たわみ（工学）

Degree to which part of a structural element is displaced under a given load

工学におけるたわみ（f）

構造工学において、たわみとは、長い構造要素（梁など）の一部が荷重を受けて横方向（長手方向の軸に直交する方向）に変形する度合いを指します。たわみは角度（角変位）または距離（直線変位）で定量化されます。長手方向（軸方向）の変形は伸びと呼ばれます。

荷重下における部材のたわみ距離は、その荷重下における部材のたわみ形状の勾配を数学的に記述する関数を積分することによって計算できます。一般的な梁構成および離散位置における荷重ケースのたわみについては、標準的な公式が存在します。それ以外の場合は、仮想仕事、直接積分、カスティリアーノ法、マコーレー法、直接剛性法などの方法が使用されます。梁要素のたわみは通常、オイラー・ベルヌーイ梁方程式に基づいて計算され、板要素またはシェル要素のたわみは、板理論またはシェル理論に基づいて計算されます。

この文脈におけるたわみの使用例としては、建築工事が挙げられます。建築家やエンジニアは、様々な用途に合わせて材料を選択します。

さまざまな荷重と支持に対する梁のたわみ

梁の形状や構成は多種多様です。例えば、梁は直線状の場合もあれば、曲線状の場合もあります。また、断面が一定である場合もあれば、先細りになっている場合もあります。また、完全に同じ材料（均質材料）で作られている場合もあれば、異なる材料（複合材料）で構成されている場合もあります。これらの要素の中には解析を困難にするものもありますが、多くの工学応用ではそれほど複雑ではないケースが扱われます。解析は、以下の条件を満たす場合、簡素化されます。

• 梁は元々真っ直ぐで、テーパーはわずかである
• 梁は線形弾性変形のみを受ける
• 梁は細い（長さと高さの比が10より大きい）
• 小さなたわみだけが考慮されます（最大たわみはスパンの 1/10 未満）。

この場合、梁のたわみ ( ) を支配する方程式は次のように近似できます。 ここで、 (は梁の長さに沿った水平位置)に関するたわんだ形状の 2 次導関数は曲率として解釈され、はヤング率、は断面の面積モーメント、は梁の内部曲げモーメントです。 ${\displaystyle w}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M}$

さらに、梁がテーパー状ではなく均質であり、分布荷重が作用している場合、上記の式は次のように表すことができます。 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle EI~{\frac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)}$

この方程式は、様々な荷重条件および境界条件に対して解くことができます。以下にいくつかの簡単な例を示します。これらの式は、たわみが小さく、線形弾性特性を持つ、細長い均質な柱状梁を想定して開発された近似式です。これらの制約の下では、近似値は実際のたわみの5%以内の誤差を示すはずです。

片持ち梁

片持ち梁は一端が固定されているため、その端の傾斜とたわみはゼロでなければなりません。

片持ち梁のたわみの概略図。

端部荷重片持ち梁

自由端に力が加わった片持ち梁

例の画像における自由端での弾性たわみとたわみ角度（ラジアン）: 端荷重のある（無重力）片持ち梁は、（自由端Bで）次式を使用して計算できます。[ ^1]ここで ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{B}&={\frac {FL^{3}}{3EI}}\\[1ex]\phi _{B}&={\frac {FL^{2}}{2EI}}\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle F}$=梁の先端に作用する力
• ${\displaystyle L}$= 梁の長さ（スパン）
• ${\displaystyle E}$=弾性係数
• ${\displaystyle I}$=梁の断面の面積モーメント

スパンが2倍になると、たわみは8倍に増加することに注意してください。端部荷重を受けた片持ち梁のスパン上の任意の点におけるたわみは、次式で計算できます。^[1] ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{x}&={\frac {Fx^{2}}{6EI}}(3L-x)\\[1ex]\phi _{x}&={\frac {Fx}{2EI}}(2L-x)\end{aligned}}}$$

注: (梁の端) では、および方程式は上記のおよび方程式と同一です。 ${\displaystyle x=L}$ ${\displaystyle \delta _{x}}$ ${\displaystyle \phi _{x}}$ ${\displaystyle \delta _{B}}$ ${\displaystyle \phi _{B}}$

均一荷重の片持ち梁

均一に分布した荷重を受ける片持ち梁

片持ち梁の自由端Bにおける均一荷重下のたわみは次のように表される：^[1]ここで $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{B}&={\frac {qL^{4}}{8EI}}\\[1ex]\phi _{B}&={\frac {qL^{3}}{6EI}}\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle q}$= 梁にかかる均一な荷重（単位長さあたりの力）
• ${\displaystyle L}$= 梁の長さ
• ${\displaystyle E}$= 弾性係数
• ${\displaystyle I}$= 断面の面積モーメント

均一荷重を受ける片持ち梁のスパンに沿った任意の点におけるたわみは、次式で計算できる: ^[1] ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{x}&={\frac {qx^{2}}{24EI}}\left(6L^{2}-4Lx+x^{2}\right)\\[1ex]\phi _{x}&={\frac {qx}{6EI}}\left(3L^{2}-3Lx+x^{2}\right)\end{aligned}}}$$

単純支持梁

単純支持梁は、その端部の下に回転は許すがたわみは許さない支持部を持っています。

単純支持梁のたわみの概略図。

中央荷重の単純梁

中央に力が加わった単純支持梁

中央荷重を受ける単純支持梁のスパン上の任意の点におけるたわみは、次式で計算できる。^[1] ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \delta _{x}={\frac {Fx}{48EI}}\left(3L^{2}-4x^{2}\right)}$$ $${\displaystyle 0\leq x\leq {\frac {L}{2}}}$$

2つの単純な支持部によって支持され、中央に荷重がかかった梁の中点Cにおける弾性たわみの特殊なケースは次のように表される: ^[1]ここで $${\displaystyle \delta _{C}={\frac {FL^{3}}{48EI}}}$$

• ${\displaystyle F}$= 梁の中心に作用する力
• ${\displaystyle L}$= 支柱間の梁の長さ
• ${\displaystyle E}$= 弾性係数
• ${\displaystyle I}$= 断面の面積モーメント

偏心荷重を受けた単純梁

中心からずれた力を受ける単純支持梁

2つの単純な支持で支えられ、最も近い支持から離れた位置に荷重がかかった梁の最大弾性たわみは、次 のように表される。 ^[1] ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \delta _{\text{max}}={\frac {Fa\left(L^{2}-a^{2}\right)^{3/2}}{9{\sqrt {3}}LEI}}}$$

• ${\displaystyle F}$= 梁に作用する力
• ${\displaystyle L}$= 支柱間の梁の長さ
• ${\displaystyle E}$= 弾性係数
• ${\displaystyle I}$= 断面の面積モーメント
• ${\displaystyle a}$= 荷重から最も近い支持部までの距離

この最大たわみは最も近い支持部からの距離で発生し、次式で表されます: ^[1] ${\displaystyle x_{1}}$ $${\displaystyle x_{1}={\sqrt {\frac {L^{2}-a^{2}}{3}}}}$$

均一荷重を受ける単純梁

均一分布荷重を受ける単純支持梁

2つの単純な支持部で支えられた梁の弾性たわみ（中点C）は、均一な荷重（図参照）がかかっている場合、次のように表されます。[ ^1] $${\displaystyle \delta _{C}={\frac {5qL^{4}}{384EI}}}$$

• ${\displaystyle q}$= 梁にかかる均一な荷重（単位長さあたりの力）
• ${\displaystyle L}$= 梁の長さ
• ${\displaystyle E}$= 弾性係数
• ${\displaystyle I}$= 断面の面積モーメント

均一荷重を受ける単純支持梁のスパンに沿った任意の点におけるたわみは、次式で計算できる: ^[1] ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx}{24EI}}\left(L^{3}-2Lx^{2}+x^{3}\right)}$$

複合負荷

単純な荷重の組み合わせによる梁のたわみは、重ね合わせの原理を使用して計算できます。

長さの変化

たわみ関数がすべての場合についてわかっている場合、無荷重梁の線に沿って投影された梁の長さの変化は、傾斜関数を積分することによって計算できます。 ${\displaystyle \Delta L}$ ${\displaystyle \theta _{x}}$ ${\displaystyle \delta _{x}}$ ${\displaystyle x}$

どこ：

• ${\displaystyle \Delta L}$= 長さの変化（常に負）
• ${\displaystyle \theta _{x}}$= 傾き関数（の一次導関数） ${\displaystyle \delta _{x}}$
• ${\displaystyle \Delta L=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}(\theta (x))^{2}dx}$^[2]

梁が均一で、任意のポイントでのたわみがわかっている場合は、梁の他の特性を知らなくても計算できます。

ユニット

上記の計算式では、一貫した単位を使用する必要があります。計算のほとんどは国際単位系（SI）または米国慣用単位で行われますが、他にも多くの単位系があります。

国際単位系（SI）

• 力: ニュートン ( ) ${\displaystyle \mathrm {N} }$
• 長さ: メートル ( ) ${\displaystyle \mathrm {m} }$
• 弾性係数: ${\displaystyle \mathrm {\frac {N}{m^{2}}} =\mathrm {Pa} }$
• 慣性モーメント: ${\displaystyle \mathrm {m^{4}} }$

米国慣用単位（米国）

• 力: ポンド力 ( ) ${\displaystyle \mathrm {lbf} }$
• 長さ: インチ ( ) ${\displaystyle \mathrm {in} }$
• 弾性係数: ${\displaystyle \mathrm {\frac {lbf}{in^{2}}} }$
• 慣性モーメント: ${\displaystyle \mathrm {in^{4}} }$

その他

一貫性が保たれる限り、他の単位も使用できます。例えば、荷重の測定にキログラム重（ ）単位が使用されることがあります。そのような場合、弾性係数は に変換する必要があります。 ${\displaystyle \mathrm {kgf} }$ ${\displaystyle \mathrm {\frac {kgf}{m^{2}}} }$

構造たわみ

建築基準法では、最大たわみ量を規定しており、通常はスパンに対する割合（例えば1/400または1/600）で表します。部材の最小寸法は、強度限界状態（許容応力）または使用限界状態（たわみの考慮など）のいずれかに基づいて決定されます。

構造上、たわみを考慮する必要があります。ガラスパネルを支える 鉄骨フレームを設計する際には、ガラスの破損を防ぐために、たわみは最小限に抑える必要があります。

梁のたわみ形状は、モーメント図で表すことができます。モーメント図は、支持条件を強化するために回転と平行移動を 2 回実行して積分したものです。

参照

• 斜面たわみ法

参考文献

1. Gere, James M.; Goodno, Barry J. (2012年1月).材料力学（第8版）. pp.  1083– 1087. ISBN 978-1-111-57773-5。
2. ロアークの応力とひずみの公式、第8版、式8.1-14

外部リンク

• 梁のたわみ
• ビームの偏向
• 梁のたわみと勾配の計算ツール

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