Probability of a given process occurring in a particle collision
物理学において、 断面積 とは、2つの粒子の衝突において特定のプロセスが発生する確率の尺度です。例えば、 ラザフォードの断面積は、 アルファ粒子が 原子核 との相互作用中に特定の角度で偏向する 確率の尺度です 。断面積は通常 σ （ シグマ）で表され、面積の単位、より具体的にはバーン（ barns） で表されます 。ある意味では、プロセスが発生するために励起が衝突しなければならない物体の大きさと考えることができますが、より正確には、 確率過程 のパラメータです。
古典物理学において、2つの離散粒子が相互作用する場合、それらの相互 断面積とは、それらの相対運動を 横切る方向の 面積であり、 粒子が互いに 散乱する ためには、その範囲内で接触しなければならない。粒子が接触時にのみ相互作用する硬質 非弾性 球である場合、その散乱断面積は粒子の幾何学的サイズと関係する。粒子が 電磁力 や 重力 などの遠隔作用力を介して相互作用する場合 、その散乱断面積は一般に粒子の幾何学的サイズよりも大きくなる。
断面積が 粒子の角度やエネルギーなど、何らかの最終状態変数の関数の 微分極限として指定される場合、それは 微分断面積 と呼ばれます（以下の詳細な説明を参照）。断面積がすべての散乱角（およびその他の変数の可能性あり）にわたって積分された場合、それは 全断面積 または 積分全断面積 と呼ばれます。たとえば、 レイリー散乱 では、前方および後方の角度で散乱された強度は横方向に散乱された強度よりも大きいため、前方微分散乱断面積は垂直微分断面積よりも大きくなり、積分計算を使用して角度の全範囲にわたる無限小断面積をすべて追加することにより、全断面積を見つけることができます。
散乱断面積は、 核物理学 、 原子物理学 、および 素粒子物理学 において、ある種類の粒子の加速ビームと別の種類の粒子の標的（静止または移動）との衝突について定義されます。任意の反応の発生確率は、その反応の断面積に比例します。したがって、特定の反応の断面積を特定することは、特定の散乱過程が発生する確率を示す代理指標となります。
特定のプロセスにおいて測定される 反応速度は 、標的物質の密度、ビームの強度、装置の検出効率、検出装置の角度設定といった実験変数に大きく依存します。しかし、これらの変数は因子分解することができ、これにより、基礎となる2粒子衝突断面積を測定することができます。
微分散乱断面積と全散乱断面積は、原子核物理学 、 原子物理学 、 素粒子物理学 において最も重要な測定量の 1 つです 。
粒子による光散乱において、 断面積は 、与えられた放射照度における光から散乱される光パワーの量（面積あたりのパワー）を表します。断面積の単位は面積と同じですが、他の測定方法で得られる対象物の実際の物理的サイズと必ずしも一致するとは限りません。散乱物体の実際の断面積が、何らかの物理的プロセスに対する断面積よりもはるかに大きくなったり小さくなったりすることは珍しくありません。例えば、 プラズモニックナノ粒子は、 特定の周波数において、実際の断面積よりもはるかに大きな光散乱断面積を持つことがあります。
気体粒子の衝突 図 1.個々の直径が 2 r の粒子のガスでは 、衝突の断面積 σ は粒子数密度 n および衝突間の平均自由行程 λ と関係しています。 有限サイズの粒子からなる気体 では 、粒子間の衝突は粒子の断面積の大きさに依存します。衝突間の粒子の平均移動距離は、気体粒子の密度に依存します。これらの量は、
σ = 1 n λ , {\displaystyle \sigma ={\frac {1}{n\lambda }},} どこ
σ は2粒子衝突の断面積（ SI 単位：m 2 ）である。 λ は衝突間の平均自由行程 （SI単位：m） である n は対象粒子の 数密度（SI単位：m −3 ） である 図1に示すように、ガス中の粒子を 半径 r の直接接触で相互作用する剛体球 として扱うことができる場合、粒子対の衝突の有効断面積は次のようになります。
σ = π ( 2 r ) 2 {\displaystyle \sigma =\pi \left(2r\right)^{2}} ガス中の粒子が物理的な大きさよりも広い範囲の力で相互作用する場合、断面積は、粒子のエネルギーなどのさまざまな変数に依存する可能性がある、より大きな有効面積になります。
断面積は原子衝突について計算できますが、原子核以下の領域でも用いられます。例えば、 原子核物理学 では、低エネルギー 中性子 の「ガス」が原子炉やその他の原子核装置内の原子核と衝突しますが、 その断面積はエネルギーに依存し、したがって衝突間の 平均自由行程 も明確に定義されます 。
粒子ビームの減衰 粒子ビームが厚さ d z の薄い物質層に入射すると、 ビームの フラックス Φは dΦ だけ減少する。
d Φ d z = − n σ Φ , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} z}}=-n\sigma \Phi ,} ここで、 σ は散乱 、 吸収、または他の種への変換を含む すべての 事象 の総断面積です 。散乱中心の体積数密度は n で表されます。この式を解くと、ビーム強度の指数関数的減衰が示されます。
Φ = Φ 0 e − n σ z , {\displaystyle \Phi =\Phi _{0}e^{-n\sigma z},} ここで、 Φ 0 は初期光束、 z は物質の全厚です。光の場合、これは ランベルト・ビールの法則 と呼ばれます。
微分断面積 単一の粒子が単一の静止した標的粒子によって散乱されるという 古典的な 測定を考えてみましょう。通常、 球面座標系 が用いられ、標的は原点に配置され、この座標系の Z 軸は入射ビームと一直線になります。角度 θ は散乱角 であり 、入射ビームと散乱ビームの間で測定されます。また、 φ は方位角 です 。
衝突 パラメータ b は入射粒子の軌道の垂直オフセットであり、出射粒子は角度 θ で出現します。与えられた相互作用（ クーロン相互作用 、 磁気 相互作用、 重力相互作用 、接触相互作用など）について、衝突パラメータと散乱角は互いに明確な 1 対 1 の機能的依存関係を持ちます。一般に、衝突パラメータはイベントごとに制御または測定することはできず、多くの散乱イベントを平均化するときにすべての可能な値を取ると想定されます。断面積の微分サイズは、衝突パラメータの平面内の面積要素、つまり d σ = b d φ d bです。角度 θ での散乱粒子の微分角度範囲 は、立体角要素 dΩ = sin θ d θ d φ です。微分断面積はこれらの量の商です 。 dσ / dΩ 。
これは散乱角（したがって衝突パラメータも）に加え、入射粒子の運動量などの他の観測量の関数である。衝突パラメータが大きいほど一般に偏向は小さくなるが、微分断面積は常に正とみなされる。ビーム軸を中心に円筒対称な状況では、 方位角 φは 散乱過程によって変化せず、微分断面積は次のように表される
。
d σ d ( cos θ ) = ∫ 0 2 π d σ d Ω d φ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} (\cos \theta )}}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \varphi } 。 ビームまたはターゲット粒子がビーム軸に対して垂直に向いた磁気モーメントを持つ場合など、散乱プロセスが方位角対称でない場合は、微分断面積も方位角の関数として表す必要があります。
多数の粒子からなる静止した標的からの入射フラックスF inc の粒子の散乱の場合 、微分断面積は dσ / dΩ 角度 ( θ , φ ) における散乱粒子検出フラックス F out ( θ , φ ) は、単位時間あたりの粒子数と次のよう
d σ d Ω ( θ , φ ) = 1 n t Δ Ω F out ( θ , φ ) F inc . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{nt\Delta \Omega }}{\frac {F_{\text{out}}(\theta ,\varphi )}{F_{\text{inc}}}}.} ここで、 ΔΩ は検出器の有限角度寸法（SI単位： sr ）、 n は 標的粒子の 数密度（SI単位：m −3 ）、 t は静止標的の厚さ（SI単位：m）である。この式は、標的が十分に薄く、各ビーム粒子が最大で1つの標的粒子と相互作用することを前提としている。
全断面積 σは 、微分断面積を積分することによって得られる 。 dσ / dΩ 全 立体角 （ 4π ステラジアン）にわたって：
σ = ∮ 4 π d σ d Ω d Ω = ∫ 0 2 π ∫ 0 π d σ d Ω sin θ d θ d φ . {\displaystyle \sigma =\oint _{4\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \Omega =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .} 断面積の種類が文脈から推測できる場合は、 「微分」という 修飾語を 省略するのが一般的です。この場合、 σ は 積分断面積 または 全断面積 と呼ばれることがあります 。後者の用語は、複数のイベントが関係する文脈では混乱を招く可能性があります。なぜなら、「全」はすべてのイベントの断面積の合計を指す場合もあるからです。
微分断面積は、測定対象粒子の内部構造に関する膨大な情報が得られるため、物理学の多くの分野で非常に有用な量です。例えば、 ラザフォード散乱 の微分断面積は、原子核の存在を示す強力な証拠となりました。
立体角の代わりに、 運動量移動を 微分断面積の独立変数として使用することができます。
非弾性散乱の微分断面積には、 準安定状態の生成を示す 共鳴ピークが含まれており、そのエネルギーと寿命に関する情報も含まれています。
量子散乱 量子散乱の 時間非依存 形式 では 、初期 波動関数（散乱前）は一定の 運動量 k を持つ平面波であるとみなされます 。
ϕ − ( r ) ⟶ r → ∞ e i k z , {\displaystyle \phi _{-}(\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;e^{ikz},} ここで 、z と rは 発射体と標的間の相対 座標です 。矢印は、発射体と標的が相互作用の影響を及ぼさないほど離れている場合のみ、波動関数の 漸近的な挙動 を記述することを示しています。
散乱が起こった後、波動関数は次の漸近形をとることが予想されます。
ϕ + ( r ) ⟶ r → ∞ f ( θ , ϕ ) e i k r r , {\displaystyle \phi _{+}(\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;f(\theta ,\phi ){\frac {e^{ikr}}{r}},} ここで、 f は散乱振幅 と呼ばれる角度座標の関数です 。この一般的な形は、エネルギー保存則が成り立つ短距離相互作用には適用できます。しかし、長距離相互作用には適用できないため、電磁相互作用を扱う際には、より複雑な問題が生じます。
システムの完全な波動関数は、次の式で表すことができる。
ϕ ( r ) ⟶ r → ∞ ϕ − ( r ) + ϕ + ( r ) . {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;\phi _{-}(\mathbf {r} )+\phi _{+}(\mathbf {r} ).} 微分断面積は散乱振幅と関係がある。
d σ d Ω ( θ , ϕ ) = | f ( θ , ϕ ) | 2 . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta ,\phi )={\bigl |}f(\theta ,\phi ){\bigr |}^{2}.} これは、与えられた角度で散乱した発射体を見つける確率密度として単純に解釈できます。
したがって、断面積は衝突する粒子が見る有効表面積の尺度であり、面積の単位で表されます。2つの 粒子 の断面積（つまり、2つの粒子が互いに 衝突して いるときに観測されるもの）は、2つの粒子間の相互作用イベントの尺度です。断面積は相互作用が発生する確率に比例します。例えば、単純な散乱実験では、単位時間あたりに散乱される粒子数（散乱粒子電流 I r ）は、単位時間あたりに入射する粒子数（入射粒子電流 I i ）、ターゲットの特性（例えば、単位面積あたりの粒子数 N ）、および相互作用の種類のみに依存します。Nσ ≪ 1の場合 、
I r = I i N σ , σ = I r I i 1 N = probability of interaction × 1 N . {\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{r}}&=I_{\text{i}}N\sigma ,\\\sigma &={\frac {I_{\text{r}}}{I_{\text{i}}}}{\frac {1}{N}}\\&={\text{probability of interaction}}\times {\frac {1}{N}}.\end{aligned}}}
S行列との関係 衝突系の 縮約質量 と 運動量が衝突前と衝突後にそれぞれ m i 、 p i 、 m f 、 p f とすると 、微分断面積は次のように表される [ 説明が必要 ]。
d σ d Ω = ( 2 π ) 4 m i m f p f p i | T f i | 2 , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left(2\pi \right)^{4}m_{\text{i}}m_{\text{f}}{\frac {p_{\text{f}}}{p_{\text{i}}}}{\bigl |}T_{{\text{f}}{\text{i}}}{\bigr |}^{2},} ここでオンシェル T 行列は次のように定義される。
S f i = δ f i − 2 π i δ ( E f − E i ) δ ( p i − p f ) T f i {\displaystyle S_{{\text{f}}{\text{i}}}=\delta _{{\text{f}}{\text{i}}}-2\pi i\delta \left(E_{\text{f}}-E_{\text{i}}\right)\delta \left(\mathbf {p} _{\text{i}}-\mathbf {p} _{\text{f}}\right)T_{{\text{f}}{\text{i}}}} S行列 を用いて表すことができます 。ここで δ はディラックのデルタ関数 です 。S行列の計算は 散乱理論 の主な目的です。
固体球および球殻からの散乱 半径 の球を考えてみ ましょう。古典的には断面積は となります 。量子力学的には、低速粒子（つまり、ド・ブロイ波長が散乱体の寸法よりもはるかに大きい粒子）と 波の全断面積は です 。高速粒子の場合は、より高い角運動量を考慮する必要があり、全断面積はおよそ になります 。球殻（デルタ関数の可能性）の場合、全断面積によって共鳴が発生します。 [1] a {\displaystyle a} π a 2 {\displaystyle \pi a^{2}} S {\displaystyle S} 4 π a 2 {\displaystyle 4\pi a^{2}} 2 π a 2 {\displaystyle 2\pi a^{2}}
ユニット 総断面積の SI 単位は m 2 ですが 、実際にはより小さい単位が通常使用されます。
原子核物理学および素粒子物理学では、慣用的な単位はバーン b であり、1 b = 10 −28 m 2 = 100 fm 2 となる。 [2] mb や μb といったより 小さな 接頭辞付きの 単位も広く用いられている。同様に、微分断面積はmb/srといった単位で測定される。
散乱光が可視光の場合、経路長を センチメートル単位 で測定するのが一般的です。変換係数を必要とせずに済むように、散乱断面積はcm 2 、個数濃度はcm −3 で表されます。可視光の散乱の測定は 比濁法 と呼ばれ、直径2～50 μm の粒子に有効です。そのため、 気象学や 大気汚染 の測定に広く用いられています 。
X線 の散乱は 散乱断面積で記述することもでき、その場合平方 オングストローム が便利な単位である：1 Å 2 = 10 −20 m 2 = 10 000 pm 2 = 10 8 b. 散乱断面積、光電断面積、対生成断面積の合計（単位：バーン）は、「原子減衰係数」（狭ビーム）として表され、単位はバーンです。 [3]
光の散乱 光の場合も他の状況と同様に、粒子の散乱断面積は一般に 粒子の 幾何学的断面積 とは異なり、光の 波長、粒子の 誘電率 、形状、およびサイズに依存します。疎な媒質における散乱の総量は、散乱断面積と存在する粒子数の積に比例します。
光と粒子の相互作用においては、 吸収 、 散乱 、 光ルミネッセンス など、それぞれ独自の断面積を持つ多くのプロセスが発生します。吸収断面積と散乱断面積の合計は、減衰断面積または消衰断面積と呼ばれることもあります。
σ = σ abs + σ sc + σ lum . {\displaystyle \sigma =\sigma _{\text{abs}}+\sigma _{\text{sc}}+\sigma _{\text{lum}}.} 全消光断面積は、ランベルト・ビールの法則 を通じて光強度の減衰と関連しており 、減衰は粒子濃度に比例するとされています。
A λ = C l σ , {\displaystyle A_{\lambda }=Cl\sigma ,} ここで、 Aλ は 与えられた波長 λ における減衰 、 C は粒子濃度（数密度）、 l は光路長 である 。放射線の吸光度は 透過率 Tの逆数の 対数 （ 10進数 、またはより一般的には 自然数 ）である 。 [4]
A λ = − log T . {\displaystyle A_{\lambda }=-\log {\mathcal {T}}.} このように散乱断面積と吸収断面積を組み合わせることは、実験的にそれらを区別できないために必要となることが多く、それらを区別できるモデルの開発に多くの研究努力が払われてきました。クベルカ・ムンク理論はこの分野で最も重要な理論の 1 つです。
断面積とミー理論 ミー理論 を用いて一般的に計算される断面積には、消衰断面積 、散乱断面積 、吸収断面積 の効率係数が含まれる 。これらは粒子の幾何学的断面積によって正規化され、次の ように 定義される。断面積は次のように定義される。 Q ext {\textstyle Q_{\text{ext}}} Q sc {\textstyle Q_{\text{sc}}} Q abs {\textstyle Q_{\text{abs}}} σ geom = π a 2 {\textstyle \sigma _{\text{geom}}=\pi a^{2}} Q α = σ α σ geom , α = ext , sc , abs . {\displaystyle Q_{\alpha }={\frac {\sigma _{\alpha }}{\sigma _{\text{geom}}}},\qquad \alpha ={\text{ext}},{\text{sc}},{\text{abs}}.}
σ α = W α I inc {\displaystyle \sigma _{\alpha }={\frac {W_{\alpha }}{I_{\text{inc}}}}} ここで は周囲表面を通るエネルギー流、 は 入射波の強度です。 平面波 の場合、強度は となり 、は ホスト媒体のインピーダンス です 。 [ W α ] = [ W ] {\displaystyle \left[W_{\alpha }\right]=\left[{\text{W}}\right]} [ I inc ] = [ W m 2 ] {\displaystyle \left[I_{\text{inc}}\right]=\left[{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{2}}}\right]} I inc = | E | 2 / ( 2 η ) {\displaystyle I_{\text{inc}}=|\mathbf {E} |^{2}/(2\eta )} η = μ μ 0 / ( ε ε 0 ) {\displaystyle \eta ={\sqrt {\mu \mu _{0}/(\varepsilon \varepsilon _{0})}}}
主なアプローチは以下の通りである。まず、 粒子（散乱体）の周囲に半径 （表面）の仮想球面を構築する。この表面を通過する電磁エネルギーの正味速度 は r {\displaystyle r} A {\displaystyle A} A {\displaystyle A}
W a = − ∮ A Π ⋅ r ^ d A {\displaystyle W_{\text{a}}=-\oint _{A}\mathbf {\Pi } \cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA} ここで 、は時間平均 ポインティングベクトル です。 エネルギーが球体内で吸収される場合、そうでない場合はエネルギーが球体内で生成されます。ここではこのケースは考慮しません。ホスト媒質が非吸収性である場合、エネルギーは粒子によって吸収されるはずです。全場を入射部分と散乱部分に分解し 、磁場も同様に分解します。したがって、 3つの項に 分解できます 。ここで Π = 1 2 Re [ E ∗ × H ] {\textstyle \mathbf {\Pi } ={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} ^{*}\times \mathbf {H} \right]} W a > 0 {\displaystyle W_{\text{a}}>0} E = E i + E s {\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{\text{i}}+\mathbf {E} _{\text{s}}} H {\displaystyle \mathbf {H} } W a {\displaystyle W_{a}} W a = W i − W s + W ext {\displaystyle W_{\text{a}}=W_{\text{i}}-W_{\text{s}}+W_{\text{ext}}}
W i = − ∮ A Π i ⋅ r ^ d A ≡ 0 , W s = ∮ A Π s ⋅ r ^ d A , W ext = ∮ A Π ext ⋅ r ^ d A . {\displaystyle W_{\text{i}}=-\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{\text{i}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA\equiv 0,\qquad W_{\text{s}}=\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{\text{s}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA,\qquad W_{\text{ext}}=\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{\text{ext}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA.} ここで 、、、 およびです 。 Π i = 1 2 Re [ E i ∗ × H i ] {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\text{i}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{\text{i}}^{*}\times \mathbf {H} _{\text{i}}\right]} Π s = 1 2 Re [ E s ∗ × H s ] {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\text{s}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{\text{s}}^{*}\times \mathbf {H} _{\text{s}}\right]} Π ext = 1 2 Re [ E s ∗ × H i + E i ∗ × H s ] {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\text{ext}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{s}^{*}\times \mathbf {H} _{i}+\mathbf {E} _{i}^{*}\times \mathbf {H} _{s}\right]}
すべての場はベクトル球面調和関数（VSH） の級数に分解できる。その後、すべての積分をとることができる。 半径 、誘電率 、透磁率の 一様球 の場合 、この問題は正確な解を持つ。 [5] 散乱係数と消衰係数は である。 ここで である 。これらは次のように結びついている。 a {\displaystyle a} ε {\displaystyle \varepsilon } μ {\displaystyle \mu } Q sc = 2 k 2 a 2 ∑ n = 1 ∞ ( 2 n + 1 ) ( | a n | 2 + | b n | 2 ) {\displaystyle Q_{\text{sc}}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)(|a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2})} Q ext = 2 k 2 a 2 ∑ n = 1 ∞ ( 2 n + 1 ) ℜ ( a n + b n ) {\displaystyle Q_{\text{ext}}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\Re (a_{n}+b_{n})} k = n host k 0 {\textstyle k=n_{\text{host}}k_{0}} σ ext = σ sc + σ abs or Q ext = Q sc + Q abs {\displaystyle \sigma _{\text{ext}}=\sigma _{\text{sc}}+\sigma _{\text{abs}}\qquad {\text{or}}\qquad Q_{\text{ext}}=Q_{\text{sc}}+Q_{\text{abs}}}
散乱断面積の双極子近似 粒子が 分極率と（ここでは、Bekshaevら[6] [7]の磁気分極率の表記法ではなく、Nieto-Vesperinasら[8]の表記法を使用する）を持つ電気双極子モード と 磁気双極子モード のみ を サポート し 、 ミー係数で次のように表される
と仮定する。
すると、断面積は次のように与えられ 、最終的に電気吸収断面積と磁気吸収断面積は 次 のように表される。 p = α e E {\textstyle \mathbf {p} =\alpha ^{e}\mathbf {E} } m = ( μ μ 0 ) − 1 α m H {\textstyle \mathbf {m} =(\mu \mu _{0})^{-1}\alpha ^{m}\mathbf {H} } α e = 4 π ε 0 ⋅ i 3 ε 2 k 3 a 1 , α m = 4 π μ 0 ⋅ i 3 μ 2 k 3 b 1 . {\displaystyle \alpha ^{e}=4\pi \varepsilon _{0}\cdot i{\frac {3\varepsilon }{2k^{3}}}a_{1},\qquad \alpha ^{m}=4\pi \mu _{0}\cdot i{\frac {3\mu }{2k^{3}}}b_{1}.} σ ext = σ ext (e) + σ ext (m) = 1 4 π ε ε 0 ⋅ 4 π k ℑ ( α e ) + 1 4 π μ μ 0 ⋅ 4 π k ℑ ( α m ) {\displaystyle \sigma _{\text{ext}}=\sigma _{\text{ext}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{ext}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot 4\pi k\Im (\alpha ^{e})+{\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\cdot 4\pi k\Im (\alpha ^{m})} σ sc = σ sc (e) + σ sc (m) = 1 ( 4 π ε ε 0 ) 2 ⋅ 8 π 3 k 4 | α e | 2 + 1 ( 4 π μ μ 0 ) 2 ⋅ 8 π 3 k 4 | α m | 2 {\displaystyle \sigma _{\text{sc}}=\sigma _{\text{sc}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{sc}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{(4\pi \varepsilon \varepsilon _{0})^{2}}}\cdot {\frac {8\pi }{3}}k^{4}|\alpha ^{e}|^{2}+{\frac {1}{(4\pi \mu \mu _{0})^{2}}}\cdot {\frac {8\pi }{3}}k^{4}|\alpha ^{m}|^{2}} σ abs = σ abs (e) + σ abs (m) {\textstyle \sigma _{\text{abs}}=\sigma _{\text{abs}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{abs}}^{\text{(m)}}} σ abs (e) = 1 4 π ε ε 0 ⋅ 4 π k [ ℑ ( α e ) − k 3 6 π ε ε 0 | α e | 2 ] {\displaystyle \sigma _{\text{abs}}^{\text{(e)}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot 4\pi k\left[\Im (\alpha ^{e})-{\frac {k^{3}}{6\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}|\alpha ^{e}|^{2}\right]} σ abs (m) = 1 4 π μ μ 0 ⋅ 4 π k [ ℑ ( α m ) − k 3 6 π μ μ 0 | α m | 2 ] {\displaystyle \sigma _{\text{abs}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\cdot 4\pi k\left[\Im (\alpha ^{m})-{\frac {k^{3}}{6\pi \mu \mu _{0}}}|\alpha ^{m}|^{2}\right]}
内部ゲインのない粒子の場合、つまり粒子内部からエネルギーが放出されない場合 ( ) は、 光学定理 の特別なケースとなります。 非吸収粒子の場合、つまり の場合、等式が成り立ちます 。 σ abs > 0 {\textstyle \sigma _{\text{abs}}>0} 1 4 π ε ε 0 ℑ ( α e ) + 1 4 π μ μ 0 ℑ ( α m ) ≥ 2 k 3 3 [ | α e | 2 ( 4 π ε ε 0 ) 2 + | α m | 2 ( 4 π μ μ 0 ) 2 ] {\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\Im (\alpha ^{e})+{\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\Im (\alpha ^{m})\geq {\frac {2k^{3}}{3}}\left[{\frac {|\alpha ^{e}|^{2}}{(4\pi \varepsilon \varepsilon _{0})^{2}}}+{\frac {|\alpha ^{m}|^{2}}{(4\pi \mu \mu _{0})^{2}}}\right]} ℑ ( ε ) = ℑ ( μ ) = 0 {\textstyle \Im (\varepsilon )=\Im (\mu )=0}
拡張物体による光の散乱 拡張物体による光の散乱という文脈において、散乱断面積 σ sc は、マクロな粒子によって光が散乱される確率を表します。一般に、散乱断面積は粒子の形状とサイズに加えて、光の波長と 誘電率 に依存するため、粒子の 幾何学的断面積 とは異なります。疎な媒質における散乱の総量は、散乱断面積と存在する粒子数の積によって決まります。面積で表すと、 総断面積 ( σ ) は、吸収 、散乱、および 発光 による断面積の合計です 。
σ = σ abs + σ sc + σ lum . {\displaystyle \sigma =\sigma _{\text{abs}}+\sigma _{\text{sc}}+\sigma _{\text{lum}}.} 全断面積は、 ランベルト・ビールの法則 によって光強度の 吸光度 と関連しており、吸光度は濃度に比例する： A λ = Clσ （ここで、 A λ は特定の 波長 λ における吸光度、 C は数密度 としての濃度 、 l は 光路長 ）。放射の 吸光度または 吸光度は、 透過率 T の逆数の 対数 （ 10乗 、またはより一般的には 自然数 ）である： [4]
A λ = − log T . {\displaystyle A_{\lambda }=-\log {\mathcal {T}}.}
物理的な大きさとの関係 散乱断面積と粒子の物理的サイズの間には単純な関係はありません。散乱断面積は使用される放射線の波長に依存するためです。これは、霧の濃い夜に月を取り囲むハローを見ると分かります。赤色光の光子は、高エネルギーの光子よりも水滴の断面積が大きくなります。したがって、月のハローは、低エネルギー光子が月の中心から遠く離れた場所で散乱するため、赤色光の周囲を持ちます。可視スペクトルの残りの光子はハローの中心に留まり、白色光として知覚されます。
気象範囲 散乱断面積は気象範囲 L V と関係がある 。
L V = 3.9 C σ scat . {\displaystyle L_{\text{V}}={\frac {3.9}{C\sigma _{\text{scat}}}}.} Cσ scat という量は 、単位長さあたりの散乱係数 b scat と表記されることもある。 [9]
例
2つの剛球の弾性衝突 以下の式は、完全に弾性的な衝突を受ける2つの剛体球に適用される。 R と rを それぞれ散乱中心と散乱球の半径とする。微分断面積 は
d σ d Ω = R 2 4 , {\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {R^{2}}{4}},} そして総断面積は
σ tot = π ( r + R ) 2 . {\displaystyle \sigma _{\text{tot}}=\pi \left(r+R\right)^{2}.} 言い換えれば、散乱断面積の合計は、 入射球が偏向されるためにはその球の質量中心が到達しなければならない
円（半径 r + R ）の面積に等しくなります。
ラザフォード散乱 ラザフォード散乱 では、電荷 q とエネルギー E を持つ入射粒子が、電荷 Q を持つ固定粒子に散乱します 。微分断面積は
d σ d Ω = ( q Q 16 π ε 0 E sin 2 ( θ / 2 ) ) 2 {\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=\left({\frac {q\,Q}{16\pi \varepsilon _{0}E\sin ^{2}(\theta /2)}}\right)^{2}} ここでは 真空の誘電率 である 。 小さな散乱角に対するカットオフが適用されない限り、総断面積は無限大である 。 これはクーロンポテンシャルの範囲が長いことに起因している 。 ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} θ {\displaystyle \theta } 1 / r {\displaystyle 1/r}
2D円形ミラーからの散乱 以下の例は、半径r の円と完全反射境界から散乱する光線を扱う 。光線は均一な密度の平行光線から構成され、光線と円の相互作用は幾何 光学 の枠組みでモデル化される。問題は完全に2次元であるため、断面積の単位は長さ（例えばメートル）である。α を 光線 と、光線の反射点と鏡の中心点を結ぶ 半径 との間の角度とする 。すると、光線に垂直な長さ要素の増加は、
d x = r cos α d α . {\displaystyle \mathrm {d} x=r\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha .} この光線の入射光線に対する反射角は2αであり 、 散乱 角は
θ = π − 2 α . {\displaystyle \theta =\pi -2\alpha .} 入射光強度と反射光強度I の微分関係 は
I d σ = I d x ( x ) = I r cos α d α = I r 2 sin ( θ 2 ) d θ = I d σ d θ d θ . {\displaystyle I\,\mathrm {d} \sigma =I\,\mathrm {d} x(x)=Ir\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha =I{\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta =I{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}\,\mathrm {d} \theta .} したがって、微分断面積は（ dΩ = d θ ）
である。
d σ d θ = r 2 sin ( θ 2 ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}={\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).} θ = π における最大値は 後方散乱に対応し、 θ = 0における最小値は円の端からの真前方散乱に対応する。この式は、鏡面円が発散 レンズ のように作用するという直感的な予想を裏付ける 。全断面積は円の直径に等しい。
σ = ∫ 0 2 π d σ d θ d θ = ∫ 0 2 π r 2 sin ( θ 2 ) d θ = 2 r . {\displaystyle \sigma =\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{2\pi }{\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta =2r.}
3D球面鏡からの散乱 前の例の結果は、3 次元における類似の問題、つまり半径 a の完全反射球からの散乱を解くために使用できます。
入射光線に垂直な平面は、円筒座標 r と φ でパラメータ化できます。入射光線と反射光線の任意の平面において、（前の例から）次のように記述できます。
r = a sin α , d r = a cos α d α , {\displaystyle {\begin{aligned}r&=a\sin \alpha ,\\\mathrm {d} r&=a\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha ,\end{aligned}}} 衝撃エリア要素は
d σ = d r ( r ) × r d φ = a 2 2 sin ( θ 2 ) cos ( θ 2 ) d θ d φ . {\displaystyle \mathrm {d} \sigma =\mathrm {d} r(r)\times r\,\mathrm {d} \varphi ={\frac {a^{2}}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .} 球座標では、
d Ω = sin θ d θ d φ . {\displaystyle \mathrm {d} \Omega =\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .} 三角関数の恒等式と合わせて
sin θ = 2 sin ( θ 2 ) cos ( θ 2 ) , {\displaystyle \sin \theta =2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right),} 我々は得る
d σ d Ω = a 2 4 . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {a^{2}}{4}}.} 総断面積は
σ = ∮ 4 π d σ d Ω d Ω = π a 2 . {\displaystyle \sigma =\oint _{4\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \Omega =\pi a^{2}.}
参照
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外部リンク 核断面積 散乱断面積 IAEA – 核データサービス BNL – 国立核データセンター 粒子データグループ – 素粒子物理学レビュー IUPACゴールドブック – 定義：反応断面積 IUPACゴールドブック – 定義:衝突断面積 ShimPlotWell 核データ断面プロッター
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![{\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\text{i}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{\text{i}}^{*}\times \mathbf {H} _{\text{i}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb9bfac230b92c9999e6a99fbfbba792d4166552)
![{\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\text{s}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{\text{s}}^{*}\times \mathbf {H} _{\text{s}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/910b8967e9a7d1553f2a89d7647ca1235ffcea68)
![{\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\text{ext}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{s}^{*}\times \mathbf {H} _{i}+\mathbf {E} _{i}^{*}\times \mathbf {H} _{s}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ec494b9a860683288e7aaae9954f849bf6c7a)
![{\displaystyle \sigma _{\text{abs}}^{\text{(e)}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot 4\pi k\left[\Im (\alpha ^{e})-{\frac {k^{3}}{6\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}|\alpha ^{e}|^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb10384df7b8cd225bce5a949742001a232ea7b2)
![{\displaystyle \sigma _{\text{abs}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\cdot 4\pi k\left[\Im (\alpha ^{m})-{\frac {k^{3}}{6\pi \mu \mu _{0}}}|\alpha ^{m}|^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2780bc02b1b8e064046963fe09eee7639dc0df1)
![{\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\Im (\alpha ^{e})+{\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\Im (\alpha ^{m})\geq {\frac {2k^{3}}{3}}\left[{\frac {|\alpha ^{e}|^{2}}{(4\pi \varepsilon \varepsilon _{0})^{2}}}+{\frac {|\alpha ^{m}|^{2}}{(4\pi \mu \mu _{0})^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfac79c4c3ae0bea03af629285507e620758a647)
