エキゾチックR4

Smooth 4-manifold homeomorphic yet not diffeomorphic to Euclidean space

数学において、エキゾチックとは、 ユークリッド空間に同相（すなわち形状保存）だが微分同相ではない（すなわち滑らかではない）微分可能多様体である。最初の例は、1982年にマイケル・フリードマンらによって、位相4次元多様体に関するフリードマンの定理と滑らかな4次元多様体に関するサイモン・ドナルドソンの定理の対比を用いて発見された。^{[1] [2]}クリフォード・タウブスによって初めて示されたように、非微分同相な微分可能構造の連続体が存在する。^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

この構成以前には、球面上の非微分同相な滑らかな構造（エキゾチック球面 ）の存在は既に知られていたが、4次元球面という特定のケースにおいてそのような構造が存在するかどうかは未解決のままであった（そして2024年現在も未解決のままである）。4以外の任意の正の整数nに対しては、エキゾチックな滑らかな構造は存在しない。言い換えれば、n ≠ 4であれば、任意の同相な滑らかな多様体は^[4]に微分同相である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n};}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

小型エキゾチックR⁴s

標準のオープンサブセットとしてスムーズに埋め込める場合、エキゾチックは小さいと呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

小さなエキゾチックは、非自明な滑らかな 5 次元のh -コボルディズム(この次元ではh - コボルディズム定理が成り立たないというドナルドソンの証明によって存在する) から始めて、この次元では位相的なh - コボルディズム定理が成り立つというフリードマンの定理を使用することで構築できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

大型エキゾチックR⁴s

標準のオープンサブセットとしてスムーズに埋め込むことができない場合、エキゾチックは「大きい」と呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

大きなエキゾチックの例は、コンパクトな 4 次元多様体は位相和として分割できることが多い (フリードマンの研究による) が、滑らかな和として分割することはできない (ドナルドソンの研究による) という事実を利用して構築できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

マイケル・ハートリー・フリードマンとローレンス・R・テイラー (1986) は、他のすべてを開集合として滑らかに埋め込むことができる最大のエキゾチック集合が存在することを示しました。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

関連するエキゾチックな構造

キャソンハンドルはフリードマンの定理（ここで閉単位円板）によりに同相であるが、ドナルドソンの定理から、すべてが に微分同相ではないことがわかる。言い換えれば、キャソンハンドルの中にはエキゾチックなものもある。 ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}.}$

2024 年現在、エキゾチックな 4 次元球面が存在するかどうかはわかっていません。そのようなエキゾチックな 4 次元球面は、次元 4 における滑らかな一般化ポアンカレ予想の反例となります。妥当な候補としては、グルックねじれが挙げられます。

参照

• アクブルットコルク- ^[5]のクラスからエキゾチックな'sを構築するために使用するツール ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle H^{3}(S^{3},\mathbb {R} )}$
• アトラス（トポロジー）

注記

1. カービー（1989）、95ページ
2. フリードマンとクイン（1990）、122ページ
3. タウベス（1987）、定理1.1
4. Stallings (1962)、特に系5.2
5. Asselmeyer-Maluga, Torsten; Król, Jerzy (2014-08-28). 「Abelian gerbes, generalized geometries and foliations of small exotic R^4」. arXiv : 0904.1276 [hep-th].

参考文献

• フリードマン、マイケル・H.、クイン、フランク(1990). 4次元多様体の位相幾何学. プリンストン数学シリーズ. 第39巻. プリンストン、ニュージャージー州: プリンストン大学出版局. ISBN 0-691-08577-3。
• フリードマン, マイケル・H. ; テイラー, ローレンス・R. (1986). 「4次元空間の普遍的平滑化」 . Journal of Differential Geometry . 24 (1): 69– 78. doi : 10.4310/jdg/1214440258 . ISSN  0022-040X. MR  0857376.
• カービー、ロビオン・C. (1989). 4次元多様体の位相. 数学講義ノート. 第1374巻. ベルリン: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 3-540-51148-2。
• スコルパン、アレクサンドル (2005). 『4次元多様体のワイルドワールド』 プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学協会. ISBN 978-0-8218-3749-8。
• スタリングス、ジョン(1962). 「ユークリッド空間の区分線形構造」 .ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 58 (3): 481– 488.書誌コード:1962PCPS...58..481S. doi :10.1017/s0305004100036756. S2CID  120418488. MR  0149457
• ゴンプフ, ロバート E. ; スティプシチ, アンドラス I. (1999). 4次元多様体とカービー計算.数学大学院研究. 第20巻. プロビデンス, ロードアイランド州: アメリカ数学会. ISBN 0-8218-0994-6。
• タウブス、クリフォード・ヘンリー(1987). 「漸近的に周期的な4次元多様体上のゲージ理論」. Journal of Differential Geometry . 25 (3): 363– 430. doi : 10.4310/jdg/1214440981 . MR  0882829. PE  1214440981.

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