アリコートシーケンス

数学における未解決問題

すべての因数列は、最終的に素数、完全数、または友好数や社交数のセットで終わりますか? (カタランの因数列予想)

数学において、因数列とは、各項が前の項の真約数の和となる正の整数列のことである。この列が1に達すると、1の真約数の和は0となるため、その列は終了する。

定義と概要

$正の整数k$ で始まるアリコートシーケンスは、 $次$ のように、約数和関数 $σ1$ またはアリコート和関数 $s$ を使用して正式に定義できます。[ $1$ ^] $sn$ $-1$ $= 0$ 条件を追加すると、0の後の項はすべて0になり、すべてのアリコートシーケンスは無限大になり、すべてのアリコートシーケンスが収束すると推測できます。これらのシーケンスの極限は通常0または6です。 ${\begin{aligned}s_{0}&=k\\[4pt]s_{n}&=s(s_{n-1})=\sigma _{1}(s_{n-1})-s_{n-1}\quad {\text{if}}\quad s_{n-1}>0\\[4pt]s_{n}&=0\quad {\text{if}}\quad s_{n-1}=0\\[4pt]s(0)&={\text{undefined}}\end{aligned}}$

たとえば、10 のアリコートのシーケンスは、次の理由により10、8、7、1、0となります。

${\begin{aligned}\sigma _{1}(10)-10&=5+2+1=8,\\[4pt]\sigma _{1}(8)-8&=4+2+1=7,\\[4pt]\sigma _{1}(7)-7&=1,\\[4pt]\sigma _{1}(1)-1&=0.\end{aligned}}$

多くのアリコートシーケンスはゼロで終了します。このようなシーケンスはすべて、必ず素数の後に1（素数の唯一の真約数は1であるため）、さらに0（1には真約数がないため）で終わります。75までのこのような数のリストについては、 OEISのシーケンスA080907を参照してください。アリコートシーケンスが終了しないケースはいくつかあります。

完全数には周期 1 の繰り返し因数列があります。たとえば、6 の因数列は6、6、6、6、...です。
友好的な数には、周期 2 の繰り返し因数列があります。たとえば、220 の因数列は、220、284、220、284、...となります。
社交的な数とは、周期が3以上の繰り返し因数列を持つ数です。（社交的な数という用語は、友好的な数も包括して使用されることがあります。）例えば、1264460の因数列は、1264460、1547860、1727636、1305184、1264460、…となります。
いくつかの数は、最終的には周期的な因数列を持つものの、その数自体は完全、友好的、あるいは社交的ではありません。例えば、95の因数列は95、25、6、6、6、6、…となります。95のように完全ではないものの、最終的には周期1の因数列を繰り返す数は、意欲的数と呼ばれます。^[2]

0から47までのアリコートシーケンス
$n$	$n$ のアリコートシーケンス	長さ（（OEISのシーケンスA098007））
0	0	1
1	1、0	2
2	2、1、0	3
3	3、1、0	3
4	4、3、1、0	4
5	5、1、0	3
6	6	1
7	7、1、0	3
8	8、7、1、0	4
9	9、4、3、1、0	5
10	10、8、7、1、0	5
11	11、1、0	3
12	12、16、15、9、4、3、1、0	8
13	13、1、0	3
14	14、10、8、7、1、0	6
15	15、9、4、3、1、0	6
16	16、15、9、4、3、1、0	7
17	17、1、0	3
18	18、21、11、1、0	5
19	19、1、0	3
20	20、22、14、10、8、7、1、0	8
21	21、11、1、0	4
22	22、14、10、8、7、1、0	7
23	23、1、0	3
24	24、36、55、17、1、0	6
25	25、6	2
26	26、16、15、9、4、3、1、0	8
27	27、13、1、0	4
28	28	1
29	29、1、0	3
30	30、42、54、66、78、90、144、259、45、33、15、9、4、3、1、0	16
31	31、1、0	3
32	32、31、1、0	4
33	33、15、9、4、3、1、0	7
34	34、20、22、14、10、8、7、1、0	9
35	35、13、1、0	4
36	36、55、17、1、0	5
37	37、1、0	3
38	38、22、14、10、8、7、1、0	8
39	39、17、1、0	4
40	40、50、43、1、0	5
41	41、1、0	3
42	42、54、66、78、90、144、259、45、33、15、9、4、3、1、0	15
43	43、1、0	3
44	44、40、50、43、1、0	6
45	45、33、15、9、4、3、1、0	8
46	46、26、16、15、9、4、3、1、0	9
47	47、1、0	3

$n$ から始まるアリコートシーケンスの長さは次のとおりです。

1、2、2、3、2、1、2、3、4、4、2、7、2、5、5、6、2、4、2、7、3、6、2、5、1、7、3、1、2、15、2、3、6、8、3、4、2、7、3、4、2、14、2、5、7、8、2、6、4、3 、...（OEISのシーケンスA044050）

$n$ から始まるアリコートシーケンスの最後の項 (1 を除く) は次のとおりです。

1、2、3、3、5、6、7、7、3、7、11、3、13、7、3、3、17、11、19、7、11、7、23、17、6、3、13、28、29、3、31、31、3、7、13、17、37、7、17、43、41、3、43、43、3、3、47、41、7、43 、...（OEISのシーケンスA115350）

因数列が 1 で終わる数は次のとおりです。

1、2、3、4、5、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、26、27、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50、...（OEISのシーケンスA080907）

因数列が1 で終わらない数は次のとおりです。

6、25、28、95、119、143、220、276?、284、306?、396?、417、445、496、…（OEISの配列A126016）

完全数自体 (6、28、496、...) 以外で、その因数列が完全数で終わることが知られている数は次のとおりです。

25、95、119、143、417、445、565、608、650、652、675、685、783、790、909、913、…（OEISの配列A063769）

アリコートシーケンスが少なくとも長さ 2 のサイクル内で終了する数は次のとおりです。

220、284、562、1064、1184、1188、1210、1308、1336、1380、1420、1490、1604、1690、1692、1772、1816、1898、2008、2122、2152、2172、2362、…（OEISのシーケンスA121507）

因数列が有限であるか周期的であるかがわかっていない数は次のとおりです。

276、306、396、552、564、660、696、780、828、888、966、996、1074、1086、1098、1104、1134、1218、1302、1314、1320、1338、1350、1356、1392、1398、1410、1464、1476、1488、…（OEISの配列A131884）

因数列において決して後続しない数は、アンタッチャブル数と呼ばれます。

2、5、52、88、96、120、124、146、162、188、206、210、216、238、246、248、262、268、276、288、290、292、304、306、322、324、326、336、342、372、406、408、426、430、448、472、474、498 、...（OEISのシーケンス A005114）

カタラン・ディクソン予想

カタランによる重要な予想（カタラン・ディクソン予想と呼ばれることもある）は、すべての因数列は、上記のいずれか、すなわち素数、完全数、または友好数もしくは社交数の集合で終わるというものである。^[3]あるいは、因数列が無限でありながら決して繰り返されない数が存在するということになる。因数列が完全に決定されていない多くの数のいずれかが、そのような数である可能性がある。候補となる最初の 5 つの数は、しばしばレーマーの 5 つ（DH レーマーにちなんで名付けられている）と呼ばれる：276、552、564、660、および 966。^[4] 276 は、因数列で高い頂点に達してから下降する場合もあれば、達しない場合もありますが、数 138 は、1 に戻る前に 179,931,895,322 のピークに達することで有名である。

ガイとセルフリッジは生前、カタラン・ディクソン予想は誤りであると信じていた。彼らは、いくつかのアリコート列は上方に非有界である（つまり発散する）と予想した。^[5]

アリコート配列の体系的な探索

因数列は、与えられた整数に対して、有向グラフ, , として表すことができます。ここで、はの真約数の和を表します。^[6]における閉路は、区間内の社交的な数を表します。特殊なケースとして、完全数を表すループと、友好的なペアを表す長さ2の閉路があります。 $G_{n,s}$ $n$ $s(k)$ $k$ $G_{n,s}$ $[1,n]$

参照

算術力学

注記

^ Weisstein, Eric W.「アリコートシーケンス」。MathWorld。
^ Sloane, N. J. A. (編). 「数列A063769（アスピレーティング・ナンバー：アリコート・シーケンスが完全数で終わる数）」.オンライン整数列百科事典. OEIS財団.
^ Weisstein, Eric W.「カタランのアリコート列予想」。MathWorld。
^ Creyaufmüller, Wolfgang (2014年5月24日). 「Lehmer Five」 . 2015年6月14日閲覧。
^ AS Mosunov、「アリコート配列について何がわかっているのか?」
^ ロシャ、ロドリゴ・カエターノ; Thatte、Bhalchandra (2015)、大規模スパースグラフにおける分散サイクル検出、Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO)、doi :10.13140/RG.2.1.1233.8640

参考文献

マヌエル・ベニート、ヴォルフガング・クレヤウフミュラー、フアン・ルイス・ヴァローナ、ポール・ツィンメルマン。アリコート数列3630は100桁に達したところで終了する。実験数学、第11巻第2号、マサチューセッツ州ネイティック、2002年、201～206頁。
W.クレヤウフミュラー。Primzahlfamilien - Das Catalan'sche 問題と死の家族 Primzahlen im Bereich 1 bis 3000 im 詳細。シュトゥットガルト 2000 (第 3 版)、327p。

外部リンク

開始期間が400万未満のアリコートシーケンスの現在の状態
アリコートサイクル表（JOM Pedersen）
アリコート・ページ（ヴォルフガング・クレヤウフミュラー）
アリコート配列 (Christophe Clavier)
アリコートシーケンスの計算に関するフォーラム (MersenneForum)
100000までの配列のアリコート配列概要ページ（より高い範囲の配列にも同様のページがあります）（Karsten Bonath）
アリコート配列に関する活発な研究サイト (Jean-Luc Garambois) (フランス語)

[mw-1] Weisstein, Eric W.「アリコートシーケンス」。MathWorld。

[2] Sloane, N. J. A. (編). 「数列A063769（アスピレーティング・ナンバー：アリコート・シーケンスが完全数で終わる数）」.オンライン整数列百科事典. OEIS財団.

[3] Weisstein, Eric W.「カタランのアリコート列予想」。MathWorld。

[4] Creyaufmüller, Wolfgang (2014年5月24日). 「Lehmer Five」 . 2015年6月14日閲覧。

[5] AS Mosunov、「アリコート配列について何がわかっているのか?」

[6] ロシャ、ロドリゴ・カエターノ; Thatte、Bhalchandra (2015)、大規模スパースグラフにおける分散サイクル検出、Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO)、doi :10.13140/RG.2.1.1233.8640

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概要	整数因数分解除数ユニタリ除数除数関数素因数算術の基本定理
因数分解形式	プライム複合セミプライムプロニックスフェニックスクエアフリー強力完璧なパワーアキレススムーズ通常粗い普通でない
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