原始的な

Product of the first "n" prime numbers

数学、特に数論において、素数（「」と表記）は、階乗関数に似た自然数から自然数への関数ですが、正の整数を次々に掛け合わせるのではなく、素数のみを掛け合わせます。 ${\displaystyle p_{n}\#}$

ハーヴェイ・ダブナーによって造られた「素数」という名前は、 「階乗」という名前が因数に関連しているのと同様に、素数との類似性を示しています。

素数の定義

p _n #をnの関数として対数的にプロットしたもの。

素数は最初の素数の積として定義される: ^{[1] [2]} ${\displaystyle p_{n}\#}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k},}$

ここでは - 番目の素数です。例えば、 は最初の 5 つの素数の積を表します。 ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p_{5}\#}$

${\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

最初のいくつかの原始関数は次のとおりです。 ${\displaystyle p_{n}\#}$

1、2、6、30、210、2310、30030、510510、9699690 ...（OEISのシーケンスA002110）。​​​​​​​

^{漸近的に、原始数は[2]}に従って増加する。

${\displaystyle p_{n}\#=e^{(1+o(1))n\log n}.}$

自然数の定義

${\displaystyle n!}$(黄色) を の関数として、(赤色) と比較したもの。両方とも対数でプロットされています。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\#}$

一般に、正の整数 に対して、その素数はより小さいか等しいすべての素数の積である。つまり、^{[1] [3]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\#}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n\#=\prod _{p\,\leq \,n \atop p\,{\text{prime}}}p=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#,}$

ここで、素数計算関数（OEISのシーケンスA000720 ）である。これは次式と等価である。 ${\displaystyle \pi (n)}$

${\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\ 1\\(n-1)\#\times n&{\text{if }}n{\text{ is prime}}\\(n-1)\#&{\text{if }}n{\text{ is composite}}.\end{cases}}}$

たとえば、12 以下のすべての素数の積を表します。 ${\displaystyle 12\#}$

${\displaystyle 12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

なので、これは次のように計算できます。 ${\displaystyle \pi (12)=5}$

${\displaystyle 12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.}$

シーケンスの最初の 12 個の値を考えます。 ${\displaystyle n\#}$

${\displaystyle 1,2,6,6,30,30,210,210,210,210,2310,2310.}$

合成数 では、すべての項が前の項 と等しいことがわかります。上記の例では、12 が合成数なので となります。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\#}$ ${\displaystyle (n-1)\#}$ ${\displaystyle 12\#=p_{5}\#=11\#}$

原始関数は第一チェビシェフ関数 と次の関係がある^[4] ${\displaystyle \vartheta (n)}$

${\displaystyle \ln(n\#)=\vartheta (n).}$

の大きな値に対して漸近的に近づくため、原始数は次のように増大します。 ${\displaystyle \vartheta (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n\#=e^{(1+o(1))n}.}$

プロパティ

• 任意の について、がとなる最大の素数である場合に限り、その通りです。 ${\displaystyle n,p\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\#=p\#}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\leq n}$

• を- 番目の素数とします。すると、はちょうど約数になります。 ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p_{k}\#}$ ${\displaystyle 2^{k}}$

• 原始数の逆数値の和は定数に収束する

${\displaystyle \sum _{p\,{\text{prime}}}{1 \over p\#}={1 \over 2}+{1 \over 6}+{1 \over 30}+\ldots =0{.}7052301717918\ldots }$

この数をエンゲル展開すると素数列（OEISの列A064648）が得られる。

• ユークリッドの素数の無限性に関する定理の証明は、任意の素数 に対して、その数はより小さいかそれに等しい素数の集合に含まれない素因数を持つ、と言い換えることができます。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\#+1}$ ${\displaystyle p}$

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}=e}$の場合、値は より小さくなりますが、^[5]が大きくなると、関数の値は を超え、その後 の周りで無限に振動します。 ${\displaystyle n<10^{11}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$

• 二項係数は との間のすべての素数で割り切れるので、 より上限は次のようになります: ^[6]。 ${\displaystyle {\tbinom {2n}{n}}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle {\tbinom {2n}{n}}\leq 4^{n}}$ ${\displaystyle n\#\leq 4^{n}}$
  • デニス・ハンソンは初等的な方法を用いて、次のことを示しました。^[7] ${\displaystyle n\#\leq 3^{n}}$
  • より高度な方法を用いて、ロッサーとショーンフェルドは であることを示した。[ ^8]さらに、 については であることを示した。^[8] ${\displaystyle n\#\leq (2.763)^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 563}$ ${\displaystyle n\#\geq (2.22)^{n}}$

アプリケーション

加法等差数列における素数の探索において、素数は重要な役割を果たします。例えば、 は素数となり、 を繰り返し加算することで見つかる13個の素数の列の始まりとなり、 で終わります。は、15個の素数列と16個の素数列における共通の差でもあります。 ${\displaystyle 2236133941+23\#}$ ${\displaystyle 23\#}$ ${\displaystyle 5136341251}$ ${\displaystyle 23\#}$

あらゆる高度合成数は原始数の積である。^[9]

原始数はすべて平方根のない整数であり、それぞれはそれより小さい任意の数よりも多くの異なる素因数を持ちます。各原始数 について、 より小さい任意の正の整数に対して、分数はより小さくなります。ここではオイラーのトーシェント関数です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi (n)/n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi }$

任意の完全な乗法関数は、その素数での値によって定義されます。これは、隣接する値の除算によって回復できる素数での値によって定義されるからです。

原始数に対応する基数システム (基数 30 など。原始数システムと混同しないでください)では、それより小さい基数よりも循環分数の割合が低くなります。

すべての原始数は疎トーティエント数である。^[10]

作曲

合成数nのn合成数は、 nまでの合成数の積である。^[11] n合成数は、 n階乗を原始数n # で割ったものに等しい。合成数は

1 , 4 , 24 , 192 , 1728 ,17 280 ,207 360、2 903 040、43 545 600 ,696 729 600、… ^[12]

リーマンゼータ関数

1より大きい正の整数におけるリーマンゼータ関数は、原始関数とジョルダンのトーティエント関数を用いて次のように表される^[13]。 ${\displaystyle J_{k}}$

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k\in \mathbb {Z} _{>1}}$。

原始数表

n	n #	p n	p n #	原始素数？
				p n # + 1 [14]	p n # − 1 [15]
0	1	—	1	はい	いいえ
1	1	2	2	はい	いいえ
2	2	3	6	はい	はい
3	6	5	30	はい	はい
4	6	7	210	はい	いいえ
5	30	11	2 310	はい	はい
6	30	13	30 030	いいえ	はい
7	210	17	510 510	いいえ	いいえ
8	210	19	9 699 690	いいえ	いいえ
9	210	23	223 092 870	いいえ	いいえ
10	210	29	6 469 693 230	いいえ	いいえ
11	2 310	31	200 560 490 130	はい	いいえ
12	2 310	37	7 420 738 134 810	いいえ	いいえ
13	30 030	41	304 250 263 527 210	いいえ	はい
14	30 030	43	13 082 761 331 670 030	いいえ	いいえ
15	30 030	47	614 889 782 588 491 410	いいえ	いいえ
16	30 030	53	32 589 158 477 190 044 730	いいえ	いいえ
17	510 510	59	1 922 760 350 154 212 639 070	いいえ	いいえ
18	510 510	61	117 288 381 359 406 970 983 270	いいえ	いいえ
19	9 699 690	67	7 858 321 551 080 267 055 879 090	いいえ	いいえ
20	9 699 690	71	557 940 830 126 698 960 967 415 390	いいえ	いいえ
21	9 699 690	73	40 729 680 599 249 024 150 621 323 470	いいえ	いいえ
22	9 699 690	79	3 217 644 767 340 672 907 899 084 554 130	いいえ	いいえ
23	223 092 870	83	267 064 515 689 275 851 355 624 017 992 790	いいえ	いいえ
24	223 092 870	89	23 768 741 896 345 550 770 650 537 601 358 310	いいえ	はい
25	223 092 870	97	2 305 567 963 945 518 424 753 102 147 331 756 070	いいえ	いいえ
26	223 092 870	101	232 862 364 358 497 360 900 063 316 880 507 363 070	いいえ	いいえ
27	223 092 870	103	23 984 823 528 925 228 172 706 521 638 692 258 396 210	いいえ	いいえ
28	223 092 870	107	2 566 376 117 594 999 414 479 597 815 340 071 648 394 470	いいえ	いいえ
29	6 469 693 230	109	279 734 996 817 854 936 178 276 161 872 067 809 674 997 230	いいえ	いいえ
30	6 469 693 230	113	31 610 054 640 417 607 788 145 206 291 543 662 493 274 686 990	いいえ	いいえ
31	200 560 490 130	127	4 014 476 939 333 036 189 094 441 199 026 045 136 645 885 247 730	いいえ	いいえ
32	200 560 490 130	131	525 896 479 052 627 740 771 371 797 072 411 912 900 610 967 452 630	いいえ	いいえ
33	200 560 490 130	137	72 047 817 630 210 000 485 677 936 198 920 432 067 383 702 541 010 310	いいえ	いいえ
34	200 560 490 130	139	10 014 646 650 599 190 067 509 233 131 649 940 057 366 334 653 200 433 090	いいえ	いいえ
35	200 560 490 130	149	1 492 182 350 939 279 320 058 875 736 615 841 068 547 583 863 326 864 530 410	いいえ	いいえ
36	200 560 490 130	151	225 319 534 991 831 177 328 890 236 228 992 001 350 685 163 362 356 544 091 910	いいえ	いいえ
37	7 420 738 134 810	157	35 375 166 993 717 494 840 635 767 087 951 744 212 057 570 647 889 977 422 429 870	いいえ	いいえ
38	7 420 738 134 810	163	5 766 152 219 975 951 659 023 630 035 336 134 306 565 384 015 606 066 319 856 068 810	いいえ	いいえ
39	7 420 738 134 810	167	962 947 420 735 983 927 056 946 215 901 134 429 196 419 130 606 213 075 415 963 491 270	いいえ	いいえ
40	7 420 738 134 810	173	166 589 903 787 325 219 380 851 695 350 896 256 250 980 509 594 874 862 046 961 683 989 710	いいえ	いいえ

参照

• ボンゼの不等式
• チェビシェフ関数
• 原始数体系
• 原始素数

注記

1. ワイスタイン、エリック W.「Primorial」.マスワールド。
2. OEISの配列A002110）
3. ( OEISの配列A034386 )
4. Weisstein, Eric W.「チェビシェフ関数」。MathWorld。
5. L. シェーンフェルド:チェビシェフ関数と のより鋭い境界 ${\displaystyle \theta (x)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$。 II.数学。コンプ。 Vol. 34、No.134 (1976) 337–360; p. 359.
   引用: G. Robin:チェビシェフの最高評価と最高評価、最高評価の ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \omega (n)}$評価。アクタ・アリス。 XLII (1983) 367–389 (PDF 731KB); p. 371
6. GHハーディ、EMライト著『数論入門』第4版、オックスフォード大学出版局、オックスフォード、1975年、 ISBN 0-19-853310-1定理
   415、341ページ
7. ハンソン, デニス (1972年3月). 「素数の積について」.カナダ数学速報. 15 (1): 33– 37. doi : 10.4153/cmb-1972-007-7 . ISSN  0008-4395.
8. Rosser, J. Barkley; Schoenfeld, Lowell (1962-03-01). 「素数の関数の近似式」.イリノイ数学ジャーナル. 6 (1). doi : 10.1215/ijm/1255631807 . ISSN  0019-2082.
9. Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA002182（高度合成数）」.オンライン整数シーケンス百科事典. OEIS財団.
10. Masser, DW ; Shiu, P. (1986). 「疎トーティエント数について」. Pacific Journal of Mathematics . 121 (2): 407– 426. doi : 10.2140/pjm.1986.121.407 . ISSN  0030-8730. MR  0819198. Zbl  0538.10006.
11. ウェルズ、デイビッド（2011年）『素数：数学における最も神秘的な数字』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、29頁。ISBN 9781118045718. 2016年3月16日閲覧。
12. Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA036691（合成数：最初のn個の合成数の積）」.オンライン整数シーケンス百科事典. OEIS財団.
13. Mező, István (2013). 「原始ゼータ関数とリーマンゼータ関数」.アメリカ数学月刊誌. 120 (4): 321.
14. Sloane, N. J. A. (編). 「数列A014545 (素数プラス1素数インデックス)」.オンライン整数数列百科事典. OEIS財団.
15. Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA057704 (Primorial - 1 prime indices)」.オンライン整数シーケンス百科事典. OEIS Foundation.

参考文献

• ダブナー、ハーヴェイ (1987). 「階乗素数と原始素数」. J. Recr. Math. 19 : 197–203 .
• スペンサー、アダム「トップ 100」第 59 部、パート 4。

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