Mathematical operation on invertible matrices
数学 において 、 行列の対数 とは、後者の行列の 指数関数 が元の行列の指数関数と等しい別の 行列 のことです。したがって、これはスカラー 対数 の一般化であり、ある意味では 行列指数関数 の 逆関数 です。すべての行列が対数を持つわけではなく、対数を持つ行列でも複数の対数を持つ場合があります。行列の対数の研究は リー理論につながります。なぜなら、行列が対数を持つ場合、それは リー群 の元にあり 、その対数は リー代数 のベクトル空間の対応する元だからです。
意味 行列 A の指数関数 は次のように定義される。
e A ≡ ∑ n = 0 ∞ A n n ! {\displaystyle e^{A}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}} 。 行列 B が与えられたとき、 e A = B のとき、別の行列 Aは B の 行列対数 であるといわれます 。
指数関数は 複素数 （例えば） に対しては 単射で はないため、数は複数の複素対数を持つ可能性があり、その結果、後述するように、行列によっては複数の対数を持つ場合があります。 の行列対数が 存在し、かつそれが一意である場合、それは と表されます 。 e π i = e 3 π i = − 1 {\displaystyle e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1} B {\displaystyle B} log B , {\displaystyle \log B,} e log B = B . {\displaystyle e^{\log B}=B.}
べき級数表現 Bが 単位 行列に十分近い場合、 B の対数はべき級数 によって計算できる。
log ( B ) = log ( I + ( B − I ) ) = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 k ( B − I ) k = ( B − I ) − ( B − I ) 2 2 + ( B − I ) 3 3 − ⋯ {\displaystyle \log(B)=\log(I+(B-I))=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}(B-I)^{k}=(B-I)-{\frac {(B-I)^{2}}{2}}+{\frac {(B-I)^{3}}{3}}-\cdots } 、 これは次のように書き直すことができる。
log ( B ) = − ∑ k = 1 ∞ ( I − B ) k k = − ( I − B ) − ( I − B ) 2 2 − ( I − B ) 3 3 − ⋯ {\displaystyle \log(B)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(I-B)^{k}}{k}}=-(I-B)-{\frac {(I-B)^{2}}{2}}-{\frac {(I-B)^{3}}{3}}-\cdots } 。 具体的には、 ならば 、前の級数は収束し、 となる 。 [1] ‖ I − B ‖ < 1 {\displaystyle \left\|I-B\right\|<1} e log ( B ) = B {\displaystyle e^{\log(B)}=B}
例: 平面上の回転の対数 平面上の回転は簡単な例である。 原点を中心とした
角度 αの回転は、2×2行列で表される。
A = ( cos ( α ) − sin ( α ) sin ( α ) cos ( α ) ) . {\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{pmatrix}}.} 任意の整数n に対して 、行列
B n = ( α + 2 π n ) ( 0 − 1 1 0 ) , {\displaystyle B_{n}=(\alpha +2\pi n){\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}},} はA の対数です 。
証拠
log ( A ) = B n {\displaystyle \log(A)=B_{n}~} ⇔ e B n = A {\displaystyle ~~e^{B_{n}}=A}
e B n = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! B n k {\displaystyle e^{B_{n}}=\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}B_{n}^{k}~} どこ
( B n ) 0 = 1 I 2 , {\displaystyle (B_{n})^{0}=1~I_{2},}
( B n ) 1 = ( α + 2 π n ) ( 0 − 1 + 1 0 ) , {\displaystyle (B_{n})^{1}=(\alpha +2\pi n){\begin{pmatrix}0&-1\\+1&0\\\end{pmatrix}},}
( B n ) 2 = ( α + 2 π n ) 2 ( − 1 0 0 − 1 ) , {\displaystyle (B_{n})^{2}=(\alpha +2\pi n)^{2}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}},}
( B n ) 3 = ( α + 2 π n ) 3 ( 0 + 1 − 1 0 ) , {\displaystyle (B_{n})^{3}=(\alpha +2\pi n)^{3}{\begin{pmatrix}0&+1\\-1&0\\\end{pmatrix}},}
( B n ) 4 = ( α + 2 π n ) 4 I 2 {\displaystyle (B_{n})^{4}=(\alpha +2\pi n)^{4}~I_{2}}
...
∑ k = 0 ∞ 1 k ! B n k = ( ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 2 k ! ( α + 2 π n ) 2 k − ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! ( α + 2 π n ) 2 k + 1 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! ( α + 2 π n ) 2 k + 1 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 2 k ! ( α + 2 π n ) 2 k ) = ( cos ( α ) − sin ( α ) sin ( α ) cos ( α ) ) = A . {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}B_{n}^{k}={\begin{pmatrix}\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over 2k!}(\alpha +2\pi n)^{2k}&-\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over (2k+1)!}(\alpha +2\pi n)^{2k+1}\\\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over (2k+1)!}(\alpha +2\pi n)^{2k+1}&\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over 2k!}(\alpha +2\pi n)^{2k}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{pmatrix}}=A~.}
qed。
したがって、行列 Aには無限個の対数が存在します。これは、回転角度が 2π の倍数までしか決定されないという事実に対応しています 。
リー理論の言語では、回転行列 A はリー群 SO(2) の元である。対応する対数 Bは、すべての 歪対称行列 からなるリー代数so(2)の元である 。行列
( 0 1 − 1 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}} はリー代数 so(2) の生成元である。
存在 行列が対数を持つかどうかという問いは、複素数の設定で考えると最も簡単に答えられます。複素行列が対数を持つのは、 それが 逆行列である 場合のみです 。 [2] 対数は一意ではありませんが、行列が負の実数 固有値 を持たない場合、すべての固有値が帯状に含まれる唯一の対数があります 。この対数は 主対数 として知られています。 [3] { z ∈ C | − π < Im z < π } {\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \ \vert \ -\pi <{\textit {Im}}\ z<\pi \}}
答えは実数の設定により複雑になります。実数行列が実対数を持つためには、それが逆行列であり、かつ負の固有値に属する各 ジョルダンブロックが 偶数回出現する必要があります。 [4] 逆行列である実数行列がジョルダンブロックの条件を満たさない場合、その行列は非実数対数しか持ちません。これはスカラーの場合にも既に示されています。対数のどの枝も -1 において実数になることはありません。実数 2×2 行列の実数行列対数の存在については、後のセクションで考察します。
プロパティ A と Bが 両方とも 正定値行列 である場合 、
tr log ( A B ) = tr log ( A ) + tr log ( B ) . {\displaystyle \operatorname {tr} {\log {(AB)}}=\operatorname {tr} {\log {(A)}}+\operatorname {tr} {\log {(B)}}.} A と Bが 可換であると仮定すると 、 AB = BA となります。
log ( A B ) = log ( A ) + log ( B ) {\displaystyle \log {(AB)}=\log {(A)}+\log {(B)}} のとき 、かつその場合に限り、 は の 固有値 であり 、 は の 対応する 固有値 である。 [5] 特に、 A と Bが 可換であり、両方とも 正定値で ある場合、 この式で B = A −1 とおくと、 arg ( μ j ) + arg ( ν j ) ∈ ( − π , π ] {\displaystyle \operatorname {arg} (\mu _{j})+\operatorname {arg} (\nu _{j})\in (-\pi ,\pi ]} μ j {\displaystyle \mu _{j}} A {\displaystyle A} ν j {\displaystyle \nu _{j}} B {\displaystyle B} log ( A B ) = log ( A ) + log ( B ) {\displaystyle \log(AB)=\log(A)+\log(B)}
log ( A − 1 ) = − log ( A ) . {\displaystyle \log {(A^{-1})}=-\log {(A)}.} 同様に、非可換な とについては、 [6] が成り立つことが示される。 A {\displaystyle A} B {\displaystyle B}
log ( A + t B ) = log ( A ) + t ∫ 0 ∞ d z I A + z I B I A + z I + O ( t 2 ) . {\displaystyle \log {(A+tB)}=\log {(A)}+t\int _{0}^{\infty }dz~{\frac {I}{A+zI}}B{\frac {I}{A+zI}}+O(t^{2}).} より一般的には、の累乗の級数 展開は、 対数の積分定義を用いて得られる。 log ( A + t B ) {\displaystyle \log {(A+tB)}} t {\displaystyle t}
log ( X + λ I ) − log ( X ) = ∫ 0 λ d z I X + z I , {\displaystyle \log {(X+\lambda I)}-\log {(X)}=\int _{0}^{\lambda }dz{\frac {I}{X+zI}},} と の極限で の 両方に適用されます 。 X = A {\displaystyle X=A} X = A + t B {\displaystyle X=A+tB} λ → ∞ {\displaystyle \lambda \rightarrow \infty }
さらなる例: 3次元空間における回転の対数 3 における回転 R∈SO (3)は3×3 直交行列 で与えられる 。 R {\displaystyle \mathbb {R} }
このような回転行列R の対数は、 ロドリゲスの回転公式 の反対称部分から 、 軸角度で明示的に計算することで容易に計算できます。これは フロベニウスノルム の最小値の対数を与えます が、 R の固有値が -1 で、これが一意でない場合は計算できません。
さらに、回転行列 A と B が与えられている場合、
d g ( A , B ) := ‖ log ( A T B ) ‖ F {\displaystyle d_{g}(A,B):=\|\log(A^{\text{T}}B)\|_{F}} 回転行列の 3D 多様体上の測地線距離です。
対角化可能な行列の対数の計算 対角化可能な行列 A のlog A を求める方法は 次のとおりです。
A の 固有ベクトル の 行列 Vを求めます（ V の各列は A の固有ベクトルです ）。 V の 逆関数 V −1 を求めます 。 させて A ′ = V − 1 A V . {\displaystyle A'=V^{-1}AV.} すると、 A ′ は 対角要素が Aの固有値である 対角行列 になります 。 A ′ の各対角要素を その（自然）対数に置き換えて を取得します 。 log A ′ {\displaystyle \log A'} それから log A = V ( log A ′ ) V − 1 . {\displaystyle \log A=V(\log A')V^{-1}.} Aが実数であっても A の対数が 複素行列になる可能性があるということは 、実数かつ正の要素を持つ行列が負の固有値、あるいは複素固有値を持つ可能性があるという事実から導かれます（これは例えば 回転行列 に当てはまります）。行列の対数が一意でないことは、複素数の対数が一意でないことから導かれます。
対角化不可能な行列の対数 上で示したアルゴリズムは、次のような対角化不可能な行列には機能しません。
[ 1 1 0 1 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.} このような行列の場合、ジョルダン分解を 見つける必要があり 、上記のように対角要素の対数を計算するのではなく、 ジョルダン ブロック の対数を計算します。
後者は、ジョルダンブロックを次のように書けることに気づくことで実現されます。
B = ( λ 1 0 0 ⋯ 0 0 λ 1 0 ⋯ 0 0 0 λ 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ ) = λ ( 1 λ − 1 0 0 ⋯ 0 0 1 λ − 1 0 ⋯ 0 0 0 1 λ − 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 1 λ − 1 0 0 0 0 0 1 ) = λ ( I + K ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1&\lambda ^{-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1}\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}=\lambda (I+K)} ここで、 Kは主対角線上と 主対角線 下に零を持つ行列である 。（対数を取る行列は逆行列であるという仮定により、λは零でない。）
そして、 メルカトル級数によって
log ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ {\displaystyle \log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots } 1つは
log B = log ( λ ( I + K ) ) = log ( λ I ) + log ( I + K ) = ( log λ ) I + K − K 2 2 + K 3 3 − K 4 4 + ⋯ {\displaystyle \log B=\log {\big (}\lambda (I+K){\big )}=\log(\lambda I)+\log(I+K)=(\log \lambda )I+K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+\cdots } この 級数 には有限個の項（ mが K の次元以上の場合は K m はゼロ ）があるため、その和は明確に定義されます。
例： このアプローチを用いると、
log [ 1 1 0 1 ] = [ 0 1 0 0 ] , {\displaystyle \log {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},} これは、右辺を行列の指数に代入することで検証できます。 exp [ 0 1 0 0 ] = I + [ 0 1 0 0 ] + 1 2 [ 0 1 0 0 ] 2 ⏟ = 0 + ⋯ = [ 1 1 0 1 ] . {\displaystyle \exp {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}=I+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{\frac {1}{2}}\underbrace {{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}^{2}} _{=0}+\cdots ={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}
機能分析の観点 正方行列は、 ユークリッド空間 R n 上の 線型作用素 を表します。ここで n は行列の次元です。このような空間は有限次元であるため、この作用素は実際には 有界 です。
正則関数計算 のツールを使用すると 、 複素平面 上の 開集合 上で定義された 正則関数 f と有界線形演算子 T が与えられれば、 fが T の スペクトル 上で定義されている 限り、 f ( T ) を計算できます。
関数 f ( z ) = log zは、複素平面上の 任意の単連結 開集合（原点を含まない） 上で定義でき、そのような定義域上では正則である。これは、T のスペクトルが原点を含まず、かつ原点から無限遠まで T のスペクトルを横切らない経路が存在する 限り、 ln T を定義できることを意味する（例えば、T のスペクトルが原点を内部に含む円である場合 、 ln T を定義することは不可能である ）。
R n 上の線型作用素のスペクトルは 、その行列の固有値の集合であり、したがって有限集合である。原点がスペクトル内に含まれない限り（行列が可逆である限り）、前段落の経路条件は満たされ、ln T は 定義済みである。行列の対数が一意でないことは、行列の固有値の集合上で定義される対数の枝を複数選択できることから導かれる。
リー群論の観点 リー群 の理論では、 リー代数 から 対応するリー群 Gへの 指数写像 が存在する。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
exp : g → G . {\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\rightarrow G.} 行列リー群において、および G の元は 正方行列であり、指数写像は 行列指数写像 によって与えられる。逆写像は 多値であり、ここで議論する行列対数と一致する。対数はリー群 G からリー代数への写像である 。指数写像は、 零行列の 近傍 U と単位行列の 近傍 Vとの間の 局所微分同相 写像であることに注意されたい。 [7] したがって、（行列）対数は写像として明確に定義される。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} log = exp − 1 {\displaystyle \log =\exp ^{-1}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 0 _ ∈ g {\displaystyle {\underline {0}}\in {\mathfrak {g}}} 1 _ ∈ G {\displaystyle {\underline {1}}\in G}
log : G ⊃ V → U ⊂ g . {\displaystyle \log :G\supset V\rightarrow U\subset {\mathfrak {g}}.} ヤコビの公式 の重要な系 は
log ( det ( A ) ) = t r ( log A ) . {\displaystyle \log(\det(A))=\mathrm {tr} (\log A)~.}
2×2の場合の制約 2 × 2 実行行列が負の 行列式 を持つ場合、実対数は存在しない。まず、任意の 2 × 2 実行行列は、複素数 z = x + y ε （ε 2 ∈ { −1, 0, +1 }）の3つの型のいずれかとみなせることに注意されたい。この z は、行列 環 の複素部分平面上の点である 。 [8]
行列式が負となる場合は、ε 2 =+1 の平面、すなわち 複素数 平面でのみ発生します。この平面の1/4 だけが指数写像の像であるため、対数はその1/4 （象限）上でのみ定義されます。他の3つの象限は、 ε と -1 によって生成される クラインの4元群 の下でのこの象限の像です。
例えば、 a = log 2 とすると、cosh a = 5/4、sinh a = 3/4 となる。行列の場合、これは次のことを意味する。
A = exp ( 0 a a 0 ) = ( cosh a sinh a sinh a cosh a ) = ( 1.25 0.75 0.75 1.25 ) {\displaystyle A=\exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh a&\sinh a\\\sinh a&\cosh a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.25&0.75\\0.75&1.25\end{pmatrix}}} 。 この最後の行列は対数行列である
log A = ( 0 log 2 log 2 0 ) {\displaystyle \log A={\begin{pmatrix}0&\log 2\\\log 2&0\end{pmatrix}}} 。 ただし、これらの行列には対数がありません。
( 3 / 4 5 / 4 5 / 4 3 / 4 ) , ( − 3 / 4 − 5 / 4 − 5 / 4 − 3 / 4 ) , ( − 5 / 4 − 3 / 4 − 3 / 4 − 5 / 4 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}3/4&5/4\\5/4&3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-3/4&-5/4\\-5/4&-3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-5/4&-3/4\\-3/4&-5/4\end{pmatrix}}} 。 これらは、対数を持つ上記の行列の 4 群によって他の 3 つの共役を表します。
特異でない 2 × 2 行列は必ずしも対数を持つわけではありませんが、対数を持つ行列と 4 元群によって共役になります。
また、例えば、 この行列 Aの平方根は、(log A )/2 を累乗することによって直接得られる。
A = ( cosh ( ( log 2 ) / 2 ) sinh ( ( log 2 ) / 2 ) sinh ( ( log 2 ) / 2 ) cosh ( ( log 2 ) / 2 ) ) = ( 1.06 0.35 0.35 1.06 ) . {\displaystyle {\sqrt {A}}={\begin{pmatrix}\cosh((\log 2)/2)&\sinh((\log 2)/2)\\\sinh((\log 2)/2)&\cosh((\log 2)/2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.06&0.35\\0.35&1.06\end{pmatrix}}~.} より分かりやすい例として、 ピタゴラス数列 ( p,q,r ) から始め、 a = log( p + r ) − log q とします。すると、
e a = p + r q = cosh a + sinh a {\displaystyle e^{a}={\frac {p+r}{q}}=\cosh a+\sinh a} 。 今
exp ( 0 a a 0 ) = ( r / q p / q p / q r / q ) {\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r/q&p/q\\p/q&r/q\end{pmatrix}}} 。 したがって
1 q ( r p p r ) {\displaystyle {\tfrac {1}{q}}{\begin{pmatrix}r&p\\p&r\end{pmatrix}}} 対数行列を持つ
( 0 a a 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}} 、 ここで a = log( p + r ) − log q です 。
参照
注記 ^ ホール 2015 定理 2.8 ^ Higham (2008)、定理1.27 ^ Higham (2008)、定理1.31 ^ カルバー（1966） ^ APRAHAMIAN, MARY; HIGHAM, NICHOLAS J. (2014). 「行列の巻き戻し関数と行列指数関数の計算への応用」 SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications . 35 (1): 97. doi : 10.1137/130920137 . ^ S Adler (IAS) による未発表メモ ^ ホール 2015 定理 3.42 ^ Wikibooksの抽象代数/2x2実数行列
参考文献 ガントマッハー、フェリックス・R.（1959） 『行列理論 』第1巻、ニューヨーク：チェルシー、pp. 239– 241 。 ホール、ブライアン・C.（2015） 「リー群、リー代数、表現の初等入門」 、大学院数学テキスト第222巻（第2版）、シュプリンガー、 ISBN 978-3319134666 カルバー、ウォルター・J.（1966）「行列の実対数の存在と一意性について」 アメリカ数学会誌 、 17 （5）： 1146–1151 、 doi ： 10.1090/S0002-9939-1966-0202740-6 、 ISSN 0002-9939 。 ハイアム、ニコラス （2008年） 『行列の関数。理論と計算 』 SIAM 、 ISBN 978-0-89871-646-7 。 Engø, Kenth (2001年6月)、 「so(3)におけるBCH式について」 、 BIT Numerical Mathematics 、 41 (3): 629– 632、 doi :10.1023/A:1021979515229、 ISSN 0006-3835、 S2CID 126053191 
![{\displaystyle \operatorname {arg} (\mu _{j})+\operatorname {arg} (\nu _{j})\in (-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e95cd05d009dcc65ab09780baf426a840161fbe)
Wikibooksの抽象代数/2x2実数行列
