高度（三角形）

Perpendicular line segment from a triangle's side to opposite vertex

A からの高さ (破線部分) は、D (三角形の外側の点) で延長された底辺と交差します。

幾何学において、三角形の高度 とは、与えられた頂点（頂点と呼ばれる）を通り、頂点の反対側の辺またはエッジを含む直線に垂直な線分のことです。この（有限の）エッジと（無限の）延長線は、それぞれ高度の底辺と延長された底辺と呼ばれます。延長された底辺と高度の交点は、高度の足と呼ばれます。高度の長さ（単に「高度」または「高さ」と呼ばれることが多い、記号h）は、足と頂点の間の距離です。頂点から足まで高度を描く処理は、その頂点で高度を落とすこととして知られています。これは正射影の特殊なケースです。

三角形の面積を計算する際に、高さを利用できます。高さの長さと底辺の長さ（記号b ）の積の半分は三角形の面積に等しくなります。A = h b /2 です。したがって、最も長い高さは三角形の最も短い辺に垂直です。高さは、三角関数を通じて三角形の辺とも関連しています。

二等辺三角形（二つの辺が合同な三角形）において、合同でない辺を底辺とする高さは、その辺の中点を足とします。また、合同でない辺を底辺とする高さは、頂角の二等分線となります。

直角三角形において、斜辺 cに引かれた高さは、斜辺を長さpとqの2つの線分に分割します。高さの長さをh _cとすると、次の関係が成り立ちます。

${\displaystyle h_{c}={\sqrt {pq}}}$  （幾何平均定理、特殊なケースについては逆ピタゴラス定理を参照）

直角三角形では、各鋭角からの高さは脚と一致し、直角の頂点で反対側の辺と交差します（その脚は直角の頂点にあり、垂心となります）。

鋭角三角形では、すべての高低の足は三角形の辺（延長線ではない）に接します。鈍角三角形（鈍角を持つ三角形）では、鈍角の頂点への高低の足は反対側の辺の内側に接しますが、鋭角の頂点への高低の足は反対側の延長線、つまり三角形の外側に接します。これは隣の図に示されています。この鈍角三角形では、鋭角を持つ頂点から垂直に下ろした高低が、三角形の外側の水平延長線と交差しています。

定理

幾何学的な高度は、多くの重要な定理とその証明において重要な役割を果たします。例えば、以下に挙げる定理に加え、高度は正弦定理と余弦定理の両方の証明において中心的な役割を果たします。

オルソセンター

三角形の 3 つの高さは垂心で交差します。鋭角三角形の場合、垂心は三角形の内側にあります。

三角形の垂心は、通常Hで表され、3つの（延長された可能性のある）高さが交差する点です。 ^{[1] [2]} 垂心は、三角形が鋭角である場合に限り、三角形の内側にあります。直角三角形の場合、垂心は直角の頂点と一致します。 ^[2]正三角形の場合、すべての三角形の中心（垂心を含む）は、その重心と一致します。

側面から見た高度

辺a、b、c、半周 を持つ三角形の場合、辺a（底辺）からの高さは次のように表される。 ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),}$

${\displaystyle h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}.}$

これは、三角形の面積を辺の数で表すヘロンの公式と、底辺を辺aとし、高さを頂点A (反対側の辺a ) からの高さとする面積の公式を組み合わせたものです。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\times {\text{base}}\times {\text{height}},}$

この式は、 a をbまたはcと置き換えることで、それぞれ高度h _bとh _cを求めるのにも使用できます。

三角形の任意の 2 つの高さは、その高さが属する辺に反比例します。

内接円定理

任意の三角形を考え、辺がa、b、cで、対応する高さがh _a、h _b、h _cである。高さと内接円の半径 rは^[3]の関係にある^。補題1

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.}$

外接半径定理

三角形の一辺からの高さをh _a、他の2辺をbとc、三角形の外接円の半径をRとすると、高さは^{[4]で表されます。}

${\displaystyle h_{a}={\frac {bc}{2R}}.}$

内点

p ₁、p ₂、p _{3 を}任意の点Pから各辺までの垂線距離とし、h 1 _、 h 2 _、 h 3_を各辺までの高度とすると、^[5]

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{h_{1}}}+{\frac {p_{2}}{h_{2}}}+{\frac {p_{3}}{h_{3}}}=1.}$

面積定理

任意の三角形の辺a、b、cからの高さをそれぞれh _a、h _b、h _cとし、高さの逆数の半和をとすれば、面積の逆数は^{[6]である。} ${\displaystyle \textstyle H={\tfrac {1}{2}}(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})}$

${\displaystyle \mathrm {Area} ^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.}$

高度の一般的な点

Eが任意の三角形△ ABCの標高AD上の任意の点である場合、^{[7] ：77–78}

${\displaystyle {\overline {AC}}^{2}+{\overline {EB}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {CE}}^{2}.}$

三角不等式

三角形の面積は なので、三角不等式から^[8]が成り立ちます。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ah_{a}={\tfrac {1}{2}}bh_{b}={\tfrac {1}{2}}ch_{c}}$ ${\displaystyle a<b+c}$

${\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}<{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}$。

特殊なケース

正三角形

正三角形内の任意の点Pから三辺に引いた垂線の和は、三角形の標高に等しい。これがヴィヴィアーニの定理である。

直角三角形

直角三角形の直角から斜辺までの高さは、斜辺を分割した線分の長さの幾何平均です。ピタゴラスの定理を、辺が( p  +  q , r , s  )、( r , p , h  )、( s , h , q  )の3つの三角形に適用すると、
${\displaystyle {\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}}$

逆ピタゴラス定理とピタゴラス定理の比較

辺aとb、斜辺cを持つ直角三角形において、各辺は高さでもあります：⁠ ⁠ ${\displaystyle h_{a}=b}$と⁠ ⁠ 。3つ目の高さは関係式 ${\displaystyle h_{b}=a}$^{[9] [10]}によって求められます。

${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}^{2}}}={\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.}$

これは逆ピタゴラスの定理としても知られています。

特に注意してください:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt]CD&={\frac {AC\cdot BC}{AB}}\\[4pt]\end{aligned}}}$

参照

• 中央値（幾何学）

注記

1. スマート 1998、156ページ
2. ベレレ & ゴールドマン 2001、p. 118
3. Andrica, Dorin; Marinescu, Dan Ştefan (2017). 「オイラーのR ≥ 2rに対する新しい補間不等式」(PDF) . Forum Geometricorum . 17 : 149–156 . 2018年4月24日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。
4. ジョンソン 2007、71ページ、セクション101a
5. ジョンソン 2007、74ページ、セクション103c
6. ミッチェル、ダグラス W.、「三角形の逆面積に対するヘロン型の公式」、数学ガゼット89、2005 年 11 月、494 ページ。
7. Alfred S. Posamentierと Charles T. Salkind、「Challenging Problems in Geometry」、Dover Publishing Co.、改訂第 2 版、1996 年。
8. ミッチェル、ダグラス W.、「三角形の逆面積のヘロン型公式」、数学ガゼット89 (2005年11月)、494。
9. Voles, Roger、「 の整数解」、 Mathematical Gazette 83、1999年7月、269–271。 ${\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$
10. リチニック、ジェニファー、「逆ピタゴラスの定理」、数学ガゼット92、2008年7月、313-317。

参考文献

• アルトシラー・コート、ネイサン（2007）[1952]、大学幾何学、ドーバー
• ベレル、アラン；ゴールドマン、ジェリー（2001）『幾何学：定理と構成』プレンティス・ホール、ISBN 0-13-087121-4
• ボゴモーリニー、アレクサンダー. 「直交中心の存在」. Cut the Knot . 2022年12月17日閲覧。
• ジョンソン、ロジャー A. (2007) [1960]、『ユークリッド幾何学の高度化』、ドーバー、ISBN 978-0-486-46237-0
• スマート、ジェームズ・R.（1998年）、モダンジオメトリーズ（第5版）、ブルックス/コール、ISBN 0-534-35188-3

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「高度」。マスワールド。

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