限界代替率

Rate at which a consumer can replace one good with another while maintaining the same utility

経済学において、限界代替率（MRS ）とは、消費者が効用水準を維持しながら、ある財の一定量を別の財と交換できる割合のことである。均衡消費水準（外部要因がないと仮定）においては、限界代替率は同一である。限界代替率は、限界生産性を構成する3つの要素のうちの1つであり、他の2つは限界変換率と要素の限界生産性である。^[1]

無差別曲線の傾き

新古典派経済学の標準的な仮定、すなわち財とサービスは連続的に分割可能であるという仮定の下では、限界代替率は交換の方向に関わらず同じであり、その時点での消費バンドルを通過する無差別曲線の傾き（より正確には、傾きに-1を乗じた値）に対応する。数学的には、これは暗黙の導関数である。XのYに対する限界代替率は、消費者が局所的にX 1単位と交換できるYの量である。MRSは無差別曲線上の各点で異なるため、定義において場所を考慮することが重要である。さらにこの仮定、あるいは効用が定量化されているという仮定の下では、財またはサービスXの限界代替率（Xと引き換えに放棄される財またはサービスYの単位数）は、Xの限界効用をYの限界効用で割った値（MRS _xy）に等しい。正式には、

${\displaystyle MRS_{xy}=-m_{\mathrm {indif} }=-(dy/dx)\,}$

${\displaystyle MRS_{xy}=MU_{x}/MU_{y}\,}$

一定の効用（無差別曲線上の点）を与える財 X と財 Y の束を比較する場合、 X の限界効用は放棄される Y の単位で測定されることに注意することが重要です。

たとえば、MRS _xy  = 2 の場合、消費者は 2 単位の Y を放棄して、1 単位の X を追加します。

（標準的な凸型の）無差別曲線を下方に移動すると、限界代替率は低下します（無差別曲線の傾きの絶対値で測定され、これは減少します）。これは限界代替率逓減の法則として知られています。

無差別曲線は原点に対して凸型であり、MRSを無差別曲線の負の傾きとして定義しているので、

${\displaystyle \ MRS_{xy}\geq 0}$

簡単な数学的分析

消費者効用関数が で定義されるものと仮定する。ここで、Uは消費者効用、xとyは財である。この場合、限界代替率は の偏微分によって以下のように計算できる。 ${\displaystyle U(x,y)}$

また、次の点に注意してください。

${\displaystyle \ MU_{x}=\partial U/\partial x}$

${\displaystyle \ MU_{y}=\partial U/\partial y}$

ここで、 は財xに関する限界効用であり、は財yに関する限界効用です。 ${\displaystyle \ MU_{x}}$ ${\displaystyle \ MU_{y}}$

効用関数方程式の全微分をとると、次の結果が得られます。

${\displaystyle \ dU=(\partial U/\partial x)dx+(\partial U/\partial y)dy}$または上記から代用して、

${\displaystyle \ dU=MU_{x}dx+MU_{y}dy}$、あるいは一般性を失うことなく、財xに関する効用関数の全微分、

${\displaystyle {\frac {dU}{dx}}=MU_{x}{\frac {dx}{dx}}+MU_{y}{\frac {dy}{dx}}}$つまり、

${\displaystyle {\frac {dU}{dx}}=MU_{x}+MU_{y}{\frac {dy}{dx}}}$。

無差別曲線上のどの点においても、dU/dx = 0となります。これは、U  =  c （ cは定数）だからです。上記の式から、以下の式が成り立ちます。

${\displaystyle 0=MU_{x}+MU_{y}{\frac {dy}{dx}}}$、または並べ替え

${\displaystyle -{\frac {dy}{dx}}={\frac {MU_{x}}{MU_{y}}}}$

限界代替率は、関心のある財束の量における無差別曲線の傾きの絶対値として定義されます。これは限界効用比に等しくなります。

${\displaystyle \ MRS_{xy}=MU_{x}/MU_{y}\,}$。

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消費者が予算制約に関して効用を最大化する場合、無差別曲線は予算線に接するため、mは傾きを表します。

${\displaystyle \ m_{\mathrm {indif} }=m_{\mathrm {budget} }}$

${\displaystyle \ -(MRS_{xy})=-(P_{x}/P_{y})}$

${\displaystyle \ MRS_{xy}=P_{x}/P_{y}}$

したがって、消費者が予算ライン上で効用最大化市場バスケットを選択する場合、

${\displaystyle \ MU_{x}/MU_{y}=P_{x}/P_{y}}$

${\displaystyle \ MU_{x}/P_{x}=MU_{y}/P_{y}}$

この重要な結果は、消費者の予算が、支出額1単位あたりの限界効用が各財で等しくなるように配分されたときに、効用が最大化されることを示しています。この等式が成り立たない場合、消費者は、支出額1単位あたりの限界効用が低い財への支出を削減し、他の財への支出を増やすことで、効用を高めることができます。限界代替率を低下させるには、消費者は限界効用が減少することを望む財をより多く購入する必要があります（限界効用逓減の法則による）。

限界代替率の逓減

経済理論の重要な原則は、財 Y が財 X に置き換えられるにつれて、財 Y の限界代替率が減少するというものです。言い換えると、消費者が財 X をより多く持つようになるにつれて、財 Y を放棄する用意がますます少なくなるということです。

これは、消費者の X の在庫が増加し、Y の在庫が減少するにつれて、X の所定の増加に対して消費者が放棄する Y の量がますます少なくなることを意味します。言い換えると、消費者の X が増え、Y が少なくなるにつれて、X の Y に対する限界代替率は低下します。X の Y に対する限界代替率が減少することは、無差別曲線のさまざまな点で接線を描くことによってもわかります。

MRSを使用して凸性を決定する

消費者の効用関数が凸型かどうかを判断するという観点から、消費者の効用関数を分析する場合。2 つの財の範囲について、簡単な微分テスト (MRS の微分を取得) を適用して、消費者の選好が凸型かどうかを判断できます。MRS の微分が負の場合、効用曲線は下に凹型になり、最大値を持ち、最大値の両側で減少することを意味します。この効用曲線は、小文字の n のような外観になることがあります。MRS の微分が 0 に等しい場合、効用曲線は線形になり、傾きは効用曲線全体で一定になります。MRS の微分が正の場合、効用曲線は上に凸型になり、最小値を持ち、最小値の両側で増加することを意味します。この効用曲線は、u のような外観になることがあります。これらのステートメントを数学的に以下に示します。

${\displaystyle \ {\frac {dMRS_{xy}}{dx}}<0{\text{ Non Convexity of Utility Function}}}$

${\displaystyle \ {\frac {dMRS_{xy}}{dx}}=0{\text{ Weak Convexity of Utility Function}}}$

${\displaystyle \ {\frac {dMRS_{xy}}{dx}}>0{\text{ Strict Convexity of Utility Function}}}$

2 つ以上の変数の場合は、ヘッセ行列の使用が必要です。

参照

• 限界概念
• 技術的代替の限界率（生産側でも同じ概念）
• 無差別曲線
• 消費者理論
• 凸面の好み
• 暗黙の微分
• 労働経済学

参考文献

1. ドルフマン (2008)「限界生産性理論」

アダム・ヘイズ (2021年3月31日). 限界代替率の内幕. Investopedia. ジェレリン, R. (2017年5月30日). 限界代替率逓減 | 無差別曲線 | 経済学. 経済学の議論

• クルーグマン、ポール、ウェルズ、ロビン(2008).ミクロ経済学（第2版）. パルグレイブ. ISBN 978-0-7167-7159-3。
• ピンディック、ロバート・S. ;ルビンフェルド、ダニエル・L. (2005).ミクロ経済学（第6版）. ピアソン・プレンティス・ホール. ISBN 0-13-008461-1。
• Dorfman, R. (2008). 「限界生産性理論」. Palgrave Macmillan (編). The New Palgrave Dictionary of Economics . London: Palgrave Macmillan. pp.  1– 5. doi :10.1057/978-1-349-95121-5_988-2. ISBN 978-1-349-95121-5– SpringerLink経由。

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