光学定理

物理学の定理

物理学において、光学定理は波動 散乱理論の一般法則であり、ゼロ角散乱振幅と散乱体の全断面積を関連付けるものである。 ^[1] 通常、次のように表記される。

${\displaystyle \sigma ={\frac {4\pi }{k}}~\mathrm {Im} \,f(0),}$

ここで、f (0)は角度がゼロの散乱振幅、つまり遠くのスクリーンの中心に散乱された波の振幅であり、kは入射方向の波数ベクトルである。

光学定理はエネルギー保存則のみを使用して、または量子力学では確率保存則から導出されるため、光学定理は広く適用可能であり、量子力学では弾性散乱と非弾性散乱の両方が含まれます。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {tot} }}$

一般化された光学定理は、ヴェルナー・ハイゼンベルクによって初めて導かれたもので、ユニタリー条件から導かれ、^{[2]で与えられる。}

${\displaystyle f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi }}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} '')\,d\Omega ''}$

ここで、 は入射波の方向と散乱方向に依存する散乱振幅であり、は微分立体角である。 のとき、左辺は の虚部 のちょうど2倍であり、 であるため、上記の関係式は光学定理を与える。中心対称場における散乱の場合、は との間の角度のみに依存し、その場合、上記の関係式は次のように簡約される。 ${\displaystyle f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} '}$ ${\displaystyle d\Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {n} '}$ ${\displaystyle f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} )}$ ${\displaystyle \sigma =\int |f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')|^{2}\,d\Omega ''}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} '}$

${\displaystyle \mathrm {Im} f(\theta )={\frac {k}{4\pi }}\int f(\gamma )f(\gamma ')\,d\Omega ''}$

ここで、 および は、 とおよびある方向の間の角度です。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma '}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} '}$ ${\displaystyle \mathbf {n} ''}$

歴史

光学定理は、もともと1871年にヴォルフガング・セルマイヤー^[3]とレイリー卿^{[4]によって独立に開発された。レイリー卿は}、屈折率の観点からゼロ角散乱振幅を次のように 認識した。

${\displaystyle n=1+2\pi {\frac {Nf(0)}{k^{2}}}}$

(ここで、 Nは散乱体の密度)、彼はこれを空の色と偏光の研究に使用しました。

この式は後に複数の研究者によって量子散乱理論へと拡張され、1939年の論文にちなんでボーア・パイエルス・プラチェクの関係式として知られるようになりました。この定理は、しばらくの間「光学のよく知られた定理」として知られていましたが、1955年にハンス・ベーテとフレデリック・デ・ホフマンによって初めて印刷物で「光学定理」と呼ばれました。

導出

この定理は、スカラー 波の扱いから直接導かれる。平面波が正のZ軸に沿って物体に入射する場合、散乱体から遠く離れた 場所における散乱波の振幅は、近似的に次のように与えられる。

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\approx e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}.}$

より高次の項はすべて、平方すると よりも早く消えるため、遠く離れたところでは無視できるほど小さくなる。 が大きく、角度が小さい場合、テイラー展開により次式が得られる。 ${\displaystyle 1/r^{2}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\approx z+{\frac {x^{2}+y^{2}}{2z}}.}$

ここで、強度は振幅の2乗に比例するという事実を利用します。をと近似すると、 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle 1/r}$ ${\displaystyle 1/z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi |^{2}&\approx \left|e^{ikz}+{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ikz}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\right|^{2}\\&=1+{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}+{\frac {f^{*}(\theta )}{z}}e^{-ik(x^{2}+y^{2})/2z}+{\frac {|f(\theta )|^{2}}{z^{2}}}.\end{aligned}}}$

という項を省いて、事実を用いると、 ${\displaystyle 1/z^{2}}$ ${\displaystyle c+c^{*}=2\operatorname {Re} {c}}$

${\displaystyle |\psi |^{2}\approx 1+2\operatorname {Re} {\left[{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\right]}.}$

ここで、xy平面上の遠く離れたスクリーン上で積分するとする。このスクリーンは、小角近似が適用できるほど小さく、かつxとyの強度を誤差を無視できる程度に大きくとる。光学においては、これは回折パターンの多数の縞を足し合わせることに相当する。定常位相法を用いると、以下の積分において近似できる。 ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f(\theta )=f(0)}$

${\displaystyle \int |\psi |^{2}\,dx\,dy\approx A+2\operatorname {Re} \left[{\frac {f(0)}{z}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ikx^{2}/2z}dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{iky^{2}/2z}dy\right],}$

ここで、Aは積分される面積である。これらは不定積分ではあるが、適切な代入により指数関数を複素ガウス関数に変換し、定積分を評価することで以下のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int |\psi |^{2}\,da&=A+2\operatorname {Re} \left[{\frac {f(0)}{z}}\,{\frac {2\pi iz}{k}}\right]\\&=A-{\frac {4\pi }{k}}\,\operatorname {Im} [f(0)].\end{aligned}}}$

これは、散乱がまったくなかった場合にスクリーンに到達する確率であり、ある量だけ減少します。したがって、この量は散乱体の有効散乱断面積です。 ${\displaystyle (4\pi /k)\operatorname {Im} [f(0)]}$

参照

• Sマトリックス
• クラマース・クローニッヒ関係 § ハドロン散乱
• ユニタリー性（物理学）§ 散乱振幅と光学定理

参考文献

1. YouTubeの「レーダー断面積、光学定理、物理光学近似、線源による放射」
2. Landau, LD, & Lifshitz, EM (2013). 量子力学：非相対論的理論（第3巻）. エルゼビア.
3. 原著論文では彼のファーストネームは省略されているが、同誌に寄稿されたいくつかの論文から推測できる。あるウェブ情報源によると、彼はフランツ・エルンスト・ノイマンの元教え子だったという。それ以外、セルマイヤーについてはほとんど何も知られていない。
4. ストラット、JW (1871). XV. 空からの光、その偏光と色について. ロンドン、エディンバラ、ダブリン哲学雑誌・科学ジャーナル, 41(271), 107-120.

• ロジャー・G・ニュートン(1976). 「光学定理とその先」Am. J. Phys . 44 (7): 639– 642. Bibcode :1976AmJPh..44..639N. doi :10.1119/1.10324.
• ジョン・デイヴィッド・ジャクソン（1999年）『古典電気力学』ハミルトン印刷会社ISBN 0-471-30932-X。

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