無限積

Mathematical concept

数学では、複素数列a ₁、a ₂、a ₃、…の無限積

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$

は、 nが無制限に増加するときの部分積a ₁ a ₂ ... a _nの極限として定義されます。極限が存在し、かつ 0 でないとき、積は収束するといいます。そうでない場合、積は発散するといいます。ゼロの極限は、無限和の場合に類似する結果を得るために特別に扱われます。一部の情報源では、ゼロ因数が有限個しかなく、非ゼロ因数の積がゼロでない場合、0 への収束が認められますが、簡単にするため、^{[誰? ]はここではそれを認められません。積が収束する場合、} _nが無制限に増加するときの数列a nの極限は1 でなければなりませんが、その逆は一般には成り立ちません。

無限積の最もよく知られた例は、おそらくπの公式のいくつかでしょう。たとえば、次の 2 つの積はそれぞれヴィエト(ヴィエトの公式、数学で最初に発表された無限積) とジョン・ウォリス(ウォリス積) によるものです。

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \;\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\right)\cdot \left({\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\right)\cdot \left({\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\right)\cdot \left({\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\right)\cdot \;\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right).}$

収束基準

正の実数の積

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

が非ゼロの実数に収束するのは、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$

は収束する。これにより、無限和の収束基準を無限積の収束基準に変換することができる。対数が を満たす対数の固定枝として理解されれば、同じ基準が任意の複素数（負の実数を含む）の積にも適用される。ただし、無限個のa _{n が}の領域外になる場合、無限積は発散するが、そのようなa _{n が}有限個ある場合、和においては無視できるという条件が付く。 ${\displaystyle \ln(1)=0}$ ${\displaystyle \ln }$

を定義すると、境界 ${\displaystyle a_{n}=1+p_{n}}$

${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leq \prod _{n=1}^{N}\left(1+p_{n}\right)\leq \exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)}$

p _nの無限和が収束するならば、a _nの無限積は収束することを示す。これは単調収束定理に基づく。逆は、 ならば、 となることを観察することで示すことができる。 ${\displaystyle p_{n}\to 0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\log(1+p_{n})}{p_{n}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\log(1+x)}{x}}=1,}$

そして、極限比較テストにより、2つの系列は

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(1+p_{n})\quad {\text{and}}\quad \sum _{n=1}^{\infty }p_{n},}$

これらは同等であり、両方とも収束するか、両方とも発散するかのいずれかを意味します。

級数が に発散する場合、 a _nの部分積の列はゼロに収束する。無限積はゼロに発散すると言われる。^[1] ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$ ${\displaystyle -\infty }$

が任意の符号を持つ場合、和の収束は積の収束を保証するものではありません。例えば、 の場合、 は収束しますが、ゼロに発散します。しかし、が収束する場合、積は絶対収束します。つまり、無限積の収束性や極限値を変えることなく、因数を任意の順序で並べ替えることができます。^[2]また、が収束する場合、和と積は両方とも収束するか、両方とも発散するかのいずれかです。^[3] ${\displaystyle p_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ ${\displaystyle p_{n}={\frac {(-1)^{n+1}}{\sqrt {n}}}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|p_{n}|}$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|p_{n}|^{2}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$

関数の積表現

無限積に関する重要な結果の一つは、すべての整関数 f ( z ) （つまり、複素平面全体にわたって正則なすべての関数）は、それぞれが最大で1つの根を持つ整関数の無限積に因数分解できることである。一般に、f が原点にm位の根を持ち、 u ₁、u ₂、u ₃、 ... （それぞれの位数に等しい重複度で列挙）に他の複素根を持つ場合、

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)\exp \left\lbrace {\frac {z}{u_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{\lambda _{n}}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{\lambda _{n}}\right\rbrace }$

ここで、λ _nは積が収束するように選べる非負整数であり、は何らかの整関数（つまり、積の前の項は複素平面に根を持たない）である。上記の因数分解は、λ _nの値の選択に依存するため、一意ではない。しかし、ほとんどの関数では、 λ _n = pが収束積を与えるような最小の非負整数p が存在し、これを標準積表現と呼ぶ。このpは標準積の階数と呼ばれる。p = 0の場合、これは以下の形になる。 ${\displaystyle \phi (z)}$

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right).}$

これは代数の基本定理の一般化とみなすことができます。多項式の場合、積は有限で定数となるためです。 ${\displaystyle \phi (z)}$

これらの例に加えて、次の表現も特に注目に値します。

関数	無限積表現	注記
シンプルなポール	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{1-z}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{z^{n}/n}\\&=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+z^{2^{n}}\right)\end{aligned}}}$
シンク関数	${\displaystyle {\frac {\sin \pi z}{\pi z}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}$	これはオイラーによるものです。πに関するウォリスの公式は、この特殊なケースです。
逆ガンマ関数	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\\&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\end{aligned}}}$	シュレーミルヒ[説明が必要]
ワイエルシュトラスのシグマ関数	${\displaystyle \sigma (z)=z\prod _{\omega \in \Lambda _{*}}\left(1-{\frac {z}{\omega }}\right)e^{{\frac {z^{2}}{2\omega ^{2}}}+{\frac {z}{\omega }}}}$	ここに原点のない格子があります。 ${\displaystyle \Lambda _{*}}$
Q-ポッホハンマー記号	${\displaystyle (z;q)_{\infty }=\prod _{n=0}^{\infty }(1-zq^{n})}$	q-アナログ理論で広く用いられている。オイラー関数は特別なケースである。
ラマヌジャンのシータ関数	${\displaystyle {\begin{aligned}f(a,b)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}b^{\frac {n(n-1)}{2}}\\&=\prod _{n=0}^{\infty }(1+a^{n+1}b^{n})(1+a^{n}b^{n+1})(1-a^{n+1}b^{n+1})\end{aligned}}}$	ヤコビの三重積の表現。ヤコビのシータ関数の表現にも用いられる。
リーマンゼータ関数	${\displaystyle \zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}}$	ここでp n はn番目の素数を表します。これはオイラー積の特別な場合です。

これらの最後のものは、ζが整積表現ではないため、上で議論したような積表現ではありません。むしろ、 ζ ( z )の積表現は、Re( z ) > 1 において正確に収束し、解析関数となります。解析接続の手法を用いることで、この関数は、点 z = 1 を除く複素平面全体において、解析関数（ ζ ( z )と表記）に一意に拡張できます。点 z = 1 では、 ζ ( z ) は単極を持ちます。

参照

• 三角法における無限積
• 反復二項演算
• 無限の表現
• 無限級数
• 五角数定理

参考文献

1. ジェフリーズ、ハロルド・ジェフリーズ、バーサ・スワールズ・ジェフリーズ(1999). 『数理物理学の方法』 ケンブリッジ数学図書館（第3版）ケンブリッジ大学出版局52頁ISBN 1107393671。
2. Trench, William F. (1999). 「無限積の条件付き収束」(PDF) . American Mathematical Monthly . 106 (7): 646– 651. doi :10.1080/00029890.1999.12005098 . 2018年12月10日閲覧。
3. ノップ、コンラッド（1954年）『無限級数の理論と応用』ロンドン：ブラック＆サン社

• クノップ、コンラッド（1990）『無限級数の理論と応用』ドーバー出版、ISBN 978-0-486-66165-0。
• ルディン、ウォルター（1987年）『実解析と複素解析』（第3版）ボストン：マグロウヒルISBN 0-07-054234-1。
• アブラモウィッツ、ミルトン、ステガン、アイリーン・A. 編 (1972). 『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』ドーバー出版. ISBN 978-0-486-61272-0。

外部リンク

• Wolfram Math Worldの無限積
• 無限の製品のコレクション – I
• 無限の産物のコレクション – II

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