四次相互作用

Quantum field theory with four-point interactions

量子場の理論において、4次相互作用またはφ4理論は^、 スカラー場における自己相互作用の一種です。その他の4次相互作用については、4元フェルミオン相互作用の項で説明します。古典的な自由スカラー場は、クライン・ゴルドン方程式を満たします。スカラー場を と表記する場合、4次相互作用は、ラグランジアン密度に相互作用エネルギー項を加えることによって表されます。4次元時空では、結合定数は無次元です。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle ({\lambda }/{4!})\varphi ^{4}}$ ${\displaystyle \lambda }$

この記事では、ミンコフスキー空間の計量シグネチャを使用します。 ${\displaystyle (+---)}$

質量を持つ実スカラー場のラグランジアン

4次の相互作用を持つ質量を持つ実スカラー場 のラグランジアン密度は

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -m^{2}\varphi ^{2}]-{\frac {\lambda }{4!}}\varphi ^{4}.}$

括弧内の最初の項は粒子の 4 元運動量に関連するエネルギーであり、2 番目の項は粒子の静止質量エネルギーを表します。

このラグランジアンには、グローバルZ ₂対称マッピングがあります。 ${\displaystyle \varphi \to -\varphi }$

複素スカラー場のラグランジアン

複素スカラー場のラグランジアンは次のように説明できる。2つのスカラー場とに対して、ラグランジアンは次の形をとる 。 ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{1}\partial ^{\mu }\varphi _{1}-m^{2}\varphi _{1}^{2}]+{\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{2}\partial ^{\mu }\varphi _{2}-m^{2}\varphi _{2}^{2}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2})^{2},}$

これは次のように定義される複素スカラー場を導入することでより簡潔に書くことができる。 ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi \equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}+i\varphi _{2}),}$

${\displaystyle \phi ^{*}\equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}-i\varphi _{2}).}$

この複素スカラー場を用いて表現すると、上記のラグランジアンは次のようになる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )=\partial ^{\mu }\phi ^{*}\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi -\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2},}$

これは実スカラー場のSO(2)模型と等価であり、複素場を実部と虚部で展開すればわかる。 ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}}$ ${\displaystyle \phi }$

実スカラー場を用いると、ラグランジアンで与えられるSO(N)対称性を持つモデルが得られる。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi ^{4}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},...,\varphi _{N})={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi _{a}\partial _{\mu }\varphi _{a}-m^{2}\varphi _{a}\varphi _{a}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{a}\varphi _{a})^{2},\quad a=1,...,N.}$

複素場を実部と虚部で展開すると、それが実スカラー場のSO(2)モデルと等価であることが示される。

上記のすべてのモデルにおいて、結合定数は 正でなければなりません。そうでなければ、ポテンシャルは下側で無限大となり、安定した真空は存在しなくなります。また、後述するファインマン経路積分は定義が曖昧になります。4次元では、理論はランダウ極を持ちます。これは、高エネルギースケールでのカットオフがなければ、繰り込みによって理論が自明になることを意味します。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \phi ^{4}}$

このモデルはグリフィス・サイモン類^[1]に属し、これは特定のグラフ上のイジングモデルの弱極限としても表すことができることを意味する。このモデルとイジングモデルの自明性は、ランダムカレント展開^[2]と呼ばれるグラフ表現によって示される。 ${\displaystyle \phi ^{4}}$ ${\displaystyle \phi ^{4}}$ ${\displaystyle d\geq 4}$

ファインマン積分量子化

ファインマン図の展開は、ファインマン経路積分定式化からも得られる。^[3] φの多項式の時間順序付き真空期待値はn粒子グリーン関数として知られ、外部 場のない真空期待値で正規化されたすべての可能な場にわたって積分することによって構成される。

${\displaystyle \langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.}$

これらのグリーン関数はすべて、生成関数J ( x )φ( x )の指数関数を展開することによって得られる。

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle .}$

ウィック回転を適用することで虚数時間を作ることができる。符号を(++++)とすると、4次元ユークリッド空間上のφ ⁴ 統計力学積分が得られる。

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left({1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}.}$

通常、これは固定運動量を持つ粒子の散乱に適用され、その場合にはフーリエ変換が役立ち、代わりに

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int d^{4}p\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+{\lambda \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}\right)}.}$

ここで、はディラックのデルタ関数です。 ${\displaystyle \delta (x)}$

この関数積分を評価する標準的な方法は、図式的に指数因子の積として表すことである。

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-\lambda /4!\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right].}$

2番目の2つの指数因子は冪級数として展開でき、この展開の組み合わせ論はグラフで表すことができます。λ = 0の積分は、無限個の基本ガウス積分の積として扱うことができ、その結果は、以下のファインマン規則を用いて計算されるファインマン図の和として表すことができます。

• n点ユークリッド グリーン関数の各フィールドは、グラフ内の外部線 (半辺) によって表され、運動量pに関連付けられます。 ${\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)}$
• 各頂点は係数-λによって表されます。
• 与えられた次数 λ ^kにおいて、n本の外部直線とk個の頂点を持つすべての図は、各頂点に流入する運動量がゼロとなるように構築されます。各内部直線は係数 1/( q ² + m ² )で表されます。ここで、 qはその直線を流れる運動量です。
• 制約のない運動量は、すべての値にわたって積分されます。
• 結果は対称係数で除算されます。対称係数とは、接続性を変えずにグラフの線と頂点を再配置できる方法の数です。
• 「真空泡」、つまり外部線のない接続されたサブグラフを含むグラフを含めないでください。

最後の規則は で割ることによる効果を考慮に入れています。ミンコフスキー空間のファインマン規則は と似ていますが、各頂点が で表され、各内部直線がi /( q ² - m ² + i ε )の係数で表される点が異なります。ここで、ε項はミンコフスキー空間のガウス積分を収束させるために必要な小さなウィック回転を表します。 ${\displaystyle {\tilde {Z}}[0]}$ ${\displaystyle -i\lambda }$ 

繰り込み

ファインマングラフにおける「ループ積分」と呼ばれる、制約のない運動量に関する積分は、典型的には発散する。これは通常、ラグランジアンに発散する逆項を追加することで、元のラグランジアンと逆項から構成される図が有限になるようにする手続きである繰り込みによって処理される。^{[4]この過程で繰り込みスケールを導入する必要があり、結合定数と質量はそれに依存する。この依存性こそが、前述の}ランダウ極につながり、カットオフを有限に保つことを必要とする。

自発的対称性の破れ

m ²が負に転じるが、λ が依然として正の場合、興味深い特徴が現れる。この場合、真空は2つの最低エネルギー状態から構成され、それぞれの状態が元の理論のZ 2 大域対称性を自発的に破る。これ_により、ドメイン壁のような興味深い集団状態が出現する。O (2) 理論では、真空は円周上に存在し、そのうちの1つを選択するとO (2) 対称性が自発的に破れる。連続的に対称性が破れると、ゴールドストーン粒子が生じる。この種の自発的な対称性の破れは、ヒッグス機構の本質的な構成要素である。^[5]

離散対称性の自発的破れ

自発的な対称性の破れが見られる最も単純な相対論的システムは、ラグランジアンを持つ 単一のスカラー場を持つシステムである。 ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}-{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}\equiv {\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}-V(\varphi ),}$

どこでそして ${\displaystyle \mu ^{2}>0}$

${\displaystyle V(\varphi )\equiv -{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}.}$

潜在的可能性を最小限に抑えることで、 ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle V'(\varphi _{0})=0\Longleftrightarrow \varphi _{0}^{2}\equiv v^{2}={\frac {2\mu ^{2}}{\lambda }}.}$

私たちはこの最低限の文章を中心に分野を拡大します

${\displaystyle \varphi (x)=v+\sigma (x),}$

ラグランジアンに代入すると

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )=\underbrace {-{\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}} _{\text{unimportant constant}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}[(\partial \sigma )^{2}-({\sqrt {2}}\mu )^{2}\sigma ^{2}]} _{\text{massive scalar field}}+\underbrace {(-\lambda v\sigma ^{3}-{\frac {\lambda }{4}}\sigma ^{4})} _{\text{self-interactions}}.}$

ここで、スカラーには正の質量項があることに気がつきます。 ${\displaystyle \sigma }$

真空の期待値の観点から考えると、対称性が自発的に破れたときに何が起こるかを理解できます。元のラグランジアンは対称性の下で不変でした。 ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle \varphi \rightarrow -\varphi }$

${\displaystyle \langle \Omega |\varphi |\Omega \rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}}$

が両方とも最小値である場合、2つの異なる真空が存在する必要がある。 ${\displaystyle |\Omega _{\pm }\rangle }$

${\displaystyle \langle \Omega _{\pm }|\varphi |\Omega _{\pm }\rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}.}$

対称性は をとるので、 も をとらなければならない。理論の2つの真空は等価であるが、いずれか1つを選択しなければならない。新しいラグランジアンでは対称性が消えたように見えるが、実際にはまだ存在し、 のように振舞う。これは自発的に破れた対称性の一般的な特徴である。真空は対称性を破るが、ラグランジアンでは実際には破れておらず、単に隠されているだけで、多くの場合非線形的な方法でのみ実現される。^[6] ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle \varphi \rightarrow -\varphi }$ ${\displaystyle |\Omega _{+}\rangle \leftrightarrow |\Omega _{-}\rangle }$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle \sigma \rightarrow -\sigma -2v.}$

正確な解決策

理論の運動方程式に対する正確な古典解の集合は、次のように記述される。

${\displaystyle \partial ^{2}\varphi +\mu _{0}^{2}\varphi +\lambda \varphi ^{3}=0}$

は、質量がゼロの場合、次のように書ける^[7] ${\displaystyle \mu _{0}=0}$

${\displaystyle \varphi (x)=\pm \mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{1 \over 4}{\rm {sn}}(p\cdot x+\theta ,i),}$

ここで 、はヤコビの楕円正弦関数であり、 は2つの積分定数であり、次の分散関係が成り立つ。 ${\displaystyle \,{\rm {sn\!}}}$ ${\displaystyle \,\mu ,\theta }$

${\displaystyle p^{2}=\mu ^{2}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{1 \over 2}.}$

興味深い点は、質量ゼロの方程式から出発したにもかかわらず、厳密解は質量のある解に固有の分散関係を持つ波を記述している点です。質量項がゼロでない場合、

${\displaystyle \varphi (x)=\pm {\sqrt {\frac {2\mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,{\sqrt {\frac {-\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}{-\mu _{0}^{2}-{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}\right)}$

分散関係は

${\displaystyle p^{2}=\mu _{0}^{2}+{\frac {\lambda \mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}.}$

最後に、対称性が破れた場合には、

${\displaystyle \varphi (x)=\pm v\cdot {\rm {dn}}(p\cdot x+\theta ,i),}$

であり、次の分散関係が成り立つ ${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2\mu _{0}^{2}}{3\lambda }}}}$

${\displaystyle p^{2}={\frac {\lambda v^{2}}{2}}.}$

これらの波動解は興味深いものです。質量の符号が間違った方程式から出発したにもかかわらず、分散関係は正しいからです。さらに、ヤコビ関数には実数零点がないため、場は決して零ではなく、最初に選択された定数値の周りを動き、対称性の自発的な破れを記述します。 ${\displaystyle \,{\rm {dn}}\!}$

解がの形で求められることに着目すれば、一意性の証明が得られる。すると、偏微分方程式は、適切な分散関係を満たすヤコビ楕円関数を定義する常微分方程式となる。^[8] ${\displaystyle \varphi =\varphi (\xi )}$ ${\displaystyle \xi =p\cdot x}$ ${\displaystyle p}$

参照

• スカラー場理論
• ランダウ極
• 繰り込み
• ヒッグス機構
• ゴールドストーンボソン
• コールマン・ワインベルグポテンシャル

参考文献

1. Simon, Barry; Griffiths, Robert B. (1973-06-01). 「古典イジング模型としての(φ4)2場の理論」. Communications in Mathematical Physics . 33 (2): 145– 164. Bibcode :1973CMaPh..33..145S. CiteSeerX  10.1.1.210.9639 . doi :10.1007/BF01645626. ISSN  1432-0916. S2CID  123201243.
2. Aizenman, Michael; Duminil-Copin, Hugo (2021-07-01). 「臨界4次元イジング模型と$\phi_4^4$模型のスケーリング限界の限界自明性」Annals of Mathematics . 194 (1). arXiv : 1912.07973 . doi :10.4007/annals.2021.194.1.3. ISSN  0003-486X. S2CID  209386716.
3. このセクションの一般的な参考文献は、ピエール・ラモンド（2001年12月21日）『場の理論：現代の入門書（第2版）』（アメリカ：ウェストビュー・プレス、ISBN 03-3233-1111）です。 0-201-30450-3。。
4. 前述の参考文献を参照、または詳細については、 Itzykson, Zuber; Zuber, Jean-Bernard (2006-02-24). Quantum Field Theory . Dover. を参照。。
5. 自発的対称性の破れの基本的な説明は、前の 2 つの参考文献、または他のほとんどの量子場理論の本に記載されています。
6. シュワルツ『量子場の理論と標準モデル』第28.1章
7. Marco Frasca (2011). 「古典スカラー場方程式の厳密解」. Journal of Nonlinear Mathematical Physics . 18 (2): 291– 297. arXiv : 0907.4053 . Bibcode :2011JNMP...18..291F. doi :10.1142/S1402925111001441. S2CID  17314344.
8. Bazghandi, M. (2019). 「リー対称性とファイ4方程式の相似解」. Indian Journal of Mathematics . 61 (2): 187– 197.

さらに読む

• 't Hooft, G.、「量子場理論の概念的基礎」(オンライン版)。

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