外積

Vector operation

線型代数において、 2つの座標ベクトルの外積は、すべての要素が第1ベクトルの要素と第2ベクトルの要素との積である行列です。2つの座標ベクトルの次元がnとmである場合、それらの外積はn × m行列です。より一般的には、2つのテンソル（多次元の数値配列）が与えられた場合、それらの外積はテンソルです。テンソルの外積はテンソル積とも呼ばれ、テンソル代数を定義するために使用できます。

外積は次のものと対照的である。

• ドット積（「内積」の特殊なケース）は、座標ベクトルのペアを入力として取り、スカラー値を生成します。
• クロネッカー積は、2つの行列を入力としてブロック行列を生成する。
• 標準的な行列乗算

意味

それぞれ 大きさと大きさの2つのベクトルが与えられ、 ${\displaystyle m\times 1}$ ${\displaystyle n\times 1}$

$${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{m}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}}$$

それらの外積は、の各要素にの各要素を乗じて得られる行列として定義されます。^[1] ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ,}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&\dots &u_{1}v_{n}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&\dots &u_{2}v_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\u_{m}v_{1}&u_{m}v_{2}&\dots &u_{m}v_{n}\end{bmatrix}}}$$

または、インデックス表記では次のようになります。

$${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{ij}=u_{i}v_{j}}$$

ドット積を次のように表すと、ベクトルが与えられた場合、ベクトルが与えられた場合、 ${\displaystyle \,\cdot ,\,}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle \mathbf {w} ,}$ ${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\mathbf {w} =(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {u} .}$ ${\displaystyle 1\times m}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {v} ^{\operatorname {T} }.}$

と が1 より大きい同じ次元のベクトルである場合、 となります。 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \det(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=0}$

外積は、が列ベクトルとして表され、かつ列ベクトル（行ベクトルとなる）として表される行列の乗算と等価である。^{[2] [3]}例えば、そして^[4] ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} ^{\operatorname {T} },}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle m\times 1}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle m=4}$ ${\displaystyle n=3,}$

$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\\u_{4}v_{1}&u_{4}v_{2}&u_{4}v_{3}\end{bmatrix}}.}$$

複素ベクトルの場合、またはの共役転置を取ると便利なことがよくあります。 ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\dagger }}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}}$

$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\dagger }=\mathbf {u} \left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}.}$$

ユークリッド内積との対比

すると、行列積を逆にしてスカラー（または行列）を生成することができます。 ${\displaystyle m=n,}$ ${\displaystyle 1\times 1}$

$${\displaystyle \left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \right\rangle =\mathbf {u} ^{\textsf {T}}\mathbf {v} }$$

これはユークリッドベクトル空間の標準的な内積であり、^[3]ドット積としてよく知られています。ドット積は外積の跡です。 ^[5]ドット積とは異なり、外積は可換ではありません。

ベクトルと行列の乗算は、関係式を使用して内積で表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \left(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \right)\mathbf {w} =\mathbf {u} \left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \right\rangle }$

テンソルの外積

次元と要素を持つ2つのテンソルが与えられたとき、それらの外積は次元と要素を持つテンソルである。 ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} }$ ${\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m})}$ ${\displaystyle (l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$ ${\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m},l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})}$

$${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{i_{1},i_{2},\dots i_{m},j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}=u_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m}}v_{j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}}$$

たとえば、が 次元で 3 次で、が 次元で 2 次である場合、それらの外積は 次元で 5 次です。が成分A _{[2, 2, 4]} = 11 を持ち、成分B _{[8, 88]} = 13を持つ場合、外積によって形成されるの成分はC _{[2, 2, 4, 8, 88]} = 143です。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle (3,5,7)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle (10,100),}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle (3,5,7,10,100).}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

クロネッカー積との関連

外積とクロネッカー積は密接に関連しており、実際には両方の演算を示すのに同じ記号がよく使用されます。

および の場合、次の関係が成り立ちます。 ${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}4&5\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} &={\begin{bmatrix}4\\5\\8\\10\\12\\15\end{bmatrix}},&\mathbf {u} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {v} &={\begin{bmatrix}4&5\\8&10\\12&15\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

列ベクトルの場合、クロネッカー積は外積のベクトル化（または平坦化）の一種とみなすことができます。特に、2つの列ベクトルとに対して、次のように書くことができます。 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} =\operatorname {vec} (\mathbf {v} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {u} )}$$

(方程式の右側ではベクトルの順序が逆になっています。)

オペレーション間の類似性をさらに強調するもう一つの類似点は、

$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} ^{\textsf {T}}=\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}=\mathbf {u} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {v} }$$

ベクトルの順序を反転する必要はありません。中央の式では行列乗算が用いられており、ベクトルは列/行行列として扱われます。

行列積との接続

サイズとサイズ の行列のペアが与えられた場合、通常どおりサイズ の行列として定義される行列積を考えます。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle m\times p}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle p\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} \,\mathbf {B} }$ ${\displaystyle m\times n}$

ここで、をの - 番目の列ベクトル、 をの - 番目の行ベクトルとします。すると、 は列と行の外積の和として表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {a} _{k}^{\text{col}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{k}^{\text{row}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

$${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} \,\mathbf {B} =\left(\sum _{k=1}^{p}{A}_{ik}\,{B}_{kj}\right)_{\begin{matrix}1\leq i\leq m\\[-20pt]1\leq j\leq n\end{matrix}}={\begin{bmatrix}&&\\\mathbf {a} _{1}^{\text{col}}&\cdots &\mathbf {a} _{p}^{\text{col}}\\&&\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}&\mathbf {b} _{1}^{\text{row}}&\\&\vdots &\\&\mathbf {b} _{p}^{\text{row}}&\end{bmatrix}}=\sum _{k=1}^{p}\mathbf {a} _{k}^{\text{col}}\mathbf {b} _{k}^{\text{row}}}$$

この式は、行と列の内積エントリ (またはドット積) で構築された行列としてのより一般的な式と双対性を持っています。 ${\displaystyle C_{ij}=\langle {\mathbf {a} _{i}^{\text{row}},\,\mathbf {b} _{j}^{\text{col}}}\rangle }$

この関係は特異値分解（SVD）（および特別なケースとしてのスペクトル分解）の適用において重要である^[6] 。特に、この分解は、対応する非零特異値でスケールされた左（ ）および右（）特異ベクトルの外積の和として解釈できる。 ${\displaystyle \mathbf {u} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle \sigma _{k}}$

$${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U\Sigma V^{T}} =\sum _{k=1}^{\operatorname {rank} (A)}(\mathbf {u} _{k}\otimes \mathbf {v} _{k})\,\sigma _{k}}$$

この結果は、がスペクトルノルムを持つ階数1の行列の降順の和として表せることを示唆しています。これは、一般に最後の項の寄与が小さい理由を説明でき、これが近似として打ち切り特異値分解法を用いる理由となります。最初の項は、行列をベクトルの外積に最小二乗近似したものです。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \sigma _{k}}$

プロパティ

ベクトルの外積は次の性質を満たします。

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )^{\textsf {T}}&=(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )\\(\mathbf {v} +\mathbf {w} )\otimes \mathbf {u} &=\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {w} \otimes \mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} \\c(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )&=(c\mathbf {v} )\otimes \mathbf {u} =\mathbf {v} \otimes (c\mathbf {u} )\end{aligned}}}$$

テンソルの外積は追加の結合性を満たします。

$${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} =\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )}$$

外積の階数

uとv が両方とも非ゼロの場合、外積行列uv ^Tは常に行列ランク1になります。実際、外積の列はすべてuに比例します。したがって、それらはすべてその1つの列に線形従属するため、行列はランク1になります。

(「行列のランク」は、「テンソルの順序」や「テンソルの次数」(「ランク」と呼ばれることもある)と混同しないでください。)

定義（要約）

VとWを2つのベクトル空間とする。との外積は元 である。 ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle \mathbf {w} \in W}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} \in V\otimes W}$

Vが内積空間ならば、外積を線型写像V → Wとして定義することができる。この場合、線型写像はVの双対空間の元となる。これはベクトルをその基体（その基体の元）に線型写像するからである。したがって、外積V → Wは次のように与えられる 。 ${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \langle \mathbf {v} ,\mathbf {x} \rangle }$ ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {x} \rangle }$

$${\displaystyle (\mathbf {w} \otimes \mathbf {v} )(\mathbf {x} )=\left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {x} \right\rangle \mathbf {w} .}$$

これは、複素数の場合にvの共役転置が一般的に取られる理由を示しています。

プログラミング言語では

いくつかのプログラミング言語では、2つの引数関数（または二項演算子）が与えられた場合、 2つの1次元配列とのf外積 は、となる2次元配列になります。これは、構文的には様々な方法で表現されます。APL では中置二項演算子、Jでは後置副詞、Rでは関数または特殊、Mathematica ^[7]では です。MATLAB では、この積に関数が使用されます。これらは、多次元引数や3つ以上の引数にも一般化されることがよくあります。fABCC[i, j] = f(A[i], B[j])∘.ff/outer(A, B, f)%o%Outer[f, A, B]kron(A, B)

PythonライブラリNumPyでは、関数 を使って外積を計算できますnp.outer()。^[8]一方、np.kronはフラットな配列になります。多次元配列の外積は を使って計算できますnp.multiply.outer。

アプリケーション

外積はクロネッカー積と密接に関連しているため、クロネッカー積の応用の中には外積を利用するものもある。これらの応用としては、量子論、信号処理、画像圧縮などが挙げられます。^[9]

スピノルズ

s , t , w , z ∈ Cとし、( s , t )と( w , z )がC ²に含まれるものとする。このとき、これらの複素2次元ベクトルの外積は、2 × 2複素行列M(2, C )の要素となる。

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}sw&tw\\sz&tz\end{pmatrix}}.}$$

この行列の行列式は、 Cの交換法則により、swtz − sztw = 0となります。

3次元スピノルの理論では、このヌル特性により、これらの行列は等方性ベクトルに関連付けられます。エリー・カルタンはこの構成を1937年に記述しましたが^{[10] 、}ヴォルフガング・パウリによって1927年に導入されたため^{[11] 、} M(2, C )はパウリ代数と呼ばれるようになりました。

概念

外積のブロック形式は分類に役立ちます。概念分析は、特定の外積に依存する研究です。

ベクトルが0と1のみを要素とする場合、それは論理ベクトルと呼ばれ、論理行列の特殊なケースです。論理演算とが乗算の代わりに行われます。2つの論理ベクトル( u _i )と( v _j )の外積は、論理行列によって与えられます。このタイプの行列は二項関係の研究に用いられ、直交関係または交差ベクトルと呼ばれます。^[12] ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)=\left(u_{i}\land v_{j}\right)}$

参照

• 二者関係
• 世帯主の変革
• ノルム（数学）
• リッチ計算
• 散布行列

製品

• デカルト積
• 外積
• 外装製品
• アダマール積（行列）

二重性

• 外積のブラケット記法
• 複素共役
• 共役転置
• 転置

参考文献

1. Lerner, RG ; Trigg, GL (1991).物理学百科事典（第2版）. VHC. ISBN 0-89573-752-3。
2. リプシュッツ、S.;リプソン、M. (2009)。線形代数。シャウムの概要 (第 4 版)。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-154352-1。
3. Keller, Frank (2020年2月23日). 「行列の代数的性質；転置；内積と外積」（PDF） . inf.ed.ac.uk . 2017年12月15日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） . 2020年9月6日閲覧。
4. James M. Ortega (1987) Matrix Theory: A Second Course、7ページ、Plenum Press ISBN 0-306-42433-9
5. ステンゲル、ロバート・F. (1994). 最適制御と推定. ニューヨーク: ドーバー出版. p. 26. ISBN 0-486-68200-5。
6. Trefethen, Lloyd N. ; Bau III, David (1997).数値線形代数. フィラデルフィア: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-0-89871-361-9。
7. "outer function | Rドキュメント". rdocumentation.org . 2020年9月7日閲覧。
8. "numpy.outer — NumPy v1.19 マニュアル". numpy.org . 2020年9月7日閲覧。
9. Steeb, Willi-Hans; Hardy, Yorick (2011). 「応用（第3章）」.行列計算とクロネッカー積：線形代数と多重線形代数への実践的アプローチ（第2版）. World Scientific. ISBN 978-981-4335-31-7。
10. Élie Cartan (1937) Lecons sur la theorie des Spineurs 、翻訳 1966: The Theory of Spinors、ヘルマン、パリ
11. Pertti Lounesto (1997) Clifford Algebras and Spinors、51ページ、Cambridge University Press ISBN 0-521-59916-4
12. Ki-Hang Kim (1982)ブール行列理論とその応用、37ページ、Marcel Dekker ISBN 0-8247-1788-0

さらに読む

• カーレン、エリック。カンセイソン・カルヴァーリョ、マリア (2006)。 「外積と直交射影」。線形代数: はじめから。マクミラン。ページ 217–218。ISBN​​ 9780716748946。

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