Group of mathematical theorems
数学 、特に 抽象代数学 において 、 同型定理（ ネーターの同型定理 とも呼ばれる ）は、 商 、 準同型 、 部分対象 間の関係を記述する 定理です。 群 、 環 、 ベクトル空間 、 加群 、 リー代数 、その他の 代数構造 に対する定理のバージョンが存在します 。 普遍代数学では、同型定理は代数と 合同式 の文脈に一般化できます 。
歴史 同型定理は、 エミー・ネーター が1927年に Mathematische Annalen誌 に掲載した論文「 代数学の数と関数体における理想理論の抽象的構築」において、加群の準同型に対してある程度の一般性をもって定式化しました。これらの定理のより一般性が低いバージョンは、 リヒャルト・デデキント の著作やネーターの以前の論文 に見られます。 [ 要出典 ]
3年後、 B・L・ファン・デル・ヴェルデンは 影響力のある 『現代代数学』 を出版しました。これは、群 - 環 - 体 アプローチを採用した最初の 抽象代数学の 教科書です。ファン・デル・ヴェルデンは、ノイマンによる 群論 の講義 と エミール・アルティン による代数学の講義、そしてアルティン、 ヴィルヘルム・ブラシュケ 、 オットー・シュライアー 、そしてファン・デル・ヴェルデン自身が行った イデアルに関するセミナーを主要な参考文献として挙げています。 準同型定理 と呼ばれる3つの同型定理 と、群に適用された場合 の2つの同型法則が 明示的に示されています。
群 まず、群 の同型定理を提示します 。
定理A（群） 準同型に関する基本定理の図 と を 群とし、を 準同型 とする 。このとき、 G {\displaystyle G} H {\displaystyle H} f : G → H {\displaystyle f:G\rightarrow H}
の 核 は の 正規部分群 である 。 f {\displaystyle f} G {\displaystyle G} の 像 は の 部分群 であり 、 f {\displaystyle f} H {\displaystyle H} の像は 商群 と 同型で ある 。 f {\displaystyle f} G / ker f {\displaystyle G/\ker f} 特に、 が 射影的 であれば、 は と同型である 。 f {\displaystyle f} H {\displaystyle H} G / ker f {\displaystyle G/\ker f}
この定理は通常、 第一同型定理 と呼ばれます。
定理B（群） 定理B4の図。2つの商群（点線）は同型である。 を群とする。 を の部分群とし 、 を の正規部分群とする 。このとき、以下が成り立つ。 G {\displaystyle G} S {\displaystyle S} G {\displaystyle G} N {\displaystyle N} G {\displaystyle G}
積 は の部分群である 。 S N {\displaystyle SN} G {\displaystyle G} 部分群 は の正規部分群である 。 N {\displaystyle N} S N {\displaystyle SN} 積 は の正規部分群であり 、 S ∩ N {\displaystyle S\cap N} S {\displaystyle S} 商群 と は 同型です。 ( S N ) / N {\displaystyle (SN)/N} S / ( S ∩ N ) {\displaystyle S/(S\cap N)} 技術的には、 がにおける の 正規化群 の部分群である 限り、 が正規部分群である 必要はありません 。この場合、 は の正規部分群ではありません が、 積 の正規部分群であることに変わりはありません 。 N {\displaystyle N} S {\displaystyle S} N {\displaystyle N} G {\displaystyle G} N {\displaystyle N} G {\displaystyle G} N {\displaystyle N} S N {\displaystyle SN}
この定理は、 第二同型定理 [1] 、 ダイヤモンド定理 [2] 、または 平行四辺形定理 [3 ] と呼ばれることもあります。
第二同型定理の応用により、 射影線型群が 識別されます。例えば、 複素射影直線上の群は 、 可逆な 2×2 複素 行列 の群は 、 行列式 1の行列の部分群は 、 スカラー行列の正規部分群 は と設定することで始まります。すると 、は 単位行列 、 と なり ます 。そして、第二同型定理は次のことを述べています G = GL 2 ( C ) {\displaystyle G=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )} S = SL 2 ( C ) {\displaystyle S=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )} N {\displaystyle N} C × I = { ( a 0 0 a ) : a ∈ C × } {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\!I=\left\{\left({\begin{smallmatrix}a&0\\0&a\end{smallmatrix}}\right):a\in \mathbb {C} ^{\times }\right\}} S ∩ N = { ± I } {\displaystyle S\cap N=\{\pm I\}} I {\displaystyle I} S N = GL 2 ( C ) {\displaystyle SN=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}
PGL 2 ( C ) := GL 2 ( C ) / ( C × I ) ≅ SL 2 ( C ) / { ± I } =: PSL 2 ( C ) {\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} ):=\operatorname {GL} _{2}\left(\mathbb {C} )/(\mathbb {C} ^{\times }\!I\right)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )/\{\pm I\}=:\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}
定理C（群） を群とし、 の 正規部分群とする 。すると G {\displaystyle G} N {\displaystyle N} G {\displaystyle G}
がの 部分群であって となる ならば 、 は と 同型な部分群を持つ 。 K {\displaystyle K} G {\displaystyle G} N ⊆ K ⊆ G {\displaystyle N\subseteq K\subseteq G} G / N {\displaystyle G/N} K / N {\displaystyle K/N} のすべての部分群は、 と なる の ある 部分群に対して の形をとる G / N {\displaystyle G/N} K / N {\displaystyle K/N} K {\displaystyle K} G {\displaystyle G} N ⊆ K ⊆ G {\displaystyle N\subseteq K\subseteq G} が の正規部分群で となる 場合 、 は と 同型の正規部分群を持つ 。 K {\displaystyle K} G {\displaystyle G} N ⊆ K ⊆ G {\displaystyle N\subseteq K\subseteq G} G / N {\displaystyle G/N} K / N {\displaystyle K/N} のすべての正規部分群は、 と なる の 正規部分群に対して の 形をとる 。 G / N {\displaystyle G/N} K / N {\displaystyle K/N} K {\displaystyle K} G {\displaystyle G} N ⊆ K ⊆ G {\displaystyle N\subseteq K\subseteq G} がの正規部分群で となる 場合 、商群は と同型である 。 K {\displaystyle K} G {\displaystyle G} N ⊆ K ⊆ G {\displaystyle N\subseteq K\subseteq G} ( G / N ) / ( K / N ) {\displaystyle (G/N)/(K/N)} G / K {\displaystyle G/K} 最後の命題は、第三同型定理 と呼ばれることもある。最初の4つの命題は、しばしば以下の定理Dに包含され、 格子定理 、 対応定理 、または 第四同型定理 と呼ばれる 。
定理D（群） を群とし、 の正規部分群と する 。標準射影準同型性は、 を含むの部分群の集合 と の（すべての）部分群の集合と の間の全単射対応を定義する 。この対応の下では、正規部分群は正規部分群に対応する G {\displaystyle G} N {\displaystyle N} G {\displaystyle G} G → G / N {\displaystyle G\rightarrow G/N} G {\displaystyle G} N {\displaystyle N} G / N {\displaystyle G/N}
この定理は、 対応定理 、 格子定理 、 第四同型定理 と呼ばれることもあります。
ザッセンハウスの補題 （ バタフライ補題とも呼ばれる）は、第四同型定理と呼ばれることもあります。 [4]
議論 最初の同型定理は、 群のカテゴリが (正規エピ、モノ) 因数分解可能であると カテゴリ理論の 言葉で表現できます 。言い換えると、 正規エピモーフィズム とモノ モーフィズムは、 カテゴリ の 因数分解システム を形成します 。これは、 射 から存在を演繹できる オブジェクト と 射 を 示す、欄外の 可換図 に示されています。この図は、群のカテゴリのすべての射 が カテゴリ理論的な意味で 核を持つことを示しています。任意の射 f は に因数分解されます。 ここで、 ι はモノモーフィズムで π はエピモーフィズムです ( 共正規カテゴリ では、すべてのエピモーフィズムは正規です)。これは、図ではオブジェクト とモノモーフィズム(核は常にモノモーフィズムです) で表され、これにより、 図の左下から右上に向かう 短い完全列 が完成します。 完全列 規則を使用すると、から および への ゼロ射を 描く必要がなくなります 。 f : G → H {\displaystyle f:G\rightarrow H} ι ∘ π {\displaystyle \iota \circ \pi } ker f {\displaystyle \ker f} κ : ker f → G {\displaystyle \kappa :\ker f\rightarrow G} ker f {\displaystyle \ker f} H {\displaystyle H} G / ker f {\displaystyle G/\ker f}
列が右分割されている場合（つまり、 自身の π- 逆像に 写像する射 σが存在する場合）、 G は正規部分群 と部分群の 半直積 です。左分割されている場合（つまり、 となる ものが存在する 場合）、右分割でもあり、 G の 直積 分解です 。一般に、右分割の存在は左分割の存在を意味しません。しかし、 アーベル圏（ アーベル群の圏 など）では、 分割補題 により左分割と右分割は同値であり 、右分割は 直和 分解を生成するのに十分です 。アーベル圏では、すべての単射も正規であり、図は2番目の短完全列によって拡張できます 。 G / ker f {\displaystyle G/\operatorname {ker} f} im κ {\displaystyle \operatorname {im} \kappa } im σ {\displaystyle \operatorname {im} \sigma } ρ : G → ker f {\displaystyle \rho :G\rightarrow \operatorname {ker} f} ρ ∘ κ = id ker f {\displaystyle \rho \circ \kappa =\operatorname {id} _{{\text{ker}}f}} im κ × im σ {\displaystyle \operatorname {im} \kappa \times \operatorname {im} \sigma } im κ ⊕ im σ {\displaystyle \operatorname {im} \kappa \oplus \operatorname {im} \sigma } 0 → G / ker f → H → coker f → 0 {\displaystyle 0\rightarrow G/\operatorname {ker} f\rightarrow H\rightarrow \operatorname {coker} f\rightarrow 0}
2番目の同型定理において、積 SNは G の 部分群の格子 における S と N の 結合 であり 、交差 S ∩ N は 交わり です
第三同型定理は、9つの補題によってアーベル圏とより一般的なオブジェクト間の写像に一般化される
番号と名称に関する注記 以下に、A、B、C、Dとラベル付けされた4つの定理を示す。これらはしばしば「第一同型定理」、「第二…」のように番号が付けられるが、番号付けについては普遍的な合意はない。ここでは、文献における群同型定理の例をいくつか示す。これらの定理には、環と加群に類似するものがあることに注意されたい。
群同型定理の名称の比較 コメント 著者 定理A 定理B 定理C 「第三」の定理はない ジェイコブソン [5] 準同型写像の基本定理 （ 第二同型定理 ） 「しばしば第一同型定理と呼ばれる」 ファン・デル・ワールデン [6] ダービン [8] 準同型写像の基本定理 第一同型定理 第二同型定理 ナップ [9] （ 名前なし ） 第二同型定理 第一同型定理 グリエ [10] 準同型定理 第二同型定理 第一同型定理 3つの番号付き定理 （ グリエによるその他の慣例 ） 第一同型定理 第三同型定理 第二同型定理 ロットマン [11] 第一同型定理 第二同型定理 第三同型定理 フレイリー [12] 準同型写像の基本定理または第一同型定理 第二同型定理 第三同型定理 ダミット＆フット [13] 第一同型定理 第二またはダイヤモンド同型定理 第三同型定理 番号なし ミルン [1] 準同型定理 同型定理 対応定理 スコット [14] 準同型定理 同型定理 フレッシュマン定理
通常、格子定理 または 対応定理 として知られる定理Dを 同型定理の1つに含めることはあまり一般的ではありませんが、含める場合は最後の定理になります。
環 環 の定理の記述は 同様ですが、正規部分群の概念が イデアル の概念に置き換えられています。
定理A（環） と を 環とし、を 環準同型 とする 。すると、 R {\displaystyle R} S {\displaystyle S} φ : R → S {\displaystyle \varphi :R\rightarrow S}
の 核 は のイデアルであり 、 φ {\displaystyle \varphi } R {\displaystyle R} の 像 は の 部分環 であり 、 φ {\displaystyle \varphi } S {\displaystyle S} の像は商環 と 同型 です 。 φ {\displaystyle \varphi } R / ker φ {\displaystyle R/\ker \varphi } 特に、 が射影的であれば、 は と同型です 。 [15] φ {\displaystyle \varphi } S {\displaystyle S} R / ker φ {\displaystyle R/\ker \varphi }
定理B（環） を環とします。 を の部分環とし 、 を のイデアルとします 。すると、 R {\displaystyle R} S {\displaystyle S} R {\displaystyle R} I {\displaystyle I} R {\displaystyle R}
和は の 部分環であり 、 S + I = { s + i ∣ s ∈ S , i ∈ I } {\displaystyle S+I=\{s+i\mid s\in S,i\in I\}} R {\displaystyle R} 積は のイデアルであり 、 S ∩ I {\displaystyle S\cap I} S {\displaystyle S} 商環 と は 同型です。 ( S + I ) / I {\displaystyle (S+I)/I} S / ( S ∩ I ) {\displaystyle S/(S\cap I)}
定理C（環） R を 環とし、 I を R のイデアルとする 。すると
がの 部分環で となる 場合 、 は の部分環となる 。 A {\displaystyle A} R {\displaystyle R} I ⊆ A ⊆ R {\displaystyle I\subseteq A\subseteq R} A / I {\displaystyle A/I} R / I {\displaystyle R/I} のすべての部分環は となる の ある部分環に対して の 形をとる 。 R / I {\displaystyle R/I} A / I {\displaystyle A/I} A {\displaystyle A} R {\displaystyle R} I ⊆ A ⊆ R {\displaystyle I\subseteq A\subseteq R} が のイデアルで となる 場合 、 は のイデアルとなる 。 J {\displaystyle J} R {\displaystyle R} I ⊆ J ⊆ R {\displaystyle I\subseteq J\subseteq R} J / I {\displaystyle J/I} R / I {\displaystyle R/I} のすべてのイデアルは となる のある イデアル に対して の 形 をとる 。 R / I {\displaystyle R/I} J / I {\displaystyle J/I} J {\displaystyle J} R {\displaystyle R} I ⊆ J ⊆ R {\displaystyle I\subseteq J\subseteq R} が の イデアルで となる 場合 、商環は と同型である 。 J {\displaystyle J} R {\displaystyle R} I ⊆ J ⊆ R {\displaystyle I\subseteq J\subseteq R} ( R / I ) / ( J / I ) {\displaystyle (R/I)/(J/I)} R / J {\displaystyle R/J}
定理 D (環) を のイデアルとする 。 対応は、 を含む の 部分環の集合 と の部分環の集合との間の 包含 保存 一対一 である 。さらに、 ( を含む部分環) が のイデアルとなる場合、かつ が のイデアルとなる 場合のみで ある 。 [16] I {\displaystyle I} R {\displaystyle R} A ↔ A / I {\displaystyle A\leftrightarrow A/I} A {\displaystyle A} R {\displaystyle R} I {\displaystyle I} R / I {\displaystyle R/I} A {\displaystyle A} I {\displaystyle I} R {\displaystyle R} A / I {\displaystyle A/I} R / I {\displaystyle R/I}
加群 加群 の同型定理の記述は特に単純です。なぜなら、 任意の部分加群 から 商加群 を形成できるからです。 ベクトル空間 （ 体 上の加群）と アーベル群 （ 上の加群） の同型定理は、 これらの特別な場合です。 有限次元 ベクトル空間の場合、これらの定理はすべて階数 零定理 から従います。 Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
以下では、「加群」とは、 ある固定された環 Rに対する「 R 加群」を意味します。
定理A（加群） と を 加群とし、 を 加群準同型 とします 。このとき、 M {\displaystyle M} N {\displaystyle N} φ : M → N {\displaystyle \varphi :M\rightarrow N}
の 核 は の部分加群であり 、 φ {\displaystyle \varphi } M {\displaystyle M} の 像 は の部分加群であり 、 φ {\displaystyle \varphi } N {\displaystyle N} の像は 商加群 と 同型で ある 。 φ {\displaystyle \varphi } M / ker φ {\displaystyle M/\ker \varphi } 特に、 が射影的であれば、 はと同型である 。 φ {\displaystyle \varphi } N {\displaystyle N} M / ker φ {\displaystyle M/\ker \varphi }
定理B（加群） を加 群とし、 とを の部分加群とする 。すると、 M {\displaystyle M} S {\displaystyle S} T {\displaystyle T} M {\displaystyle M}
和は の部分加群であり 、 S + T = { s + t ∣ s ∈ S , t ∈ T } {\displaystyle S+T=\{s+t\mid s\in S,t\in T\}} M {\displaystyle M} 積は の部分加群であり 、 S ∩ T {\displaystyle S\cap T} M {\displaystyle M} 商加群 と は 同型である。 ( S + T ) / T {\displaystyle (S+T)/T} S / ( S ∩ T ) {\displaystyle S/(S\cap T)}
定理C（加群） M を 加群、 T を M の部分加群 とする 。
がの 部分加群であって となる 場合 、 は の部分加群である 。 S {\displaystyle S} M {\displaystyle M} T ⊆ S ⊆ M {\displaystyle T\subseteq S\subseteq M} S / T {\displaystyle S/T} M / T {\displaystyle M/T} のすべての部分加群は、 となる の ある 部分加群に対して の形をとる 。 M / T {\displaystyle M/T} S / T {\displaystyle S/T} S {\displaystyle S} M {\displaystyle M} T ⊆ S ⊆ M {\displaystyle T\subseteq S\subseteq M} がの 部分加群であって となる 場合 、商加群は と同型である 。 S {\displaystyle S} M {\displaystyle M} T ⊆ S ⊆ M {\displaystyle T\subseteq S\subseteq M} ( M / T ) / ( S / T ) {\displaystyle (M/T)/(S/T)} M / S {\displaystyle M/S}
定理D（加群） を加 群、 の部分加群とする。 を含むの部分加 群と の部分加群 の間には一対一の関係がある 。対応は すべてのに対して で与えられる 。この対応は、和と積を取る処理と可換である（すなわち、 は の部分加群の格子と を 含む の部分加群の格子の間に 格子同型で ある）。 [ 17] M {\displaystyle M} N {\displaystyle N} M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} N {\displaystyle N} M / N {\displaystyle M/N} A ↔ A / N {\displaystyle A\leftrightarrow A/N} A ⊇ N {\displaystyle A\supseteq N} M / N {\displaystyle M/N} M {\displaystyle M} N {\displaystyle N}
普遍代数 これを 普遍代数に一般化するには、正規部分群を 合同関係 に置き換える必要がある 。
代数 上の 合同とは 、 を成分ごとの演算を持つ代数として考えると、 の部分代数を形成する 同値関係 である。代表を介して演算を定義することで、 同値類 の集合を同じ型の代数に することができる。 は の部分代数である ため、これは 明確に定義さ れる。結果として得られる構造は 商代数 である。 A {\displaystyle A} Φ ⊆ A × A {\displaystyle \Phi \subseteq A\times A} A × A {\displaystyle A\times A} A / Φ {\displaystyle A/\Phi } Φ {\displaystyle \Phi } A × A {\displaystyle A\times A}
定理A（普遍代数） を代数準 同型 とする 。すると、の像は の部分代数となり、 （つまり の 核 ）によって与えられる関係は 上の合同となり 、代数と は と 同型 となる 。（群の場合、 と は等しい。したがって、この場合、群論で使用される核の概念が再現される。） f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} f {\displaystyle f} B {\displaystyle B} Φ : f ( x ) = f ( y ) {\displaystyle \Phi :f(x)=f(y)} f {\displaystyle f} A {\displaystyle A} A / Φ {\displaystyle A/\Phi } im f {\displaystyle \operatorname {im} f} f ( x ) = f ( y ) {\displaystyle f(x)=f(y)} f ( x y − 1 ) = 1 {\displaystyle f(xy^{-1})=1}
定理B（普遍代数） 代数 、 の部分代数 、および 上の 合同式が与えられたとき 、 における の跡と と交わる同値類の集合を とします 。 すると 、 A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} A {\displaystyle A} Φ {\displaystyle \Phi } A {\displaystyle A} Φ B = Φ ∩ ( B × B ) {\displaystyle \Phi _{B}=\Phi \cap (B\times B)} Φ {\displaystyle \Phi } B {\displaystyle B} [ B ] Φ = { K ∈ A / Φ : K ∩ B ≠ ∅ } {\displaystyle [B]^{\Phi }=\{K\in A/\Phi :K\cap B\neq \emptyset \}} B {\displaystyle B}
Φ B {\displaystyle \Phi _{B}} 上の合同式であり 、 B {\displaystyle B} [ B ] Φ {\displaystyle \ [B]^{\Phi }} は の部分代数であり 、 A / Φ {\displaystyle A/\Phi } 代数は 代数 と同型 です [ B ] Φ {\displaystyle [B]^{\Phi }} B / Φ B {\displaystyle B/\Phi _{B}}
定理C（普遍代数） を代数 とし、 が 上 の2つの合同関係であって となるものとしよう 。すると は 上の合同であり 、 は と 同型である。 A {\displaystyle A} Φ , Ψ {\displaystyle \Phi ,\Psi } A {\displaystyle A} Ψ ⊆ Φ {\displaystyle \Psi \subseteq \Phi } Φ / Ψ = { ( [ a ′ ] Ψ , [ a ″ ] Ψ ) : ( a ′ , a ″ ) ∈ Φ } = [ ] Ψ ∘ Φ ∘ [ ] Ψ − 1 {\displaystyle \Phi /\Psi =\{([a']_{\Psi },[a'']_{\Psi }):(a',a'')\in \Phi \}=[\ ]_{\Psi }\circ \Phi \circ [\ ]_{\Psi }^{-1}} A / Ψ {\displaystyle A/\Psi } A / Φ {\displaystyle A/\Phi } ( A / Ψ ) / ( Φ / Ψ ) . {\displaystyle (A/\Psi )/(\Phi /\Psi ).}
定理D（普遍代数） を代数とし、 上のすべての合同性の集合を と表記する 。 この 集合は 包含関係によって順序付けられた 完全格子で ある。 [18] が合同であり、 を含むすべての合同性の集合を と表記する （すなわち、 は の 主 フィルタ であり、さらに部分格子である）
場合 、写像は 格子同型である。 [19] [20] A {\displaystyle A} Con A {\displaystyle \operatorname {Con} A} A {\displaystyle A} Con A {\displaystyle \operatorname {Con} A} Φ ∈ Con A {\displaystyle \Phi \in \operatorname {Con} A} [ Φ , A × A ] ⊆ Con A {\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]\subseteq \operatorname {Con} A} Φ {\displaystyle \Phi } [ Φ , A × A ] {\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]} Con A {\displaystyle \operatorname {Con} A} α : [ Φ , A × A ] → Con ( A / Φ ) , Ψ ↦ Ψ / Φ {\displaystyle \alpha :\left[\Phi ,A\times A\right]\to \operatorname {Con} (A/\Phi ),\Psi \mapsto \Psi /\Phi }
注 ^ ab Milne (2013)、第1章、準 同型に関する定理 ^ I. Martin Isaacs (1994). Algebra: A Graduate Course . American Mathematical Soc. p. 33. ISBN 978-0-8218-4799-2 . ^ Paul Moritz Cohn (2000). Classic Algebra . Wiley. p. 245. ISBN 978-0-471-87731-8 . ^ Wilson, Robert A. (2009). The Finite Simple Groups . Graduate Texts in Mathematics 251. Vol. 251. Springer-Verlag London. p. 7. doi :10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-4471-2527-3 . ^ Jacobson (2009), sec 1.10 ^ van der Waerden, Algebra (1994). ^ Durbin (2009), sec. 54 ^ [名前は] [van der Waerden 1994] [7]と基本的に同じです ^ Knapp (2016), sec IV 2 ^ Grillet (2007), sec. I 5 ^ Rotman (2003)、2.6節 ^ Fraleigh (2003)、14章、34節 ^ Dummit, David Steven (2004). 抽象代数 . Richard M. Foote (第3版). ホーボーケン、ニュージャージー州: John Wiley and Sons, Inc. pp. 97– 98. ISBN 0-471-43334-9 . OCLC 52559229. ^ Scott (1964)、2.2節と2.3節 ^ Moy, Samuel (2022). 「体拡大理論入門」 (PDF) . シカゴ大学数学科 . 2022年 12月20日 閲覧 ^ ^ Dummit and Foote (2004), p. 349 ^ Burris and Sankappanavar (2012), p. 37 ^ Burris and Sankappanavar (2012), p. 49 ^ Sun, William. 「対応定理の一般形は存在するか？」 Mathematics StackExchange . 2019年 7月20日 閲覧 。
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![{\displaystyle [B]^{\Phi }=\{K\in A/\Phi :K\cap B\neq \emptyset \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f08f1ef6d27988420cc5c16da7ebc2a675588e)
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![{\displaystyle \Phi /\Psi =\{([a']_{\Psi },[a'']_{\Psi }):(a',a'')\in \Phi \}=[\ ]_{\Psi }\circ \Phi \circ [\ ]_{\Psi }^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5cb4e3405a238a39279e28854eb9301cad0eb18)
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