射影調和共役

Point found separated from another, given a point pair

DはCのAとBに関する調和共役である。A
、D、B、Cは調和範囲を形成する。KLMN
はそれを生成する完全四角形である。

射影幾何学では、実射影直線上の点と他の 2 つの点との調和共役点は、次の構成によって定義されます。

3点A、B、Cが共線的に存在し、Lはそれらの交点上にない点とし、Cを通る任意の直線がLA、LBとそれぞれM、Nで交わるとする。ANとBMがKで交わり、LKとABがDで交わる場合、DはCのAとBに関する調和共役点と呼ばれる。^[1]

点Dは、最初にどの点Lをとるか、また、MとNを求めるためにCを通るどの直線が使われるかに依存しない。この事実はデザルグの定理から導かれる。

実射影幾何学では、調和共役は（A、B、C、D）= −1として 複比で定義することもできます。

クロス比基準

4点は、実射影直線上の調和範囲と呼ばれることもあります。これは、Dが線分ABを 内分する割合と、 Cが線分ABを 外分する割合が常に同じであるからです。つまり、

$${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {BC}}={\overline {AD}}:{\overline {DB}}\,.}$$

これらの線分に実数の通常の測定法を適用すると、符号がつき、複比（時には二重比とも呼ばれる）と呼ばれる二重比例を形成する。

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\left/{\frac {\overline {BC}}{-{\overline {DB}}}}\right.,}$

調和音域は-1の値で特徴付けられる。したがって、次のように書くことができる。

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {BC}}}=-1.}$

複比の値は一般に一意ではなく、線分の選択順序に依存します（選択順序は6通りあります）。しかし、特に調和音域では、複比の値は{−1, 1/2, 2}の3つしかありません。これは、 −1が自己逆数であるためです。したがって、最後の2点を交換しても、これらの値が互いに入れ替わるだけで、新しい値は生成されません。これは古典的には調和複比と呼ばれます。

二重比の観点から見ると、アフィン直線上の点a、bが与えられたとき、点xの除算比^[2]は、 a < x < bのときt ( x )は負になり、区間外では正になること に注意してください。 複比は除算比の比、つまり二重比です。二重比を -1 に設定すると、t ( c ) + t ( d ) = 0のとき、cとd はaとbに関して調和共役になります。したがって、除算比の基準は、それらが加法逆数であることです。 $${\displaystyle t(x)={\frac {x-a}{x-b}}.}$$ ${\displaystyle (c,d;a,b)={\tfrac {t(c)}{t(d)}}}$

線分の調和除算は、アポロニウスの円の定義の特殊なケースです。

いくつかの学校では、倍音範囲の構成は倍音分割と呼ばれます。

中間点の

中点と無限大は調和共役です。

x がaからbへの線分の中点である場合、 複比基準により、t ( y ) = 1のとき、 xの調和共役はyになります。しかし、 aとbを通る直線上にはyの有限解は存在しません。それでもなお、 射影直線に無限遠点を含めることが意図されています。この無限遠点は、中点xの調和共役として機能します。 $${\displaystyle t(x)={\frac {x-a}{x-b}}=-1.}$$ $${\displaystyle \lim _{y\to \infty }t(y)=1,}$$

完全な四角形から

調和共役へのもう一つのアプローチは、上図のKLMNのような完全四角形の概念を用いるものです。4点に基づくと、完全四角形は対辺と対角線のペアを持ちます。HSM Coxeterによる調和共役の表現では、対角線は対辺のペアとして扱われます。

DはAとBに関するCの調和共役であり、これはIJKL四角形が存在し、1組の対辺がAで交差し、2組目がBで交差し、3組目がABとCとDで交わることを意味します。^[3]

調和共役を計量考慮から独立した射影幾何学の基礎として初めて使用したのはカール・フォン・シュタウトであった。

...シュタウトは射影幾何学を初等幾何学から解放することに成功した。著書『幾何』（Geometrie der Lage）において、シュタウトは、複比の概念とは独立に、完全四角形あるいは四辺形を用いて、調和四元を導入した。^[4]

P ₁ = A、 P ₂ = S、 P ₃ = B、 P ₄ = Q、 D = M
（緑の M は無視します）。

中点を求めるために適用される完全な四角形を確認するには、JW Young の次の一節を検討してください。

Aを通り任意の2直線AQ、ASを引き、 Bを通りAQ、ASに平行な直線BS、BQを引くと、定義により直線AQ、SB は無限遠点Rで交わり、直線AS、QBは定義により無限遠点Pで交わる。したがって、完全四辺形PQRS はAとBに2つの対角点を持ち、残りの対辺はMとAB上の無限遠点を通ります。したがって、点Mは構成によりAB上の無限遠点のAとBに関する調和共役点となります。一方、Mが線分ABの中点であることは、平行四辺形 ( PQRS )の対角線は互いに二等分するというよく知られた命題から導かれます。^[5]

マクローリンとニュートンの恒等式

2点 と が与えられ、それらの中点をとすると、一般性を失うことなく、複素平面においてそれぞれ、 、と接辞を与えることができます。すると、接辞 を持つ任意の点に対して、 の調和共役は接辞 を持つことがわかります。この調和共役を と呼ぶと、以下の恒等式が得られます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 1/z}$ ${\displaystyle D}$

• マクローリン: (複素数では単純に となる) ${\displaystyle MC\cdot MD=MA^{2}=MB^{2}}$ ${\displaystyle z\cdot {\frac {1}{z}}=1^{2}=(-1)^{2}}$
• ニュートン：（複素数においては、） ${\displaystyle DB\cdot DA=DC\cdot DM}$ ${\displaystyle (z+1)(z-1)=(z-0)(z-{\frac {1}{z}})}$

四元関係

射影範囲上の4つの順序付けられた点は、平面内にテトラスティグムが あり、最初の点と3番目の点がコドットであり、他の2つの点が3番目のコドットのコネクタ上にある場合、調和点と呼ばれます。^[6]

pが調和点を含む直線上にない場合、 pと調和点を含む直線の結線は調和直線となる。同様に、平面束の軸が調和点を含む直線に対して斜めになっている場合、それらの点上の平面は調和平面となる。^[6]

このような関係にある4つのセットは、調和四重奏と呼ばれます。^[7]

射影円錐曲線

射影平面上の円錐曲線は、曲線Cが以下の性質を持つ場合です。PがC上にない点であり、 Pを通る変直線が点Aおよび点BでCと交わるとき、PのAおよびBに関する変調和共役直線は直線を描きます。点Pはその調和共役直線の極と呼ばれ、この直線は円錐曲線に関するPの極直線と呼ばれます。詳細については、 「極と極」の記事を参照してください。

逆幾何学

円錐曲線が円の場合、円の延長された直径上では、円に関する調和共役は円の逆行列となる。この事実は、スモゴジェフスキーの定理の一つから導かれる。^[8]

円kとqが互いに直交する場合、 kの中心を通りqと交差する直線は、 kに関して対称な点で交差します 。

つまり、線がkの拡張直径である場合、 qとの交点は調和共役になります。

円錐曲線とヨアヒムタールの方程式

曲線として次の式で与えられる楕円 を考える。 ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

楕円の外側の点を とし、そこから直線を引いて楕円と点および で交わらせます。座標を とします。次に、楕円上かつ楕円内部の点を取り、その点が線分を と の比で分割する点、すなわち ${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\xi ,\eta )}$ ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle PQ}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle PA={\sqrt {(x_{0}-\xi )^{2}+(y_{0}-\eta )^{2}}}=1,\;\;\;AQ={\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}}}=\lambda }$。

これらの方程式を と について解く代わりに、 代入によって次の式が解であることを検証する方が簡単です。 ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle (\xi ,\eta )={\bigg (}{\frac {\lambda x+x_{0}}{\lambda +1}},{\frac {\lambda y+y_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}.}$

点は楕円上にあるので、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}{\bigg (}{\frac {\lambda x+x_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}{\bigg (}{\frac {\lambda y+y_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}^{2}=1,}$

または

${\displaystyle \lambda ^{2}{\bigg (}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-1{\bigg )}+2\lambda {\bigg (}{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}-1{\bigg )}+{\bigg (}{\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}-1{\bigg )}=0.}$

この方程式は の二次方程式であり、ヨアヒムタールの方程式と呼ばれます。この方程式の2つの根、 は、とに対する と の位置を決定します。と をとに関連付けてみましょう。すると、各線分は次のように与えられます。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle QA={\frac {1}{\lambda _{1}+1}}(x-x_{0},y-y_{0}),\;\;PA={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}+1}}(x_{0}-x,y_{0}-y)}$

そして

${\displaystyle QB={\frac {1}{\lambda _{2}+1}}(x-x_{0},y-y_{0}),\;\;PB={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}+1}}(x_{0}-x,y_{0}-y).}$

すると、

${\displaystyle {\frac {PB}{PA}}{\frac {QA}{QB}}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}.}$

この式が のとき、 ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle {\frac {QA}{PA}}=-{\frac {QB}{PB}}.}$

つまり、はを を を を を を を を を を 内部的に を を を を外的に を ... ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle PQ}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle PQ}$

${\displaystyle {\frac {PB}{PA}}{\frac {QA}{QB}}}$

の値（これは自己逆数となる）は調和複比として知られている。上記のように とすると となり、したがってヨアヒムタールの方程式における の係数はゼロとなる。すなわち ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \lambda _{2}/\lambda _{1}=-1}$ ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}=0}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}-1=0.}$

これは、点（極）の極線（直線）と呼ばれる直線の方程式です。この の極線は、 から楕円への接線の接触弦であることが示せます。楕円（ ）にを代入すると、この方程式は における接線の方程式になります。また、楕円の準線が焦点の極線であることも示せます。 ${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=0,\lambda _{2}=0}$ ${\displaystyle P}$

ガロア四元体

ガロア体GF( q )上のガロア幾何学において、直線はq + 1個の点を持ち、ここで∞ = (1,0)となる。この直線において、2つの点が他の点を調和的に隔てている場合、4つの点は調和四元体を形成する。条件

${\displaystyle (c,d;a,b)=-1,\ {\text{ equivalently }}\ \ 2(cd+ab)=(c+d)(a+b),}$

は調和四面体の特徴である。これらの四面体に注目したジャン・ディウドネは、 q = 5, 7, 9に対して射影線型群PGL(2, q )のいくつかの偶然同型を描写した。^[9]

q = 2 ⁿで、AとBが与えられている場合、 Cの調和共役はそれ自身である。^[10]

反復射影調和共役と黄金比

P ₀、P ₁、P ₂を実射影直線上の3つの異なる点とする。点の無限列P _nを考える。ここでP _{n は、} n > 2においてP _{n -1}、P _{n -2}に関するP _{n -3}の調和共役である。この列は収束する。^[11]

有限の極限Pに対しては

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n+1}P}{P_{n}P}}=\Phi -2=-\Phi ^{-2}=-{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},}$

ここでは黄金比、つまりnが大きい場合である。無限大の場合には、 ${\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})}$ ${\displaystyle P_{n+1}P\approx -\Phi ^{-2}P_{n}P}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n+2}P_{n+1}}{P_{n+1}P_{n}}}=-1-\Phi =-\Phi ^{2}.}$

証明として射影同型を考えてみよう

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

と

${\displaystyle f\left((-1)^{n}\Phi ^{2n}\right)=P_{n}.}$

参考文献

1. RL Goodstein & EJF Primrose (1953)『公理的射影幾何学』、ユニバーシティ・カレッジ・レスター（出版社）。本書は総合幾何学に準拠している。調和構成については11ページを参照。
2. Dirk Struik (1953) Lectures on Analytic and Projective Geometry、7ページ
3. HSM Coxeter (1942)「非ユークリッド幾何学」 29ページ、トロント大学出版局
4. BL Laptev & BA Rozenfel'd (1996) 19 世紀の数学: 幾何学、41 ページ、 Birkhäuser Verlag ISBN 3-7643-5048-2
5. ジョン・ウェズリー・ヤング(1930)射影幾何学、85ページ、アメリカ数学協会、シカゴ:オープンコート出版
6. GB Halsted (1906)総合射影幾何学、15&16ページ
7. Luis Santaló (1966) Geometria proyectiva、166 ページ、編集部ブエノスアイレス大学
8. ASスモゴジェフスキー（1982）『ロバチェフスキー幾何学』ミール出版社、モスクワ
9. Jean Dieudonné (1954) 「Les IsomorphismsExceptionals entre les groups classiques finis」、Canadian Journal of Mathematics 6: 305 to 15 doi :10.4153/CJM-1954-029-0
10. エミール・アルティン(1957) 幾何代数、82ページ、インターネットアーカイブより
11. F. Leitenberger (2016) 反復調和分割と黄金比、Forum Geometricorum 16: 429–430

• Juan Carlos Alverez (2000)『射影幾何学』、第 2 章「実射影平面」、第 3 節「調和四重項とフォン・シュタウトの定理」を参照。
• Robert Lachlan (1893) 『An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry』、コーネル大学歴史数学モノグラフからのリンク。
• バートランド・ラッセル（1903）『数学原理』384ページ。
• ラッセル、ジョン・ウェルズリー（1905年）『純粋幾何学』クラレンドン・プレス。

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