直交座標系

数学、特にホモトピー理論において、直積分ファイバ化とは、大まかに言えば、すべてのリフトの中で終対象となるようなリフトが存在するような写像である。例えば、忘却関手

${\displaystyle {\textrm {QCoh}}\to {\textrm {Sch}}}$

スキームのペアとそれらの上の準連接層の圏から得られるものは、カルティシアンファイバリングである（§ 基本例を参照）。実際、グロタンディーク構成によれば、すべてのカルティシアンファイバリングはこの型である。つまり、余分なデータを単に忘れるだけである。ファイバー化圏、プレスタックも参照。 ${\displaystyle (X,F)}$

デカルト線維の双対はオペ線維と呼ばれます。特にコカルト線維とは呼ばれません。

単体集合間の右ファイブレーションは、デカルトファイブレーションの一例です。

意味

関数 が与えられたとき、における射影は、自然な写像が成り立つとき 、 -cartesianあるいは単にcartesianと呼ばれる。 ${\displaystyle \pi :C\to S}$ ${\displaystyle f:x\to y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle (f_{*},\pi ):\operatorname {Hom} (z,x)\to \operatorname {Hom} (z,y)\times _{\operatorname {Hom} (\pi (z),\pi (y))}\operatorname {Hom} (\pi (z),\pi (x))}$

は単射である。^{[1] [2]}明示的には、与えられた場合、直交座標である 。 ${\displaystyle f:x\to y}$

• ${\displaystyle g:z\to y}$そして
• ${\displaystyle u:\pi (z)\to \pi (x)}$

の場合、となる唯一の が存在します。 ${\displaystyle \pi (g)=\pi (f)\circ u}$ ${\displaystyle g':z\to x}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(u)}$ ${\displaystyle f\circ g'=g}$

すると、 Sにおける形式の各射に対して、 Cにおける-デカルト射が存在して となるとき、 はデカルトファイバ化と呼ばれる。^[3]ここで、オブジェクトは一意の同型を除いて一意である（ が別の持ち上げである場合、一意の が存在し、これは同型であることが示される）。このため、オブジェクトはしばしば の引き戻しであると考えられ、 と表記されることもある。^[4]また、何らかの非公式に、 はのすべての持ち上げの中で最終オブジェクトであると言われる。 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle f:s\to \pi (z)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle g:a\to z}$ ${\displaystyle \pi (g)=f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b\to z}$ ${\displaystyle b\to a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f^{*}z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

同じ基底S上のカルティシアンファイブレーション間の射は基底上の写像（関数）である。つまり、はカルティシアン射をカルティシアン射に写す。^[5]が与えられた場合、2 射は可逆写像（写像 =自然変換）であり、のソース内の各オブジェクトに対して、は の下でのオブジェクトの恒等写像に写像される。 ${\displaystyle \varphi :\pi \to \rho }$ ${\displaystyle \pi =\rho \circ \varphi }$ ${\displaystyle \varphi ,\psi :\pi \to \rho }$ ${\displaystyle \theta :\varphi \rightarrow \psi }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \theta _{E}:\varphi (E)\to \psi (E)}$ ${\displaystyle \rho (\varphi (E))=\rho (\psi (E))}$ ${\displaystyle \rho }$

このようにして、固定された基本カテゴリS上のすべてのカルティシアンファイブレーションは、で表される(2, 1)-カテゴリを決定します。^[6] ${\displaystyle \operatorname {Cart} (S)}$

基本的な例

を次のカテゴリとします。 ${\displaystyle \operatorname {QCoh} }$

• オブジェクトはスキームとその上の準一貫性層のペアである。 ${\displaystyle (X,F)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$
• 射はスキームの射と上の層準同型から成り、 ${\displaystyle {\overline {f}}:(X,F)\to (Y,G)}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \varphi _{f}:f^{*}G{\overset {\sim }{\to }}F}$ ${\displaystyle X}$
• と上の合成は、とがとなるような（唯一の）射である。 ${\displaystyle {\overline {g}}\circ {\overline {f}}}$ ${\displaystyle {\overline {g}}:(Y,G)\to (Z,H)}$ ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle {\overline {h}}}$ ${\displaystyle h=g\circ f}$ ${\displaystyle \varphi _{h}}$

  ${\displaystyle (g\circ f)^{*}H\simeq f^{*}g^{*}H{\overset {f^{*}\varphi _{g}}{\to }}f^{*}G{\overset {\varphi _{f}}{\to }}F.}$

忘れっぽい地図を見るために

${\displaystyle \pi :\operatorname {QCoh} \to \operatorname {Sch} }$

は直交座標系のファイバリングであり、^[7]をとする。 ${\displaystyle f:X\to \pi ((Y,G))}$ ${\displaystyle \operatorname {QCoh} }$

${\displaystyle {\overline {f}}=(f,\varphi _{f}):(X,F)\to (Y,G)}$

と が存在する場合、 は直交座標系であると主張する。とが存在する場合、 が存在する場合、 は直交座標系であると主張する。 ${\displaystyle F=f^{*}G}$ ${\displaystyle \varphi _{f}=\operatorname {id} }$ ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle {\overline {g}}:(Z,H)\to (Y,G)}$ ${\displaystyle h:Z\to X}$ ${\displaystyle g=f\circ h}$ ${\displaystyle \varphi _{h}}$ ${\displaystyle {\overline {g}}={\overline {f}}\circ {\overline {h}}}$ ${\displaystyle \varphi _{g}}$

${\displaystyle (f\circ h)^{*}G\simeq h^{*}f^{*}G=h^{*}F{\overset {\varphi _{h}}{\to }}H.}$

したがって、必要なものは自明に存在し、一意です。 ${\displaystyle {\overline {h}}}$

一部の著者は、を の核としてではなく とみなしていることに注意してください。その場合、 に制限された忘却写像も直交座標系ファイブレーションとなります。 ${\displaystyle \operatorname {QCoh} ^{\simeq }}$ ${\displaystyle \operatorname {QCoh} }$

グロタンディーク構築

カテゴリ が与えられたとき、グロタンディーク構成はと上の前スタックの ∞-カテゴリ間の同値性を与える（前スタック = カテゴリ値前層）。^[8] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Cart} (S)}$ ${\displaystyle S}$

大まかに言えば、構成は次のようになります。直交ファイバー化 が与えられたとき、S内の各オブジェクトx をファイバー に送る写像を とします。したがって、は - 値前層または前スタックです。逆に、前スタック が与えられたとき、オブジェクトがとペアになるカテゴリを定義し、を への忘却関手とします。すると、これら2つの割り当ては、主張されている同値性を与えます。 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle F_{\pi }:S^{op}\to {\textbf {Cat}}}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$ ${\displaystyle F_{\pi }}$ ${\displaystyle {\textbf {Cat}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C_{F}}$ ${\displaystyle (x,a)}$ ${\displaystyle a\in F(x)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle S}$

例えば、構成を忘却性 に適用すると、上の準連接層のカテゴリにスキームを送る写像が得られます。逆に、はそのような写像によって決定されます。 ${\displaystyle \pi :{\textrm {QCoh}}\to {\textrm {Sch}}}$ ${\displaystyle X\mapsto {\textrm {QCoh}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi }$

ルリーの直線化定理は、上記の同値性を、ある∞-カテゴリC上のデカルトファイバの∞-カテゴリとC上の∞-プレスタックの∞-カテゴリとの間の同値性に一般化します。^[9]

参照

• 繊維質カテゴリー

脚注

1. ケロドン、定義 5.0.0.1。
2. カーン2022、定義3.1.1。
3. カーン2022、定義3.1.2。
4. Vistoli 2008、定義3.1および§3.1.2。
5. Vistoli 2008、定義 3.6。
6. カーン2022、建設3.1.4。
7. Khan 2022、例3.1.3。
8. Khan 2022、定理3.1.5。
9. Louis Martini著「コカルテジアンファイブレーションと∞-トポス内部の直線化」[arXiv:2204.00295]の序文

参考文献

• カーン、アディール・A. (2022).「代数スタックの現代的入門」
• 「ケロドン」。
• Mazel-Gee, Aaron (2015). 「コ/カルテシアンファイバレーションのユーザーガイド」arXiv : 1510.02402 [math.CT].
• Vistoli, Angelo (2008年9月2日). 「グロタンディーク位相、ファイバー圏、降下理論に関するノート」(PDF) .

さらに読む

• https://ncatlab.org/nlab/show/Cartesian+fibration
• https://ncatlab.org/nlab/show/Cartesian+morphism
• https://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+fibration

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Cartesian_fibration&oldid=1317434371"