関数の適用

Evaluation of a function on its argument

数学において、関数適用とは、関数をその定義域の引数に適用して、その値域から対応する値を得る行為である。^{[1]この意味で、関数適用は関数}抽象化の反対と考えることができる。

表現

関数の適用は通常、関数を表す変数と、括弧で囲まれた引数を並べて表されます。例えば、次の式は関数ƒを引数xに適用する式を表しています。

${\displaystyle f(x)}$

場合によっては、括弧が不要な異なる表記法が使用され、関数適用は単に並置するだけで表現できます。例えば、次の式は前の式と同じものとみなされます。

${\displaystyle f\;x}$

後者の表記法は、カリー化同型性と組み合わせると特に便利です。関数 が与えられた場合、その適用は前者の表記法ではとして表され、後者の表記法では（あるいは引数をあまり一般的ではない山括弧で表すと） として表されます。しかし、カリー化された形式の関数は、引数を ではなく のように並べることで表すことができます。これは、関数適用が左結合的 であることに依存しています。 ${\displaystyle f:(X\times Y)\to Z}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle f\;(x,y)}$ ${\displaystyle f\;\langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle \in X\times Y}$ ${\displaystyle f:X\to (Y\to Z)}$ ${\displaystyle f\;x\;y}$ ${\displaystyle f(x)(y)}$

デジタル文書で数学表記を表現する場合、目に見えないゼロ幅のUnicode文字U+2061 FUNCTION APPLICATIONとU+2062 INVISIBLE TIMESを使用して、関数適用を意味する連結と乗算を意味する連結を区別することができます。

集合論

公理的集合論、特にツェルメロ-フランケル集合論では、関数は、任意の に対して となるようなが唯一存在するという性質を持つ関係( )として定義されることが多い。 ${\displaystyle f:D\mapsto R}$ ${\displaystyle f\subseteq D\times R}$ ${\displaystyle x\in D}$ ${\displaystyle y\in R}$ ${\displaystyle (x,y)\in f}$

通常は、を指定するために「 」と書くだけでは満足せず、より一般的な関数表記「」が望ましいため、関数適用、より具体的には表記「 」は、2項関数記号を次のように定義することで許可されます。^[2] ${\displaystyle (x,y)\in f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(x)=y}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \bullet (\bullet )}$

$${\displaystyle X(Y)=\left\{{\begin{array}{lll}z&{\text{if }}X{\text{ is a function, and }}(Y,z)\in X\\\varnothing &{\text{otherwise}}\\\end{array}}\right.}$$

あるいは、より正式には：^{[3] [4]}

$${\displaystyle X(Y)=z\iff (\exists D,R(X\in R^{D}\land ((Y,z)\in X)))\lor (\forall D,R(X\notin R^{D}\lor (Y,z)\notin X)\land z=\varnothing ),}$$ここで、は集合の累乗を表します。これはから までのすべての関数の集合です。 ${\displaystyle R^{D}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle R}$

散文では、定義域と値域が存在し、 が から および への関数である場合、または（前者の否定） およびが定義されていない場合に空集合を使用するかどうかは任意である。しかし、 は原始関数記号であるため、の領域において、 が取る任意の2つのオブジェクト（この場合は集合）に対して定義されなければならない。^[5] ${\displaystyle X(Y)=z}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (Y,z)\in X}$ ${\displaystyle z=\varnothing .}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X(Y)}$ ${\displaystyle \bullet (\bullet )}$

上記の二条件式の右側の式を とすると、任意の2つの集合に対して、この式は一意のオブジェクト を関連付けます。したがって、集合論の言語は定義により拡張を用いて、関数適用演算を保守的に と組み込むことができます。 ${\displaystyle \Psi (X,Y,z)}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \forall X,Y\,\exists !z\,\Psi (X,Y,z)}$ ${\displaystyle \bullet (\bullet )}$

オペレーターとして

関数の適用は、次の定義により、applyまたは と呼ばれる演算子として定義できます。 ${\displaystyle \$}$

${\displaystyle f\mathop {\,\$\,} x=f(x)}$

演算子はバックティック(`) で表記される場合もあります。

演算子の優先順位が低く、右結合であると理解されている場合、適用演算子を使用して式に必要な括弧の数を減らすことができます。例えば、

${\displaystyle f(g(h(j(x))))}$

次のように書き直すことができます。

${\displaystyle f\mathop {\,\$\,} g\mathop {\,\$\,} h\mathop {\,\$\,} j\mathop {\,\$\,} x}$

ただし、代わりに関数合成を使用すると、これをより明確に表現できる可能性があります。

${\displaystyle (f\circ g\circ h\circ j)(x)}$

あるいは:

${\displaystyle (f\circ g\circ h\circ j\circ x)()}$

を を返す定数関数と考えるとします。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

その他の例

ラムダ計算における関数の適用はβ-還元によって表現されます。

カリー・ハワード対応は関数の適用をモーダスポネンスの論理規則に関連付けます。

参照

• ポーランド語表記

参考文献

1. Alama, Jesse; Korbmacher, Johannes (2023)「ラムダ計算」、Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (編)、The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2023 ed.)、Metaphysics Research Lab, Stanford University 、 2024年2月29日閲覧。
2. メンデルソン、エリオット(1987). 『数理論理学入門（第3版）』ベルモント:ワズワース社p. 185. doi :10.1007/978-1-4615-7288-6. ISBN 978-1-4615-7290-9。LCCN  86-11084。
3. サッペス、パトリック(1972). 公理的集合論. インターネットアーカイブ. ニューヨーク、ドーバー出版. p. 87. ISBN 978-0-486-61630-8。
4. レヴィ、アズリエル (1979)。基本的な集合論。ベルリン;ニューヨーク: Springer-Verlag。 p. 27.ISBN​ 978-0-387-08417-6。
5. レヴィ、アズリエル (1979)。基本的な集合論。ベルリン;ニューヨーク: Springer-Verlag。 p. 15.ISBN​ 978-0-387-08417-6。

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