引き戻し（微分幾何学）

Mathematical operation

を滑らかな多様体と間の滑らかな写像とします。すると、 （余接束の切断の線型空間）上の1-形式の空間から（余接束の切断の線型空間）上の1-形式の空間への線型写像が関連付けられます。この線型写像は（による）引き戻しとして知られており、しばしば と表記されます。より一般的には、上の任意の共変テンソル体、特に任意の微分形式は、 を使用して に引き戻すことができます ${\displaystyle \phi :M\to N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{*}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$

写像が微分同相写像である場合、プルバックはプッシュフォワードと共に、任意のテンソル体を からへ、またはその逆へ変換するために使用できます。特に、がと の開部分集合間の微分同相写像であり、座標変換（おそらく多様体 上の異なるチャート間）として見ると、プルバックとプッシュフォワードは、この主題に対するより伝統的な（座標依存の）アプローチで使用される共変テンソルと反変テンソルの変換特性を記述します。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$

プルバックの背後にある考え方は、本質的に、ある関数と別の関数の前合成の概念です。しかし、この考え方をいくつかの異なる文脈で組み合わせることで、非常に精巧なプルバック操作を構築できます。この記事では、最も単純な操作から始め、それらを使用してより洗練された操作を構築します。大まかに言えば、プルバックメカニズム（前合成を使用）は、微分幾何学におけるいくつかの構成を反変関数に変換します。

滑らかな関数と滑らかな写像のプルバック

を（滑らかな）多様体 と の間の滑らかな写像とし、を上の滑らかな関数と仮定します。すると、 によるの引き戻しはによって定義される上の滑らかな関数です。同様に、が の開集合上の滑らかな関数である場合、同じ式が 上の滑らかな関数を定義します 。（層の言語では、引き戻しは 上の滑らかな関数の層から上の滑らかな関数の層のによる直接像への射を定義します。） ${\displaystyle \phi :M\to N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f:N\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{*}f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (\phi ^{*}f)(x)=f(\phi (x))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$

より一般的に、 がから任意の他の多様体 への滑らかな写像である場合、はから への滑らかな写像です。 ${\displaystyle f:N\to A}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\phi ^{*}f)(x)=f(\phi (x))}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$

バンドルとセクションの引き戻し

が 上のベクトルバンドル（または任意のファイバーバンドル）であり、 が滑らかな写像である場合、引き戻しバンドルは 上のベクトルバンドル（またはファイバーバンドル）であり、上のファイバーはによって与えられます ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi :M\to N}$ ${\displaystyle \phi ^{*}E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (\phi ^{*}E)_{x}=E_{\phi (x)}}$

この状況では、前置合成は のセクションに対する引き戻し操作を定義します。が を超えるセクションである場合、引き戻しセクションはを超えるセクションです。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi ^{*}s=s\circ \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{*}E}$ ${\displaystyle M}$

多重線型形式の引き戻し

Φ: V → Wをベクトル空間VとWの間の線型写像（すなわち、Φ はL ( V , W )の元であり、 Hom( V , W )とも表記される）とし、

$${\displaystyle F:W\times W\times \cdots \times W\rightarrow \mathbf {R} }$$

をW上の多重線型形式（階数(0, s )のテンソル（テンソル体と混同しないように）とし、sは積におけるWの因子の数）とする。すると、 FのΦ による引き戻し Φ ^∗ F は、 Fを Φ と前置することによって定義されるV上の多重線型形式となる。より正確には、 V上のベクトルv ₁、v ₂、…、v _sが与えられたとき、 Φ ^∗ Fは次の式で定義される

$${\displaystyle (\Phi ^{*}F)(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{s})=F(\Phi (v_{1}),\Phi (v_{2}),\ldots ,\Phi (v_{s})),}$$

これはV上の多重線型形式です。したがって、Φ ^∗はW上の多重線型形式からV上の多重線型形式への（線型）作用素です。特別な場合として、FがW上の線型形式（または（0,1）-テンソル）であり、FがWの双対空間であるW ^∗の元である場合、Φ ^∗ FはV ^∗の元であり、したがってΦによる引き戻しは、線型写像Φ自体とは反対方向に作用する双対空間間の線型写像を定義します

$${\displaystyle \Phi \colon V\rightarrow W,\qquad \Phi ^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}.}$$

テンソルの観点から見ると、プルバックの概念を任意階数のテンソル、つまりWのr個のコピーのテンソル積、つまりW⊗W⊗⋅⋅⋅⊗Wの値を取るW上の多重線型写像に拡張しようとするのは自然なことです。しかし、そのようなテンソル積の元は自然にプルバックしません。代わりに、V⊗V⊗⋅⋅⋅⊗VからW⊗W⊗⋅⋅⋅⊗Wへのプッシュフォワード操作があり、これは次のように与えられます

$${\displaystyle \Phi _{*}(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\Phi (v_{1})\otimes \Phi (v_{2})\otimes \cdots \otimes \Phi (v_{r}).}$$

^{しかしながら、このことから、 Φ が可逆であれば、逆関数 Φ −1}によるプッシュフォワードを用いてプルバックを定義できることがわかります。これら2つの構成を組み合わせることで、任意の階数( r , s )のテンソルに対して、可逆な線形写像に沿ったプッシュフォワード操作が得られます。

余接ベクトルと1-形式の引き戻し

を滑らかな多様体間の滑らかな写像とする。すると、の微分、、、またはと書かれるものは、の接バンドルから引き戻しバンドルへの（ 上の）ベクトルバンドル射である。したがって、の転置は、から（ の余接バ​​ンドル）へのバンドル写像である。 ${\displaystyle \phi :M\to N}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi _{*}}$ ${\displaystyle d\phi }$ ${\displaystyle D\phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi ^{*}TN}$ ${\displaystyle \phi _{*}}$ ${\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle M}$

ここで、 が（上の1-形式）の切断であり、と前置しての引き戻し切断を得ると仮定する。上記のバンドル写像をこの切断に（点ごとに）適用すると、 によるの引き戻しが得られ、これはおよびにおいてに対してによって定義される上の1-形式である。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T^{*}N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{*}\alpha }$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle (\phi ^{*}\alpha )_{x}(X)=\alpha _{\phi (x)}(d\phi _{x}(X))}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{x}M}$

（共変）テンソル場の引き戻し

前のセクションの構成は、任意の自然数に対する階数のテンソル束に直ちに一般化されます。多様体上のテンソル体とは、におけるファイバーが多重線型-形式の空間であるテンソル束の切断です。からへの滑らかな写像の（点ごとの）微分に等しいとすることで、多重線型形式の引き戻しをセクションの引き戻しと組み合わせて、上の引き戻しテンソル体を得ることができます。より正確には、 が上の -テンソル体である場合、によるの引き戻しは、およびにおいてに対してによって定義される上の-テンソル体です。 ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle F:T_{y}N\times \cdots \times T_{y}N\to \mathbb {R} .}$$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle \phi ^{*}S}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle (\phi ^{*}S)_{x}(X_{1},\ldots ,X_{s})=S_{\phi (x)}(d\phi _{x}(X_{1}),\ldots ,d\phi _{x}(X_{s}))}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$

微分形式の引き戻し

共変テンソル体の引き戻しの特に重要なケースは、微分形式の引き戻しですが微分-形式、つまり 上の（ファイバーごとの）交代-形式の外束の切断である場合、 の引き戻しは、における微分 -形式であり、前のセクションと同じ式で定義されます。およびにおいてに対して ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}(T^{*}N)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle TN}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle (\phi ^{*}\alpha )_{x}(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha _{\phi (x)}(d\phi _{x}(X_{1}),\ldots ,d\phi _{x}(X_{k}))}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$

微分形式の引き戻しには非常に便利な 2 つの特性があります。

1. 上の微分形式とに対して、という意味で、ウェッジ積と両立します。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \phi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=\phi ^{*}\alpha \wedge \phi ^{*}\beta .}$$
2. 外微分 と両立します。が上の微分形式である場合、 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \phi ^{*}(d\alpha )=d(\phi ^{*}\alpha ).}$$

微分同相写像による引き戻し

多様体間の写像が微分同相写像、つまり滑らかな逆写像を持つ場合、引き戻しはベクトル場と1-形式に対して定義でき、拡張により、多様体上の任意の混合テンソル場に対しても定義できます。線型写像は ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \Phi =d\phi _{x}\in \operatorname {GL} \left(T_{x}M,T_{\phi (x)}N\right)}$$

を逆にして次のように表すことができます $${\displaystyle \Phi ^{-1}=\left({d\phi _{x}}\right)^{-1}\in \operatorname {GL} \left(T_{\phi (x)}N,T_{x}M\right).}$$

一般的な混合テンソル体は、テンソルバンドルのテンソル積分解に従って、およびを使用して、およびのコピーに変換されます。のとき、プルバックとプッシュフォワードは、多様体上のテンソルの変換特性を記述します。従来の用語では、プルバックはテンソルの共変インデックスの変換特性を記述します。対照的に、反変インデックスの変換はプッシュフォワードによって与えられます。 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ ${\displaystyle TN}$ ${\displaystyle T^{*}N}$ ${\displaystyle M=N}$ ${\displaystyle M}$

自己同型によるプルバック

前のセクションの構成は、が多様体からそれ自身への微分同相写像である場合、表現論的な解釈を持つ。この場合、微分は の切断である。これは、一般線型群（ただし）の表現によってのフレームバンドルに付随する任意のバンドルの切断に引き戻し作用を誘導する。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d\phi }$ ${\displaystyle \operatorname {GM} (TM,\phi ^{*}TM)}$ ${\displaystyle \operatorname {GM} (m)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {GM} (m)}$ ${\displaystyle m=\dim M}$

引き戻しとリー微分

リー微分を参照。前述の考え方を 上のベクトル場によって定義される微分同相写像の局所1パラメータ群に適用し、パラメータについて微分することにより、任意の付随バンドル上のリー微分の概念が得られる。 ${\displaystyle M}$

接続の引き戻し（共変微分）

が上のベクトルバンドル上の接続（または共変微分）であり、がから への滑らかな写像である場合、上の引き戻し接続が存在し、これは次の条件によって一意に決定される。 ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi ^{*}\nabla }$ ${\displaystyle \phi ^{*}E}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \left(\phi ^{*}\nabla \right)_{X}\left(\phi ^{*}s\right)=\phi ^{*}\left(\nabla _{d\phi (X)}s\right).}$$

参照

• プッシュフォワード（微分）
• 引き戻し束
• 引き戻し（圏論）

参考文献

• ヨスト、ユルゲン(2002).リーマン幾何学と幾何学解析. ベルリン: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 3-540-42627-2. 1.5節と1.6節を参照
• アブラハム、ラルフ；マースデン、ジェロルド・E. (1978 ) . 『力学の基礎』．ロンドン：ベンジャミン・カミングス．ISBN 0-8053-0102-X. 1.7節と2.3節を参照。

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