Mathematical function
数学 において 、 マシュー関数（または 角マシュー関数 とも呼ばれる ）は、マシューの 微分方程式の解である。
d 2 y d x 2 + ( a − 2 q cos ( 2 x ) ) y = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(a-2q\cos(2x))y=0,} ここで 、a、qは 実 数値パラメータ です。q の 符号を変えるために x に π/2を加えることがあるため、 q ≥ 0 とするのが慣例です 。
これらはエミール・レオナール・マチュー によって初めて導入されました 。彼は振動する楕円形の ドラムヘッドの 研究中にこれらに遭遇しました。 [1] [2] [3]これらは 光学 、 量子力学 、 一般相対性理論 など、物理科学の多くの分野に応用されています。これらは周期運動を含む問題や、 楕円 対称性を持つ 偏微分方程式 （PDE）の 境界値問題 の解析でよく見られます 。 [4]
意味
マシュー関数 いくつかの用法では、 マシュー関数は、 および の任意の値に対するマシュー微分方程式の解を指します 。混乱が生じない場合、他の著者はこの用語を、 および の特別な値に対してのみ存在する - または -周期解のみを指すために使用します 。 [5] より正確には、与えられた（実数）に対して、 そのような周期解は、 の無限の数の値に対して存在し、 特性数 と呼ばれ、 に対して、通常、 2 つの別々の数列 および としてインデックス付けされます 。対応する関数は、それぞれ、および で 表されます。これらは 、コサイン楕円関数 および サイン楕円関数 、あるいは 第 1 種のマシュー関数 と呼ばれることもあります 。 a {\displaystyle a} q {\displaystyle q} π {\displaystyle \pi } 2 π {\displaystyle 2\pi } a {\displaystyle a} q {\displaystyle q} q {\displaystyle q} a {\displaystyle a} a n ( q ) {\displaystyle a_{n}(q)} b n ( q ) {\displaystyle b_{n}(q)} n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\ldots } ce n ( x , q ) {\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)} se n ( x , q ) {\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}
が実数であると仮定した結果 、特性数とそれに関連する関数は両方とも実数値となる。 [6] q {\displaystyle q}
ce n ( x , q ) {\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)} さらに 偶奇性 と周期性（どちらも に関して） によって次のように分類できる ： [5] se n ( x , q ) {\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)} x {\displaystyle x}
関数 パリティ 期間 ce n , n even {\displaystyle {\text{ce}}_{n},\ n{\text{ even}}} 平 π {\displaystyle \pi } ce n , n odd {\displaystyle {\text{ce}}_{n},\ n{\text{ odd}}} 平 2 π {\displaystyle 2\pi } se n , n even {\displaystyle {\text{se}}_{n},\ n{\text{ even}}} 奇数 π {\displaystyle \pi } se n , n odd {\displaystyle {\text{se}}_{n},\ n{\text{ odd}}} 奇数 2 π {\displaystyle 2\pi }
整数 による添え字は 、特性数を昇順に並べるのに役立つだけでなく、 と が および に 比例する点で便利です 。が 整数 であることから、 とは （第一種）整数位の Mathieu 関数として 分類されます。一般の とについては 、これら以外にも、分数位の Mathieu 関数や非周期解など、解を定義できます。 n {\displaystyle n} ce n ( x , q ) {\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)} se n ( x , q ) {\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)} cos n x {\displaystyle \cos nx} sin n x {\displaystyle \sin nx} q → 0 {\displaystyle q\rightarrow 0} n {\displaystyle n} ce n {\displaystyle {\text{ce}}_{n}} se n {\displaystyle {\text{se}}_{n}} a {\displaystyle a} q {\displaystyle q}
修正されたマシュー関数 密接に関連しているのは、 マシューの修正微分方程式 の解である 修正マシュー関数（ラジアルマシュー関数とも呼ばれる）である。
d 2 y d x 2 − ( a − 2 q cosh 2 x ) y = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-(a-2q\cosh 2x)y=0,} これは とすることで元のマシュー方程式と関連付けられる。したがって、 および で表される第一種整列の修正マシュー関数は、 [7] から定義される。 x → ± i x {\displaystyle x\to \pm {\rm {i}}x} Ce n ( x , q ) {\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)} Se n ( x , q ) {\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}
Ce n ( x , q ) = ce n ( i x , q ) . Se n ( x , q ) = − i se n ( i x , q ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(x,q)&={\text{ce}}_{n}({\rm {i}}x,q).\\{\text{Se}}_{n}(x,q)&=-{\rm {i}}\,{\text{se}}_{n}({\rm {i}}x,q).\end{aligned}}} これらの関数は、 が実数の場合に実数値になります 。 x {\displaystyle x}
正規化 この記事全体で採用される 一般的な標準化 [8]は、
∫ 0 2 π ce n ( x , q ) 2 d x = ∫ 0 2 π se n ( x , q ) 2 d x = π {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}(x,q)^{2}dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}(x,q)^{2}dx=\pi } および も必要 です 。 ce n ( x , q ) → + cos n x {\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)\rightarrow +\cos nx} se n ( x , q ) → + sin n x {\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)\rightarrow +\sin nx} q → 0 {\displaystyle q\rightarrow 0}
フロケ理論 マシュー微分方程式の多くの性質は、周期係数を持つ常微分方程式の一般理論、すなわちフロケ理論 から導かれる 。その中心的な結論は フロケの定理 である。
特性数を、 となる 値と関連付けるのが自然です 。 [10] ただし、 マシュー方程式が実際には任意の 、 に対して 2 つの独立した解を持つ場合、 定理は を満たす少なくとも 1 つの解の存在を保証するだけであることに 注意してください。 実際、 が特性数の 1 つに等しい場合、マシュー方程式には 1 つの周期解 (つまり、周期 または ) しかなく、この解は 、のいずれかであることがわかります 。 もう 1 つの解は非周期解で、それぞれ および で表され 、 第 2 種のマシュー関数 と呼ばれます 。 [11]この結果は、正式には インスの定理 として述べられます 。 a ( q ) {\displaystyle a(q)} a {\displaystyle a} σ = ± 1 {\displaystyle \sigma =\pm 1} y ( x + π ) = σ y ( x ) {\displaystyle y(x+\pi )=\sigma y(x)} a {\displaystyle a} q {\displaystyle q} a {\displaystyle a} π {\displaystyle \pi } 2 π {\displaystyle 2\pi } ce n ( x , q ) {\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)} se n ( x , q ) {\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)} fe n ( x , q ) {\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)} ge n ( x , q ) {\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}
フロケの定理の 例（ 、 、 （実部、赤、虚部、緑）） P ( a , q , x ) {\displaystyle P(a,q,x)} a = 1 {\displaystyle a=1} q = 1 / 5 {\displaystyle q=1/5} μ ≈ 1 + 0.0995 i {\displaystyle \mu \approx 1+0.0995i} フロケの定理と同等のことは、マシュー方程式が次のような複素数値解を持つということである。
F ( a , q , x ) = exp ( i μ x ) P ( a , q , x ) , {\displaystyle F(a,q,x)=\exp(i\mu \,x)\,P(a,q,x),} ここで 、 は 複素数 、 フロケ指数 （または マシュー指数 ）、 は 周期 で 周期的な複素数値関数です。 右に 例を示します。 μ {\displaystyle \mu } P {\displaystyle P} x {\displaystyle x} π {\displaystyle \pi } P ( a , q , x ) {\displaystyle P(a,q,x)}
パラメータ空間における安定性 マシュー方程式には2つのパラメータがあります。フロケ理論によれば、これらのパラメータをほぼすべて選択した場合、任意の解はゼロに収束するか、無限大に発散するかのいずれかになります。
マシュー方程式が （ ）としてパラメータ化されている場合 、安定領域と不安定領域は次の曲線によって分離されます。 x ¨ + k ( 1 − m cos ( t ) ) x = 0 {\displaystyle {\ddot {x}}+k(1-m\cos(t))x=0} k ∈ R , m ≥ 0 {\displaystyle k\in \mathbb {R} ,m\geq 0}
m ( k ) = { 2 k ( k − 1 ) ( k − 4 ) 3 k − 8 , k < 0 ; 1 4 [ ( 9 − 4 k ) ( 13 − 20 k ) − ( 9 − 4 k ) ] , 0 < k < 1 4 ; 1 4 [ 9 − 4 k ∓ ( 9 − 4 k ) ( 13 − 20 k ) ] , 1 4 < k < 13 20 ; 2 ( k − 1 ) ( k − 4 ) ( k − 9 ) k − 5 , 13 20 < k < 1 ; 2 k ( k − 1 ) ( k − 4 ) 3 k − 8 , k > 1. {\displaystyle m(k)={\begin{cases}2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k<0;\\[4pt]{\frac {1}{4}}\left[{\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}-(9-4k)\right],&0<k<{\frac {1}{4}};\\[10pt]{\frac {1}{4}}\left[9-4k\mp {\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}\right],&{\frac {1}{4}}<k<{\frac {13}{20}};\\[6pt]{\sqrt {\frac {2(k-1)(k-4)(k-9)}{k-5}}},&{\frac {13}{20}}<k<1;\\[2pt]2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k>1.\end{cases}}}
他の種類のマシュー関数
第二種 マシュー方程式は2階微分方程式であるため、2つの線形独立な解を構築できる。フロケの理論によれば、 が特性数に等しい場合、これらの解の一方は周期的、もう一方は非周期的とみなせる。周期的な解は と のいずれかであり 、 第一種積分位数のマシュー関数と呼ばれる。非周期的な解はそれぞれ と で示され 、第二種（積分位数）のマシュー関数と呼ばれる。非周期的な解は不安定であり、 のときに発散する 。 [14] a {\displaystyle a} ce n ( x , q ) {\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)} se n ( x , q ) {\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)} fe n ( x , q ) {\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)} ge n ( x , q ) {\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)} z → ± ∞ {\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }
修正されたマシュー関数およびに対応する2番目の解は 、自然に および として定義されます 。 Ce n ( x , q ) {\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)} Se n ( x , q ) {\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)} Fe n ( x , q ) = − i fe n ( x i , q ) {\displaystyle {\text{Fe}}_{n}(x,q)=-i{\text{fe}}_{n}(xi,q)} Ge n ( x , q ) = ge n ( x i , q ) {\displaystyle {\text{Ge}}_{n}(x,q)={\text{ge}}_{n}(xi,q)}
分数注文 分数階の Mathieu 関数は、 非整数の解 およびが のとき および になる ものとして定義できます 。 [7] が無理数の場合 、それらは非周期的ですが、 として有界のままです 。 ce p ( x , q ) {\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)} se p ( x , q ) {\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)} p {\displaystyle p} cos p x {\displaystyle \cos px} sin p x {\displaystyle \sin px} q → 0 {\displaystyle q\rightarrow 0} p {\displaystyle p} x → ∞ {\displaystyle x\rightarrow \infty }
非整数のときの解と の重要な性質は 、 の 同じ値に対してこれらが存在することです 。対照的に、 が整数のときは、 は 同じ値に対して と は決して発生しません 。（上記のインスの定理を参照。） ce p ( x , q ) {\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)} se p ( x , q ) {\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)} p {\displaystyle p} a {\displaystyle a} p {\displaystyle p} ce p ( x , q ) {\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)} se p ( x , q ) {\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)} a {\displaystyle a}
これらの分類は以下の表にまとめられています。修正マシュー関数の対応するものも同様に定義されています。
マシュー関数の分類 [15] 注文 第一種 第二種 積分 ce n ( x , q ) {\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)} fe n ( x , q ) {\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)} 積分 se n ( x , q ) {\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)} ge n ( x , q ) {\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)} 分数 （ 非整数） p {\displaystyle p}
ce p ( x , q ) {\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)} se p ( x , q ) {\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}
明示的な表現と計算
第一種 第一種マシュー関数は フーリエ級数 として表すことができる： [5]
ce 2 n ( x , q ) = ∑ r = 0 ∞ A 2 r ( 2 n ) ( q ) cos ( 2 r x ) ce 2 n + 1 ( x , q ) = ∑ r = 0 ∞ A 2 r + 1 ( 2 n + 1 ) ( q ) cos [ ( 2 r + 1 ) x ] se 2 n + 1 ( x , q ) = ∑ r = 0 ∞ B 2 r + 1 ( 2 n + 1 ) ( q ) sin [ ( 2 r + 1 ) x ] se 2 n + 2 ( x , q ) = ∑ r = 0 ∞ B 2 r + 2 ( 2 n + 2 ) ( q ) sin [ ( 2 r + 2 ) x ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ce}}_{2n}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r}^{(2n)}(q)\cos(2rx)\\{\text{ce}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\cos \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\sin \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+2}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+2}^{(2n+2)}(q)\sin \left[(2r+2)x\right]\\\end{aligned}}} 展開係数 と は の関数である が とは独立である。マシュー方程式に代入することにより、これらは下指数において3項漸化 式 に従うことが示される 。例えば、それぞれについて [ 16] A j ( i ) ( q ) {\displaystyle A_{j}^{(i)}(q)} B j ( i ) ( q ) {\displaystyle B_{j}^{(i)}(q)} q {\displaystyle q} x {\displaystyle x} ce 2 n {\displaystyle {\text{ce}}_{2n}}
a A 0 − q A 2 = 0 ( a − 4 ) A 2 − q ( A 4 + 2 A 0 ) = 0 ( a − 4 r 2 ) A 2 r − q ( A 2 r + 2 + A 2 r − 2 ) = 0 , r ≥ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}aA_{0}-qA_{2}&=0\\(a-4)A_{2}-q(A_{4}+2A_{0})&=0\\(a-4r^{2})A_{2r}-q(A_{2r+2}+A_{2r-2})&=0,\quad r\geq 2\end{aligned}}} 指数 の2次回帰式であるので 、常に2つの独立解とが見つかり 、 一般解は 2つの 線形結合 として表すことができます。さらに、この特定のケースでは、漸近解析 [17] により、基本解の1つの可能な選択肢が以下の性質を持つことが示されています。 2 r {\displaystyle 2r} X 2 r {\displaystyle X_{2r}} Y 2 r {\displaystyle Y_{2r}} A 2 r = c 1 X 2 r + c 2 Y 2 r {\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}
X 2 r = r − 2 r − 1 ( − e 2 q 4 ) r [ 1 + O ( r − 1 ) ] Y 2 r = r 2 r − 1 ( − 4 e 2 q ) r [ 1 + O ( r − 1 ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}X_{2r}&=r^{-2r-1}\left(-{\frac {e^{2}q}{4}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\\Y_{2r}&=r^{2r-1}\left(-{\frac {4}{e^{2}q}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\end{aligned}}} 特に、 は有限であるのに対し、 は発散します。 と書くと 、 のフーリエ級数表現が 収束するためには、 が となるように選択されなければならないことがわかります。 のこれらの選択は、 特性数に対応しています。 X 2 r {\displaystyle X_{2r}} Y 2 r {\displaystyle Y_{2r}} A 2 r = c 1 X 2 r + c 2 Y 2 r {\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}} ce 2 n {\displaystyle {\text{ce}}_{2n}} a {\displaystyle a} c 2 = 0. {\displaystyle c_{2}=0.} a {\displaystyle a}
しかしながら、一般に、変数係数を持つ3項漸化式の解は単純な方法で表現することができないため、 条件 から
を決定する簡単な方法はありません。さらに、特性数の近似値が分かっているとしても、 を増加する方向に漸化式を数値的に反復することで 係数を求めることはできません 。その理由は、 が特性数を近似するだけである限り 、 は同一ではなく、 十分に大きい に対しては最終的に 発散解が優勢になるためです 。 a {\displaystyle a} c 2 = 0 {\displaystyle c_{2}=0} A 2 r {\displaystyle A_{2r}} r {\displaystyle r} a {\displaystyle a} c 2 {\displaystyle c_{2}} 0 {\displaystyle 0} Y 2 r {\displaystyle Y_{2r}} r {\displaystyle r}
これらの問題を克服するためには、より洗練された半解析的/数値的アプローチ、例えば 連分数 展開 [18] [5] の使用、再帰を 行列 固有値問題として扱うこと [19] 、または後方再帰アルゴリズムの実装 [17] などが必要である。3項再帰関係の複雑さは、マシュー関数を含む単純な公式や恒等式がほとんど存在しない理由の1つである。 [20]
実際には、マシュー関数とそれに対応する特性数は、 Mathematica 、 Maple 、 MATLAB 、 SciPy などのパッケージ済みソフトウェアを用いて計算できます 。 の値が小さく 、 の次数が低い場合、それらは のべき 級数 として摂動的に表現することもでき 、これは物理学の応用において有用です。 [21] q {\displaystyle q} n {\displaystyle n} q {\displaystyle q}
第二種 第二種マシュー関数を表現する方法はいくつかある。 [22]一つの表現法は ベッセル関数 である 。 [23]
fe 2 n ( x , q ) = − π γ n 2 ∑ r = 0 ∞ ( − 1 ) r + n A 2 r ( 2 n ) ( − q ) Im [ J r ( q e i x ) Y r ( q e − i x ) ] , where γ n = { 2 , if n = 0 2 n , if n ≥ 1 fe 2 n + 1 ( x , q ) = π q 2 ∑ r = 0 ∞ ( − 1 ) r + n A 2 r + 1 ( 2 n + 1 ) ( − q ) Im [ J r ( q e i x ) Y r + 1 ( q e − i x ) + J r + 1 ( q e i x ) Y r ( q e − i x ) ] ge 2 n + 1 ( x , q ) = − π q 2 ∑ r = 0 ∞ ( − 1 ) r + n B 2 r + 1 ( 2 n + 1 ) ( − q ) Re [ J r ( q e i x ) Y r + 1 ( q e − i x ) − J r + 1 ( q e i x ) Y r ( q e − i x ) ] ge 2 n + 2 ( x , q ) = − π q 4 ( n + 1 ) ∑ r = 0 ∞ ( − 1 ) r + n B 2 r + 2 ( 2 n + 2 ) ( − q ) Re [ J r ( q e i x ) Y r + 2 ( q e − i x ) − J r + 2 ( q e i x ) Y r ( q e − i x ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{fe}}_{2n}(x,q)&=-{\frac {\pi \gamma _{n}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r}^{(2n)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})],\quad {\text{where }}\gamma _{n}=\left\{{\begin{array}{cc}{\sqrt {2}},&{\text{ if }}n=0\\2n,&{\text{ if }}n\geq 1\end{array}}\right.\\{\text{fe}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})+J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+1}(x,q)&=-{\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+2}(x,q)&=-{\frac {\pi q}{4(n+1)}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+2}^{(2n+2)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+2}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+2}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\end{aligned}}} ここで 、、、 は 第1種および第2種のベッセル関数です。 n , q > 0 {\displaystyle n,q>0} J r ( x ) {\displaystyle J_{r}(x)} Y r ( x ) {\displaystyle Y_{r}(x)}
変更された機能 修正マシュー関数の数値評価の伝統的なアプローチは、ベッセル関数の積級数を用いるものである。 [24] とが 大きい場合、 減算 誤差を避けるために級数の形式を慎重に選択する必要がある 。 [25] [26] n {\displaystyle n} q {\displaystyle q}
プロパティ マシュー関数を含む解析的表現や恒等式は比較的少ない。さらに、他の多くの 特殊関数 とは異なり、マシュー方程式の解は一般に超 幾何関数 で表すことができない。これは、変数変換を用いてマシュー方程式を代数形式に変換するとわかる 。 t = cos ( x ) {\displaystyle t=\cos(x)}
( 1 − t 2 ) d 2 y d t 2 − t d y d t + ( a + 2 q ( 1 − 2 t 2 ) ) y = 0. {\displaystyle (1-t^{2}){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-t\,{\frac {dy}{dt}}+(a+2q(1-2t^{2}))\,y=0.} この方程式は無限遠に不規則特異点を持つため、超幾何型の方程式に変換することはできない。 [20]
質的行動 第一種マシュー関数のサンプルプロット 変化に対する プロット ce 1 ( x , q ) {\displaystyle {\text{ce}}_{1}(x,q)} q {\displaystyle q} が小さい場合 、、 およびは、 およびと 同様に振舞います 。任意の の場合 、これらは三角関数の対応するものとは大きく異なる可能性がありますが、一般に周期性を保ちます。さらに、任意の実数 の場合 、、 およびは において ちょうど 単純な零点 を持ち、 零点が の周囲に密集しているため、 となります 。 [27] [28] q {\displaystyle q} ce n {\displaystyle {\text{ce}}_{n}} se n {\displaystyle {\text{se}}_{n}} cos n x {\displaystyle \cos nx} sin n x {\displaystyle \sin nx} q {\displaystyle q} q {\displaystyle q} ce m ( x , q ) {\displaystyle {\text{ce}}_{m}(x,q)} se m + 1 ( x , q ) {\displaystyle {\text{se}}_{m+1}(x,q)} m {\displaystyle m} 0 < x < π {\displaystyle 0<x<\pi } q → ∞ {\displaystyle q\rightarrow \infty } x = π / 2 {\displaystyle x=\pi /2}
および の場合、 修正された Mathieu 関数は減衰周期関数として動作する傾向があります。 q > 0 {\displaystyle q>0} x → ∞ {\displaystyle x\rightarrow \infty }
以下では、 および のフーリエ展開における および因子 を参照することができます（明示的な表現と計算を参照）。これらは および に依存します が、 には依存しません 。 A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} ce n {\displaystyle {\text{ce}}_{n}} se n {\displaystyle {\text{se}}_{n}} q {\displaystyle q} n {\displaystyle n} x {\displaystyle x}
反省と翻訳 およびは、そのパリティと周期性により、 の 倍数による反射および並進に対して単純な性質を持つ ： [7] ce n {\displaystyle {\text{ce}}_{n}} se n {\displaystyle {\text{se}}_{n}} π {\displaystyle \pi }
ce n ( x + π ) = ( − 1 ) n ce n ( x ) se n ( x + π ) = ( − 1 ) n se n ( x ) ce n ( x + π / 2 ) = ( − 1 ) n ce n ( − x + π / 2 ) se n + 1 ( x + π / 2 ) = ( − 1 ) n se n + 1 ( − x + π / 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(x)\\&{\text{se}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{se}}_{n}(x)\\&{\text{ce}}_{n}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(-x+\pi /2)\\&{\text{se}}_{n+1}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{se}}_{n+1}(-x+\pi /2)\end{aligned}}} 負の関数を正の関数で 表すこともできる ： [5] [29] q {\displaystyle q} q {\displaystyle q}
ce 2 n + 1 ( x , − q ) = ( − 1 ) n se 2 n + 1 ( − x + π / 2 , q ) ce 2 n + 2 ( x , − q ) = ( − 1 ) n ce 2 n + 2 ( − x + π / 2 , q ) se 2 n + 1 ( x , − q ) = ( − 1 ) n ce 2 n + 1 ( − x + π / 2 , q ) se 2 n + 2 ( x , − q ) = ( − 1 ) n se 2 n + 2 ( − x + π / 2 , q ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{ce}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\end{aligned}}} さらに、
a 2 n + 1 ( q ) = b 2 n + 1 ( − q ) b 2 n + 2 ( q ) = b 2 n + 2 ( − q ) {\displaystyle {\begin{aligned}&a_{2n+1}(q)=b_{2n+1}(-q)\\&b_{2n+2}(q)=b_{2n+2}(-q)\end{aligned}}}
直交性と完全性 三角関数の や と同様に 、周期マシュー関数 と は 直交関係を満たす。 cos n x {\displaystyle \cos nx} sin n x {\displaystyle \sin nx} ce n ( x , q ) {\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)} se n ( x , q ) {\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}
∫ 0 2 π ce n ce m d x = ∫ 0 2 π se n se m d x = δ n m π ∫ 0 2 π ce n se m d x = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{ce}}_{m}\,dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=\delta _{nm}\pi \\&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=0\end{aligned}}} さらに、 固定され、を 固有値として扱うと、マシュー方程式は シュトゥルム・リウヴィル 形式となる。これは、固有関数とが 完全な集合を形成すること、すなわち、 の任意の - または - 周期関数が およびの 級数として展開できること を意味する 。 [4] q {\displaystyle q} a {\displaystyle a} ce n ( x , q ) {\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)} se n ( x , q ) {\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)} π {\displaystyle \pi } 2 π {\displaystyle 2\pi } x {\displaystyle x} ce n ( x , q ) {\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)} se n ( x , q ) {\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}
統合アイデンティティ マシュー方程式の解は、次の解である 核 に関して積分恒等式のクラスを満たす。 χ ( x , x ′ ) {\displaystyle \chi (x,x')}
∂ 2 χ ∂ x 2 − ∂ 2 χ ∂ x ′ 2 = 2 q ( cos 2 x − cos 2 x ′ ) χ {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi } より正確には、が与えられた と でマシュー方程式を解く場合 、積分 ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} a {\displaystyle a} q {\displaystyle q}
ψ ( x ) ≡ ∫ C χ ( x , x ′ ) ϕ ( x ′ ) d x ′ {\displaystyle \psi (x)\equiv \int _{C}\chi (x,x')\phi (x')dx'} ここでは 複素平面 上の経路であり、 および を用いて 、 以下の条件が満たされる場合、 マシュー方程式も解く： [30] C {\displaystyle C} a {\displaystyle a} q {\displaystyle q}
χ ( x , x ′ ) {\displaystyle \chi (x,x')} 解決する ∂ 2 χ ∂ x 2 − ∂ 2 χ ∂ x ′ 2 = 2 q ( cos 2 x − cos 2 x ′ ) χ {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi } 検討中の地域には 存在し、 分析的 である ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} χ ( x , x ′ ) {\displaystyle \chi (x,x')} ( ϕ ∂ χ ∂ x ′ − ∂ ϕ ∂ x ′ χ ) {\displaystyle \left(\phi {\frac {\partial \chi }{\partial x'}}-{\frac {\partial \phi }{\partial x'}}\chi \right)} の端点で同じ値を持ちます C {\displaystyle C} 適切な変数変換を用いることで、 の方程式は 波動方程式 に変換され 、解くことができる。例えば、一つの解は である 。このようにして得られる恒等式の例としては [31]が挙げられる。 χ {\displaystyle \chi } χ ( x , x ′ ) = sinh ( 2 q 1 / 2 sin x sin x ′ ) {\displaystyle \chi (x,x')=\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x')}
se 2 n + 1 ( x , q ) = se 2 n + 1 ′ ( 0 , q ) π q 1 / 2 B 1 ( 2 n + 1 ) ∫ 0 π sinh ( 2 q 1 / 2 sin x sin x ′ ) se 2 n + 1 ( x ′ , q ) d x ′ ( q > 0 ) Ce 2 n ( x , q ) = ce 2 n ( π / 2 , q ) π A 0 ( 2 n ) ∫ 0 π cos ( 2 q 1 / 2 cosh x cos x ′ ) ce 2 n ( x ′ , q ) d x ′ ( q > 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q)}{\pi q^{1/2}B_{1}^{(2n+1)}}}\int _{0}^{\pi }\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x'){\text{se}}_{2n+1}(x',q)dx'\qquad (q>0)\\{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&={\frac {{\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{\pi A_{0}^{(2n)}}}\int _{0}^{\pi }\cos(2q^{1/2}\cosh x\cos x'){\text{ce}}_{2n}(x',q)dx'\qquad \ \ \ (q>0)\end{aligned}}} 後者のタイプの恒等式は修正マシュー関数の漸近的性質を研究するのに有用である。 [32]
第一種と第二種の関数の間にも積分関係が存在する。例えば： [23]
fe 2 n ( x , q ) = 2 n ∫ 0 x ce 2 n ( τ , − q ) J 0 ( 2 q ( cos 2 x − cos 2 τ ) ) d τ , n ≥ 1 {\displaystyle {\text{fe}}_{2n}(x,q)=2n\int _{0}^{x}{\text{ce}}_{2n}(\tau ,-q)\ J_{0}\left({\sqrt {2q(\cos 2x-\cos 2\tau )}}\right)d\tau ,\qquad n\geq 1} 任意の複素数 および実数に対して有効です 。 x {\displaystyle x} q {\displaystyle q}
漸近展開 、、、 および に対して次の漸近展開が成り立つ ： [ 33] q > 0 {\displaystyle q>0} Im ( x ) = 0 {\displaystyle {\text{Im}}(x)=0} Re ( x ) → ∞ {\displaystyle {\text{Re}}(x)\rightarrow \infty } 2 q 1 / 2 cosh x ≃ q 1 / 2 e x {\displaystyle 2q^{1/2}\cosh x\simeq q^{1/2}e^{x}}
Ce 2 n ( x , q ) ∼ ( 2 π q 1 / 2 ) 1 / 2 ce 2 n ( 0 , q ) ce 2 n ( π / 2 , q ) A 0 ( 2 n ) ⋅ e − x / 2 sin ( q 1 / 2 e x + π 4 ) Ce 2 n + 1 ( x , q ) ∼ ( 2 π q 3 / 2 ) 1 / 2 ce 2 n + 1 ( 0 , q ) ce 2 n + 1 ′ ( π / 2 , q ) A 1 ( 2 n + 1 ) ⋅ e − x / 2 cos ( q 1 / 2 e x + π 4 ) Se 2 n + 1 ( x , q ) ∼ − ( 2 π q 3 / 2 ) 1 / 2 se 2 n + 1 ′ ( 0 , q ) se 2 n + 1 ( π / 2 , q ) B 1 ( 2 n + 1 ) ⋅ e − x / 2 cos ( q 1 / 2 e x + π 4 ) Se 2 n + 2 ( x , q ) ∼ ( 2 π q 5 / 2 ) 1 / 2 se 2 n + 2 ′ ( 0 , q ) se 2 n + 2 ′ ( π / 2 , q ) B 2 ( 2 n + 2 ) ⋅ e − x / 2 sin ( q 1 / 2 e x + π 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{1/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n}(0,q){\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{A_{0}^{(2n)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Ce}}_{2n+1}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n+1}(0,q){\text{ce}}'_{2n+1}(\pi /2,q)}{A_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+1}(x,q)&\sim -\left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q){\text{se}}_{2n+1}(\pi /2,q)}{B_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+2}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{5/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+2}(0,q){\text{se}}'_{2n+2}(\pi /2,q)}{B_{2}^{(2n+2)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\end{aligned}}} このように、修正マシュー関数は大きな実引数に対して指数関数的に減少する。同様の漸近展開はおよび についても書けるが 、これらも大きな実引数に対して指数関数的に減少する。 Fe n {\displaystyle {\text{Fe}}_{n}} Ge n {\displaystyle {\text{Ge}}_{n}}
偶奇周期マシュー関数 とそれに関連する特性数に対しては、 大きな に対する漸近展開も導くことができる 。 [34] 特に特性数に対しては、 近似的に奇整数、すなわち c e , s e {\displaystyle ce,se} a {\displaystyle a} q {\displaystyle q} N {\displaystyle N} N ≈ N 0 = 2 n + 1 , n = 1 , 2 , 3 , . . . , {\displaystyle N\approx N_{0}=2n+1,n=1,2,3,...,}
a ( N ) = − 2 q + 2 q 1 / 2 N − 1 2 3 ( N 2 + 1 ) − 1 2 7 q 1 / 2 N ( N 2 + 3 ) − 1 2 12 q ( 5 N 4 + 34 N 2 + 9 ) − 1 2 17 q 3 / 2 N ( 33 N 4 + 410 N 2 + 405 ) − 1 2 20 q 2 ( 63 N 6 + 1260 N 4 + 2943 N 2 + 41807 ) + O ( q − 5 / 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}a(N)={}&-2q+2q^{1/2}N-{\frac {1}{2^{3}}}(N^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N(N^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N^{4}+34N^{2}+9)\\&-{\frac {1}{2^{17}q^{3/2}}}N(33N^{4}+410N^{2}+405)-{\frac {1}{2^{20}q^{2}}}(63N^{6}+1260N^{4}+2943N^{2}+41807)+{\mathcal {O}}(q^{-5/2})\end{aligned}}} ここで、および をおよびに 置き換える ことで対称性が得られていることに注目してください 。これは、展開の重要な特徴です。この展開の項は、次数の項まで明示的に得られています 。 [35] ここで 、 は近似的に奇数です。これは、 の極限では、 周期的ポテンシャルのすべての最小セグメントが 実質的に独立した調和振動子になるからです（したがって 奇数です）。 を減少させると 、障壁をトンネルすることが可能になり（物理的な言葉で）、 偶数および奇数の周期マシュー関数に対応する特性数（量子力学では固有値と呼ばれる）が分割されます。この分割は境界条件によって得られます [35] （量子力学では、これは固有値をエネルギーバンドに分割します）。 [36] 境界条件は次のとおりです。 q 1 / 2 {\displaystyle q^{1/2}} N {\displaystyle N} − q 1 / 2 {\displaystyle -q^{1/2}} − N {\displaystyle -N} | q | − 7 / 2 {\displaystyle |q|^{-7/2}} N {\displaystyle N} q → ∞ {\displaystyle q\to \infty } cos 2 x {\displaystyle \cos 2x} N 0 {\displaystyle N_{0}} q {\displaystyle q} a → a ∓ {\displaystyle a\to a_{\mp }}
( d c e N 0 − 1 d x ) π / 2 = 0 , c e N 0 ( π / 2 ) = 0 , ( d s e N 0 d x ) π / 2 = 0 , s e N 0 + 1 ( π / 2 ) = 0. {\displaystyle \left({\frac {dce_{N_{0}-1}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;ce_{N_{0}}(\pi /2)=0,\;\;\left({\frac {dse_{N_{0}}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;se_{N_{0}+1}(\pi /2)=0.} これらの境界条件を上記の展開に関連する漸近周期マシュー関数に適用すると、 次式が得られる。 a {\displaystyle a}
N − N 0 = ∓ 2 ( 2 π ) 1 / 2 ( 16 q 1 / 2 ) N 0 / 2 e − 4 q 1 / 2 [ 1 2 ( N 0 − 1 ) ] ! [ 1 − 3 ( N 0 2 + 1 ) 2 6 q 1 / 2 + 1 2 13 q ( 9 N 0 4 − 40 N 0 3 + 18 N 0 2 − 136 N 0 + 9 ) + … ] . {\displaystyle N-N_{0}=\mp 2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2}e^{-4q^{1/2}}}{[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}\left[1-{\frac {3(N_{0}^{2}+1)}{2^{6}q^{1/2}}}+{\frac {1}{2^{13}q}}(9N_{0}^{4}-40N_{0}^{3}+18N_{0}^{2}-136N_{0}+9)+\dots \right].} 対応する特性数または固有値は、展開すると次のようになる。すなわち、
a ( N ) = a ( N 0 ) + ( N − N 0 ) ( ∂ a ∂ N ) N 0 + ⋯ . {\displaystyle a(N)=a(N_{0})+(N-N_{0})\left({\frac {\partial a}{\partial N}}\right)_{N_{0}}+\cdots .} 上記の適切な式を挿入すると、次の結果が得られます。
a ( N ) → a ∓ ( N 0 ) = − 2 q + 2 q 1 / 2 N 0 − 1 2 3 ( N 0 2 + 1 ) − 1 2 7 q 1 / 2 N 0 ( N 0 2 + 3 ) − 1 2 12 q ( 5 N 0 4 + 34 N 0 2 + 9 ) − ⋯ ∓ ( 16 q 1 / 2 ) N 0 / 2 + 1 e − 4 q 1 / 2 ( 8 π ) 1 / 2 [ 1 2 ( N 0 − 1 ) ] ! [ 1 − N 0 2 6 q 1 / 2 ( 3 N 0 2 + 8 N 0 + 3 ) + ⋯ ] . {\displaystyle {\begin{aligned}a(N)\to a_{\mp }(N_{0})={}&-2q+2q^{1/2}N_{0}-{\frac {1}{2^{3}}}(N_{0}^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N_{0}(N_{0}^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N_{0}^{4}+34N_{0}^{2}+9)-\cdots \\&\mp {\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2+1}e^{-4q^{1/2}}}{(8\pi )^{1/2}[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}{\bigg [}1-{\frac {N_{0}}{2^{6}q^{1/2}}}(3N_{0}^{2}+8N_{0}+3)+\cdots {\bigg ]}.\end{aligned}}} これらは 、偶数マシュー固有関数 または （すなわち、上側にマイナス記号）および奇数マシュー固有関数 または
（すなわち、下側にプラス記号）に関連付けられた固有値である。これらの固有関数の明示的かつ正規化された展開は 、[35]または [36] に記載されている 。 N 0 = 1 , 3 , 5 , … {\displaystyle N_{0}=1,3,5,\dots } c e N 0 {\displaystyle ce_{N_{0}}} c e N 0 − 1 {\displaystyle ce_{N_{0}-1}} s e N 0 + 1 {\displaystyle se_{N_{0}+1}} s e N 0 {\displaystyle se_{N_{0}}}
ラメ関数 や長楕円体波動関数、扁平 楕円体波動関数 などの他の周期微分方程式の解についても同様の漸近展開が得られます 。
アプリケーション マシューの微分方程式は、工学、物理学、応用数学 の幅広い分野で用いられます 。これらの応用の多くは、2つの一般的なカテゴリーのいずれかに分類されます。1) 楕円幾何学における偏微分方程式の解析、および2) 空間または時間において周期的な力を含む力学問題です。以下では、両方のカテゴリーにおける例を挙げて説明します。
偏微分方程式 マシュー関数は、楕円座標における 変数分離を 1) 3次元の ラプラス方程式、および2) 2次元または3次元の ヘルムホルツ方程式 に適用したときに生じる。ヘルムホルツ方程式は古典波の空間変化をモデル化する典型的な方程式であるため、マシュー関数はさまざまな波動現象を記述するために使用できる。例えば、 計算電磁気学では、楕円柱からの 電磁波 の 散乱 や楕円 導波管内 の波動伝播を解析するために使用できる 。 [37] 一般相対性理論 では、 アインシュタイン場の方程式 の正確な平面波解は マシュー関数によって与えることができる。
最近では、マシュー関数は、 自走粒子 の定常状態統計を記述する スモルホフスキー方程式 の特殊なケースを解くために使用されています。 [38]
この節の残りの部分では、2次元ヘルムホルツ方程式の解析について詳しく述べる。 [39] 直交座標では、ヘルムホルツ方程式は
( ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 ) ψ + k 2 ψ = 0 , {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0,} 楕円座標 は次のように定義される。
x = c cosh μ cos ν y = c sinh μ sin ν {\displaystyle {\begin{aligned}x&=c\cosh \mu \cos \nu \\y&=c\sinh \mu \sin \nu \end{aligned}}} ここで 、、、 は 正の定数である。これらの座標におけるヘルムホルツ方程式は 0 ≤ μ < ∞ {\displaystyle 0\leq \mu <\infty } 0 ≤ ν < 2 π {\displaystyle 0\leq \nu <2\pi } c {\displaystyle c}
1 c 2 ( sinh 2 μ + sin 2 ν ) ( ∂ 2 ∂ μ 2 + ∂ 2 ∂ ν 2 ) ψ + k 2 ψ = 0 {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \nu ^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0} 定数 曲線は 焦点距離を持つ 共焦点楕円 である。したがって、これらの座標は楕円境界を持つ領域上のヘルムホルツ方程式を解くのに便利である。変数分離により、 マシュー方程式が得られる
。 μ {\displaystyle \mu } c {\displaystyle c} ψ ( μ , ν ) = F ( μ ) G ( ν ) {\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=F(\mu )G(\nu )}
d 2 F d μ 2 − ( a − c 2 k 2 2 cosh 2 μ ) F = 0 d 2 G d ν 2 + ( a − c 2 k 2 2 cos 2 ν ) G = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}F}{d\mu ^{2}}}-\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cosh 2\mu \right)F=0\\&{\frac {d^{2}G}{d\nu ^{2}}}+\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cos 2\nu \right)G=0\\\end{aligned}}} ここで 、分離定数です。 a {\displaystyle a}
具体的な物理的例として、ヘルムホルツ方程式は、一様な張力 を受ける弾性膜の 固有振動数 を記述するものと解釈できる 。この場合、以下の物理的条件が課せられる。 [40]
に関する周期性 、すなわち ν {\displaystyle \nu } ψ ( μ , ν ) = ψ ( μ , ν + 2 π ) {\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=\psi (\mu ,\nu +2\pi )} 焦点間線を横切る変位の連続性： ψ ( 0 , ν ) = ψ ( 0 , − ν ) {\displaystyle \psi (0,\nu )=\psi (0,-\nu )} 焦点間線を横切る導関数の連続性: ψ μ ( 0 , ν ) = − ψ μ ( 0 , − ν ) {\displaystyle \psi _{\mu }(0,\nu )=-\psi _{\mu }(0,-\nu )} が与えられた場合、解は と （ただし ） の形式に制限されます。これは 、 が与えられた場合 の の許容値を制限することと同じです 。 に対する制限は、 によって定義される楕円境界など、何らかの境界面に対する物理的条件の適用によって生じます 。例えば、膜を に固定すると が課せ られ 、その結果、 k {\displaystyle k} Ce n ( μ , q ) ce n ( ν , q ) {\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(\mu ,q){\text{ce}}_{n}(\nu ,q)} Se n ( μ , q ) se n ( ν , q ) {\displaystyle {\text{Se}}_{n}(\mu ,q){\text{se}}_{n}(\nu ,q)} q = c 2 k 2 / 4 {\displaystyle q=c^{2}k^{2}/4} a {\displaystyle a} k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} μ = μ 0 > 0 {\displaystyle \mu =\mu _{0}>0} μ = μ 0 {\displaystyle \mu =\mu _{0}} ψ ( μ 0 , ν ) = 0 {\displaystyle \psi (\mu _{0},\nu )=0}
Ce n ( μ 0 , q ) = 0 Se n ( μ 0 , q ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(\mu _{0},q)=0\\{\text{Se}}_{n}(\mu _{0},q)=0\end{aligned}}} これらの条件はシステムの通常モードを定義します。
動的問題 周期的に変化する力を伴う力学問題では、 運動方程式は マシュー方程式の形をとることがあります。そのような場合、マシュー方程式の一般的な性質、特に解の安定性に関する知識は、物理的力学の質的特徴を理解する上で不可欠となることがあります。 [41] この分野の典型的な例としては 倒立振子 が挙げられます。 [42] その他の例としては、
量子力学 マシュー関数は、特定の量子力学システム、特に 量子振り子 や 結晶格子 などの空間的に周期的なポテンシャルを持つシステムで役割を果たします。
修正マシュー方程式は、特異ポテンシャルの量子力学を記述する際にも現れる。特定の特異ポテンシャルに対して、 ラジアルシュレー ディンガー方程式は V ( r ) = g 2 / r 4 {\displaystyle V(r)=g^{2}/r^{4}}
d 2 y d r 2 + [ k 2 − ℓ ( ℓ + 1 ) r 2 − g 2 r 4 ] y = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dr^{2}}}+\left[k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-{\frac {g^{2}}{r^{4}}}\right]y=0} は、次の式に変換できる。
d 2 φ d z 2 + [ 2 h 2 cosh 2 z − ( ℓ + 1 2 ) 2 ] φ = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}+\left[2h^{2}\cosh 2z-\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]\varphi =0.} この変換は、以下の置換によって達成される。
y = r 1 / 2 φ , r = γ e z , γ = i g h , h 2 = i k g , h = e I π / 4 ( k g ) 1 / 2 . {\displaystyle y=r^{1/2}\varphi ,r=\gamma e^{z},\gamma ={\frac {ig}{h}},h^{2}=ikg,h=e^{I\pi /4}(kg)^{1/2}.} シュレーディンガー方程式（この特定のポテンシャルに対して）を修正マシュー方程式の解で解くことによって、 S行列 や 吸収率 などの散乱特性を得ることができます。 [45]
もともと余弦関数を含むシュレーディンガー方程式は1928年にストラットによって解かれました。 [46]
参照
注記 ^ マシュー（1868年）。 ^ モースとフェシュバッハ（1953年）。 ^ ブリマコム、コーレス、ザミール（2021） ^ ab Gutiérrez-Vega (2015). ^ abcde Arscott (1964)、第3章 ^ アースコット（1964）43–44 ^ abc McLachlan (1947)、第2章。 ^ Arscott (1964); Iyanaga (1980); Gradshteyn (2007); これはコンピュータ代数システム Maple でも使用されている正規化です 。 ^ アースコット（1964年）、29ページ。 ^ 一般に、周期関数が という性質を持つ というのは正しくありません 。しかし、マシュー方程式の解となる関数については、この性質が成り立つことが分かります。 2 π {\displaystyle 2\pi } y ( x + π ) = − y ( x ) {\displaystyle y(x+\pi )=-y(x)} ^ マクラクラン（1951年）、141-157ページ、372ページ ^ アースコット（1964年）、34ページ ^ マクラクラン（1947年）、144ページ ^ マクラクラン（1947年）、372ページ ^ マクラクラン（1947年）、28ページ ^ ab Wimp (1984)、83-84ページ ^ マクラクラン（1947） ^ カオス・カドルとレイ・クー (2001) ^ ab Temme (2015)、234ページ ^ ミュラー・キルステン (2012)、420-428 ページ ^ マイクスナーとシェフケ (1954);マクラクラン (1947) ^ ab Malits (2010) ^ ジンとチャン (1996) ^ ヴァン・ビューレンとボワヴェール (2007) ^ ビビーとピーターソン（2013） ^ マイクスナーとシェフケ (1954)、p.134 ^ マクラクラン（1947年）、234～235ページ ^ Gradshteyn (2007)、953ページ ^ アースコット（1964年）、40-41ページ ^ Gradshteyn (2007)、763–765ページ ^ アースコット（1964年）、86ページ ^ マクラクラン（1947年）、第11章 ^ マクラクラン（1947）、237ページ；ディングルとミュラー（1962年）；ミュラー（1962年）；ディングルとミュラー（1964年） ^ abc ディングルとミュラー（1962） ^ ab Müller-Kirsten (2012) ^ ビビーとピーターソン (2013);バラカット (1963);セバクとシャファイ (1991)。クレッツシュマー (1970) ^ ソロンら（2015） ^ Willatzen and Voon (2011)、61-65ページを参照 ^ マクラクラン（1947年）、294～297ページ ^ ab Meixner と Schäfke (1954)、324–343 ページ ^ ルビー（1996） ^ 1997年3月 ^ バルナ、イムレ・フェレンツ;ボグナー、G.マティアス、L.ゲッダ、M. Hriczó、K. (2020)。 「さまざまな種類のノイズ項を使用した Kardar-Parisi-Zhang 界面成長方程式の解析進行波解」。サウスカロライナ州ピネラスにて。ジョン・Ｒ・グレーフ；ヒルガー、S.クローデン、P; Shinas、C. (編)。 微分方程式および差分方程式とアプリケーション、ICDDEA 2019、ポルトガル、リスボン、7 月 1 ～ 5 日の会議議事録 。スプリンガー。ページ 239–254。arXiv : 1908.09615 。 ISBN 9783030563226 。 ^ ミュラー・キルステン (2006) ^ ストラット、MJO (1928)。 「Zur Wellenmechanik des Atomgitters」 。 アンナレン・デア・フィジーク 。 86 (10): 319–324 。 ビブコード :1928AnP...391..319S。 土井 ：10.1002/andp.19283911006。
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![{\displaystyle m(k)={\begin{cases}2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k<0;\\[4pt]{\frac {1}{4}}\left[{\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}-(9-4k)\right],&0<k<{\frac {1}{4}};\\[10pt]{\frac {1}{4}}\left[9-4k\mp {\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}\right],&{\frac {1}{4}k<{\frac {13}{20}};\\[6pt]{\sqrt {\frac {2(k-1)(k-4)(k-9)}{k-5}}},&{\frac {13}{20}k<1;\\[2pt]2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k>1.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29f4e0d1dd2cca887382d32245d42a0bd1f295c3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ce}}_{2n}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r}^{(2n)}(q)\cos(2rx)\\{\text{ce}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\cos \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\sin \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+2}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+2}^{(2n+2)}(q)\sin \left[(2r+2)x\right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e064250cbbcd29bfa53377d1a67b649426e29433)
![{\displaystyle {\begin{aligned}X_{2r}&=r^{-2r-1}\left(-{\frac {e^{2}q}{4}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\\Y_{2r}&=r^{2r-1}\left(-{\frac {4}{e^{2}q}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aadb90075405538f01da04fafc7a5617d4038ce)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{fe}}_{2n}(x,q)&=-{\frac {\pi \gamma _{n}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r}^{(2n)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})],\quad {\text{ここで}}\gamma _{n}=\left\{{\begin{array}{cc}{\sqrt {2}},&{\text{ if }}n=0\\2n,&{\text{ if }}n\geq 1\end{array}}\right.\\{\text{fe}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})+J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+1}(x,q)&=-{\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+2}(x,q)&=-{\frac {\pi q}{4(n+1)}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+2}^{(2n+2)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+2}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+2}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e313f3d906e7123227e7d4a6982ffba2acfae6)
![{\displaystyle N-N_{0}=\mp 2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2}e^{-4q^{1/2}}}{[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}\left[1-{\frac {3(N_{0}^{2}+1)}{2^{6}q^{1/2}}}+{\frac {1}{2^{13}q}}(9N_{0}^{4}-40N_{0}^{3}+18N_{0}^{2}-136N_{0}+9)+\dots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc8467b449a54ac5188886ce5133fb16245ca67b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a(N)\to a_{\mp }(N_{0})={}&-2q+2q^{1/2}N_{0}-{\frac {1}{2^{3}}}(N_{0}^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N_{0}(N_{0}^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N_{0}^{4}+34N_{0}^{2}+9)-\cdots \\&\mp {\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2+1}e^{-4q^{1/2}}}{(8\pi )^{1/2}[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}{\bigg [}1-{\frac {N_{0}}{2^{6}q^{1/2}}}(3N_{0}^{2}+8N_{0}+3)+\cdots {\bigg ]}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f854ae0bf894b49eceecdd00154abfbb07f05d7)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dr^{2}}}+\left[k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-{\frac {g^{2}}{r^{4}}}\right]y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38b42479beb04b88f1b9ba6de495a30ae845482a)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}+\left[2h^{2}\cosh 2z-\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]\varphi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc1b644f273866a13075cb154c732e4c21e7653)
