指標関数(凸分析)

凸解析として知られる数学の分野において集合の指示関数(しきいふかん、英: indicator function )とは、与えられた要素がその集合に所属しているかどうか(あるいは所属していないかどうか)を示す凸関数である。これは確率論で用いられる指示関数に似ているが、外側の要素ではなく、外側の要素に代入する。

各分野は、たとえば複素解析の場合のように、「指標関数」の独自の意味を持っているようです

定義

を集合とし部分集合とする指示関数は関数[1] [2] [3] [4]である。

によって定義される拡張実数直線上の値を取る

性質

この関数が凸関数であるのは、集合が凸関数である場合に限ります。[5]

この関数が下半連続となるのは、集合が閉じている場合に限ります。[4]

任意の集合およびに対して、 となります

任意の空でない集合のルジャンドル変換はサポート関数である[6]

集合 に対するの劣勾配はにおけるその集合の正規錐である[7]

ユークリッドノルムとの最小畳み込みその集合までのユークリッド距離である。[8]

参考文献

  1. ^ RT Rockafellar, Convex Analysis , Princeton University Press, (1997) [1970], p.28
  2. ^ JB Hiriart-Urruty、C. Lemaréchal、「凸解析と最適化I」、Springer-Verlag、1993年、p.152。
  3. ^ S. Boyd, L. Vandenberghe,凸最適化, Cambridge University Press, (2009) [2004], p.68.
  4. ^ ab HH Bauschke, PL Combettes, Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces , Springer (2017) [2011], p.12.
  5. ^ HH Bauschke, PL Combettes,ヒルベルト空間における凸解析と単調作用素理論、Springer (2017) [2011]、p.139。
  6. ^ JB Hiriart-Urruty、C. Lemaréchal、凸分析と最適化 II、Springer-Verlag、1993、p.39。
  7. ^ HH Bauschke, PL Combettes, Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces , Springer (2017) [2011], p.267.
  8. ^ JB Hiriart-Urruty、C. Lemaréchal、凸分析と最適化 II、Springer-Verlag、1993、p.65。

参考文献

  • ロッカフェラー, RT (1997) [1970].凸解析. プリンストン, ニュージャージー: プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-01586-6
  • Hiriart-Urruty, JB; Lemaréchal, C. (1993).凸解析と最小化アルゴリズム I & II . Springer-Verlag
  • Boyd, SP; Vandenberghe, L. (2004).凸最適化. ケンブリッジ大学出版局.
  • Bauschke, HH; Combettes, PL (2011).ヒルベルト空間における凸解析と単調作用素理論. Springer.
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