10進表現

Expression of numbers as sequences of digits

非負の実数rの10進表現は、伝統的に単一の区切り文字で記述される 10 進数字で構成される記号のシーケンスとして表現されます。ここで、は小数点区切り文字、kは非負の整数、 は数字 で、範囲 0、...、9 の整数を表す記号です。 $${\displaystyle r=b_{k}b_{k-1}\cdots b_{0}.a_{1}a_{2}\cdots }$$ ${\displaystyle b_{0},\cdots ,b_{k},a_{1},a_{2},\cdots }$

一般的に、ドットの後の数字の列は無限大です。有限の場合は、足りない数字は0とみなされます。すべてが0の場合は、区切り文字も省略され、結果として有限の数字列となり、自然数を表します。 ${\displaystyle b_{k}\neq 0}$ ${\displaystyle k\geq 1.}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$

小数表現は無限和を表します。 $${\displaystyle r=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}}.}$$

非負実数には少なくとも1つのそのような表現が存在する。一方が0の無限列を持ち、もう一方が9の無限列を持つ場合、かつその場合に限り、そのような表現が2つ存在する（ の場合）。非負実数と10進表現の間に1対1の対応を持たせるため、 9の無限列を持つ10進表現は除外されることがある。^[1] ${\displaystyle b_{k}\neq 0}$ ${\displaystyle k>0}$

整数部と小数部

自然数はrの整数部と呼ばれ、本稿では以降 0 で表記する。 の列は区間_に属する数を表し 、 rの小数部と呼ばれる（ただし、すべてが9の場合は除く）。 ${\textstyle \sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ $${\displaystyle 0.a_{1}a_{2}\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}},}$$ ${\displaystyle [0,1),}$ ${\displaystyle a_{i}}$

有限小数近似

任意の実数は、有限の小数表現を持つ有理数によって、任意の精度に近似できます。

と仮定する。すると、すべての整数に対して、次の有限小数が存在する。 ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}$

$${\displaystyle r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.}$$

証明： とします。ここで です。すると となり、すべての辺を で割ることで結果が導かれます。（ が有限の小数表現を持つことは簡単に証明できます。） ${\displaystyle r_{n}=\textstyle {\frac {p}{10^{n}}}}$ ${\displaystyle p=\lfloor 10^{n}x\rfloor }$ ${\displaystyle p\leq 10^{n}x<p+1}$ ${\displaystyle 10^{n}}$ ${\displaystyle r_{n}}$

10進数の表現と表記規則の非一意性

実数の中には、無限小数表現が2つ存在するものがあります。例えば、数1は1.000...でも0.999...でも同じように表現できます（末尾の0または9の無限列はそれぞれ「...」で表されます）。慣習的には、末尾に9を付かない小数表現が好まれます。さらに、の標準的な小数表現では、 が整数の場合、小数点の後に続く無限小数0は省略され、小数点自体も省略されます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

の小数展開を構築するための特定の手順により、末尾に9が続く問題を回避できます。例えば、以下のアルゴリズム手順で標準的な小数表現が得られます。 が与えられた場合、まず（の整数部）を（すなわち）となる最大の整数と定義します。手順が終了する場合、あるいは が既に求められている場合、を となる最大の整数と帰納的に定義します。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a_{0}\leq x}$ ${\displaystyle a_{0}=\lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle x=a_{0}}$ ${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$ ${\displaystyle a_{k}}$

$${\displaystyle a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {a_{k}}{10^{k}}}\leq x.}$$

*

この手順は、( * )において等式が成立する が見つかった時点で終了する。そうでない場合は、無限に継続し、10進数の無限列を与える。 ^[2]（慣例的に と表記される）が成り立つことが示され、非負整数 は10進表記で表される。この構成は、上記の手順を に適用し、結果として得られる10進展開を と表記することで まで拡張される。 ${\displaystyle a_{k}}$ ${\textstyle x=\sup _{k}\left\{\sum _{i=0}^{k}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}\right\}}$ ${\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\ldots \in \{0,1,2,\ldots ,9\},}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle -x>0}$ ${\displaystyle -a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$

種類

有限

非負の実数xの小数展開は、 x が有理数で、その分母が 2 ⁿ 5 ^mの形式である場合に限り、0 (または 9) で終わります。ここで、mとnは非負の整数です。

証拠：

xの小数展開がゼロで終わる場合、またはnの場合、 xの分母は10 ⁿ = 2 ⁿ 5 ⁿの形式になります。 ${\textstyle x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}}$

逆に、 xの分母が2 ⁿ 5 ^mの形である場合、あるpに対して成り立ちます。一方、 xは の形である場合、あるnに対して成り立ちます。 により、x はゼロで終わります。 ${\displaystyle x={\frac {p}{2^{n}5^{m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{2^{n+m}5^{n+m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{10^{n+m}}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {p}{10^{k}}}}$ ${\displaystyle p=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}}$ ${\displaystyle x=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}}$

無限

繰り返し小数表現

一部の実数には、最終的にループに入り、1 つ以上の数字のシーケンスを無限に繰り返す小数展開があります。

1 ⁄ 3 = 0.33333...

1 ⁄ 7 = 0.142857142857...

1318 ⁄ 185 = 7.1243243243...

このような状況が発生するたびに、その数は依然として有理数です（つまり、整数と正の整数の比として表すこともできます）。また、逆もまた真です。有理数の小数展開は有限か、無限に繰り返されます。

有限小数表現は、無限循環小数表現の特殊なケースと見なすこともできます。例えば、36 ⁄ 25 = 1.44 = 1.4400000... のように、無限に繰り返される数列は1桁の数字「0」です。

非循環小数表現

他の実数には、決して繰り返されない小数展開があります。これらはまさに無理数、つまり整数の比で表すことができない数です。よく知られている例としては、以下のようなものがあります。

√2 = 1.41421356237309504880 ...

  e   = 2.71828182845904523536...

  π   = 3.14159265358979323846...

分数への変換

有理数のすべての小数表現は、整数部分、非反復部分、反復部分の合計に変換し、その合計を共通の分母を持つ単一の分数に変換することで、分数に変換できます。

例えば、分数に変換するには、次の補題に注意してください。 ${\textstyle \pm 8.123{\overline {4567}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}0.000{\overline {4567}}&=4567\times 0.000{\overline {0001}}\\&=4567\times 0.{\overline {0001}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&=4567\times {\frac {1}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{The exponents are the number of non-repeating digits after the decimal point (3) and the number of repeating digits (4).}}\end{aligned}}}$$

したがって、次のように変換します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.123{\overline {4567}}&=\pm \left(8+{\frac {123}{10^{3}}}+{\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}\right)&{\text{from above}}\\&=\pm {\frac {8\times (10^{4}-1)\times 10^{3}+123\times (10^{4}-1)+4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81226444}{9999000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {20306611}{2499750}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}}$$

繰り返される数字がない場合、永遠に繰り返される 0 があると想定されます (例 ) 。ただし、繰り返される項が 0 になるため、合計は 2 つの項とより簡単な変換に簡略化されます。 ${\displaystyle 1.9=1.9{\overline {0}}}$

例えば： $${\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.1234&=\pm \left(8+{\frac {1234}{10^{4}}}\right)&\\&=\pm {\frac {8\times 10^{4}+1234}{10^{4}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81234}{10000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {40617}{5000}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}}$$

参照

• 小数点
• シリーズ（数学）
• IEEE 754
• サイモン・ステビン

参考文献

1. クヌース、ドナルド・アービン(1973). 『コンピュータプログラミングの芸術』第1巻：基本アルゴリズム.アディソン・ウェズレー. p. 21.
2. ルディン、ウォルター(1976). 『数学解析の原理』ニューヨーク:マグロウヒル. p. 11. ISBN 0-07-054235-X。

さらに読む

• アポストル、トム(1974).数学解析（第2版）. Addison-Wesley .
• Savard, John JG (2018) [2006]. 「10進表現」. quadibloc . 2018年7月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2018年7月16日閲覧。

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