ソレノイドベクトル場

Vector field with zero divergence

ソレノイドベクトル場の例 ${\displaystyle \mathbf {v} (x,y)=(y,-x)}$

ベクトル計算において、ソレノイド ベクトル場(非圧縮ベクトル場、発散のないベクトル場、または横方向ベクトル場とも呼ばれる) は、場のすべての点で発散がゼロであるベクトル場vです。この特性を表現する一般的な方法は、場にソースやシンクがないと言うことです。 $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0.}$$

性質

発散定理は、ソレノイド場の等価な積分定義を与えます。つまり、任意の閉曲面に対して、その面を通る正味の全磁束はゼロでなければならないということです

${\displaystyle \;\;\mathbf {v} \cdot \,d\mathbf {S} =0,}$

ここで、各サーフェス要素の外向きの法線です。 ${\displaystyle d\mathbf {S} }$

ベクトル解析の基本定理は、任意のベクトル場は非回転場とソレノイド場の和として表せると述べています。ベクトル場v がベクトルポテンシャル成分のみを持つ場合、発散ゼロの条件は満たされます。これは、ベクトルポテンシャルAを次のように定義すると、自動的に恒等式が成立するからです（例えば、直交座標を用いて示せます）。逆もまた成り立ちます。任意のソレノイドvに対して、ベクトルポテンシャルAが存在し、次の式が成り立ちます（厳密に言えば、これはvに関する特定の技術的条件の下で成り立ちます。ヘルムホルツ分解を参照してください）。 $${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} }$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0.}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .}$

語源

ソレノイドは、ソレノイドを意味するギリシャ語の σωληνοειδές (sōlēnoeidēs) に由来し、これはパイプ型を意味し、σωλην (sōlēn) またはパイプに由来します。

例

• 磁場B（磁気 についてはガウスの法則を参照）
• 非圧縮流体の速度場
• 渦度場​​
• 中性領域における電界E （ ） ${\displaystyle \rho _{e}=0}$
• 電荷密度が変化しない電流密度 J。 ${\textstyle {\frac {\partial \rho _{e}}{\partial t}}=0}$
• クーロンゲージにおける磁気ベクトルポテンシャル A

参照

• 縦ベクトル場と横ベクトル場
• 流れ関数
• 保存ベクトル場

注記

参考文献

• Aris, Rutherford (1989), ベクトル、テンソル、流体力学の基本方程式、Dover, ISBN 0-486-66110-5

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