944e1d846f2159290b0894c69da)
![{\displaystyle \left[S_{g}^{-1}\alpha ,\beta \right]=\left[S_{g}^{-1}\beta ,\alpha \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d0a27ab812c1604ee97aebf48a71d0abe559302)
