安定性理論

数学において、安定性理論は、初期条件の小さな摂動下における微分方程式の解や力学系の軌跡の安定性を論じる。例えば、熱方程式は安定な偏微分方程式である。なぜなら、初期データの小さな摂動は、最大原理の結果として、後の時点で温度の小さな変化をもたらすからである。偏微分方程式では、 L ^pノルムまたはsupノルムを用いて関数間の距離を測定することができる。一方、微分幾何学では、グロモフ・ハウスドルフ距離を用いて空間間の距離を測定することができる。

力学系において、任意の点の順方向軌道が十分に狭い近傍内にあるか、または狭い（しかし、おそらくはより広い）近傍に留まる場合、軌道はリアプノフ安定と呼ばれます。軌道の安定性または不安定性を証明するために、様々な基準が開発されてきました。好ましい状況下では、この問題は行列の固有値に関するよく研究された問題に帰着する可能性があります。より一般的な方法は、リアプノフ関数を用いるものです。実際には、様々な安定性基準のいずれかが適用されます。

動的システムの概要

微分方程式や力学系の定性的理論の多くの部分は、解や軌道の漸近的性質、つまり長い期間が経過した後に系に何が起こるかを扱っています。最も単純な種類の動作は、平衡点または不動点、および周期軌道によって示されます。特定の軌道が十分に理解されていれば、初期条件の小さな変化が同様の動作につながるかどうかを次に問うのは自然なことです。安定性理論は、次のような疑問を扱います。近くの軌道は、与えられた軌道の近くに無期限に留まるでしょうか？その軌道は、与えられた軌道に収束するでしょうか？前者の場合、軌道は安定していると呼ばれ、後者の場合、漸近的に安定していると呼ばれ、与えられた軌道はを引き付けていると言われます。

一次常微分方程式の自律システムの平衡解は次のように呼ばれます。 $f_{e}$

安定とは、任意の (小さい) に対して、平衡点から距離、すなわち以内に初期条件を持つすべての解が、すべてのに対して距離、すなわち以内に留まるようなが存在する場合です。 $\epsilon >0$ $\delta >0$ $f(t)$ $\delta$ $\|f(t_{0})-f_{e}\|<\delta$ $\epsilon$ $\|f(t)-f_{e}\|<\epsilon$ $t\geq t_{0}$
漸近的に安定とは、が安定しており、さらにのときとなるようなが存在する場合です。 $\delta _{0}>0$ $\|f(t_{0})-f_{e}\|<\delta _{0}$ $f(t)\rightarrow f_{e}$ $t\rightarrow \infty$

安定性とは、軌道が小さな摂動を受けてもあまり変化しないことを意味します。逆の状況、つまり近傍の軌道が与えられた軌道から反発される状況も重要です。一般的に、初期状態をある方向に摂動させると、軌道は与えられた軌道に漸近的に近づき、他の方向に摂動させると、軌道は与えられた軌道から離れます。また、摂動を受けた軌道の挙動がより複雑になる（収束も完全に離脱もしない）方向もあり、その場合、安定性理論ではそのダイナミクスに関する十分な情報が得られません。

安定性理論の重要なアイデアの 1 つは、摂動を受けた軌道の定性的な動作は、軌道近傍のシステムの線形化を使用して分析できるというものです。特に、 n次元の位相空間を持つ滑らかな力学系の各平衡には、固有値が近傍の点の動作を特徴付けるn × n行列 Aが存在します(ハートマン–グロブマンの定理)。より正確には、すべての固有値が負の実数または負の実部を持つ複素数の場合、その点は安定な吸引固定点であり、近傍の点は指数関数的にそれに収束します (リャプノフ安定性および指数安定性を参照)。どの固有値も純虚数 (またはゼロ) でない場合、吸引方向と反発方向は、それぞれ実部が負と正の固有値を持つ行列Aの固有空間に関係します。より複雑な軌道の摂動についても、同様のことが言えます。

2次元における固定点の安定性

典型的なケースは、 2×2行列である線形自律微分方程式の下での原点の安定性です。 ${\dot {X}}=AX$ $X={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ $A$

可逆行列に対してによる基底変換を行うことがあり、その結果が得られます。は「新しい基底において」と呼ばれます。となので、基底変換を自由に利用しながら、とを用いて原点の安定性を分類することができます。 $X'=CX$ $C$ ${\dot {X}}'=C^{-1}ACX'$ $C^{-1}AC$ $A$ $\det A=\det C^{-1}AC$ $\operatorname {tr} A=\operatorname {tr} C^{-1}AC$ $\det A$ $\operatorname {tr} A$

安定性の種類の分類

の場合、のランクは0 または 1 です。 $\det A=0$ $A$

ランクが 0 の場合、フローは発生しません。 $A=0$
階数が 1 の場合、とは両方とも 1 次元です。 $\ker A$ $\operatorname {im} A$
- ならば、をに張り、をの逆像とすると、基底においてとなり、したがって流れは方向に沿ったせん断となる。この場合、となる。 $\ker A=\operatorname {im} A$ $v$ $\ker A$ $w$ $v$ $\{v,w\}$ $A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$ $v$ $\operatorname {tr} A=0$
- の場合、をに、をにすると、の基底で、非ゼロの実数に対してとなります。 $\ker A\neq \operatorname {im} A$ $v$ $\ker A$ $w$ $\operatorname {im} A$ $\{v,w\}$ $A={\begin{bmatrix}0&0\\0&a\end{bmatrix}}$ $a$
  - の場合、は不安定であり、の平行移動に沿ってからの速度で発散します。 $\operatorname {tr} A>0$ $a$ $\ker A$ $\operatorname {im} A$
  - の場合、は安定しており、の平行移動に沿ってからの速度で収束します。 $\operatorname {tr} A<0$ $a$ $\ker A$ $\operatorname {im} A$

の場合、まず行列のジョルダン正規形を求めて、の基底を取得します。この基底は、次の 3 つの形式のいずれかになります。 $\det A\neq 0$ $\{v,w\}$ $A$

${\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}}$ どこ。 $a,b\neq 0$
- ならば、。原点はの積分曲線の形を持つソースである。 $a,b>0$ ${\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=-(a-b)^{2}\leq 0\\\det A=ab>0\end{cases}}$ $y=cx^{b/a}$
- についても同様です。原点はシンクです。 $a,b<0$
- またはの場合、となり、原点はの形の積分曲線を持つ鞍点になります。 $a>0>b$ $a<0<b$ $\det A<0$ $y=cx^{-|b/a|}$
${\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}$ ここでです。これはによる基底変換によってさらに簡略化でき、その後となります。をで明示的に解くことができます。の解はで得られます。この場合を「退化ノード」と呼びます。この基底における積分曲線はの中心拡大とx軸です。 $a\neq 0$ $C={\begin{bmatrix}1/a&0\\0&1\end{bmatrix}}$ $A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$ ${\dot {X}}=AX$ $A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$ $X(t)=e^{At}X(0)$ $e^{At}=e^{at}{\begin{bmatrix}1&at\\0&1\end{bmatrix}}$ $x=y\ln y$
- の場合、起点は退化したソースです。それ以外の場合、起点は退化したシンクです。 $\operatorname {tr} A>0$
- どちらの場合も、 $4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0$
$a{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}$ ここで。この場合、。 $a>0,\theta \in (-\pi ,\pi ]$ $4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=(2a\sin \theta )^{2}\geq 0$
- ならば、これは螺旋シンクです。この場合、です。積分線は対数螺旋です。 $\theta \in (-\pi ,-\pi /2)\cup (\pi /2,\pi ]$ ${\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}>0\\\operatorname {tr} A<0\end{cases}}$
- ならば、これは螺旋源です。この場合、です。積分線は対数螺旋です。 $\theta \in (-\pi /2,\pi /2)$ ${\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}>0\\\operatorname {tr} A>0\end{cases}}$
- の場合、これはの速度で回転（「中立安定」）し、原点に近づいたり離れたりはしません。この場合、です。積分線は円です。 $\theta =-\pi /2,\pi /2$ $a$ $\operatorname {tr} A=0$

右側の安定性図に概要が示されています。の場合を除いて、各ケースにおいて、値によってフローの種類を一意に分類できます。 $4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0$ $(\operatorname {tr} A,\det A)$

の特殊なケースでは、では区別できない 2 つのケースがあります。どちらの場合も、は代数的重複度が 2である 1 つの固有値のみを持ちます。 $4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0$ $(\operatorname {tr} A,\det A)$ $A$

固有値が2次元固有空間（幾何学的重複度2）を持つ場合、システムは中心ノード（「スター」または「ディクリティカルノード」と呼ばれることもある）であり、ソース（のとき）またはシンク（のとき）のいずれかになります。^[2] $\operatorname {tr} A>0$ $\operatorname {tr} A<0$
1 次元の固有空間 (幾何学的重複度1) を持つ場合、システムは縮退ノード( の場合) またはせん断流( の場合) になります。 $\det A>0$ $\det A=0$

面積保存フロー

のとき、となるので、流れは面積保存型である。この場合、流れの種類はによって分類される。 $\operatorname {tr} A=0$ $\det e^{At}=e^{\operatorname {tr} (A)t}=1$ $\det A$

の場合、それは原点の周りの回転（「中立安定性」）です。 $\det A>0$
ならば、それはせん断流です。 $\det A=0$
の場合、原点は鞍点になります。 $\det A<0$

固定点の安定性

最も単純な軌道は、不動点、つまり平衡点である。機械系が安定した平衡状態にある場合、小さな押圧力は局所的な運動、例えば振り子のような小さな振動を引き起こす。減衰のある系では、安定した平衡状態はさらに漸近安定となる。一方、不安定な平衡状態、例えば丘の頂上にあるボールの場合、小さな押圧力は大きな振幅の運動を引き起こし、元の状態に収束するかどうかは定かではない。

線形システムの場合、安定性を判定する有用な検定法があります。非線形システムの安定性は、多くの場合、その線形化の安定性から推測できます。

地図

$f : R \to R を$ 、固定点 $a$ を持つ連続微分可能関数、 $f$ $($ $a$ $) =$ $a$ とする。関数 $f$ を反復して得られる力学系を考える。

$x_{n+1}=f(x_{n}),\quad n=0,1,2,\ldots .$

固定点 $aは、$ $a$ における $f$ の導関数の絶対値が 1 より小さい場合は安定し、 1 より大きい場合は不安定です。これは、点 $a$ の近くでは関数 $f$ が傾き $f'$ $($ $a$ $)を持つ$ 線形近似を持つためです。

$f(x)\approx f(a)+f'(a)\left(x-a\right).$

したがって

${\begin{aligned}x_{n+1}=f(x_{n})&\approx f(a)+f'(a)\left(x_{n}-a\right)\\&=a+f'(a)\left(x_{n}-a\right)\end{aligned}}$ $\Rightarrow f'(a)\approx {\frac {x_{n+1}-a}{x_{n}-a}}$

$つまり、この導関数は、連続する反復が固定点a$ に近づく速度、あるいはそこから発散する速度を測定するものです。aにおける導関数が正確に1または-1である場合 $、$ 安定性を判断するためにはより多くの情報が必要になります。

不動点 $a$ を持つ連続的に微分可能な写像 $f : R n \to R n$ $にも、同様の基準があり、これはa$ におけるヤコビ行列、 $J$ $a$ $($ $f$ $)$ で表される。 $J$ のすべての固有値が、絶対値が厳密に 1 より小さい実数または複素数である場合、 $a$ は安定な不動点である。それらの少なくとも 1 つが絶対値が厳密に 1 より大きい場合、 $aは不安定である。$ $n$ =1の場合と同様に、最大の絶対値が 1 である場合については、さらに調査する必要がある。ヤコビ行列のテストでは決定的な結果が得られないからである。同じ基準は、より一般的には滑らかな多様体の微分同相写像にも当てはまる。

線形自律システム

一次定数係数線形微分方程式系の固定点の安定性は、対応する行列の固有値を使用して分析できます。

自律システム

$x'=Ax,$

ここで $x (t) \in R n$ であり、 $Aは実数要素を持つ$ $n \times n$ 行列であり、定数解を持つ。

$x(t)=0.$

（別の言葉で言えば、原点 $0 \in R n は$ 対応する力学系の平衡点です。）この解は、 $A$ のすべての固有値 $λに対して$ $Re$ $( λ$ $) < 0$ となる場合のみ、 $t \to \infty （「未来」）で漸近安定です。同様に、$ $A$ のすべての固有値 $λに対して Re($ $λ$ ) > 0 となる場合のみ、 $t$ $\to -\infty （$ $「$ 過去」）で漸近安定です。 $Re$ $($ $λ$ $) >$ $0$ となる $A$ の固有値 $λ$ が存在する場合、解は $t$ $\to \infty$ で不安定になります。

線形システムの安定性は、微分方程式を解いて固有値を求めることによって、あるいは方程式を解かずにラウス＝ハーウィッツの安定性判定基準を用いることによって判定できる。行列の固有値は、その特性多項式の根である。実係数を持つ1変数多項式は、すべての根の実部が厳密に負であるとき、ハーウィッツ多項式と呼ばれる。ラウス＝ハーウィッツの定理は、根の計算を回避するアルゴリズムを用いてハーウィッツ多項式を特徴付けることを意味する。

非線形自律システム

非線形システムの固定点の漸近安定性は、多くの場合、ハートマン-グロブマン定理を使用して確立できます。

$vが$ $R$ $n$ の $C 1$ ベクトル場であり、点 $p$ で $v$ $($ $p$ $) = 0 として$ 消滅するとする。この場合、対応する自律システムは

$x'=v(x)$

一定の解を持つ

$x(t)=p.$

$J p (v)$ を点 $p$ におけるベクトル場 $vの$ $n \times n$ ヤコビ行列とする。Jのすべての固有値が厳密に負の実部を持つ場合、解は漸近安定である。この条件は $、$ ラウス・フルヴィッツの判定基準を用いて検証できる。

一般力学系に対するリアプノフ関数

動的システムのリャプノフ安定性または漸近安定性を確立する一般的な方法は、リャプノフ関数を使用することです。

参照

カオス理論 – 非線形システムと初期条件に基づく数学と科学の分野
船舶の安定性 - 直立状態からの外乱に対する船舶の反応
リャプノフ安定性 – 平衡点近くの解が一定のままである力学系の性質
超安定性
線形安定性 – 線形方程式の状態
軌道安定性 – 初期データに近い偏微分方程式の解
安定性基準
安定半径 – 数学における概念
構造安定性 – 数学における概念
フォン・ノイマン安定性解析 – 数値解析手順

参考文献

^ エグワルド数学 - 線形代数：線形微分方程式系：線形安定性解析 2019年10月10日にアクセス。
^ 「ノード - 数学百科事典」. encyclopediaofmath.org . 2023年3月30日閲覧。

フィリップ・ホームズ、エリック・T・シアブラウン（編）「安定性」Scholarpedia。

外部リンク

Stable Equilibria、Michael Schreiber 著、The Wolfram Demonstrations Project。

[:0-1] エグワルド数学 - 線形代数：線形微分方程式系：線形安定性解析 2019年10月10日にアクセス。

[2] 「ノード - 数学百科事典」. encyclopediaofmath.org . 2023年3月30日閲覧。